Mathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau

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1 Mathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau Prof Dr Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Sommersemester 2012

2 Übersicht 4 Lineare Algebra 1 Grundlegendes 2 Aussagenlogik 3 Mengen 4 Lineare Algebra Lernziele Matrizen und Vektoren Matrixalgebra Punktmengen im R n Lineare Gleichungssysteme Inverse Matrizen Determinanten Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

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5 4 Lineare Algebra 41 Lernziele Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra? Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebs- und volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise ermöglichen die Analyse solcher Daten Wesentliche Lernziele Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen Beherrschen elementarer Matrixoperationen Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme aufzustellen, zu lösen und diese Lösung darzustellen Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

6 Einführung 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren Beispiel 1 Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F 1,F 2,F 3 zwei Produkte P 1,P 2 her Zur Produktion für jede Mengeneinheit von P j (j = 1,2) werden a ij Mengeneinheiten von F i (i = 1,2,3) verbraucht Verbrauch für eine Einheit des Produkts P 1 P 2 Grafisch dargestellt: von Einheiten F 1 a 11 a 12 der F 2 a 21 a 22 Produktionsfaktoren F 3 a 31 a 32 F 1 F 2 F 3 a 11 a 12 a 21 a 22 P 1 P 2 a 31 a 32 Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

7 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren Einführung Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P 1,,P 5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt Ergebnis: Merkmale Preis Qualität Kundenkreis Fragen: Produkte P 1 20 sehr gut A P 2 18 sehr gut B P 3 20 sehr gut A P 4 16 mäßig C P 5 18 ordentlich B Ähnlichkeit von Produkten Finden von Kundensegmenten Zuordnen zu diesen Segmenten Marktforschung Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

8 Definitionen 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren Definition Matrix Ein geordnetes, rechteckiges Schema von Zahlen oder Symbolen a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in = (a ij ) m,n a m1 a m2 a mj a mn mit m,n N heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder kurz m n-matrix (Im Folgenden: a ij R) a 11,,a mn heißen Komponenten der Matrix Dabei gibt i die Zeile und j die Spalte an, in der a ij steht i heißt Zeilenindex und j Spaltenindex von a ij Sind alle Komponenten a ij reelle Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

9 Transponierte Matrix Definition 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren Zu jeder m n-matrix a 11 a 1n A = a m1 a mn heißt die n m-matrix A T = die zu A transponierte Matrix a 11 a m1 a 1n a mn Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

10 Transponierte Matrix Definition 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren Zu jeder m n-matrix a 11 a 1n A = a m1 a mn heißt die n m-matrix A T = die zu A transponierte Matrix a 11 a m1 a 1n a mn ( A T) T = A Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

11 Beispiel transponierte Matrix 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren a) A = ( ) b) A T = A T = ( A T) T = A = Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

12 Vektoren 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren Definition n 1-Matrix heißt Spaltenvektor mit n Komponenten: a = a 1 a n 1 n-matrix heißt Zeilenvektor mit n Komponenten: a T = (a 1,,a n ) Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

13 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren Geometrische Veranschaulichung von Vektoren a ( ) a 2 1 ( 1 2) 1 ( ) 0 1 a 1 a 3 a a Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

14 Relationen zwischen Matrizen 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren Definition Seien A = ( ) a ij m,n und B = ( b ij reelle Matrizen mit )m,n übereinstimmender Zeilenzahl m und Spaltenzahl n Dann wird definiert: A = B a ij = b ij für alle i = 1,,m,j = 1,,n A B a ij b ij für mindestens ein Indexpaar (i,j) A B a ij b ij (i,j) A < B a ij < b ij (i,j) Entsprechend A B und A > B Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

15 Spezielle Matrizen 4 Lineare Algebra 42 Matrizen und Vektoren Definition a) A = ( a ij heißt quadratisch )n,n b) A = ( a ij )n,n mit A = AT heißt symmetrisch c) A = ( a ij heißt Dreiecksmatrix, wenn )n,n a ij = 0 für i < j (untere Dreiecksmatrix) oder a ij = 0 für i > j (obere Dreiecksmatrix) d) A = ( a ij )n,n heißt Diagonalmatrix, wenn a ij = 0 für alle i j e) A = ( a ij )n,n heißt Einheitsmatrix, wenn a ii = 1 für alle i und a ij = 0 für alle j j Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

16 4 Lineare Algebra 43 Matrixalgebra Addition und Subtraktion von Matrizen Definition Gegeben: A = ( ) a ij m,n und B = ( b ij )m,n Dann gilt: Addition: A+B = ( ) a ij m,n +( ) b ij m,n = ( a ij +b ij )m,n Subtraktion: A B = ( ) a ij m,n ( ) b ij m,n = ( a ij b ij )m,n Damit: A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) Addition/Subtraktion nicht definiert, wenn Zeilen- bzw Spaltenzahl nicht übereinstimmen Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

17 Skalare Multiplikation Definition 4 Lineare Algebra 43 Matrixalgebra Gegeben: A = ( a ij und r R(Skalar) )m,n Dann gilt: Beispiel: Außerdem gilt: r A = r (a ij ) m,n = ( r a ij )m,n = ( a ij r ) m,n = A r 5 ( ) 1 2 = 3 5 ( ) (rs)a = r(sa) (Assoziativgesetz) (r + s)a = ra + sa (Distributivgesetz) r(a+b) = ra+rb Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

18 4 Lineare Algebra 43 Matrixalgebra Matrixmultiplikation Definition Gegeben: A = (a ik ) m,p und B = ( b kj )p,n Dann gilt: ( p ) A B = (a ik ) m,p (b kj )p,n = a ik b kj k=1 m,n Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

19 4 Lineare Algebra 43 Matrixalgebra Matrixmultiplikation Definition Gegeben: A = (a ik ) m,p und B = ( b kj )p,n Dann gilt: A B = (a ik ) m,p (b kj )p,n = ( p k=1 a ik b kj ) m,n Merke: Zeile mal Spalte! a 11 a 1p a i1 a ip a m1 a mp b 11 b 1j b 1n b p1 b pj b pn = c 11 c 1j c 1n c i1 c ij c in c m1 c mj c mn a 11 a 1p a i1 a ip a m1 a mp b 11 b 1j b 1n b p1 b pj b pn = c 11 c 1j c 1n c i1 c ij c in c m1 c mj c mn Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

20 4 Lineare Algebra 43 Matrixalgebra Spezialfälle und Rechenregeln Spezialfälle der Matrixmultiplikation A = (m n)-matrix, B = (n m)-matrix es existiert A B und B A A quadratisch A A = A 2 existiert A,B quadratisch A B existiert und B A existiert Aber: Im Allgemeinen A B B A Ist E Einheitsmatrix, dann gilt: A E = E A = A Spezielle Rechenregeln A = (m p)-matrix, B = (p n)-matrix Damit gilt: A B und B T A T existieren B T A T = (A B) T A T A ist symmetrische (p p)-matrix und AA T ist symmetrische (m m)-matrix Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

21 Norm 4 Lineare Algebra 44 Punktmengen im R n Gegeben Vektor a R n Definition: Absolutbetrag, Norm oder Länge eines Vektors: a = a = a T a = a a 2 n = n a 2 i R + i=1 Seien a,b,c Vektoren des R n und r R ein Skalar Dann gilt: a) a+b = b+a, a b = b a b) ra = r a c) a T b a b für n > 1 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) = a b für n = 1 d) a + b a + b (Dreiecksungleichung) e) a c c b a b a c + c b Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

22 Kosinussatz 4 Lineare Algebra 44 Punktmengen im R n Gegeben: a,b Vektoren des R n, die den Winkel γ einschließen Nach dem Kosinussatz gilt im Dreieck mit den Ecken 0,A,B b a A a b 2 = 0 b a 2 + b 2 2 a b cosγ b a b B Damit gilt: a T b = ( a+b 1 2 a 2 b 2) 2 ( a 2 + b 2 a b 2) = 1 2 = a b cosγ Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

23 Hyperebenen und Sphären 4 Lineare Algebra 44 Punktmengen im R n Definition Hyperebene Gegeben: a R n mit a 0 und b R Dann heißt H(a,b) = { x R n : a T x = b } Hyperebene imr n Anmerkung: H teilt denr n in zwei Halbräume Definition Sphäre Gegeben: a R n, r R + Dann heißt K = {x R n : x a = r} Sphäre (Kugelfläche) imr n und dem Radius r Damit: r-umgebung von a: K < (a,r) = {x R n : x a < r} Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

24 Beispiel Hyperebene/Sphäre 4 Lineare Algebra 44 Punktmengen im R n H = {x R 3 : 2x 1 +3x 2 +3x 3 = 6} { K = x R 3 : x 3 } { 2 = 1 = x R 3 : (x1 3) 2 +(x 2 2) 2 +x 32 = 1} z K 1 H 1 x y Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

25 4 Lineare Algebra 44 Punktmengen im R n Offenheit, Abgeschlossenheit Gegeben M R n eine Punktmenge desr n und M =R n \M deren Komplement bzglr n Dann heißt: a R n innerer Punkt von M, wenn eine r-umgebung K < (a,r) von a existiert, die ganz in M liegt, also K < (a,r) M, a R n äußerer Punkt von M, wenn eine r-umgebung K < (a,r) von a existiert, die ganz in M liegt und a R n Randpunkt von M, wenn a weder innerer noch äußerer Punkt von M ist Eine Punktmenge M R n heißt dann offen wenn jedes Element a M innerer Punkt von M ist, abgeschlossen, wenn jedes Element a M innerer Punkt von M ist, also das Komplement M offen ist Etschberger (HS Augsburg) Mathematik 1 Sommersemester

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