Analysis 2. Sommersemester Christian Hainzl mit Vorlage von Stefan Teufel, Simon Mayer und Mario Laux Mathematisches Institut Uni Tübingen

Transkript

1 Anlysis 2 Sommersemester 216 Christin Hinzl mit Vorlge von Stefn Teufel, Simon Myer und Mrio Lux Mthemtisches Institut Uni Tübingen 24. Juni 216 Diese vorläufige Version des Skriptums ist nur zum Gebruch prllel zum Besuch der Vorlesung gedcht. Ds Studium des Skripts knn den Besuch der Vorlesung nicht ersetzen! Flls Sie Fehler finden, teilen Sie mir diese (uch die offensichtlichen) bitte mit!

2

3 Inhltsverzeichnis 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit Tylor Formel und lokle Extrem Implizite Funktionen Integrlrechnung Unbestimmtes Integrl Riemnn-Integrl Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Stz von Fubini, Substitutionsregel Kurvenintegrle Oberflächenintegrle Gewöhnliche Differentilgleichungen und dynmische Systeme Einleitung Explizite Differentilgleichungen erster Ordnung Linere Differentilgleichungen erster Ordnung Die exkte Differentilgleichung Dynmische Systeme und Flüsse iii

4

5 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit 9.1 Definition. Wegzusmmenhng Sei X R n. Eine Teilmenge Y X heißt wegzusmmenhängend, wenn es zu je zwei Punkten y, y 1 Y einen Weg von y nch y 1 in Y gibt, d.h. eine stetige Abbildung α : [, 1] Y mit α() y und α(1) y Stz. Seien X und Y Teilmengen von R n, bzw R m, und sei f : X Y stetig. Dnn gilt: Ist A X wegzusmmenhängend, so ist uch f(a) Y wegzusmmenhängend. Beweis. Seien y, y 1 f(a) beliebig und x, x 1 A so, dss f(x ) y und f(x 1 ) y 1. Dnn gibt es nch Annhme einen stetigen Weg α : [, 1] A mit α() x und α(1) x 1. Dnn ist uch β f α stetig und dmit ein Weg von (f α)() f(x ) y nch (f α)(1) f(x 1 ) y 1. Also ist f(a) wegzusmmenhängend. 9.3 Definition. Gebiet Sei X R n. Eine nichtleere Teilmenge U X heißt Gebiet in X, flls U offen und wegzusmmenhängend ist. Im Folgenden wird meist us rein prktischen Gründen vorusgesetzt, dss Funktionen uf Gebieten definiert sind. 9.4 Bemerkung. Die Gebiete in R sind genu die offenen Intervlle (, b) R mit < b, { } R und b R { }. Beweis. Übungsufgbe. 9.5 Definition. Prtielle Ableitung Sei n 1 und G R n ein Gebiet. Für x G und j {1,..., n} heißt eine Funktion f : G R im Punkt x in die j-te Koordintenrichtung prtiell differenzierbr, wenn der Grenzwert f(x + h e j ) f(x) lim h h existiert, wobei e j den j-ten knonischen Bsisvektor des R n bezeichnet. Wir schreiben dnn f f(x + h e j ) f(x) (x) D j f(x) j f(x) : lim x j h h und nennen diese Zhl die j-te prtielle Ableitung von f in x. Die drei ngegebenen Schreibweisen sind lle gebräuchlich und wir werden sie uch lle verwenden. 9.6 Bemerkung. Zur Erinnerung: Dss der lim h existiert bedeutet, dss für lle Nullfolgen (h k ) k N in R \ {} mit h k derrt, dss x + h k e j G ist, der Grenzwert f(x + h k e j ) f(x) lim k h k existiert und dmit uch für ll diese Folgen gleich ist. 1

6 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit 9.7 Bemerkung. Mn führt lso in dieser Definition die Differenzierbrkeit einer Funktion mehrerer Veränderlicher uf die Sitution einer reellen Veränderlichen zurück. Setzt mn g(x j ) : f(x 1, x 2,..., x j,..., x n ) für festes x i flls i j, so ist f x j (x) g (x j ). 9.8 Beispiel. Euklidische Norm Betrchte die Rdiusfunktion r : R n [, ), x r(x) x 2 x x2 n. Dnn ist r für lle x R n \{} und j {1,..., n} prtiell in die j-te Richtung differenzierbr und es gilt j r(x) 1 2x j 2 x x 2 n x j x. 9.9 Definition. Prtielle und stetige prtielle Differenzierbrkeit Sei G R n ein Gebiet und f eine reelle Funktion uf G, lso f : G R. () Für x G heißt f in x prtiell differenzierbr, wenn f in lle n Richtungen prtiell differenzierbr ist. Mn nennt dnn den Vektor den Grdienten von f in x. grd f(x) f(x) ( 1 f(x),..., n f(x)) R n (b) Es heißt f prtiell differenzierbr in G, flls f in llen Punkten in G prtiell differenzierbr ist. (c) Es heißt f stetig prtiell differenzierbr in G, flls f prtiell differenzierbr in G ist und die prtiellen Ableitungen j f : G R, j 1,..., n, stetig sind. 9.1 Bemerkung. Mn bechte, dss die prtielle Differenzierbrkeit einer Funktion f : G R in einem Punkt x G im Allgemeinen nicht, wie im Fll n 1, die Stetigkeit von f in x nch sich zieht. Betrchte z.b. die Funktion f : R 2 R, { wenn xy f(x, y) 1 wenn xy. Dnn ist f nämlich in (x, y) (, ) prtiell differenzierbr mit grdf(, ) (, ), ber offenbr nicht stetig. Wir werden jedoch sehen, dss jede Funktion f die in einem Gebiet stetig prtiell differenzierbr ist, dort uch stetig ist Bemerkung. Rechenregeln für prtielle Ableitungen D der Begriff der prtiellen Differenzierbrkeit einer Funktion f : G R, G R ein Gebiet, uf den der Differenzierbrkeit einer Funktion in einer Veränderlichen zurückgeführt werden knn, gelten uch die beknnten Rechenregeln: () Linerität: Sind f, g : G R prtiell differenzierbr und λ R, dnn sind uch f + g : G R und λf : G R prtiell differenzierbr und es gilt für j {1,..., n} Insbesondere ist lso ein reeller Vektorrum. j (f + g) j f + j g j (λf) λ j f. C 1 (G) : {f : G R f stetig prtiell differenzierbr } 2

7 (b) Produktregel: Sind f, g : G R prtiell differenzierbr, so uch ihr Produkt fg : G R und ihr Quotient f/g : G R (flls g uf G). Für j {1,..., n} gilt dnn j (fg) ( j f)g + f( j g) ( ) f j g ( jf)g f( j g) g 2. (c) Kettenregel: Ist f : G R prtiell differenzierbr und h : R R differenzierbr, so ist uch h f : G R prtiell differenzierbr und es gilt j (h f) (h f) j f Beispiel. Ist f : R n \ {} R eine rottionssymmetrische Funktion, d.h. f(x) f(y) flls x y, so gibt es eine Funktion h : (, ) R, so dss f(x) h( x ) für lle x R n \ {}. Wähle z.b. h(r) f(r,,,..., ). Es ist lso f h r mit r(x) x wie zuvor. Ist nun f prtiell differenzierbr, so ist uch h differenzierbr (h (r) 1 f(r,,..., )) und es gilt für j {1,..., n} lso grdf(x) h ( x ) x x. j f(x) j (h r)(x) (h r)(x) j r(x) h ( x ) x j x, 9.13 Definition. Vektorwertige Funktionen Seien m, n 1, G R n ein Gebiet und f : G R m eine vektorwertige Funktion, lso f (f 1,..., f m ) mit f i : G R für i 1,..., m. Wir sgen, dss, f (stetig) prtiell differenzierbr ist, flls jede Komponente f i (stetig) prtiell differenzierbr ist Definition. Vektorfeld Sei G R n. Eine Abbildung f : G R n heißt ein Vektorfeld uf G Beispiel. Grdient ls Vektorfeld Sei G R n ein Gebiet und f : G R prtiell differenzierbr. Dnn ist grdf : G R n ein Vektorfeld Definition. Divergenz und Lplce Sei G R n ein Gebiet. () Für ein prtiell differenzierbres Vektorfeld f : G R n heißt die Funktion die Divergenz von f. divf : G R x divf(x) n j1 f j x j (x) (b) Sei f : G R prtiell differenzierbr und sei uch grdf : G R n prtiell differenzierbr, so heißt die Funktion Lplce von f. f : G R x f(x) div(grdf)(x) n j1 2 f x 2 j 3

8 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit 9.17 Beispiel. () Die Identität id : G R n, x x, ist ein prtiell differenzierbres Vektorfeld uf G. Ihre Divergenz ist n id j n x j div(id)(x) (x) (x) n. x j1 j x j1 j }{{} 1 (b) Die Abbildung f : R n \ {} R n, x R n \ {}. Die Divergenz ist divf(x) Also ist r div(grd r) n 1 r. n j1 x x x j grd r ist ein prtiell differenzierbres Vektorfeld uf ( ) xj x ( n j1 n 1 x x 2 x 3 n 1 x. 1 x x2 j x 3 ) 9.18 Definition. Richtungsbleitung Sei G R n ein Gebiet und f : G R m eine Funktion. Unter der Richtungsbleitung von f im Punkt x G in Richtung v R n, mit v 1, versteht mn den Differenitlquotienten v f(x) D v f(x) d dh f(x + hv) f(x + hv) f(x) h lim, h h flls dieser existiert. Für v e j ist v f lso gleich der j-ten prtiellen Ableitung j f Stz. Richtungsbleitung und Grdient Sei G R n ein Gebiet und f : G R stetig differenzierbr. Dnn gilt für jedes x G und jeden Vektor v R n, mit v 1, v f(x) f(x), v wobei f grdf. Proof. Der Beweis wir einfch us der verllgemeinerten Kettenregel folgen. Wir skizzieren hier einen Beweis für n 2: Mit v (v 1, v 2 ) und x (x 1, x 2 ) gilt f(x + hv) f(x) f(x 1 + hv 1, x 2 + hv 2 ) f(x 1, x 2 + hv 2 ) + f(x 1, x 2 + hv 2 ) f(x 1, x 2 ) 1 f(x 1, x 2 + hv 2 )hv 1 + ϕ 1 (hv 1 ) + 2 f(x 1, x 2 )hv 2 + ϕ 2 (hv 2 ). (9.1) Mit der Stetigkeit der prtiellen Ableitung und der Definition von Differenzierbrkeit von Funktionen von einer Vriblen folgt, dss f(x + hv) f(x) lim f(x) v. h h 9.2 Bemerkung. () Ist f(x), so ist der Winkel θ zwischen den Vektoren v und f(x) definiert und es gilt v f(x) f(x), v f(x) v cos θ. Die Richtungsbleitung ist lso mximl, flls v und f(x) die gleiche Richtung hben. Der Vektor f(x)/ f gibt lso die Richtung des stärksten Anstiegs von f n. 4

9 9.21 Bemerkung. Betrchten wir nun den Spezilfll, A R 2, und f : A R stetig differenzierbr. Dnn ist der Grph von f die Fläche {(x, y, f(x, y)) : (x, y) A}. Die Tngentilebene n den Grphen im Punkt ( x, ȳ, f( x, ȳ)) ist gegen durch: z f( x, ȳ) + f x ( x, ȳ)(x x) + f y ( x, ȳ)(y ȳ), und die Tngente n den Grphen in Richtung v (v 1, v 2 ), v 1, ist gegeben durch: t v : φ(t) x ȳ f( x, ȳ) + t v 1 v 2 f( x, ȳ) v Die Steigung der Tngente in Richtung oder äquivlent dzu die Steigung des Grphen in Richtung v im Punkt ( x, ȳ, f( x, ȳ)) lutet f v ( x, ȳ) f( x, ȳ) v. Sucht mn eine Tngente n den Grphen mit einer vorgegebenen Steigung k, so müssen v 1 und v 2 so gesucht werden, dss v1 2 + v2 2 1 f( x, ȳ) v k gilt. Zwei interessnte Spezilfälle sind die Tngenten in Richtung des steilsten Anstieges und die wgrechte Tngente Definition. Die r-ml stetig prtiell differenzierbren Funktionen C r (G) Sei G R n ein Gebiet und r N. Eine Funktion f : G R heißt r-ml stetig prtiell differenzierbr, wenn für lle j (j 1,..., j r ) mit j 1,..., j r {1,..., n} gilt: f ist stetig prtiell differenzierbr j1 f ist stetig prtiell differenzierbr j2 ( j1 f) ist stetig prtiell differenzierbr.. jr 1 j1 f ist stetig prtiell differenzierbr, lso jr j1 f ist stetig. Wiederholte Anwendung von 9.11 () liefert, dss ein reeller Vektorrum ist. C r (G) : {f : G R f ist r-ml stetig prtiell differenzierbr } Nottion. Ist f r-ml stetig prtiell differenzierbr, so schreibt mn uch für jedes j (j 1,..., j r ) {1,..., n} r. r f x jr x j1 (x) jr j1 f(x) 9.24 Stz. von Schwrz Sei G R n ein Gebiet, f : G R zweiml stetig prtiell differenzierbr und 1 i, j n. Dnn vertuschen die prtiellen Ableitungen, d.h. für lle x G gilt i j f(x) j i f(x). 5

10 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit Beweis. Wir beschränken uns im Beweis uf den Fll R 2. Für (h, k) R 2 sei Wir werden zeigen dss und womit dnn die Behuptung folgt. Seien A(h, k) f(x + h, y + k) f(x + h, y) f(x, y + k) + f(x, y). A(h, k) lim f xy (x, y) (h,k) (,) hk A(h, k) lim f yx (x, y), (h,k) (,) hk ψ(h, k) f(x + h, y + k) f(x, y + k) φ(h, k) f(x + h, y + k) f(x + h, y) Mittels zweimliger Anwendung des Mittelwertstzes bekommen wir für geeignete θ, θ [, 1] A(h, k) ψ(h, k) ψ(h, ) ψ y (h, θk)k [f y (x + h, y + θk) f y (x, y + θk)]k ls uch für geeignete ν, ν, dss f xy (x + θ h, y + θk)hk, A(h, k) φ(h, k) φ(, k) φ x (νh, k)h [f x (x + νh, y + k) f x (x + νh, y)]h f xy (x + νh, y + ν k)hk. Obige Aussge folgt durch die Annhme dss f zweiml stetig differenzierbr ist in einer Umgebung von (x, y). Denn unter dieser Vorussetzung gilt, dss f xy (x+θ h, y+θk) ls uch f xy (x+νh, y+ν k) konvergieren für (h, k) (, ) Definition. Hesse-Mtrix Für f C 2 (G) und x G nennt mn die n n - Mtrix 1 1 f(x) 1 2 f(x) 1 n f(x) 2 1 f(x) 2 2 f(x) 2 n f(x) Hessf(x) n 1 f(x) n 2 f(x) n n f(x) die Hesse-Mtrix von f in x. Wegen Stz 9.24 ist Hessf(x) symmetrisch Bemerkung. Sei f : R n R. Dnn ist die zweite Ableitung von f in Richtung v gegeben durch d 2 dt 2 t f(x + tv) v, Hessf(x)v. In dem Sinne ist die Mtrix Hessf(x) die zweite Ableitung von f n x, und die Eigenschften dieser Mtrix werden entscheiden sein, ob n dem Punkt x ein lokles Minimum oder Mximum sein knn. Dies wird von den Eigenwerten der Mtrix Hessf(x) bhengen. Dzu kommen wir später Beispiel. Für f C 2 (G) gilt f(x) div(grdf)(x) Spur(Hessf)(x). n j1 2 f x 2 (x) j 6

11 9.28 Definition. Rottion eines Vektorfeldes Sei G R 3 ein Gebiet und v : G R 3 ein prtiell differenzierbres Vektorfeld, v (v 1, v 2, v 3 ). Mn definiert die Rottion von v durch rot v : G R 3, ( v3 rot v : v 2, v 1 v 3, v 2 v ) 1. x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x Nottion. Nbl-Opertor Führt mn ls vektorwertigen Opertor ein, den sogennnten Nbl-Opertor, ( )..., ( 1,..., n ), x 1 x n so schreiben sich Grdient, Divergenz, Rottion und Lplce folgendermßen: grdf ( 1 f,..., n f) f div v n v j, v v x j j1 f div(grdf) f rot v v. 9.3 Korollr. zu Stz Sei G R 3 ein Gebiet. () Für f C 2 (G) gilt rot(grdf). (b) Für v C 2 (G, R 3 ) gilt div(rot v). Beweis. Übungsufgbe: Mn rechne nch, dss mn forml wie einen Vektor behndeln knn: rot(grdf) f, div(rot v) ( v) Beispiel. Sei F : R n \ {} R zweiml stetig prtiell differenzierbr und rottionssymmetrisch, lso F (x) f(r(x)) mit r(x) x und f C 2 ((, )). Dnn ist uch F : R n \{} R rottionssymmetrisch, lso F g r für eine stetige Funktion g : (, ) R und es gilt Beweis. Übungsufgbe g(r) f (r) + n 1 f (r). r Wir führen nun einen etws nderen Differenzierbrkeitsbegriff ein, der im Gegenstz zur prtiellen Differenzierbrkeit geometrisch motiviert ist und die geomentrische Bedeutung der Ableitung ls linere Approximtion in den Vordergrund stellt Definition. Totle Differenzierbrkeit Sei G R n ein Gebiet und f : G R m eine Abbildung. Es heißt f in einem Punkt x G totl differenzierbr (oder einfch nur differenzierbr), wenn es eine linere Abbildung A : R n R m gibt und ein δ > mit B δ (x) G, so dss für h B δ () und gilt ϕ(h) : f(x + h) f(x) Ah ϕ(h) lim h h. 7

12 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit 9.33 Bemerkung. () Ist ϕ : R n B δ () R m eine Funktion und k N, so sgt mn, dss ϕ von höherer ls k-ter Ordnung in verschwindet und schreibt ϕ o( h k ), flls ϕ(h) lim h h k. Mit dieser Schreibweise ist lso dnn f : G R differenzierbr in x wenn sich f in x bis uf einen Fehler der Ordung o( h ) liner pproximieren läßt, lso wenn f(x + h) f(x) + Ah + o( h ). (b) Zur Erinnerung: Eine linere Abbildung A : V W zwischen Vektorräumen V und W wird nch Whl von Bsen in V und W durch eine (m n)-mtrix ( ij ) beschrieben. Wir werden im Folgenden die Whl der Bsis nur dnn explizit mchen, wenn wir nicht die knonische Bsis (e 1,..., e n ) von R n bzw. (e 1,..., e m ) von R m zugrunde legen. (c) Ntürlich sgen wir, dss f : G R m totl differenzierbr ist, wenn f in llen Punkten x G totl differenzierbr ist Beispiel. Qudrtische Formen Sei C (c ij ) M(n n, R) eine symmetrische n n-mtrix und f : R n R x f(x) x, Cx die zugeörige qudrtische Form. Für x, h R n gilt f(x + h) x + h, Cx + Ch mit A : 2Cx M(1 n) und ϕ(h) h, Ch. n i,j1 c ij x i x j x, Cx + h, Cx + x, Ch + h, Ch x, Cx + 2 Cx, h + h, Ch f(x) + Ah + ϕ(h) D ϕ(h) h Ch C h 2, gilt lim h ϕ(h) h 9.35 Definition. Die Norm einer lineren Abbildung Die Norm einer lineren Abbidlung T : R n R m definiert mn durch. Also ist f in x differenzierbr. T : sup { T x R m x R n mit x R n 1} Bemerkung. () Es gilt T <, d f : x T x R m stetig ist (f T ) und B 1 () R n kompkt, lso f ls stetige Abbildung uf einem Kompktum beschränkt ist. (b) Es gilt für beliebig x R n : T x R m x R n T x x R m T x R m Stz. und Definition. Stetigkeit diffbrer Funktionen und die Jcobi-Mtrix Sei G R n ein Gebiet und f : G R m eine Abbildung, die im Punkt x G differenzierbr sei, lso mit der Mtrix A ( ij ) M(m n, R). Dnn gilt: f(x + h) f(x) + Ah + o( h ) 8

13 () f ist im Punkt x stetig. (b) Alle Komponenten f i : G R, 1 i m, von f sind in x prtiell differenzierbr mit f i x j (x) ij. Aus (b) folgt insbesondere, dss die Mtrix A durch die differenzierbre Abbildung f eindeutig bestimmt ist. Mnn nennt A ds Differentil, die Jcobi-Mtrix oder die Funktionlmtrix von f im Punkte x und schreibt: ( ) fi (Df)(x) : J f (x) : (x). x j Ds Differentil Df(x) ist lso die linere Approximtion n f im Punkt x: f(x + h) f(x) + Df(x) h + o( h ). Beweis. () lim h f(x + h) f(x) + lim h (Ah + o( h )) f(x). (b) Für i 1,..., m und h R n ist f i (x + h) f i (x) + ij n ij h j + o( h ), j1 lso für k R und h ke j f i (x + ke j ) f i (x) + k ij + o( ke j ). Dmit folgt für die prtielle Ableitung von f i in Richtung e j f i f i (x + ke j ) f i (x) o(k) (x) : lim ij + lim ij. x j k k k k 9.38 Stz. Stetig prtiell differenzierbr totl differenzierbr Sei G R n ein Gebiet und f : G R eine prtiell differenzierbre Funktion. Flls lle prtiellen Ableitungen j f im Punkt x G stetig sind, so ist f in x totl differenzierbr. Beweis. Für h R n hinreichend klein sei z (i) : x + i h j e j, i,..., n. j1 Es gilt z () x und z (n) x + h. Die Punkte z (i 1) und z (i) unterscheiden sich nur in der i-ten Koordinte. Nch dem Mittelwertstz für differenzierbre Funktionen einer Veränderlichen gibt es deshlb ein θ i [, 1], so dss f(z (i) ) f(z (i 1) ) i f(y (i) )h i wobei Drus folgt Setzt mn i i f(x), so gilt y (i) z (i 1) + θ i h i e i. n f(x + h) f(x) i f(y (i) )h i i1 n f(x + h) f(x) + i h i + ϕ(h) i1 9

14 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit mit Wegen der Stetigkeit von i f in x gilt ϕ(h) n ( i f(y (i) ) i )h i. i1 lim ( if(y (i) ) i ) i f(lim y (i) ) i i f(x) i, h h lso ϕ(h) lim h h Korollr. Sei G R n ein Gebiet und f : G R m stetig prtiell differenzierbr. Dnn ist f totl differenzierbr und somit stetig. 9.4 Merkregel. Es gelten lso die Impliktionen: stetig prtiell differenziebr totl differenzierbr prtiell differenzierbr stetig Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht! Im Folgenden werden wir oft stetig prtiell differenzierbr durch stetig differenzierbr bkürzen, d nch obigem eine totl differenzierbre Funktion mit stetiger Ableitung j insbesondere stetige prtielle Ableitungen ht Stz. Kettenregel Seien G R n und H R m Gebiete und g : G R m und f : H R k Abbildungen mit g(g) H. Die Abbildung g sei im Punkt x G differenzierbr und die Abbildung f sei im Punkt y : g(x) differenzierbr. Dnn ist die Komposition f g : G R k im Punkt x differenzierbr und für ihr Differentil gilt: D(f g)(x) Df(g(x)) }{{} Dg(x) }{{} k m Mtrix m n Mtrix Beweis. Sei A : Dg(x) und B Df(y). Es ist zu zeigen, dss D(f g)(x) BA. Nch Vorrussetzung gelten mit ϕ(h) o( h ) und ψ(η) o( η ). Wählt mn so ergibt sich g(x + h) g(x) + Ah + ϕ(h) f(y + η) f(y) + Bη + ψ(η) η : g(x + h) g(x) Ah + ϕ(h) (f g)(x + h) f(g(x) + η) f(g(x) + Ah + ϕ(h)) f(g(x)) + BAh + Bϕ(h) + ψ(ah + ϕ(h)) (f g)(x) + BAh + χ(h) 1

15 mit χ(h) Bϕ(h) + ψ(ah + ϕ(h)). Es bleibt lso zu zeigen, dss χ(h) o( h ). Mit ϕ(h) o( h ) ist uch Bϕ(h) o( h ). Außerdem gibt es eine Konstnte K >, so dss ϕ(h) K h für lle hinreichend kleinen h. Wegen ψ(η) o( η ) gilt ψ(η) η ψ 1 (η) mit lim η ψ 1 (η). Dmit ergibt sich ψ(ah + ϕ(h)) ( A + K) h ψ 1 (Ah + ϕ(h)), lso ψ(ah + ϕ(h)) lim. h h Beweis. [Beweis von Stz 9.19] Sei g : ( δ, δ) G definiert durch g(t) : x+tv und h : f g : ( δ, δ) R. Nch Definition der Richtungsbleitung ist Aus der Kettenregel folgt d dt lso d dth() v, grd f(x). v f(x) d dt f(x + tv) t d dt h(). h(t) Df(g(t)) }{{} 1 n Dg(t) }{{} n 1 v, grd f(g(t)),. v f m (x) n j1. f m (x) f x j (g(t)) } {{ } (grd f) j dg j dt (t) }{{} v j 9.42 Bemerkung. Für stetig differenzierbres f : G R m ist die Richtungsbleitung somit gegebn durch v f 1 (x) f 1 (x) v f(x) v Df(x) v, wobei ds Produkt ds Mtrix-Vektor Produkt ist Korollr. Sei G ein Gebiet, f : G R m stetig prtiell differenzierbr und Df(x) für lle x G. Dnn ist f uf G konstnt. Beweis. Sei x G und und h R n so dss x + th G für lle t [, 1]. Dnn gilt für f : R n R nch dem Mittelwertstz, ngewndt uf die Funktion g(t) f(x + th) ein θ gibt sodss f(x + th) f(x ) + f(x + θh) h f(x ). Somit folgt die Aussge für konvexe Bereiche. D Gebiete wegzusmmenhängend sind und lle Wege durch Polygonzüge pproximiert werden können, lässt sich sie Aussge unmittelbr uf Gebiete verllgemeinern. Die Verllgemeinerung uf Verktor-wertige Funktionen f ist offensichtlich Beispiel. Der Lplceopertor in Polrkoordinten Die Abbildung f : (, ) R R 2 \ {}, (r, ϕ) f(r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) : (x(r, ϕ), y(r, ϕ)) versieht den R 2 \ {} mit Polrkoordinten. Eingeschränkt z.b. uf (, ) [ π, π) ist f sogr bijektiv. Sei G R 2 ein Gebiet und u C 2 (G, R), dnn drückt mn u in Polrkoordinten us, indem mn u f betrchtet, lso u ls Funktion von (r, ϕ) schreibt. Genuso ist u in Polrkoordinten durch ( u) f gegeben. Ziel ist es nun, ( u) f durch Differentition n u f usdrücken. Und ttsächlich gilt ( u) f 2 (u f) r (u f) r 2 ϕ r (u f) r. (9.2) 11

16 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit Beweis. Nchrechnen mit Kettenregel (Übungsufgbe). Aber wie kommt mn uf den Ausdruck (9.2)? Dzu betrchten wir zunächst ds Differentil von u in Polrkoordinten. Mit der Kettenregel gilt D(u f) Du f Df, lso Du f D(u f) (Df) 1, (9.3) wobei (Df) 1 in unserem Beispiel leicht berechnet werden knn: ( x ) x 1 ( (Df) 1 r (r, ϕ) ϕ (r, ϕ) cos ϕ r sin ϕ y y r (r, ϕ) ϕ (r, ϕ) sin ϕ r cos ϕ 1 ( ) ( ) r cos ϕ r sin ϕ cos ϕ sin ϕ. r sin ϕ cos ϕ Wir hben lso in (9.3) eine llgemeine Formel für ds Differentil Du von u usgedrückt in Koordinten geben durch f. Dbei benötigen wir nur die Invertierbrkeit von Df. In unserem Beispiel ergibt sich ( ) ( ) (u f) (u f) cos ϕ sin ϕ Du f, r ϕ sin ϕ cos ϕ r r ( (u f) cos ϕ sin ϕ (u f) f), sin ϕ (u + cos ϕ ) (u f) r r ϕ r r ϕ ( : cos ϕ u u, sin ϕ u u ) grd u f, (9.4) r sin ϕ r ϕ }{{} u x f sin ϕ r r + cos ϕ r ϕ }{{} u y f wobei hier die Komponenten bezüglich der knonischen Bsis des R 2 stehen und grd u ls Zeilenvektor ufgefsst wird. Im letzten Schritt und im Folgenden unterdrücken wir mnchml f, d.h. n Stelle von (u f)(r, ϕ) schreiben wir einfch u(r, ϕ) und entsprechend r u(r, ϕ) sttt r (u f)(r, ϕ). In dieser verkürzten Nottion können wir nun uch u f berechnen: und nlog 2 x 2 u 2 y 2 u ( cos ϕ r sin ϕ r cos 2 ϕ 2 u cos ϕ sin ϕ + r2 r 2 cos ϕ sin ϕ 2 u r ( sin ϕ r + cos ϕ r ) 2 ( u ϕ u ϕ r ϕ + sin2 ϕ r cos ϕ r sin ϕ r cos ϕ sin ϕ r u r ) 2 ( u ϕ + cos ϕ sin ϕ r 2 sin ϕ r + cos ϕ r ϕ cos ϕ r ) ( cos ϕ u 2 u r ϕ u ϕ + sin2 ϕ 2 u r 2 ϕ 2 ϕ ) ( sin ϕ u sin 2 ϕ 2 u cos ϕ sin ϕ u cos ϕ sin ϕ 2 u r2 r 2 + ϕ r r ϕ cos ϕ sin ϕ 2 u + r r ϕ + cos2 ϕ u cos ϕ sin ϕ u r r r 2 ϕ + cos2 ϕ 2 u r 2 ϕ 2. ) 1 r sin ϕ ) u r ϕ r + cos ϕ ) u r ϕ 12

17 Addiert mn die beiden Ausdrücke, so ergibt sich (9.2). Nochmls zurück zu (9.4): Die Mtrix Du f ist die Linerisierung der Abbildung u : R 2 R im Punkte f(r, ϕ) bez glich der knonischen Bsis des R 2. Mn knn nun ber uch noch versuchen, die linere Abbildung Du f bezüglich einer den Koordinten ngepssten Bsis drzustellen, nämlich bezüglich der us der Physik beknnten Bsisvektoren e r und e ϕ. Um diese vernünftig zu definieren, schränken wir zunächst f uf (, ) ( π, π) ein und erhlten so einen Diffeomorphismus f : G : (, ) ( π, π) R 2 \ {(x, ) : x } : D Seine Umkehrung ist gegeben durch g : D G, g(x, y) (r(x, y), ϕ(x, y)) mit r(x, y) x 2 + y 2 und rctn(x/y) für x >, y > ϕ(x, y) π/2 für x, y >. Wir werden später zeigen, dss die Invertierbrkeit von Df gnz llgemein die lokle Invertierbrkeit von f impliziert. Die Zeilenvektoren von Dg bilden nun eine Bsis des R 2 und stehen senkrecht uf den jeweiligen Koordintenlinien, d sie j gerde durch den Grdienten der Koordintenfunktionen gegeben sind, ( r ) r ( ) x y grd r Dg. grd ϕ ϕ x ϕ y Um nun Dg uszurechnen, differenziert mn nicht etw g (ws bei komplizierten f s oft gr nicht explizit geht), sondern verwendet nochmls die Kettenregel. Weil g f id ist, ist nch der Kettenregel Dg(f(r, ϕ)) Df(r, ϕ) D(id)(r, ϕ) E, wobei E wie immer die Einheitsmtrix bezeichnet. Also ist Dg f (Df) 1, ws wir für unser Beispiel oben schon berechnet hben. Der Bsiswechsel von der neuen Bsis in die knonische ist durch (Dg) T ((Df) 1 ) T gegeben. Multipliktion von (9.4) durch ((Df) 1 ) T von rechts (nur im Urbildrum wird die Bsis gewechselt) liefert ds Differentil Du ls Mtrix bezüglich der durch f beschriebenen Bsisvektoren (Du f)(dg f) T D(u f) (Df) 1 ((Df) 1 ) T. Im Beispiel der Polrkoordinten ergibt sich ( grd u cos ϕ u r sin ϕ u, sin ϕ u r ϕ r + cos ϕ ) ( ) u cos ϕ sin ϕ r r ϕ sin ϕ cos ϕ r ( u r, 1 ) u r 2, ϕ lso grd u r u grd r + r 2 ϕ u grdϕ, bzw. nch Normierung mit e r grd r und e ϕ r 1 grdϕ grd u u r e r + 1 u r ϕ e ϕ. 13

18 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit 9.1 Tylor Formel und lokle Extrem Wir hben gezeigt, dss für eine zweiml stetig differenzierbre Funktion f : R R die Tylor Entwicklung f(x + h) f(x) + f (x) h f (x) h 2 + o( h 2 ). Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung Fehler höherer konst. liner qudrtisch Ordnung eine lokle qudrtische Approximtion n die Funktion f liefert. Für Funktionen f : R n R ist die erste Ableitung Df(x) grdf(x) T ein Zeilenvektor und die zweite Ableitung Hessf(x) eine Mtrix. Die nheliegende Verllgemeinerung der Tylorschen Formel für solche f ist lso f(x + h) f(x) + n j1 f x j (x)h j n i,j1 f x i x j (x)h i h j + o( h 2 ) f(x) + grdf(x), h h, Hessf(x)h + o( h 2 ) Nottion. Multiindices und iterierte Richtungsbleitung Um die höheren Terme der Tylor-Entwicklung günstig zu notieren, führt mn folgende Schreibweisen ein: () Multiindices: Für α N n, α (α 1,..., α n ), sei α α α n α! α 1! α n! n j1 n α j!, für eine α -ml stetig prtiell differenzierbre Funktion f : G R sei und schließlich für x (x 1,..., x n ) R n α f : α 1 1 αn n f x α x α 1 1 xαn n j1 α j α f α, 1 x 1 x αn n n j1 x α j j. (b) Iterierte Richtungsbleitung: Für f C k (G) und h R n sei n (h ) k f(x) : h k f(x) : j 1 1 n h j1 h jk j1 jk f(x). j k Lemm. Sei G R n ein Gebiet, f : G R eine k-ml stetig prtiell differenzierbre Funktion, x G und h R n derrt, dss die gerdlinige Verbindung von x nch x + h gnz in G verläuft, lso {x + ht t [, 1]} G. Dnn ist die Funktion ϕ : [, 1] R, ϕ(t) f(x + th) uch k-ml stetig differenzierbr und es gilt d k ϕ dt k (t) ( (h ) k f ) (x + th) α k k! α! α f(x + th) h α. 14

19 9.1 Tylor Formel und lokle Extrem 9.47 Bemerkung. () Die Nottion α k bedeutet, dss sich die Summe über lle n-tupel α Nn ( ) n 1 + k erstreckt, für die α k ist. Dvon gibt es Stück. k (b) Ist α (α 1,..., α n ) mit k α α α n, so gibt es k! α! Möglichkeiten, eine k-elementige Menge M in n disjunkte Teilmengen S 1,..., S n zu zerlegen, M S 1 S n, so dss S i gerde α i Elemente ht (i 1,..., n). Oder nders formuliert: es gibt k! α! Möglichkeiten k verschiedene Kugeln uf n Urnen S 1,..., S n zu verteilen, ( sodss ) in der j-ten Urne genu α j Kugeln liegen.für n 2 ist beispielsweise k! α 1!α 2! k! k α 1 (k α 1 )!. α 1 Beweis. von Lemm Nch der Kettenregel ist Nochmls die Kettenregel liefert d n ϕ(t) Df(x + th) h dt j1 f x j (x + th) h j. d 2 dt 2 ϕ(t) n i,j 2 f x i x j (x + th)h j h i n i 1,i 2 1 i1 i2 f(x + th)h i1 h i2, und k-mlige Anwendung schließlich d k dt k ϕ(t) n i 1,...,i k 1 i1 ik f(x + th)h i1... h ik ( (h ) k f ) (x + th). D die Reihenfolge der Differentitionen ber gemäß Stz 9.24 keine Rolle spielt, fssen wir Terme, in denen α 1 -ml nch der ersten Koordinte, α 2 -ml nch der zweiten Koordinte etc. bgeleitet wird, zusmmen. k! Es gibt nun nch Bemerkung 9.47 gerde α 1! α n! solche k-tupel (i 1,..., i k ) in denen α 1 -ml der Wert 1, α 2 -ml der Wert 2,..., und α n -ml der Wert n vorkommt. Durch Zusmmenfssen der Summnden ergibt sich lso d k ϕ dt k (t) α k k! α! α f(x + th) h α Stz. Stz von Tylor Sei G R n ein Gebiet und f : G R eine (k + 1)-ml stetig prtiell differenzierbre Funktion. Sei x G und h R n derrt, dss die Strecke [x, x+h] : {x+th t [, 1]} gnz in G liegt. Dnn gibt es ein θ [, 1] so, dss f(x + h) ( k (h ) m f ) ( (x) (h ) k+1 f ) (x + θh) + m! (k + 1)! m k m α m α f α! (x) hα + α k+1 α f α! (x + θh) hα Bemerkung. Mn nennt P (k) f,x (h) : α k α f(x) h α α! ds Tylorpolynom vom Grd k von f in x. Schreiben wir P (k) f,x (h) : P (h) + P 1 (h) + + P k (h), 15

20 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit so ist P (h) f(x) P 1 (h) 1 f(x) h n f(x) h n grdf(x), h P 2 (h) 1 α α 1 +α 2 2 1!α 2! α 1 1 α 2 2 f(x) hα 1 1 hα n 2 f (x) h i h j 1 h, Hessf(x) h. 2 x i x j 2 i,j1 Für Funktionen f : G R m erhält mn so eine Tylorentwicklung für jede Komponente f j, j 1..., m. Beweis. von Stz Betrchte die Kurve γ : [, 1] G, γ(t) x + th, und setze ϕ : [, 1] R, ϕ(t) f γ(t). Dnn ist ϕ eine (k + 1)-ml stetig differenzierbre Funktion, lso existiert nch der Tylor- Formel für Funktionen in einer Veränderlichen ein θ [, 1], so dss gilt Nch Lemm 9.46 erhält mn f(x + h) ϕ(1) ϕ(1) k m ϕ (m) () m! + ϕ(k+1) (θ) (k + 1)! ( k (h ) m f ) ( (x) (h ) k+1 f ) (x + θh) + m! (k + 1)! m k m α m }{{} α k α f(x) α! h α +. α k+1 α f(x + θh) α! h α. 9.5 Korollr. Sei G R n ein Gebiet und f C k (G, R). Dnn gilt für jedes x G und δ > mit B δ (x) G, dss für h B δ () f(x + h) P (k) f,x (h) + o( h k ). Beweis. Nch Tylors Stz gibt es für jedes h B δ () ein θ θ(h) [, 1], so dss f(x + h) α f(x) h α + α f(x + θh) h α. α! α! Wir setzen ϕ : B δ () R ls Wegen der Stetigkeit von α f ist und deshlb gilt für h, denn hα h k mit ϕ(h) o( h k ). α k 1 ϕ(h) : lim h α k ( α f(x + θh) α! α k ) α f(x) h α α! 1 α! ( α f(x + θh) α f(x)) 1 α! ( α f(x + θh) α f(x)) h α h k 1 α! ( α f(x + θh) α f(x)) hα h k h 1 α 1 h n αn h α 1 h αn 1. Also ist f(x + h) α k α f(x) α! h α + ϕ(h) 16

21 9.1 Tylor Formel und lokle Extrem 9.51 Bemerkung. () Für k erhält mn die Aussge, dss eine stetige Funktion stetig in x ist, denn f(x + h) α f (x) + o( h ) f(x) + o(1), α! lso lim h f(x + h) f(x). α (b) Für k 1 erhält mn die Aussge, dss eine stetig differenzierbre Funktion in x stetig differenzierbr ist, denn f(x + h) α 1 α f n α! (x) + o( h ) f(x) + f (x) h i + o( h ) f(x) + Df(x)h + o( h ). x i i1 (c) Aber für k 2 erhält mn nun die sehr nützliche Aussge, dss eine 2-ml stetig differenzierbre Funktion die folgende Drstellung erlubt: f(x + h) α 2 α f(x) α! 9.52 Definition. Lokle Extrem h α + o( h 2 ) f(x) + grdf(x), h h, Hessf(x)h + o( h 2 ). Sei G R n ein Gebiet und x G. Mn sgt, dss eine Funktion f : G R in x ein lokles Mximum ht, wenn es ein δ > gibt, so dss für lle y B δ (x) gilt f(y) f(x). Ist f(y) f(x) für lle y B δ (x), so spricht mn von einem loklen Minimum. Ht f in x ein lokles Mximum oder Minimum, so spricht mn von einem loklen Extremum 9.53 Proposition. Sei f : G R, x G und f hbe in x ein lokles Extremum. Flls f in x prtiell differenzierbr ist, so gilt grdf(x). Beweis. Definiert mn für δ > klein genug die Funktionen h i : ( δ, δ) R durch so ist h i (t) f(x + te i ), d dt h i() f x i (x). Mit f ht ber uch h i in ein lokles Extremum, lso gilt d dt h i() für i 1,..., n. Somit ist uch grdf(x). Wie im eindimensionlen Fll ist f(x) nur ein notwendiges, ber kein hinreichendes Kriterium für ds Vorliegen eines loklen Extremums. Die Lösungen der Gleichung f(x) liefern somit die Kndidten für die loklen Extrem. Um ein hinreichendes Kriterium zu finden, betrchtet mn wie im Fll von f : R R die zweite Ableitung. Sei f : R n R. Dnn ist, wie oben schon erwähnt, die zweite Ableitung von f in Richtung v gegeben durch d 2 dt 2 t f(x + tv) v, Hessf(x)v. Flls nun f(x), dnn knn somit grntiert werden, dss f(x) ein lokles Minimum ist, flls für lle v R n gilt dss v, Hessf(x)v > γ v 2, für ein γ >. Dies ist grntiert flls lle Eigenwerte von Hessf(x) positiv sind. Wir werden sehen, dss symmetrische Mtrizen immer rein reelle Eigenwerte besitzt und diese für Digonlmtrizen direkt von Einträgen bgelesen werden können. Deshlb ist offensichtlich, dss f(x, y) x 2 + y 2 den Ursprung ls lokles Mimimum ht, wogegen dies bei g(x, y) x 2 y 2 nicht der Fll ist. Um llgemeinere Probleme behndeln zu können werden wir zwei Kpitel der lineren Algebr einschieben. 17

22 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit 9.54 Definition. Eine reelle Mtrix A M(n, R) () ist positiv definit definit, wenn lle Eigenwerte positiv sind. (b) negtiv definit flls lle Eigenwerte negtiv sind. (c) indefinit wenn es sowohl positive ls uch negtive Eigenwerte gibt. Ds heisst flls eine Mtrix -Eigenwerte ht, dnn fällt sie in keine der obigen Kthegorien Bemerkung. Mn nennt die Nullstellen von grdf uch die kritischen Punkte von f Korollr. Eine reelle symmetrische n n-mtrix A ( ij ) ist (i) positiv definit, wenn für lle x R n \ {} gilt, dss x, A x R n n i,j1 ij x i x j >. (ii) negtiv definit, wenn für lle x R n \ {} gilt, dss x, A x R n <. (iii) indefinit, wenn es x, y R n gibt mit x, A x > und y, A y <. Beweis. Beweis: Übung Stz. Sei G R n ein Gebiet und f C 2 (G, R). Sei x G eine Nullstelle von grdf, lso grdf(x). () Ist Hessf(x) positiv definit, so ht f in x ein lokles Minimum. (b) Ist Hessf(x) negtiv definit, so ht f in x ein lokles Mximum. (c) Ist Hessf(x) indefinit, so ht f in x kein lokles Extremum, lso x ist ein Sttelpunkt Lemm. Sei A Sym n positiv definit und λ > der kleinste Eigenwert von A. Dnn gilt für lle x R n, dss x, A x λ x 2. Beweis. Stelle x in einer Orthonormlbsis us Eigenvektoren dr. Beweis. von Stz () Sei δ > so klein, dss B δ (x) G ist. Nch Korollr 9.5 gilt dnn für h B δ () f(x + h) f(x) h, Hessf(x)h + ϕ(h) mit ϕ(h) o( h 2 ). Wähle nun < δ < δ so klein, dss ϕ(h) λ 4 h 2 für lle h B δ () gilt, wobei λ > der kleinste Eigenwert von Hessf(x) sei. Dnn ist für lle h B δ () \ {} f(x + h) f(x) h, Hessf(x)h + ϕ(h) f(x) + λ 2 h 2 λ 4 h 2 f(x) + λ 2 h 2 > f(x). Also ist f(x) ein striktes lokles Minimum. (b) Ist Hessf(x) negtiv definit, so ist Hess( f)(x) Hessf(x) positiv definit. Also ht f ein lokles Minimum und somit f ein lokles Mximum. (c) Lut Vorrussetzung gibt es mindestens einen normierten Eigenvektor h 1 von Hess f(x) zu positiven Eigenwert λ 1 > und einen normierten Vektor h 2 zu negtiven Eigenwert λ 2 <. Dnn sieht mn zum Beispiel, dss f(x + th 2 ) f(x) th 2, Hessf(x) th 2 + ϕ(th) f(x) + λ 2 /2t 2 + o(t 2 ) gilt und somit f(x + th 2 ) < f(x) in kleiner Umgebung. Umgekehrt folgt, dss in Richtung h 1 die Funktion f(x + th 1 ) ein lokles Minimum besitzt ls Funktion von t. Dmit ist x ein Sttelpunkt. lso f(x + th) f(x) + α 4 t2 > f(x) für < t < δ und δ klein genug. Also gibt es in jeder Umgebung von x einen Punkt y x + th, sodss f(y) > f(x) ist. Ds gleiche Argument für h mit α h, Hessf(x) h < zeigt, dss in jeder Umgebung von x uch ein Punkt ỹ mit f(ỹ) < f(x) liegt. Also ht f in x kein lokles Extremum. 18

23 9.2 Implizite Funktionen 9.59 Beispiel. Minimum und Sttel () Sei f : R 2 R, (x, y) x 2 + y 2 + c. Dnn ist grdf(x, y) (2x, 2y), lso grd f(x, y) (x, y) (, ). Weiterhin ist ( ) 2 Hessf(x) Hessf(, ) 2 positiv definit. Somit ht f bei (, ) ein striktes lokles Minimum. (b) Die Funktion f : R 2 R, (x, y) x 2 y 2 + c erfüllt grdf(, ) (, ) und ( ) 2 Hessf(, ). 2 Also ht f in (, ) kein lokles Extremum. 9.6 Bemerkung. Ist Hessf(x) nur positiv semidefinit, gilt lso nur h, Hessf(x)h für lle h R n \{} und grdf(x), so knn mn noch nicht entscheiden, ob in x ein lokles Minimum vorliegt. Beispiele: (i) f : R 2 R, (x, y) x 2 + y 4 ht lokles Minimum bei (, ) (ii) f : R 2 R, (x, y) x 2 + y 3 ht kein lokles Minimum bei (, ) (iii) f : R 2 R, (x, y) x 2 ht lokles entrtetes Minimum bei (, ). Wegen Stz 9.57 (c) ist ber die Semidefinitheit ein notwendiges Kriterium für ds Vorliegen eines Extremums. 9.2 Implizite Funktionen Eine Funktion g : R R ist nicht immer explizit in der Form y g(x) gegeben, sondern häufig nur implizit durch eine Gleichung der Form F (x, g(x)). Hierbei wäre F : R 2 R, (x, y) F (x, y) eine explizit gegebene Funktion. Mn möchte dnn die implizite Gleichung F (x, y) explizit mchen, d.h. nch y uflösen und in der Form y g(x) schreiben Beispiel. Betrchte F : R 2 R, (x, y) x 2 + y 2 1. Dnn ist C {(x, y) R 2 F (x, y) } die Einheitskreislinie in R 2. C ist ber nicht der Grph einer Funktion g : R R, denn (i) Für x R mit x > 1 gibt es kein y R mit (x, y) C. (ii) Für x R mit x < 1 gibt es gleich zwei y R mit (x, y) C, nämlich y ± 1 x 2. Gibt mn llerdings (, b) C mit b vor, so knn mn F (x, y) lokl um (, b) nch y uflösen, d.h. es gibt eine Umgebung U 1 R von und eine Umgebung U 2 von b und eine Funktion g : U 1 U 2 so, dss für lle (x, y) U 1 U 2 gilt F (x, y) y g(x). 19

24 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit Ist etw b >, so wähle ε > klein genug, U 1 ( ε, + ε), U 2 (b ε, b + ε) und g(x) + 1 x 2. Aber: Für b knn mn in keiner Umgebung von (1, ) oder ( 1, ) nch y uflösen, wohl ber nch x, durch x ± 1 y 2. Die Punkte (±1, ) C sind ber genu die Punkte, wo F y 2y verschwindet, d.h. die Tngente n C vertikl ist. Der folgende Stz über implizite Funktionen gibt eine hinreichende Bedingung dfür n, dss mn eine implizite Gleichung F (x, y) lokl um einen Punkt (, b) mit F (, b) in der Form y g(x) explizit mchen knn Stz. Stz über implizite Funktionen Sei G R n+m R n x R m y ein Gebiet und F : G R m eine stetig prtiell differenzierbre Funktion. Sei (, b) G derrt, dss F (, b) ist und F 1 F y F 1 1 y m (, b) :. y.... (, b) F m y 1 invertierbr ist. Dnn existieren offene Umgebungen U 1 R n von und U 2 R m von b mit U 1 U 2 G und eine stetig prtiell differenzierbre Funktion g : U 1 U 2, sodss für lle (x, y) U 1 U 2 gilt: F (x, y) y g(x). Ds Differentil von g ist Dg(x) [ y F (x, g(x))] 1 x F (x, g(x)). ) 9.63 Bemerkung. Die Bedingung det( F y (, b) ist gleichbedeutend dmit, dss keine Richtungsbleitung von F in y-richtung verschwindet, lso v F y (, b) für lle v Rm \ {}. Ddurch wird sichergestellt, dss es eine Umgebung U 2 von b gibt, so dss für y U 2 F m y m F (, y) y b Bemerkung. Die Methode, um den Hupstz zu beweisen, ist ds Newton-Verfhren zum Auffinden von Nullstellen. Die idee ist, dss mn von einem Strtpunkt x strtet und flls f (x ) ist, dnn definiert mn x 1 durch den Schnittpunkt der Tngente n x mit der x-achse, lso x 1 x f(x )/f (x ), und llgemeiner x n+1 x n f(x n )/f (x n ). Besitzt f nun uf dem Intervll B r (x ) eine stetige Ableitung dritter Ordnung und die erste Ableitung verschwinde in keinem Punkt von B r. Gebe es weiters eine Konstnte q < 1 sodss f(x)f (x) sup x B r f (x) 2 q, Besitzt die Gleichung f(x) genu eine Lösung in B r (x ). f(x ) f (1 q)r, (x ) 2

25 9.2 Implizite Funktionen Beweis. Mn wendet den Bnch schen Fixpunktstz uf g(x) x f(x)/f (x) n. Dies ist m glich, weil g(x) g(y) sup ξ B r g (ξ) x y und g (x) f(x)f (x) / f (x) 2 q ist, lso eine Kontrktionskonstte q besitzt und mit g(x) x g(x) g(x ) + g(x ) x q x x + f(x ) f qr + (1 q)r r (x ) Also g : Br (x ) B r (x ) eine Selbstbbildung und Kontrktion, somit gibt es genu einen Fixpunkt g(x) x f(x) in B r Bemerkung. Mit etws stärkeren Vorrussetzungen knn mn uch etws nders vorgehen. Sei beispielsweise 1 f (x)/f (x ) 1/2 uf B δ (x ). Sei weiters f(x )/f (x ) δ/2, dnn knn mn eine Nullstelle in B δ (x ) uch mittels der etws vereinfchten Funktion ϕ(x) x f(x)/f (x ) finden. Diese Vorgehensweise ist für den Huptstz über implizite Funktionen usreichend, weil wir nämtlich bei der Gleichung F (x, y), einen zweiten Prmeter x hben, dessen Intervll wir so npssen kïnnen, dss die Vorrussetzungen erfülkt werden können. Beweis. von Stz Wir zerlegen den Beweis in die folgenden drei Schritte: () Wir werden zunächst für U 1, U 2 klein genug mit Hilfe des Bnchschen Fixpunktstzes zeigen, dss g : U 1 U 2 mit F (x, g(x)) existiert und eindeutig bestimmt ist. (b) Wiederum mit dem Bnchschem Fixpunktstz zeigen wir dnn die Stetigkeit von g. (c) Die stetige Differenzierbrkeit von g folgt dnn us der stetigen Differenzierbrkeit von F. Zu (): Betrchte die Funktion Φ : G R m gegeben durch wobei B F y (, b). Dnn gilt Φ(x, y) y B 1 F (x, y) F (x, y) B 1 F (x, y) y B 1 F (x, y) y Φ(x, y) y. Also ist F (x, y), genu dnn wenn y ein Fixpunkt der Abbildung y Φ(x, y) ist. Weil y Φ(, b) E m B 1 y F (, b) E m B 1 B ist, ist y Φ(x, y) 1 2 in einer hinreichend kleinen Umgebung von (, b), die wiederum ds Produkt zweier bgeschlossener Kugeln B r1 () B r2 (b) enthält. Wir präsentieren der Einfchheit hlber den weiteren Beweis für n 2, und m 1. Also F : R R R. Wir betrchten nun die Abbildung y φ(x, y) ϕ x (y) y B 1 F (x, y). (9.5) Der Mittelwertsstz impliziert dnn, dss für (x, y) und (x, y ) in dieser Umgebung ϕ x (y) ϕ x (y ) Φ(x, y) Φ(x, y ) gilt. Drus folgt nun wieder, dss sup (x,y) B r1 B r2 y Φ(x, y) y y 1 2 y y (9.6) Φ(x, ) ϕ x ( ) : B r2 (b) B r2 (b) für jedes feste x in einer geeigneten Kugel B r3 () B r1 () eine Kontrktion ist: für y B r2 () ist ϕ x (y) b ϕ x (y) ϕ x (b) + ϕ x (b) b 1 2 y b r 2 r 2, wenn mn B r3 () so klein wählt, dss ϕ x (b) b r 2 /2 is für x B r3 (). Letzteres ist wegen Φ(, b) und der Stetigkeit von Φ immer möglich. Nch dem Bnchschen Fixpunktstz ht Φ(x, ) genu einen 21

26 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit Fixpunkt, den wir g(x) nennen. Also gibt es zu jedem x B r3 genu ein y g(x) B r2, sodss F (x, y) ist. Insbesondere ist g(). Wir fühen die Anwendung des Bnch schen Fixpunktstzes explizit us: Sei g n (x) ϕ x... ϕ x (b) ϕ n x(b), oder g n (x) ϕ x (g n 1 (x)), dnn ist jetzt mittels (9.6) leicht zu sehen, dss g n (x) g m (x) g n (x) g n 1 (x) g m+1 (x) g m (x) 1 2 m 1 ϕ x(b) b 1 2 m 1 r 2, (9.7) und somit g n (x) Cuchyfolge. Dmit existiert ein Limes g(x) mit g n (x) n g(x), und g(x) lim g n (x) lim ϕ x (g n (x)) ϕ x (g(x)), ufgrund der Stetigkeit von ϕ x (y), ws eine Folgerung us der Stetigkeit von F (x, y) ist. Dmit gilt somit F (x, g(x)). Zu (b): Wir hben in (9.7) sogr gezeigt, dss g n gleichmässig gegen g(x) geht, d der Fehlerterm nicht von x bh ngt, dmit folgt us dem letzten Semester dss g(x) stetig ist. Dies sieht mn explizit ufgrund von g(x) g(y) g(x) g n (x) + g n (x) g n (y) + g n (y) g(y), und der Ttsche, dss g n (x) stetig ist und dmit gleichmäßig stetig uf B r3 ()), dmit gibt es für beliebiges ε, ein n sodss g(z) g n (z) ε 3, und ein δ, so dss g n(x) g n (y) ε 3, wenn x y δ. Zu (c): D F stetig differenzierbr ist, gilt mit dem Mittelwertstz F (x, g(x)) F (x, g(x )) F (x, g(x)) F (x, g(x)) + F (x, g(x)) F (x, g(x )) x F ( x j, g(x)) (x x ) + y F j (x, ỹ j ) (g(x) g(x )) für geeignete Zwischenstellen x j, x. Also ist g(x) g(x ) x x y F j (x, g( x)) 1 x F ( x j, g(x)), und die rechte Seite ist stetig für x x ws schließlich die Existenz und Stetigkeit der prtiellen Ableitungen von g zeigt Beispiel. Sei G R n ein Gebiet und f : G R stetig differenzierbr. Wir betrchten die Niveufläche N c {x R n f(x) c} zu c R von f. Ist nun grd(f)() für N c, so behupten wir, dss N c bei lokl ussieht wie f der Grph einer stetig differenzierbren Funktion g in (n 1) Veränderlichen. Sei z.b. x n () und x (x 1,..., x n 1 ) und y x n. Dnn ist x N c f( x, y) c }{{} :F ( x,y) und F y (ā, n) f (ā, n ). x n 22

27 9.2 Implizite Funktionen Nch dem Stz über implizite Funktionen existiert eine Umgebung U U n von und eine C 1 Funktion g : U U n mit F (x, y) g( x) y. Somit ist N c (U U n ) Grph(g) (U U n ). An den kritischen Punkten von f, lso dort wo grdf ist, gilt ds nicht: z.b. ist bei strikten loklen Extrem N c ein einzelner Punkt und bei einem Sttelpunkt ht N c eine Selbstdurchschneidung. striktes Extremum Sttelpunkt Wir kommen nun zu der Frge nch der loklen Umkehrbrkeit einer stetig differenzierbren Funktion f : R n G D R n. Insbesondere ist es oft wichtig, z.b. bei Koordintiontrnsformtionen, dss uch g f 1 : D G wieder stetig differenzierbr ist Definition. Diffeomorphismus Seien G, D R n Gebiete. Eine stetig differenzierbre Abbildung f : G D heißt Diffeomorphismus, wenn f bijektiv und f 1 : D G stetig differenzierbr ist Bemerkung. Ist f : G D ein Diffeomorphismus, so ist für jedes x G die Ableitung Df(x) invertierbr und es gilt mit g f 1, dss (Df(x)) 1 Dg(f(x)). Beweis. Wegen g f id liefert die Kettenregel E D(id) D(g f) Dg f Df Bemerkung. Nicht jede stetig differenzierbre Bijektion ht uch eine stetig differenzierbre Umkehrung: f : R R, x x 3, ist bijektiv, stetig differenzierbr, die Umkehrbbildung g : R R, y 3 y ist ber im Nullpunkt nicht differenzierbr. Bechte, dss die nch Bemerkung 9.68 notwendige Bedingung f für x nicht erfüllt ist, und somit f kein Diffeomorphismus sein knn. 9.7 Stz. Stz über die Umkehrbbildung Sei G R n ein Gebiet und f : G R n eine stetig differenzierbre Funktion. Ist nun G so, dss Df() M(n n, R) invertierbr ist, so existiert eine offene Umgebung U G von so, dss f U : U V mit V f(u) ein Diffeomorphismus ist. Beweis. Sei b : f(). Mn möchte die Gleichung y f(x) in einer Umgebung von (x, y) (, b) nch x uflösen, lso x g(y) schreiben. Dzu betrchtet mn die Abbildung F : G R n R n F (x, y) y f(x). Es ist F (, b) Df() x 23

28 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit nch Vorussetzung invertierbr. Deshlb liefert der Stz über impliziete Funktionen Umgebungen Ũ G von und V R n von b und ein stetig differenzierbres g : V Ũ, so dss für lle (x, y) Ũ V gilt F (x, y) x g(y). Setzt mn noch U : f 1 (V ) Ũ, so gilt für lle (x, y) U V f(x) y F (x, y) x g(y). Also ist f U : U V bijektiv, g f 1 und g stetig differenzierbr und somit f U ein Diffeomorphismus Beispiel. Kugelkoordinten Kugelkoordinten des R 3 sind gegeben durch Eingeschränkt uf f : (, ) R R R 3, (r, ϑ, ϕ) (r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ) G (, ) (, π) ( π, π) ist f injektiv und für die Funktionldeterminnte det(df) : G R gilt sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ det(df) sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ cos ϑ r sin ϑ r2 sin ϑ für lle (r, ϑ, ϕ) G. Deshlb ist f ein lokler Diffeomorphismus. D f bijektiv ist, ist es ber uch globl ein Diffeomorphismus uf sein Bild D : f(g) R 3. Häufig sucht mn Extrem von Funktionen f : R n G R unter einer Nebenbedingung, die mn durch h(x) für eine geeignete Funktion h : G R beschreiben knn. Beispielsweise sucht mn ds Mximum einer Funktion f : R 2 R uf der Einheitskreislinie in R 2, lso unter der Nebenbebedingung h(x) x Definition. Extrem unter Nebenbedingungen Sei G R n ein Gebiet und seien f, h : G R stetig differenzierbr. Sei M {x G h(x) } und M. Mn sgt, f hbe bei ein lokles Mximum (bzw. Minimum) unter Nebenbedingung h, wenn es eine offene Umgebung U G von gibt, sodss für lle x U M gilt f(x) f() (bzw. f(x) f()). Der Stz über implizite Funktionen liefert ein notwendiges Kriterium für ds Vorliegen lokler Extrem unter Nebenbedingungen Stz. Stz über Extrem unter Nebenbedingungen Seien f, h : G R stetig differenzierbr, G R n ein Gebiet und M {x G h(x) }. Es hbe f ein lokles Extremum unter der Nebenbedingung h in und es sei grdh(). Dnn gibt es ein λ R mit grdf() λ grdh(), 9.74 Bemerkung. Geometrische Bedeutung Der Grdient von h in steht senkrecht uf der Niveufläche M von h. Dmit f uf M ein lokles Extremum ht, müssen nur die Richtungsbleitungen v, f() von f tngentil n M verschwinden, lso v, f() flls v, h(), Mn bechte, d.h. der Grdient von f muss uf M senkrecht stehen. D M Kodimension 1 ht, folgt drus f() h(). 24

29 9.2 Implizite Funktionen dss Stz 9.73 ds Anlogon zu Proposition 9.53 für den Fll ohne Nebenbedingungen ist. Es ist grdf() λ grdh() eine notwendige, ber keine hinreichende Bedingung für ds Vorliegen eines loklen Extremums unter der Nebenbedingung h. Eine hinreichende Bedingung ist beispielsweise wieder, dss zusätzlich zu grdf() λ grdh() die Hessemtrix Hessf() eingeschränkt uf ds orthogonle Komplement des Aufspnns von h positiv bzw. negtiv definit ist. Beweis. von Stz D grd h() ist, ist wenigstens eine prtielle Ableitung von h in von Null verschieden, sgen wir h x n (). Sei ā : ( 1,..., n 1 ). Der Stz über implizite Funktionen liefert dnn Umgebungen V R n 1 von ā und I R von n mit V I G und ein stetig differenzierbres g : V I, so dss für lle ( x, x n ) V I gilt h( x, x n ) x n g( x). Ht nun f : G R ein lokles Extremum unter der Nebenbedingung h in M, so ht f( x, g( x)) : f ϕ( x) ein lokles Extremum in x (ohne Nebenbedingung). Hierbei ist ϕ : V M R n, ϕ( x) ( x, g( x)). Es ist lso grd(f ϕ) (ā). Für i 1,..., n 1 ergibt die Kettenregel (f ϕ) x i (ā) n j1 Andererseits gilt wegen (h ϕ)( x) x V, dss lso wegen h x n () Setzen wir nun so folgt zunächst für i n j f(ϕ(ā)) ϕ j x i (ā) i f() + n f() g x i (ā). (h ϕ) (ā) i h() + n h() g (ā), x i x i ( ) g h 1 h (ā) () () x i x n x i λ : f x n () h x n () R, f () λ h () x n x n ber dnn uch für i 1,..., n 1, wenn mn ( ) in ( ) einsetzt, dss lso grdf() λ grdh(). f () λ h (), x i x i 9.75 Beispiel. Sei f : K R, (x, y) y 2 x 2, uf der Kreisscheibe K : {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} definiert. D f stetig ist und K kompkt, nimmt f uf K sein Supremum c : supf(x, y) n. Wir wollen c und die Stellen (x, y) K wo f den Wert c nnimmt, berechnen. Dzu suchen wir zunächst lokle Extrem im Inneren und uf dem Rnd. ( ) (i) Innere Punkte: D grd f(x, y) ( 2x, 2y) (, ) für (x, y) (, ) und ( ) 2 Hess f(, ) 2 indefinit ist, ht f in K {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1} kein lokles Extremum. Die Extrem von f müssen lso uf dem Rnd M {(x, y) x 2 + y 2 1} liegen. ( ) 25

30 9 Mehrdimensionle Differenzierbrkeit (ii) Rndpunkte: Betrchte die Nebenbedingung h für h : R 2 R, (x, y) x 2 + y 2 1. Ein Mximum von f uf einem Rndpunkt M ist sicherlich uch ein Mximum von f unter der Nebenbedingung h. Es muss lso gelten, dss grd f() λ grd h() für ein λ R. Bechte, dss grdh(x, y) (2x, 2y) für (x, y) M. Wir erhlten somit die Gleichungen (I.) 2x λ(2x) (II.) 2y λ(2y) (III.) x 2 + y 2 1 Ist nun x, so folgt us I., dss λ 1 und dnn us II. und III., dss y und x ±1. Ist dgegen y, so folgt x und y ±1. Mn erhält lso die vier Kndidten {(1, ), (, 1), ( 1, ), (, 1)}. D f(±1, ) 1 und f(, ±1) +1 ist, gilt c +1 und ds Supremum wird genu in den Punkten (, 1) und (, 1) ngenommen Bemerkung. Mn leitet die Gleichungen I. - III. us Beispiel 9.75 oft folgendermßen b: sttt f fordert mn bei NB h, dss für ein λ R (f + λh) und eben h gelten. Mn nennt λ uch den Lgrngeschen Multipliktor. ( I. + II.) ( III.) 9.77 Beispiel. Wir geben nun einen lterntiven Beweis für die Ttsche, dss jede symmetrische Mtrix mindestens einen reellen Eigenwert ht. Sei dzu A M(n n, R) symmetrisch und f : R n R, x x, Ax, sowie h : R n R, x x, x 1. Die Fläche {h } ist die Einheitssphäre S n 1 im R n und ist kompkt. Dmit nimmt die stetige Funktion f uf S n 1 ihr Mximum und ihr Minimum n. Sei x ein Punkt n dem f uf S n 1 mximl wird. Dnn gilt nch Stz 9.73, dss f(x ) 2Ax λ h(x ) λ2x für ein λ R. Also ist λ Eigenwert zum Eigenvektor x Bemerkung. Mehrere Nebenbedingungen Liegen mehrere Nebenbedingungen h 1,..., h k vor, sucht mn lso ein Extremum von f uf der (n k)- dimensionlen Fläche {h 1 } {h k }, so ergibt sich die notwendigen Bedingung, dss Richtungsbleitungen v, f() von f die tngentil n lle Hyperflächen M j : {h j } liegen, verschwinden. Also v, f() flls v, h j () j 1,..., k. Dmit ist eine notwendige Bedingung für ds Vorliegen eines Extremums von f k j1 M j, dss f() spn{ h 1 (),..., h k ()}. ( ) Fsst mn (h 1,..., h k ) ls Vektor-wertige Funktion h : R n R k uf, so knn mn ( ) wie gehbt us (f + λ h) herleiten, wobei der Lgrngemultipliktor λ nun ein Vektor im R k ist. 26

31 1 Integrlrechnung 1.1 Motivtion. Ds Flächenproblem Sei f : [, b] R eine Funktion. Knn mn dem Gebiet {(x, y) R 2 x b und y f(x)} unter dem Grphen von f einen Flächeninhlt zuordnen? Idee: Approximiere llgemeine Funktionen durch sogennnte Riemnnsummen wobei die Zerlegung immer feiner wird. Wir werden sehen, dss für Funktionen, die nett genug sind, diese Summen konvergieren. Den Limes bezecihnen wir dnn ls b f(x)dx. A-priori unterscheiden wir über zwei Verschiedene Integrltypen, dem bestimmten Integrl, ds welches zum Berechnen von Flächen und Volumin verwendet wird. Und ds unbestimmte Integrl. Dbei hndelt es sich um die lgebrische Aufgbe eine Funktion F (x) zu finden, dessn Ableitung f ergibt. 1.2 Definition. Stmmfunktion Eine Funktion F : [, b] C heißt Stmmfunktion von f : [, b] C, wenn F differenzierbr ist und gilt. Wir schreiben dnn uch F (x) f(x)dx. F f Der Inhlt des Hupstzes der Differntil und Integrlrechnung wird dnn besgen, dss zwischen, den beiden Definitionen es ttsächlich einen Zusmmenhng gibt, nämlich dss der Flächeninhlt in der Tt durch die Stmmfunktion berechnet werden knn, vi b f(x)dx F (b) F (). 1.1 Unbestimmtes Integrl 1.3 Bemerkung. Mn sieht sofort, dss sich zwei verschiedene Stmmfunktionen von f um eine Konstnte unterscheiden. (Integrtionskonstnte). Im Folgenden wollen wir eine Gleichung der Gestlt f(x)dx F (x) verstehen ls F ist eine Stmmfunktion von f. Nch Definition der Stmmfunktion knn mn solche Behuptungen stets durch Differentition verifizieren, so entw n folgenden Beispielen: 1.4 Beispiele. Die folgenden durch Differentition zu beweisenden Aussgen gelten uf gnz R, flls nicht ndere Gültigkeitsintervlle ngegeben sind: 27

32 1 Integrlrechnung () Für α R \ { 1} (b) (c) x α dx xα+1 α + 1 uf R für α N, uf R R + für α { 2, 3, 4,..} und uf R + sonst. cos xdx sin x, cdx cx, sin xdx cos x, 1 dx ln x, x e x dx e x, cosh xdx sinh x, sinh xdx cosh x, (d) (e) (f) tnh xdx ln cosh x, 1 dx rctn x, 1 + x2 1 1 x 2 dx 1 2 ln 1 + x 1 x uf (, 1), ( 1, 1), und (1, ) 1 dx rcsinhx, 1 + x 2 1 dx rcsin x uf ( 1, 1), 1 x 2 (g) { 1 x 2 1 dx rcoshx uf (1, ) rcosh( x) uf (, 1). (h) tn xdx ln cos x uf ], ((2k 1) π 2, (2k + 1)π ) (k Z) Stz. Sei I R ein Intervll. Dnn gilt: () f 1, f 2,.., f n : I R möge dei Stmmfunktion F 1,..., F n besitzen, dnn ist α 1 F α n F n eine Stmmfunktion für αf α n f n. (b) f, g : I R, f hbe die stmmfunktion F, g sei differenzierbr und F g besitze eine Stmmfunktion. Dnn ht f g die Stmmfunktion fgdx F g F g dx Beweis. (b) (F G F g dx) (F g) F g fg. 1.6 Beispiele. () ln(x) dx 1 ln(x) dx x ln(x) x 1 x dx x ln(x) x. (b) xe x dx xe x e x dx xe x e x und nlog x 2 e x dx x 2 e x 2xe x dx (x 2 2x + 2)e x. Auf diese Weise knn für jedes Polynom p ds Integrl p(x)e x dx berechnet werden. 28

33 1.1 Unbestimmtes Integrl (c) Mnchml reproduziert sich der Integrnd nch mehrfcher prtieller Integrtion, f(x)g(x)dx h(x) + c f(x)g(x)dx. Flls c 1, so ist mn fertig, denn dnn ist fg 1 1 c h. Beispielsweise ist cos 2 x dx cos x cos x dx sin x cos x + sin x cos x + (1 cos 2 x) dx sin x cos x + x cos 2 x dx. sin x sin x dx Also gilt x cos 2 x dx 1 (sin x cos x + x) Stz. Substitutionsregel Es sei f : [, b] C stetig und g : [c, d] [, b] stetig differenzierbr, so dss g uf [c, d]. Sei Φ(t) die Stmmfunktion von f g(t)g (t). Dnn ist φ g 1 (x) die Stmmfunktion von f(x). Beweis. Sei Sei φ(t) die Stmmfunktion von f g(t)g (t). Dnn gilt nch der Kettenregel φ(g 1 (x)) φ (g 1 (x))g 1 (x) f(x)g (g 1 (x))g 1 (x) f(x)g(g 1 (x)) f(x). 1.8 Bemerkung. Am einfchsten merkt mn sich die Substitutionsregel folgendermssen. f(x)dx f(g(t))g (t)dt. tg 1 (x) Setzt mn x g(t), dnn bekommt mn forml die Beziehung dx g (t)dt zwischen den Differenzilen, lso forml f(x)dx f(g(t))g (t)dt. 1.9 Beispiel. Ein häufiger Spezilfll ist: g (t)) g(t) dt 1 dx ln x ln g(t). x Oder f(t + b)dt 1 f(t + b)g (t)dt 1 f(x)dx 1 F (t + b), wobei F (x) die Stmmfunktion von f(x) ist. 1.1 Bemerkung. Merkhilfe zur Substitutionsregel Eine gute Merkhilfe ist uch folgendes, f(g(x)) g (x) dx wobei F (x) eine Stmmfunktion von f(x) ist. d c f(g(x)) d(g(x)) F (g(x)) 29

34 1 Integrlrechnung Forml hilft sie einem ber schon jetzt bei der Anwendung der Substitutionsregel. Beispielsweise ist f(ln x) dx f(ln x) d(ln x) F (ln x) x oder oder x 3 (x 4 + 1) 2 dx f (sin x) cos x dx 1 d(x 4 ) (x 4 + 1) f(sin x) d(sin x) F (sin x) 1 (y + 1) 2 dy yx x Sind p, q reelle Polynome mit p(x) in [, b], so lässt sich die Stmmfunktion q(x) p(x) dx explizit ngeben. Ds Verfhren beruht uf der sogennnten Prtilbruchzerlegung, d.h. der Zerlegung der rtionlen Funktion in eine Summe einfcher Busteine, die explizit integriert werden können Stz. Komplexe Prtilbruchzerlegung Es seien q, p Polynome und es hbe p den Grd n und die Nullstellen {z 1,..., z k } mit Vielfchkeiten {l 1,..., l k }, lso p(z) n k j1 (z z j) l j (Fundmentlstz der Algebr). Dnn gibt es eindeutig bestimmte Zhlen A ij C und ein Polynom h(z) mit q(z) k p(z) h(z) + h(z) + + l j j1 m1 A jm (z z j ) m A 11 (z z 1 ) + A 12 (z z 1 ) A 1l 1 (z z 1 ) l 1 + A k1 (z z k ) + + A kl k (z z k ) l k. Beweis. Ds Polynom h ergibt sich eindeutig us Polynomdivision mit Rest, q h p + r, lso q(z) r(z) h(z) + p(z) p(z) mit Grd r < Grd p. Es reicht lso q p mit Grd q < Grd p zu betrchten. Induktion nch n Grd p liefert für n 1 q(z) p(z) c z z 1. n 1 n: Sei z Nullstelle von p der Ordnung l 1, lso p(z) (z z ) l p(z) mit Grd p n 1, p(z ). Drus folgt für lle z mit p(z), dss q(z) p(z) q(z ) p(z ) 1 q(z) p(z ) q(z ) p(z) (z z ) q(z) p(z) p(z ) p(z) mit einem Polynom q vom Grd q n 2. Also ist q(z) p(z) q(z) (z z ) l p(z) q(z ) p(z ) 1 (z z ) l + q(z) p(z) 1 (z z ) l 1 3

35 1.1 Unbestimmtes Integrl Auf den letzten Term knn mn die Induktionsvorussetzung nwenden, d der Grd des Nenners n 1 ist. Die Eindeutigkeit folgt, wenn wir k l j j1 m1 A jm (z z j ) m A jm für lle j, m zeigen können. Ds sieht mn ber leicht: Multipliktion der linken Seite mit (z z j ) l j und Auswertung bei z z j liefert A jlj. Multipliktion der linken Seite mit (z z j ) lj 1 und Auswertung bei z z j liefert A j,lj 1 usw Stz. Reelle Prtilbruchzerlegung Seien q, p reelle Polynome, p vom Grd n und k r p(x) n (x x j ) lj (x 2 + 2b j x + c j ) m j j1 j1 mit b 2 j < c j. Dnn gibt es eindeutig bestimmte Zhlen A jl, B jm, C jm so, dss q(x) k p(x) h(x) + l j j1 l1 A jl r (x x j ) l + m j j1 m1 B jm x + C jm (x 2 + 2b j x + c j ) m. Beweis. Mn fsse die Terme mit komplex konjugierten Nullstellen us Stz 1.11 zusmmen Beispiel. Betrchte x x 3 x x4 + 2 x(x 2 1) x x(x + 1)(x 1), wobei die Nullstellen, 1, 1 des Nenners lle einfch sind. Polynomdivision mit Rest liefert zunächst ( x ) : ( x 3 x ) x + x2 + 2 x 3 x x 4 + x 2 x 2 Es ist lso x x 3 x A 1 x + A 2 x 1 + A 3 x + 1 und Multipliktion mit x 3 x ergibt x (x 2 1)A 1 + x(x + 1)A 2 + x(x 1)A 3. Einsetzen von Insgesmt ist lso x 1 liefert 3 2A 2 A x liefert 2 A 1 A 1 2 x 1 liefert 3 2A 3 A x x 3 x x 2 x x x

36 1 Integrlrechnung 1.2 Riemnn-Integrl Ds Riemnn-Integrl ist definiert durch b f(x)dx n i1 f(ξ i ) (x i x i 1 ) }{{} I i S(f, z n, σ n ) mit σ n {ξ 1,..., ξ n } und z n {x 1,..., x n }. Für n gilt Gleichheit: b f(x)dx lim n S(f, z n, σ n ) Vergleiche uch Abbildung 1.1. Diese Definition des Integrls bringt einige Nchteile mit sich: Abbildung 1.1: Riemnn-Integrl Es gibt eine große Klsse von einfchen Funktionen, die nicht Riemnn-integrierbr ist, zum Beispiel { x irrtionl f : [, 1] R f(x) 1 x rtionl Sei f n stetig und monoton. Dnn existiert der Limes llerdings ist nicht Riemnn-integrierbr. Die Menge ist nicht bgeschlossen wenn f n L. b lim f n (x)dx n lim f n(x) f(x) n f b f dx < 32

37 1.2 Riemnn-Integrl f 1 b f (x)dx, keine Norm wenn fdx durch die Riemnn-Summe definiert ist. Alle diese Nchteile behebt ds Lebesgue-Integrl Ds Lebesgue-Integrl ist definiert durch mit b k f : lim n 2 n µan k k ([ k A n k f 1 2 n, k + 1 ]) 2 n Ds heißt ds Bild von f wird zerlegt. Wenn f fst überll stetig ist, so sind ds Riemnn- und ds Lebesgue- Integrl identisch. Behndle der Einfchheit hlber zuerst Riemnn-Integrle, d diese einfcher explizit zu berechnen sind Definitionen. Sei [, b] R bgeschlossenes Intervll. Es heißt z : {x,..., x n } mit x und b x k Zerlegung von [, b] mit Feinheit z mx{ x i 1 x i i {1,..., k}} Ds Intervll I setzt sich dnn zusmmen us I [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]... [ n, b n ] Dnn ist z 1 z 2... z n Zerlegung von I mit Feinheit z mx{ z i i {1,..., n}} I l sind Teilrechtecke, l {1,..., m}. Mit dem System von Zwischenpunkten σ : {ξ 1,..., ξ m } ist die zugehörige Riemnn-Summe n f : I R n R S(f, z, σ) : f(ξ i ) I i Mn sgt eine Funktion f heißt Riemnn-integrierbr genu dnn, wenn A R : ɛ > δ > z : ( z < δ S(f, z, σ) A < ɛ σ) Es ist dnn f(x)dx A I Bemerkung. f ist Riemnn-integrierbr uf I (f R(I)) genu dnn, wenn für lle Folgen mit Zerlegungen z n und z n gilt, dss die Riemnn-Summe konvergiert für lle Systeme von Zwischenpunkten: S(f, z n, σ n ) fdx I i1 33

38 1 Integrlrechnung Proof. Dzu gilt nchzuweisen, dss lle Folgen S(f, z n, σ n ) konvergieren. Ihre Grenzwerte stimmen dnn notwendigerweise überein. Die Zerlegung ist eindeutig: Nehme zwei Zerlegungen z n, z n und z n, z n dnn knn mn z n z n z n bilden. z n ist so, dss sowohl S(f, z n, σ n ) ls uch S(f, z n, σ n) Teilfolgen von S(f, z n, σ n) sind. Also gilt: lim S(f, z n, σ n ) lim S(f, n n z n, σ n) lim S(f, z n n, σ n) Stz. Cuchysches Integrbilitätskriterium Sei I R n bgeschlossenes Intervll und f : I R. Es gilt dnn: Stz. f R(I) ɛ > δ > z 1, z 2 Zerlegung von I mit z 1 < δ und z 2 < δ : S(f, z 1, σ 1 ) S(f, z 2, σ 2 ) < ɛ σ 1, σ 2 Sei I R n bgeschlossenes Intervll und f : I R stetig f Riemnn-integrierbr. Proof. D f stetig uf I ist f gleichmäßig stetig. Ds heißt ɛ > δ > J : f(x) f(y) < ɛ 2 I für x, y J mit J < δ Wähle zwei Zerlegungen z 1 und z 2 von I. Es bezeichne z die Vereinigung der beiden Zerlegungen: z z 1 z 2. z ht dnn die Zerlegung J ij mit Zwischenpunkten η ij. Es ist dnn k i j1 J ij I i Die Riemnn-Summen von z und z 1 sind dnn S(f, z 1, σ 1 ) S(f, z, σ) m f(ξ i ) I i i1 m k i f(η ij ) J ij i1 j1 Bildet mn deren Differenz erhält mn m m k i S(f, z 1, σ 1 ) S(f, z, σ) f(ξ i ) I i f(η ij ) J ij i1 i1 j1 m k i [ ] f(ξ i ) J ij f(η ij ) J ij i1 j1 m k i f(ξ i ) f(η ij ) J ij i1 j1 < ɛ 2 I J ij ɛ 2 i,j }{{} I Anlog bildet mn die Differenz von S(f, z, σ) und S(f, z 2, σ 2 ). Es gilt dnn S(f, z, σ) S(f, z 2, σ 2 ) < ɛ 2 34

39 1.2 Riemnn-Integrl Also gilt S(f, z 1, σ 1 ) S(f, z 2, σ 2 ) < ɛ f Riemnn-integrierbr Bemerkung. A R n heißt Nullmenge flls gilt: ɛ > I 1, I 2,..., I n,... R n mit A i Beispiel: Q n ist Nullmenge Stz. Lebesgue Es sei I R n bgeschlossen und f : I R. Dnn gilt I i und I i < ɛ i1 f ist Riemnn-integrierbr f beschränkt und {x I f unstetig in x} ist Nullmenge Proof. ohne Stz. Es sei f : [, b] R monoton und beschränkt f Riemnn-integrierbr Proof. Siehe letztes Semester Stz. Es seien I R n, f, g : I R, f, g R(I). Dnn gilt () f + g R(I), ds heißt: cf R(I), c R, ds heißt: I (f(x) + g(x))dx I I cf(x)dx c f(x)dx + I f(x)dx I g(x)dx (b) Wenn f(x) g(x) x I f(x)dx g(x)dx I I (c) f R(I) und I f(x)dx I f(x) dx sup f(x) I x I (d) f 2, g 2, fg R(I) und fg(x)dx f 2 (x)dx g 2 (x)dx (Cuchy-Schwrz-Ungleichung für Integrle) I I I Proof. Übung 35

40 1 Integrlrechnung Definition. Sei f : A R, A I R n. Es gilt dnn f I (x) : { f(x) x A x / A f ist Riemnn-integrierbr f I R(I) Mn schreibt A f(x)dx : I f I (x)dx Wir wollen uch Volumin durch Integrle berechnen. Dies funktioniert j einfch ddurch, dss mn die Funktion konstnte f 1 über den gewünschten Bereich integriert. Sollte dies durch Riemnn-integrl wohldefiniert sein, so nennen wir eine solche Menge Jordn-messbr. Flls der Rnd eines Gebietes nett, lso gltt, genug ist, ist dies immer möglich Definition. Jordn-messbr A R n heißt Jordn-messbr genu dnn, wenn die chrkteristische Funktion { 1 x A i A x / A Riemnn-integrierbr ist. Der Jordn-Inhlt A ist dnn A : i A (x)dx 1dx A A Für n 2 ist der Jordn-Inhlt der Flächeninhlt und für n 3 ds Volumen Bemerkung. Aus Stz (Lebesgue) ergeben sich sofort folgende Aussgen: () A R n beschränkt. A ist Jordn-messbr A (Rnd von A) ist Nullmenge (b) A R n Jordn-messbr und f : A R. Dnn ist f R(A) f beschränkt und {x A f unstetig in A} ist Nullmenge (c) Die Aussgen von Stz gelten uch für A nstelle von I. (d) m : inf{f(x) x A} und M : sup{f(x) x A} m A f(x)dx M A A 1.3 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Bis hierhin sind bestimmte und unbestimmte Integrle zwei unterschiedliche Dinge. In diesem Kpitel werden wir sehen, dss die bestimmten integrle sich durch Rndwerte von unbestimmten Integrlen usrechnen lssen. Anloges werden wir dnn füer höhere Dimensionen sehen. Auch dort wird ein Volumenintegrl durch iteriertes Aufleiten usgerechnet. Wir beginnen zurest mit dem Mittelwertstz der Integrlrechnung Stz. Der Mittelwertstz der Integrlrechnung 36

41 1.3 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung () Ist f : [, b] R stetig, so existiert ein ξ (, b) mit b f(x) dx f(ξ) (b ). (b) Ist f : [, b] R stetig und ϕ : [, b] R eine positive Riemnn-integrierbre Funktion, so existiert ein ξ (, b) mit Beweis. () folgt us (b) für ϕ(x) 1. b f(x)ϕ(x) dx f(ξ) b ϕ(x) dx. (b) Ist min f mx f, so ist f konstnt und die Behuptung gilt für jedes ξ [, b]. Ist min f < mx f, so gilt lso min f b ϕ(x) dx < min f < b b f(x)ϕ(x) dx < mx f f(x)ϕ(x) dx b ϕ(x) dx < mx f. Mit dem Zwischenwertstz für die stetige Funktion f folgt die Behuptung. b ϕ(x) dx 1.15 Stz. Zweiter Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Für eine stetige Funktion f : [, b] R und jedes x [, b] sei F (x) : Dnn ist F : [, b] R stetig differenzierbr und x f(t)dt. d F (x) f(x) für lle x [, b]. dx Beweis. Seien x, x + h [, b] mit h >. Dnn gilt ufgrund der Stetigkeit von f, dss F (x + h) F (x) h 1 ( x+h f(t) dt h 1 h x+h x f(t) dt 1 h (x + h x)f(ξ h), x ) f(t) dt mit ξ h [x, x + h] nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung. Im letzten Schritt wurde die Stetigkeit verwendet. Dmit folgt mit der Stetigkeit von f dss F F (x + h) F (x) (x) : lim lim f(ξ h ) f(x). h h h 37

42 1 Integrlrechnung 1.16 Bemerkung. Der zweite Huptstz besgt lso, dss jedes stetige f eine Stmmfunktion ht, nämlich F (x) x f(t) dt. Offenbr ist mit F (x) uch F (x) + c, c R eine Stmmfunktion von f. Ds sind dnn ber uch schon lle Stmmfunktionen. Denn seien F und F Stmmfunktionen von f, so gilt (F F ) f f, lso F F konstnt Korollr. Erster Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Sei f : [, b] R stetig und F eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt b Beweis. Für F (x) : x f(t) dt gilt offenbr f(x) dx F (b) F () : [F (x)] b. b f(x) dx F (b) F (b) F (). Mit der vorngegngenen Bemerkung ist jede Stmmfunktion F von f von der Form F F + c, lso F (b) F () F (b) F () b f(x) dx. Dmit hben wir für eindimensionle Funktionen den Zusmmenhng zwischen Aufleitung und bestimmter Integrtion hergestellt Bemerkung. Äquivlent zu Korollr 1.17 formuliert mn den ersten Huptstz uch oft so: Sei f : [, b] R stetig differenzierbr, so ist f(b) f() b f (x)dx. Dies knn mn gut dzu verwenden, um uf gegebenen Intervll, den Abstnd f(b) f() durch ds supremum der Ableitung bschätzen, nlog zum Mittelwertstz der Differentilrechnung. Im Flle von Funktionen f : R n R m lässt sich llerdings eine llgemeine Abschätzung uf Konvexen Gebieten A herleiten, mittels S sup x A Df(x). Es gilt nämlich f(x) f(y) S x y, ws mn leicht durch Anwendung des Mittelwertstzes uf g(t) f(x + t(y x)) sieht Korollr. Integrlrestglied der Tylorformel Es sei f C n+1 ([, b]) für ein n N. Dnn gilt für x, x [, b] n f (k) (x ) x f(x) (x x ) k f (n+1) (t) + (x t) n dt. k! n! Beweis. Wir setzen für t [, b] k F (t) : f(x) n k x f (k) (t) (x t) k. k! Es ist F (t) stetig differenzierbr und F (x), lso gilt mit dem Huptstz, Stz 1.17, Mit F (t) folgt die Behuptung. n k F (x ) F (x) f (k+1) (t) (x t) k + k! x x F (t) dt k1 x x F (t) dt. n f (k) (t) (k 1)! (x t)k 1 f (n+1) (t) (x t) n n! 38

43 1.3 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung 1.2 Bemerkung. Mit Hilfe des Mittelwertstzes erhält mn us dem Integrlrestglied ds Lgrngsche Restglied der Tylorformel: Es gilt R n (x, x ) x x f (n+1) (ξ) n! f (n+1) (t) (x t) n dt f (n+1) (ξ) x (x t) n dt n! n! x (x x ) n+1 (n + 1) d (x t) n im Integrnden immer ein festes Vorzeichen ht Stz. Prtielle Integrtion f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x ) n+1, Es seien f, g : [, b] R. Es sei f stetig, g stetig differenzierbr und F eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt wobei [F g] b : (F g)(b) (F g)(). b Beweis. Ds ist einfch der erste Huptstz, denn b fg b fg [F g] b b F g, [ (F g) F g ] b [F g] b F g Beispiele. () und nlog b b xe x dx xe x b x 2 e x dx x 2 e x b b b Auf diese Weise knn für jedes Polynom p ds Integrl berechnet werden. b e x dx [xe x e x ] b 2xe x dx [ (x 2 2x + 2)e x] b. p(x)e x dx (b) Mnchml reproduziert sich der Integrnd nch mehrfcher prtieller Integrtion, b Flls c 1, so ist mn fertig, denn dnn ist 1.23 Stz. Substitutionsregel f(x)g(x)dx [h(x)] b + c b b fg 1 1 c [h]b. f(x)g(x)dx. Es sei f : [, b] R stetig und g : [c, d] [, b] stetig differenzierbr. Dnn gilt g(d) g(c) f b (f g) g. Flls entweder g >, oder g <, dnn knn mn es uch folgendermssen usdrücken f (f g) g. g([c,d]) [c,d] 39

44 1 Integrlrechnung Beweis. Sei F Stmmfunktion von f. Und wir nehmen n g(c) und b g(d). Dnn folgt us der Kettenregel und dem Huptstz g(d) g(c) f(x) dx F (g(d)) F (g(c)) (F g)(d) (F g)(c) d c d c (F g) (y) dy (f g)(y) g (y) dy. d c (F g)(y) g (y) dy Ds gnze lässt sich uch in Form von Riemmnsummen beschreiben, mittels b f(x)dx i f(x i )(x i x i 1 ) i f(g(t i ))(g(t i ) g(t i 1 )) f(g(t i ))g (t i )(t i t i 1 ) j d c f(g(t))g (t)dt, (1.1) wobei x i g(t i ) ist Dbei sieht mn, dss der Term g (t) die Vergrößerung oder Verkleinerung der Teilintervlle kompensiert. In höheren Dimensionen wird diese Kompenstion von der Determinnte von Dg beschrieben Bemerkung. Merkhilfe zur Substitutionsregel Eine gute Merkhilfe ist folgende Nottion, d dg dx d c f(g(x)) g (x) dx d c f(g(x)) d(g(x)) g(d) g(c) f(y) dy g (x), lso g (x)dx dg. Wenn wir Differentilformen einführen, wird diese Schreibweise einen präzisen Sinn bekommen. Forml hilft sie einem ber schon jetzt bei der Anwendung der Substitutionsregel. Beispielsweise ist oder oder b d d x 3 b (x 4 + 1) 2 dx 1.25 Beispiel. Mit f(y) 1 y d c c c f(ln x) x dx f(sin x) cos x dx d c d c f(ln x) d(ln x) ln d ln c f(sin x) d(sin x) f(y) dy, sin d sin c 1 d(x 4 ) (x 4 + 1) 2 1 b (y + 1) 2 dy 1 ( 4 gilt, dss g (x) g(x) dx d c f(g(x)) g (x) dx Beispielsweise folgt so für tn x sin x cos x cos x cos x, dss d c tn x dx ln g(d) g(c) ( cos c ). cos d f(y) dy ln f(y) dy b ( ) g(d) g(c) ). 4

45 1.4 Stz von Fubini, Substitutionsregel 1.26 Beispiel. Die Kreisf läche Um die Fläche F des Kreises mit Rdius r zu bestimmen, berechnen wir die Fläche des hlben Kreises ls Integrl über die Funktion f(x) r 2 x 2 von r bis r, F r r 2 f(x) dx r 2 x 2 dx. r Geometrisch liegt es nhe, ds Integrl durch den Winkel sttt durch den Achsenbschnitt zu prmetrisieren, lso g : [ π 2, π 2 ] [ r, r], x g(ϕ) r sin ϕ, zu substituieren. Ds liefert dnn r F 2 g( π 2 ) r 2 π 2 g( π 2 ) f(x) dx π 2 π 2 π 2 f(g(ϕ)) dg(ϕ) 1 sin 2 ϕ cos ϕ dϕ r 2 π 2 π 2 π 2 π 2 r 2 g(ϕ) 2 g (ϕ) dϕ cos 2 ϕ dϕ π 2 r Stz von Fubini, Substitutionsregel Im folgenden leiten wir Rechenregeln für merhdimensionle Integrle her. Solche werden dnn itertiv mittels Aufleiten berechnet. Grundlde dzu ist der Stz von Fubini Stz. Fubini Seien I x R n, I y R m. Ds Intervll I R n+m ist dnn I I x I y. Sei ferner f R(I) und existiere g(y) f(x, y)dx. Dnn ist g(y) R(I y ) und I x y I y f(z)dz f(x, y)dx dy I I y I x y I I y n (ξ m, ηj) J. I n j m g( η j ) I x x Abbildung 1.2: Zerlegung des Rechtecks I Proof. D f Riemnn-integrierbr ist, knn mn schreiben ɛ > δ > z : z < δ : S(f, z, σ) I f(z)dz < ɛ σ 41

46 1 Integrlrechnung Sei nun zn x {ξ1 n,..., ξn r } eine Folge von Zerlegungen (vergleiche Abbildung 1.2) von I x und z y {η 1,..., η s } die Zerlegung von I y mit zn, x z y < δ n N. Es ist lim n zx n. Setzt mn dieses nun oben ein erhält mn, dss gelten muss f(ξm, n η j ) Im J n j f(z)dz < ɛ m,j I Es bleibt zu zeigen, dss Verwende, dss und g(η m ) J m m g(η j ) j I x I f(z)dz < ɛ f(x, η j )dx lim f(ξ n n m, η j ) Im n g(η j ) J j lim f(ξ n n m, η j ) Im J n j Schreibe lso um ds obige zu zeigen g(η j ) J j f(z)dz j lim f(ξ n m, n η j ) Im J n j I j m I lim n f(ξm, n η j ) Im J n j j m I g R(I), g(y)dy f(z)dz I y I j m m f(z)dz f(z)dz < ɛ Korollr. Sei I [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]... [ n, b n ] und f : I R stetig. Dnn gilt: f(x)dx b 1 b b n I 1 n f(x 1,..., x n )dx n... dx 2 dx Stz. Sei A R n R m R n+m beschränkt und Jordn-messbr und f R(A). Es sei weiterhin P n (A) {x y R m : (x, y) A} und Ferne existiere dnn existiert A x {y R m (x, y) A} g(x) f(x, y)dy A x g(x)dx P n(a) 42

47 1.4 Stz von Fubini, Substitutionsregel und es gilt f(x, y)d(x, y) f(x, y)dy dx A P n(a) A x Proof. folgt us Fubini Korollr. Sei A R n beschränkt und Jordn-messbr sowie < b R so, dss und x (x 1,..., x n ) A : x 1 b ξ [, b] : Q(ξ) A {(ξ, x 2,..., x n )} in R n 1 Jordn-messbr mit (n 1)-dimensionlem Inhlt g(ξ). Dnn ist Beispiel. Kreisscheibe mit Rdius 1 A b g(ξ)dξ Im rechten oberen Qudrnten ist die Kreisscheibe definiert durch die Funktion y 1 x 2, im rechten unteren Qudrnten durch y 1 x 2. Die Fläche ist dnn 1 1 x 2 1 1dx 1dy dx 2 1 x 2 dx A 1 1 x 2 Substituiere nun x sin t, dx cos tdt. Es ergibt sich 1 2 π/2 1 sin 2 t cos tdt 2 π/2 cos 2 tdt π π/2 π/2 Integrieren über Normlbereiche Betrchte die Mengen (Abbildung 1.3) B {(x, y) R 2, x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)} C {(x, y) R 2, c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} A {(x, y, z) R 3, x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x), ψ 1 (x, y) z ψ 2 (x, y)} Stz. Sei f : B, C R stetig. Es gilt für ds Integrl von f: b f(x, y)d(x, y) B ϕ 2 (x) ϕ 1 (x) f(x, y)dy dx und C f(x, y)d(x, y) d c ψ 2 (y) ψ 1 (y) f(x, y)dx dy 43

48 1 Integrlrechnung Abbildung 1.3: Normlbereiche Für A gilt Beispiel. A f(x, y, z)d(x, y, z) b ϕ 2 (x) ψ 2 (x,y) ϕ 1 (x) ψ 1 (x,y) f(x, y, z)dzdydx Sei B ein Gebiet in R 2 ds begrenzt ist durch y x 2, y x 3, ds heißt: B {(x, y) x 1, x 3 y x 2 } Sei ußerdem f(x, y) x. Gesucht ist jetzt f(z)dz. Es ist B B 1 x2 f(z)dz xdydx x 3 1 x(x 2 x 3 )dx Beispiel Beispiel. Berechne ds Integrl f(x, y)dy dx x 1 1 x 2 1 y2 1 e y2 dydx. f(x, y)dx dy Dies knn uf diese Art nicht explizit berechnet werden, llerdings durch ändern der Integrtionsreihenfolge. Denn y 1 e y2 dydx e y2 dxdy ye y2 dy 1 1 e y2 d(y 2 ) 1 (e 1). 2 2 x 44

49 1.4 Stz von Fubini, Substitutionsregel Abbildung 1.4: Die Flächen umschließen einen Tetreder Beispiel. Ds Integrl D xyd(x, y) wobei D ds Gebiet ist, ds von der Gerden y x 1 und der Prbel y 2 2x + 6 eingeschlossen wird. Dieses knn ls Typ C-Integrl der Form ( 4 ) y+1 xydx dy, y2 3 berechnet werden ls uch ls Typ-B Integrl, llerdings muss mn dort den Bereich in zwei Teile zerlegen, 1 2x+6 3 In beiden Fällen ist ds Resultt Beispiel. 2x+6 5 xydydx + 1 2x+6 x 1 xydydx. Berechne ds Volumen des Bereichs, der durch die Flächen x, y, z, x + y + z 1 begrenzt wird (Abbildung 1.4). Die Menge der Punkte innerhlb des eingeschlossenen Bereichs ist Ds Volumenintegrl lutet dnn A {(x, y, z), x 1, y 1 x, z 1 x y} 1 1 x 1 x y dzdydx x (1 x y)dydx [(y xy y2 2 ) ] 1 x y 1 x x(1 x) (x 1) 2 dx dx (1 x)2 dx Stz. Substitutionsregel

50 1 Integrlrechnung Abbildung 1.5: Drstellung der Substitution Die Integrtion über krummlinige Gebiete lässt sich oft uf ein Integrl über ein (n-dimensionles) Rechteck reduzieren. Die Informtion drüber, wie sehr jeder Punkt durch die Abbildung gestucht oder gestreckt wird, ist ntürlich wichtig für die Gewichtung. Sei A R n kompkt und Jordn-messbr. A G, G offen, sodss g C 1 (G, R n ), mit det Dg(z) > oder det Dg(z) < z G und g injektiv. Sei f : g(a) R stetig, dnn gilt: f(x) dx g(a) A f(g(z)) det Dg(z) dz Dss die Determinnte diese Eigenschft besitzt sei hier für zwei Dimensionen verdeutlicht. x g 1 (u, v) y g 2 (u, v) Ein Flächenstück in A sei ein Rechteck mit den Seitenlängen u v. Unter der Abbildung g verformt es sich. Unter der Annhme, dss es genügend klein ist, betrchten wir es ls Prllelogrmm. Die Richtung der ufspnnenden Vektoren ist gegeben durch die Ableitungen von g längs der lten Koordinten u und v: g u, g v R2 Die Fläche des Prllelogrmms ist gegeben durch g u g v u v D wir ds Kreuzprodukt nur im R 3 definiert hben, führen wir eine Trnsformtion durch, welche jedem Vektor die z-komponente nfügt. g 1 g 1 g u u g, v v g 2 u g 2 v 46

51 1.4 Stz von Fubini, Substitutionsregel v y Δu Δv g β α u x Abbildung 1.6: Trnsformtion von Prllelogrmm uf Rechteck. Im Bild ist α g u und β g v So sieht mn den Zusmmenhng zwischen Kreuzprodukt der Richtungsbleitungen und Determinnte der Funktionlmtrix von g : g u g v g 1 u g 2 v g 2 u g 1 v det ( g1 u g 2 u g 1 v g 2 v ) det Dg(z) Die Substitutionsregel nlog im n-dimensionlen Fll mit z (x 1,... x n ), g g 1. g n und Dg(z) g (x 1,... x n ) (n n Mtrix) () Polrkoordinten φ y g r x Abbildung 1.7: Trnsformtion von krtesischen zu Polrkoordinten ( ) x g y ( ) r ϕ ( ) r cos ϕ r sin ϕ 47

52 1 Integrlrechnung gd(z) ( g1 r g 2 r det Dg(z) r g 1 ϕ g 2 ϕ ) ( ) cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ Für ds Integrl bedeutet dies: ϕ 2 r 2 f(x, y) dxdy f(r cos ϕ, r sin ϕ) r drdϕ g(a) ϕ 1 r 1 (b) Zylinderkoordinten Für Zylinderkoordinten ist ds Volumenelement ds gleiche: x r r cos ϕ y g ϕ r sin ϕ z z z cos ϕ r sin ϕ Dg sin ϕ r cos ϕ 1 det Dg r mit dem Volumenelement dv dxdydz lutet ds Integrl: z 2 ϕ 2 r 2 f(x, y, z) dv f(r cos ϕ, r sin ϕ, z) r drdϕdz g(a) z 1 ϕ 1 r 1 (c) Kugelkoordinten Die Berechnung des Volumenelements für Kugelkoordinten: z y θ r rsinθ x φ y φ x Abbildung 1.8: Die Trnsformtion in Kugelkoordinten 48

53 x r r sin θ cos ϕ y g θ r sin θ sin ϕ z ϕ r cos θ Dg sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ cos θ r sin θ ( ) r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ det Dg cos θ det r cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ r 2 sin θ Beispiel. ( ) sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ ( r sin θ) det sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ (r 2 cos 2 θ sin θ cos 2 ϕ + r 2 cos 2 θ sin θ sin 2 ϕ) + r sin θ(r sin 2 θ cos 2 ϕ + r sin 2 θ sin 2 ϕ) r 2 cos 2 θ sin θ + r 2 sin θ sin 2 ϕ 1.4 Stz von Fubini, Substitutionsregel Mittels ( Koordintentrnsformtion läßt sich leicht der Flächeninhlt des Ellipsoids, ds von den Punkten x ) 2 ( + y ) 2 b r 2 beschrieben wird. Durch die Abbildung x u, y bv lässt sich ds Ellipsoid uf einen Kreis in u, v trnsformieren. D die Determinnte von Dg(u, v) gleich b ist, ist der Flächeninhlt somit r 2 πb Beispiel. Es sei ein Zylinder gegeben, us welchem m unteren Ende eine Hlbkugel mit dem selben Rdius herusgeschnitten ist. Mit nderen Worten, der Boden wird ersetzt durch die Oberfläche einer Hlbkugel. Die Höhe sei 4, ( z 4), der Rdius sei 1 (r 1), und der Boden z 1 r 2. Ds Volumen sei V : 4 V 2π 1 2π 1 2π 4 1 r 2 r dzdrdϕ (4 1 r 2 ) r drdϕ [ 2r (1 r2 ) 3 2 ] 1 1 Abbildung Beispiel. Gegeben ist eine Sphäre mit Rdius 1, in welche ein umgekehrter Kegel mit Öffnungswinkel π 2 reingelegt ist. Gesucht ist ds Volumen zwischen dem Kegel und der Sphäre. Die Sphäre ist in Zylinderkoordinten gegeben durch z 1 r 2, der Kegel durch z x 2 + y 2 r. Ds Volumenintegrl lutet dnn 49

54 1 Integrlrechnung V 2π 1/ 2 1 r 2 r rdzdrdϕ Ds selbe Volumen lässt sich einfcher in Kugelkoordinten usdrücken: Beispiel. V 2π π/4 1 r 2 sin θdrdθdϕ Abbildung 1 Besonders interessnt ist die Berechnung des Volumens des Objektes, ds oberhlb des Kegels z x 2 + y 2 liegt und unterhlb der Sphäre mit Rdius 1/2 und Mittelpunkt (,, 1/2), ds die Gleichung x 2 +y 2 +z 2 z erfüllt. D in Kugelkoordinten gilt z cos θ, lässt sich die Gleichung für die Sphäre umschreiben ls r 2 r cos θ, und dmit ist der Bereich durch gegeben. r 1, θ π/4, φ 2π 5

55 11 Kurvenintegrle y γ( b) γ( t) b γ( ) x Abbildung 11.1: Kurve mit Prmeterdrstellung γ Definition. Prmeterdrstellung () Sei < b, γ : [, b] R n heißt Prmeterdrstellung einer Kurve mit Prmeterintervll [, b]. Der Anfngspunkt der Kurve ist γ(), der Endpunkt ist γ(b). (b) Zwei Prmeterdrstellungen γ 1 : [, b] R n γ 2 : [c, d] R n heißen äquivlent genu dnn, wenn es eine stetige, monoton wchsende Abbildung von einem Intervll in ds ndere gibt: Es ist dnn γ 2 (t) γ 1 ϕ(t). γ 1 γ 2 ϕ : [, b] [c, d] stetig und monoton wchsend 11.1 Beispiele. () Die Gerde zwischen zwei Punkten P, Q R n knn durch prmetrisiert werden. γ(t) P + t(q P ) tq + (1 t)p t [, 1] (b) Der Kreis mit Rdius 1 ht die Gleichung x 2 + y 2 1, und knn durch γ(t) (cos t, sin t), t [, 2π) prmetrisiert werden. Der Kreis mit Rdius r und Mittelpunkt (, b) ht dnn die Gleichung (x ) 2 + (y b) 2 r 2, und die Prmetrisierung γ(t) (r cos t, r sin t b), t [, 2π). Mittels t 5s zum Beispiel ändert sich die Kurve nicht, wenn mn sie ls Menge von Punkten sieht, ber die Durchlufgeschwindigkeit ändert sich. 51

56 11 Kurvenintegrle (c) Die Schnittkurve des Zylinders x 2 + y 2 1 und der Ebene y + z 2 lässt sich prmetrisieren indem mn vom Zylinder erkennt, dss x cos t, y sin t die Gleichung erfüllt. Die z-komponente erhält mn von der Ebene. Nämlich z 2 y 2 sin t, womit γ(t) (cos t, sin t, 2 sin t). t [, 2π) Definition. Länge einer Kurve Die Länge einer Kurve lässt sich nnähern durch eine Aneinnderreihung von gerden Stücken (vgl. Abbildung 11.2). Ds Supremum für beliebig viele solcher Stücke ist dnn die Länge der Kurve: { m } L : sup γ(t i ) γ(t i 1 ) m N, {t, t 1,..., t m b} ist Zerlegung von [, b] i1 y γ( b) γ( t) t t 1... t m γ( t ) [ ] b γ( )... x Abbildung 11.2: Annäherung einer Kurve durch Polygone Definition. Sei C eine Kurve mit Prmeterdrstellung γ : [, b] R n. C heißt rektifizierbr genu dnn, wenn die Länge der Kurve endlich ist: C heißt rektifizierbr L(C) < Stz. Die Begriffe rektifizierbr und Länge einer Kurve hängen nicht von der speziellen Prmeterdrstellung b. Proof. Seien γ 1 und γ 2 Prmeterdrstellungen einer Kurve mit γ 1 : [, b] R n, γ 2 : [c, d] R n. Sei ϕ : [, b] [c, d] und ddurch γ 1 (t) γ 2 ϕ(t), {t,..., t m } sei Zerlegung von [, b]. Dnn ist {ϕ(t ), ϕ(t 1 ),..., ϕ(t m )} Zerlegung von [c, d]. Es gilt dnn m γ 1 (t i ) γ 1 (t i 1 ) i1 m γ 2 (ϕ(t i )) γ 2 (ϕ(t i 1 )) i1 Die Länge der ersten Kurve { m } L 1 sup γ 1 (t i ) γ 1 (t i 1 ) {t,..., t m } Zerlegung von [, b] i1 52

57 ist dnn definitionsgemäß kleiner ls die der zweiten Kurve: L 1 L 2 Verwendet mn ndersherum die Umkehrfunktion von ϕ, so ergibt sich γ 2 (t) γ 1 ϕ 1 (t) L 2 L 1 Also müssen die beiden Längen gleich sein L 1 L Definitionen. Zu Kurven: () Eine Kurve C heißt stetig differenzierbr, wenn es eine stetig differenzierbre Prmeterdrstellung gibt. (b) Eine Kurve heißt Jordn-Kurve, wenn eine Prmeterdrstellung γ : [, b] R n existiert und diese injektiv ist. (c) Seien C 1, C 2 Kurven in R n mit Prmeterdrstellungen γ 1 : [, b] R n und γ 2 : [b, c] R n. Der Endpunkt von C 1 sei der Anfngspunkt von C 2. Dnn heißt die durch die Prmeterdrstellung { γ : [, c] R n γ 1 (t) t [, b] t γ 2 (t) t [b, c] drgestellte Kurve Summe von C 1 und C 2, mn schreibt: C 1 + C 2. Unter C 1 versteht mn die Kurve mit Prmeterdrstellung γ : [, 1] R n t γ 1 (b + t( b)) mit γ 1 : [, b] R n. (d) Eine Kurve C heißt stückweise stetig differenzierbr, wenn stetig differenzierbre Kurven C 1,..., C n mit C C C n existieren Stz. Sei C stetig differenzierbre Kurve in R n mit Prmeterdrstellung γ C 1 ([, b], R n ). Dnn gilt L(C) b γ (t) dt < Proof. Es sei z {t, t 1,..., t m b} eine Zerlegung des Intervlls [, b] mit Feinheit z. Nähere die Länge der Kurve durch eine Aneinnderreihung von gerden Stücken n: V z (γ) m γ(t i ) γ(t i 1 ) i1 Es ist zu zeigen, dss ɛ > δ > z < δ V z(γ) b γ (t) dt < ɛ Bemerke, dss der Differenzvektor γ(t i ) γ(t i 1 ) sich us n Komponenten zusmmensetzt: γ(t i ) γ(t i 1 ) (γ 1 (t i ) γ 1 (t i 1 ),..., γ n (t i ) γ n (t i 1 )) 53

58 11 Kurvenintegrle Nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung gibt es nun einen Zwischenpunkt τ i (τ 1 i,..., τ n i ) Rn sodss gilt (γ 1 (t i ) γ 1 (t i 1 ),..., γ n (t i ) γ n (t i 1 )) (γ 1(τ 1 i )(t i t i 1 ),..., γ n(τ n i )(t i t i 1 )) γ (τ i )(t i t i 1 ) mit γ (τ i ) (γ 1 (τ 1 i ),..., γ n(τ n i )). Es folgt dmit für V z: V z (γ) m t i i1 t i 1 γ (τ i ) dt Dmit gilt V z(γ) b γ (t) dt m i1 t i t i 1 γ (τ i ) dt t i t i 1 γ (t) dt m t i i1 t i 1 γ (τ i ) γ (t) dt ( ) Es gilt für den Integrnden: γ (τ i ) γ (t) γ (τ i ) γ (t) Wähle nun δ so, dss für t s < δ, t, s [, b] n γ k (τ i k) γ k (t) 2 k1 γ k (s) γ k (t) < ɛ n(b ) k {1,..., n} γ ist stetig und insbesondere gleichmäßig stetig uf dem definierten Intervll, lso gilt ( ) < m t i i1 t i 1 m i1 n γ k (τ i) γ k (t) 2 dt k1 nɛ 2 n(b ) 2 (t i t i 1 ) ɛ Beispiel. Zur Länge einer Kurve () Möchte mn die Länge einer eindimensionlen Funktion uf einem Intervll bestimmen, so wählt mn die Prmetrisierung γ(t) (t, f(t)) Die Ableitung γ ist dnn Dmit ist die Länge γ (t) (1, f (t)) b b L γ (t) dt 1 + (f (t)) 2 dt 54

59 (b) Gegeben sei eine Ellipse durch die Prmetrisierung γ(t) ( cos t, b sin t) t 2π Deren Ableitung nch t lutet γ (t) ( sin t, b cos t) Die Ellipse wird im mthemtisch positiven Sinne (gegen den Uhrzeigersinn) durchlufen, der Strtpunkt liegt bei (, ). Die Länge ist L 2π 2π 2π 4 2 sin 2 t + b 2 cos 2 tdt 2 + (b 2 2 ) cos 2 tdt 1 k 2 cos 2 tdt mit k π/2 1 k 2 cos 2 t 2 b Bemerkung. Es bezeichne die s(t) die Bogenlänge einer Kurve t s(t) γ (τ) dτ ds dt γ (t) Prmetrisiert mn die Kurve nun mit s, sprich t s(t) so knn mn umgekehrt, flls γ(t) für lle t [, b], uch s t(s) verwenden, ist dnn γ(s) : γ t(s) γ(t(s)) Der Geschwindigkeitsvektor dieser Bogenlängenprmetrisierung ist γ (s) d ds γ d dt (γ(t(s))) γ ds ds γ ds Der neue Geschwindigkeitsvektor ist lso normiert: dt γ (t(s)) γ (t(s)) Definitionen. γ 1 Sei γ : [, b] R n eine stetig differenzierbre Prmeterdrstellung der Kurve C, F : R n R n ein stetiges Vektorfeld. () Ds Kurvenintegrl von F längs der Kurve C ist b F (γ(t)) γ (t)dt Symbolisch schreibt mn C F dx 55

60 11 Kurvenintegrle (b) F (P, Q) für n 2, F (P, Q, R) für n 3. Mn schreibt Stz. C F dx C P dx + Qdy + Rdz Seien C 1, C 2 stückweise stetig differenzierbre Kurven und F : R n R n ein stetiges Vektorfeld. () F dx F dx C 1 C 1 (b) +C C 1 F dx F dx + C 2 F dx (c) C 1 F dx sup F (x) L(C 1 ) x C 1 Proof. (c) Sei γ Prmetrisierung von C 1 C 1 F dx b b F (γ(t)) γ (t) dt F (γ(t)) γ (t) dt sup x C 1 F (x) b sup x C 1 F (x) L(C 1 ) γ (t) dt Beispiel. In der x y-ebene sei ds Vektorfeld F gegeben durch F (y, y x) oder in der Form F (P, Q) mit P y und Q y x. Wir betrchten zwei Kurven vom Ursprung nch (1, 1), gegeben durch C 1 und C 2. C 1 ist zusmmengesetzt us einem horizontlen Stück nch (1, ), C 11 und einem vertiklen Stück von dort bis zum Endpunkt, C 12. Wir verwenden folgende Prmetrisierung für C 1 : C 11 : γ 11 (t) (t, ) t 1 C 12 : γ 12 (t) (1, t) t 1 56

61 Abbildung 11.3: Zwei Kurven So folgt für die Integrle: F dx C 11 F dx C F (γ 11 (t)) γ 11(t) dt (, t) (1, ) dt F (γ 12 (t)) γ 12(t) dt (t, t 1) (, 1) dt (t 1) 1 2 Die Kurve C 2 sei gegeben durch ein Stück einer Prbel y x 2. C 2 : γ 2 (t) (t, t 2 ) t 1 Oder ls einzelne Prmeter x und y betrchtet: x(t) t, y(t) t 2 57

62 11 Kurvenintegrle so ht ds Integrl die Form F dx C 2 C P dx + Q dy y dx dt dt + t 2 dt [ t t3 3 (y x) dy dt dt (t 2 t) 2t dt ] Bemerkung. Es bezeichne T den normierten Tngentilvektor zu einer Kurve, die durch γ(t) prmetrisiert ist: T (γ(t)) γ (t) γ (t) Dmit knn mn ds Wegintegrl über ein Vektorfeld F umschreiben: C F dx b b b C F (γ(t)) γ (t)dt F (γ(t)) γ (t) γ (t) γ (t) dt F (γ(t)) T (γ(t)) γ (t) dt F T ds mit dem Linienelement ds γ (t) dt. Wenn nun f F T 1 ist, gilt C fds C 1ds L(C) 11.2 Bemerkung. Auf diese Art und Weise lässt sich so mnch Wegintegrl mit rein geometrischen Überlegungen berechnen. Sei nun F 1 (x, y) (x, y), und C r ein Kreis mit Rdius r und Mittelpunkt (, ), dnn ist klrerweise C r F 1 dx, d F 1 n jedem Punkt des Kreises orthogonl uf den Tngetilvektor T steht. Sei nun F 2 (y, x), dnn lässt sich ds Wegintegrl über den Kreis ebenflls sofort hinschreiben, d F 2 prllel zum Tngentilvektor verläuft und n jedem Punkt die Länge r ht. Dmit ist F 1 dx C r F T ds C r rds rl(c r ) 2πr 2. C r Somit knn mn uch Wegintegrle für Linerkombintionen von F 1 und F 2 leicht berechnen. 58

63 Definition. Grdientenfeld Sei A R n Gebiet. F heißt Grdientenfeld ϕ C 1 (A, R n ) ist Sklrfeld mit F ϕ. ϕ heißt Potentil, ϕ Stmmfunktion Stz. A R n Gebiet, F : A R n stetiges Grdientenfeld mit Stmmfunktion ϕ : A R. Sei C Kurve in R n mit Anfngspunkt R n und Endpunkt b R n. Ds Kurvenintegrl hängt dnn lediglich von diesen Punkten b: F dx ϕ() ϕ(b) C Abbildung 11.4: Ein konservtives Krftfeld, ds von 2 verschiedenen Kurven durchlufen wird. Proof. C F dx F (γ(t)) γ (t) dt ϕ(γ(t)) γ (t) dt d ϕ(γ(t)) dt dt ϕ(γ(1)) ϕ(γ()) ϕ(b) ϕ() Definition. A R n Gebiet, F stetiges Vektorfeld F : A R n. F heißt konservtiv genu dnn, wenn, b R n, C 1, C 2 (stückweise stetig differenzierbr) mit Anfngspunkt und Endpunkt b gilt: F dx F dx C 1 C Stz. Sei A R n Gebiet, F : A R n stetig. Dnn: F ist konservtiv F ist Grdientenfeld 59