Skript. Deskriptive Statistik

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1 Skrpt SS 008 Prof. Dr. Wake Moos Hochschule Bochum Bsmarck: Statstk st de größte Lüge! Churchll: Ich glaube keer Statstk, außer der, de ch selbst gefälscht habe!

2 Symbolverzechs Vorbemerkuge ud Grudbegrffe Vorbemerkuge Grudbegrffe der Statstk...7 Merkmalstype ud -skale...0 Aufberetug des erhobee Datematerals...3. Absolute ud relatve Häufgkete...3. Klasserte Häufgkete Kostate Klassebrete Ugleche Klassebrete....3 Mehrdmesoale Häufgkete, Kreuztabelle... 3 Parameter vo Häufgketsverteluge Lageparameter Der Modus Der Meda p%-quatle Arthmetsches Mttel Harmosches Mttel Geometrsches Mttel Streuugsparameter Spawete Quartlsabstad Mttlere absolute Abwechug Varaz ud Stadardabwechug Varatoskoeffzet Zusammefassug Maße ud Skale Wetere Vertelugsmaße Box-Plots Schefe, Wölbug Kozetratosmaße Absolute Kozetrato Kozetratosdex vo Herfdahl Relatve Kozetrato: Lorez-Kurve ud G-Koeffzet Zwedmesoale deskrptve Statstk Kovaraz...58

3 5. Korrelatoskoeffzet vo Bravas-Pearso Leare Regressosaalyse Ch-Quadrat-Mehrfelder-Test, Kotgezkoeffzet, Cramers V Verhältszahle Glederugszahle Bezehugszahle Messzahle Idexzahle (Idzes) Presdzes Presdex ach Laspeyres Presdex ach Paasche Megedzes Umsatzdzes Umbaserug Verküpfug Presberegug Presdzes für de Lebeshaltug (Verbrauchspresdzes) Kaufkraftpartät Zetreheaalyse Aufgabe ud Zele Kompoete der Zetrehe Methode der Tredermttlug...88 Weterführede Lteratur zur Vertefug

4 Symbolverzechs X x m x f Varable, Merkmal Merkmalsausprägug, Beobachtugswert des -te Merkmalsträgers oder statstsche Elemets,,..., Stchprobeumfag Azahl der verschedee Merkmalsauspräguge Jeder Merkmalsträger ka m verschedee Merkmalsauspräguge habe,,...m. x st de -te Merkmalsausprägug, Abzssewert eer Häufgketsvertelug absolute Häufgket der Merkmalsausprägug x, auch absolute Klassehäufgket, Ordatewert eer Häufgketsvertelug, h % h relatve Häufgket der Merkmalsauspräguge f, auch relatve Klassehäufgket relatve prozetuale Häufgket der Merkmalsauspräguge 00 F kumulerte absolute Häufgket der Merkmalsauspräguge f + f f H kumulerte relatve Häufgket der Merkmalsauspräguge h + h h % H kumulerte relatve prozetuale Häufgket h + h h ) 00 ( Max M B kostate Klassebrete B m m x arthmetsches Mttel (AM) eer Stchprobe, x x f HM harmosches Mttel, HM f + f +... f m f f f x x x GM geometrsches Mttel, GM x x... x ME Meda, Merkmalsausprägug des mttlere Merkmalsträgers x Modus, häufgster Wert Mo x m m f σ Varaz der Grudgesamthet σ Stadardabwechug der Grudgesamthet m s Varaz eer Stchprobe s ( x x) f s Stadardabwechug eer Stchprobe s s M Stadardfehler des Mttelwertes s VK Varatoskoeffzet 00 x oder s m x f x 4

5 m GK G-Koeffzet, GK h ( Y + Y ) mt Y kumulerter Atel der Merkmalsauspräguge ud h der relatve Atel der -te Merkmalsträger s xy Kovaraz zweer Merkmale eer Stchprobe, s xy ( x x) ( y s x Wurzel aus der Varaz des Merkmals X eer Stchprobe, sx s y Wurzel aus der Varaz des Merkmals Y eer Stchprobe, s y y) ( x x) ( y y) r Korrelatoskoeffzet vo Bravas-Pearso, r sxy r s s x ( x x)( y ( x x) b Regressoskoeffzet (Stegug) be der leare Regresso b ( x x)( y y) oder ( x x) s b s a Ordateabschtt be der leare Regresso a s xy R-squared Bestmmthetsmaß, r sxs y ŷ a + bx geschätzte Regressosgerade (Kurzform) ŷ a + bx geschätzte Regressosgerade xy xx y y b x y) ( y y) oder P 0 Presdex für Berchtsahr gegeüber Bassahr 0. p 0 Pres des Gutes der Basszet 0. p Pres des Gutes der Berchtszet. q 0 Mege des Gutes der Basszet 0. q Mege des Gutes der Basszet. 5

6 P P 0Laspeyres 0Paasche p q p 0 0 q 0 0 Summe aktueller Pres alte Mege 00 00, Presdex vo Laspeyres Summe alter Pres alte Mege pq Summe aktueller Pres aktuelle Mege 00 00, Presdex vo Paasche Summe alter Pres aktuelle Mege p q q 0 p U 0 00 q p 0 Summe aktuelle Umsätze 00, Umsatzdex Summe alte Umsätze 6

7 0 Vorbemerkuge ud Grudbegrffe 0. Vorbemerkuge Statstk: Datesammlug zu bestmmte Theme (Bevölkerugsstatstk, Arbetslosestatstk, Presstatstk usw.) Wsseschaft zur Erhebug ud Aalyse vo Date bzw. e Vorlesugsfach: - : Date werde mttels Kegröße beschrebe ud grafsch dargestellt. - Wahrschelchketsrechug: - aalytsche bzw. deduktve/duktve Statstk: allgemegültge Schlüsse Quelle statstscher Date: Amtlche Statstk - Eurostat - Statstsches Budesamt - Statstsche Ladesämter - Europäsche Zetralbak +Budesbak Nchtamtlche Statstk - Wrtschaftsforschugssttute (z.b. fo, IWH, DIW, RWI, Keler Isttut für Weltwrtschaft, HWWI) - Markt- ud Meugsforschugssttute (z.b. GfK, Ifas...) - Verbäde ud Uterehme Grudbegrffe der Statstk Grudgesamthet/Statstsche Gesamthet/Masse Mege aller Merkmalsträger (Elemete, Ehete, Uts). E Merkmalsträger gehört da zur Grudgesamthet, we er sämtlche Abgrezugsmerkmale (Idetfkatosmerkmale) bestzt. De Merkmalsträger stmme hschtlch der Abgrezugsmerkmale übere. De Abgrezug st sachlcher, räumlcher ud zetlcher 7

8 Bespel: Hscht vorzuehme, dem für alle Elemete bestmmte Egeschafte als detsch vorgegebe werde. Erstsemester m a der BO (sachlches Abgrezugsmerkmal: Egeschrebee(r) Studet() für Wrtschaft a der BO (räumlches Abgrezugsmerkmal m SS 008 (zetlches Abgrezugsmerkmal). Arbetslose m Ma 008 Deutschlad Telgesamthet/Stchprobe/sample: we aus eer statstsche Gesamthet cht alle Elemete de Utersuchug egehe. Wchtge Frage, ob de gewoe Ergebsse ur für de Telgesamthet gelte oder auch für de Grudgesamthet Bespel: alle Awesede m Hörsaal Merkmalsträger/Statstsches Elemet/Ehet/Fall: Das ezele Elemet der Grudgesamthet oder Stchprobe. Der Merkmalsträger st der Träger der statstsche Iformato Bespel: Der Studet Klaus Ur. Merkmal/Varable:Egeschaft des statstsche Elemets oder Merkmalsträgers (Achtug: Merkmal cht mt Idetfkatosmerkmal verwechsel, de Merkmalsträger köe hschtlch ersterem uterschedlche Auspräguge habe, müsse edoch detsche Idetfkatosmerkmale habe, um zur Grudgesamthet zu gehöre. Bespel: Ekomme (uterschedlches Ekomme be de Studerede). Merkmalsausprägug/Merkmalswert/Beobachtugswert/Messwert: Der Wert, der be der Beobachtug be der ezele statstsche Ehet bzw. dem Merkmalsträger festgestellt wurde. Bespel: blod (Der Studet Klaus Ur st blod). Erhebug: Feststellug der Merkmalsausprägug vo Merkmale be de Merkmalsträger Grudgesamthet Merkmalsträger Merkmal Merkmalsausprägug Wohbevölkerug D m Jahr 00 Ewoher Ekomme

9 Studerede a der BO Belegschaft be Noka Studerede Studedauer 6. Semester Agestellte Alter 3 Jahre Produkto vo Glühbre Glühbre Fuktosfähgket kaputt Statstk am Computer mt Excel oder NSDStat oder SPSS: Tabelle Grudgesamthet oder Telgesamthet/Stchprobe Spalte Merkmal, Varable Zele Merkmalsträger, Elemet, Fall Zelle Merkmalsausprägug, Wert Bespel eer Excel-Tabelle: A B C D 0 m,3 MG 9 w,7 KR 3 3 w 3 KR 4 4 m 3,3 VIE 5 m 3,7 MG 6 3 w 5 MG 7 5 m 4 KR 8 3 w,3 VIE 9 4 m,7 NE 0 w D w,7 D 0 m 3,3 NE 3 m VIE 4 3 w MG 5 0 m 3,3-6 4 w,3 MG Varable A: Alter Varable B: Geschlecht Varable C: Klausurote Varable D: Kfz-Kezeche 9

10 Grudgesamthet: Studerede m Fachberech Wrtschaft Merkmalsträger: Studet Nr. 0 Merkmal: Alter Merkmalsausprägug: Grudgesamthet: Studerede m Fachberech Wrtschaft Merkmalsträger: Studet Nr. 3 Merkmal: Kfz-Kezeche Merkmalsausprägug: BO Merkmalstype ud -skale Varable habe bestmmte Arte vo Werte/Merkmalsauspräguge. Varable werde a Skale gemesse. Skala: Vorschrft, ach der edem Merkmalsträger eer Gesamthet geau ee Merkmalsausprägug zugeordet werde ka. Varabletyp: Qualtatve Varable Skala Nomalskala (Nome Name): We de Merkmalsauspräguge Name oder Bezechuge sd, de ausschleßlch der Kezechug dee. Kee Rehefolge bestmmbar. Jedem Merkmalsträger der Gesamthet wrd e Name zugeordet. Ragvarable Ordalskala (Ordug, Ragfolge): We de Merkmalsausprägug zusätzlch ee Ragfolge zum Ausdruck brgt. Jedem Merkmalsträger der Gesamthet wrd ee Ragummer oder Ragbezechug zugeordet oder Merkmale 0

11 Quattatve Varable Metrsche Skala (messe): We darüber haus och Dffereze ud Verhältsse vo Merkmalsauspräguge svoll sd. Jedem Merkmalsträger der Gesamthet wrd ee reelle Zahl zugeordet. De metrsche Skala be de quattatve Varable st etweder ee Itervallskala, we aussagefähge Dffereze der Auspräguge gebldet werde köe, z.b. heute st es be 0 Grad Temperatur 5 Grad wärmer als gester, edoch cht doppelt so warm (de Agelsachse mt eer Grad-Fahrehet- Skala würde dese Asteg cht als Verdopplug asehe!). oder ee Verhältsskala, we aussagefähge Quotete der Auspräguge gebldet werde köe (Müllers habe geau doppelt so vele Kder we Meers). Be Verhältsskale gbt es ee atürlche Nullpukt. Quattatve Varable oder Merkmale heße: dskret, we de Auspräguge ur solerte Zahlewerte aehme köe. (Auspräguge werde durch ee Zählvorgag ermttelt.) stetg, we se alle Zahlewerte ees Itervalls aehme köe. (Auspräguge werde durch ee Messvorgag ermttelt.) Bespele für dskrete quattatve Merkmale: Kderzahl Ewoherzahl Klausuramelduge Bespele für stetge quattatve Merkmale: Körpergröße Gewcht Alter De Uterschedug Nomal-, Ordal- oder metrsche Skala st für de Awedbarket vo statstsche Verfahre sehr wchtg. Ncht gaz so wchtg st de Uterschedug erhalb der metrsche Skala Itervall- oder Verhältsskala.

12 Ncht alle Varable lasse sch edeutg de obge Kategore zuorde, de das Messveau ud de Art der Messug beeflusst de Varabletyp! Bespele: Da ede Messug mt Messugeaugket behaftet st, mmt z.b. de Körpergröße cht alle Zahlewerte ees Itervalls (halbe Mllmeter ka ma cht messe!) a, soder ur durch Rude etstadee Werte. I der Praxs st de Varable Körpergröße also egetlch dskret, d.h. quasdskret. Theoretsch st es edoch zweckmäßg, alle Zahlewerte ees Itervalls als zulässg azuehme, d.h. de Körpergröße als stetges Merkmal azusehe, obwohl ur quas-dskret gemesse wrd. Das Lebesalter wrd Umfrage mest gaze Zahle als volledete Lebesahre agegebe. De theoretsch stetge Varable Alter wrd da dskret! Für vele Fragestelluge wrd de theoretsch stetge Varable Ekomme ach Ekommesklasse agegebe: bs 000, ,.... Dese Redukto des Messveaus (gröbere Skala) führt zu Iformatosverlust. Ma gbt ur och a, welche Ekommesklasse emad fällt. Der exakte Zetpukt der Messug ka de Ausprägug eer Varable beeflusse z.b. der Blutalkoholgehalt hägt davo ab, we vel Zet zwsche Messug ud letztem Geträk legt. Fleßede Übergäge zwsche Ragvarable ud quattatve Varable: Bespel: Pukteschema der Oberstufe st Ragvarable mt verfeerter Ordalskala: Merke: Ma ka Messergebsse eer quattatve Varable stets ee Ragvarable oder ee qualtatve Varable überführe. Dabe kommt es edoch zu eem Iformatosverlust. Bespel: Bredauer vo Glühbre st ee quattatve stetge Varable, dere Auspräguge a eer metrsche (Verhälts-)Skala gemesse werde. Ee Messug st a der Ordalskala möglch, we de Glühbre ach hrer Bredauer geordet werde ud Ragzahle vergebe werde. Da st es allerdgs cht mehr möglch zu sage, um we vel läger ee Lam-

13 pe als ee adere bret. Ee Messug a der Nomalskala st möglch, we de Bre gute Lampe-schlechte Lampe utertelt werde. Bespele zu Varable ud Skale: Varabletyp Skala Varable oder Merkmal Merkmalsausprägug oder Wert qualtatv Nomal Partezugehörgket CDU, SPD, Grüe,... qualtatv Nomal Wahrhetswert eer Wahr, falsch Aussage qualtatv Nomal Spelausgag bem 0,, Toto Rag Ordal Schulote,,3,4,5,6 Rag Ordal Hausummer...,,4,6,... Rag Ordal Destgrade be der Gefreter,..., Geeral Budeswehr quattatv Metrsch, Itervallskala, Uhrzet :00, 4:00 stetg bzw. quas- dskret quattatv Metrsch, Itervallskala, stetg bzw. quasdskret Temperatur Grad Celsus...,,3,4,... quattatv quattatv Metrsch, Verhältsskala, stetg bzw. quas-dskret Metrsch, Verhältsskala, stetg bzw. quas-dskret Etferug zwsche Woh- ud Arbetsstätte km,,5 km,... Alkoholgehalt m Blut 0, 0,,...0,8,... Aufberetug des erhobee Datematerals. Absolute ud relatve Häufgkete Erhebug der Kderzahl be 30 Famle, Stchprobeumfag 30 Merkmal Kderzahl X{x },..., quattatve, dskrete Varable mt metrscher Verhältsskala. 3

14 De Varable X ka de ezele Werte oder Merkmalsauspräguge x aehme. Laufdex der Urlste,,..., Urlste: 0, 4, 4,, 0, 3, 0,,,, 3, 6,,, 0,,, 0, 0,,, 3,, 3,,,, 0,, Arbetsschrtte: ) Sorterte Urlste: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 4,4,6 We vele verschedee Merkmalsauspräguge bzw. Kderzahle gbt es? ) Gruppere Es gbt m6 Merkmalsauspräguge: Ke Kd, e Kd, zwe Kder, dre Kder, ver Kder, sechs Kder Bezeche de m6 verschedee Merkmalsauspräguge mt x, x, x 3, x 4,x 5, x 6 bzw. allgemeer mt x,,...,m Laufdex der uterschedlche Merkmalsauspräguge 3) Ermttlug der absolute Häufgkete: Strchlste: Kee Kder (x 0): E Kd: (x ) Zwe Kder: (x 3 ) Dre Kder: (x 4 3) Ver Kder: (x 5 4) Sechs Kder: (x 6 6) Bezeche mt f,,...,m, her:,...,6 de absolute Häufgket der Merkmalsausprägug x, d.h. de Azahl der Elemete, welche de Merkmalsausprägug x bestze. Kee Kder (x 0): f 7 E Kd: (x ) f Zwe Kder: (x 3 ) f 3 5 Dre Kder: (x 4 3) f 4 4 Ver Kder: (x 5 4) f 5 Sechs Kder: (x 6 6) f 6 Das m-tupel der Paare (x,f ),,...,m 4

15 heßt Häufgketsvertelug. ((x,f ), (x,f ), (x 3,f 3 ), (x 4,f 4 ), (x 5,f 5 ), (x 6,f 6 )) ((0,7), (,), (,5), (3,4), (4,), (6,)) Es glt stets: m f der Elemete der Gesamthet., d.h. de Summe aller absolute Häufgkete st glech der Azahl Probe: f +f + f 3 +f 4 + f 5 +f Darüber haus glt: 0 f,,...,m. Es köe maxmal Elemete de Merkmalsausprägug x habe. Bespel: We ma ur kderlose Paare betrachtet, st f 30, f,..., f 6 0 4) ud 5) Ermttlug der relatve ud prozetuale relatve Häufgkete Bezeche de Zahle als relatve Häufgkete ud de Zahle als relatve prozetuale Häufgkete. m Es glt stets h ud h % 00 m h h % h f 00 Darüber haus glt: 0 h,,...,m ud 0 h % 00 6) Darstellug der Häufgketsvertelug als Tabelle oder Grafk x f h % h x 0 7 0,3333 3,333 x 0, ,666 x 3 5 0,6666 6,666 x ,3333 3,333 x 5 4 0, ,666 x 6 6 0, ,333 Summe

16 Be der grafsche Darstellug der Häufgketsvertelug ka ma be eem dskrete Merkmal e höheproportoales Balkedagramm verwede. De Häufgkete werde durch Strecke, d.h. durch de Höhe der Balke beschrebe. Balkedagramm Kderzahl Kder Kd Kder 3 Kder 4 Kder 6 Kder Balkedagramm Kderzahl 40 % 35 % % 5 % % 5 % 0 % % % 0 Kder Kd Kder 3 Kder 4 Kder 6 Kder 6

17 Kuchedagramm Kderzahl Kder 4 Kder 3 Kder Kder Kd 0 Kder 7) Ermttlug vo kumulerte Häufgkete Es wrd m folgede ageomme, dass be quattatve Varable de Merkmalsauspräguge der Größe ach ummerert ud geordet sd: x <x < x 3 <x 4 < x 5 < <x m De Azahl der Elemete/Merkmalsträger eer statstsche Masse/Gesamthet, be dee de Auspräguge des Merkmals höchstes glech x st heße kumulerte absolute Häufgkete. F : f k k F f +f +...+f,,m,... Es glt: F F f Bespel: De Azahl der Famle mt höchstes 3 Kder (Ke Kd, e Kd, zwe Kder, dre Kder) st f +f +f 3 +f Aalog lasse sch auch de kumulerte relatve Häufgkete H bereche: Es glt: Bespel: h k k H h +h +...+h,,m,... H h H oder Der relatve Atel der Famle mt maxmal 3 Kder (Ke Kd, e Kd, zwe Kder, dre Kder) st h +h +h 3 +h 4 0,333+0,3666+0,666+0,3330,8999 H F 7

18 Nr. Azahl der Kder absolute Häufgket der Famle mt x Kder relatve Häufgket der Famle mt x Kder prozetuale relatve Häufgket der Famle mt x Kder kumulerte absolute Häufgket der Famle mt maxmal x Kder kumulerte relatve Häufgket der Famle mt maxmal x Kder kumulerte prozetuale relatve Häufgket der Famle mt maxmal x Kder x f h h % F H H % 0 7 0,333 3, ,333 3,333 0, , , ,667 6, , , ,333 3, , ,0667 6, , , ,0333 3, , Summe v Kderzahl Wertelabels Codes Azahl% sgesamt% vo gültge Kder Kd Kder Kder Kder Kder Summe Egeschlosse sd 30 vo sgesamt 30 Fälle. Klasserte Häufgkete Klasseeteluge, we de Ermttlug geauer Agabe zu umstädlch oder cht möglch st, z.b. be dskretem Merkmal mt sehr vele uterschedlche Merkmalsauspräguge oder be stetgem Merkmal. Bespel: Wll ma ee Häufgketsvertelug des Ekommes Deutschlad aufstelle, wäre es uüberschtlch, de Azahl vo Bezeher vo Ekomme alle ( Cet) uterschedlche Ekommeshöhe azugebe. Als repräsetatve Merkmalswert der Klasse wählt ma de Klassemtte m 8

19 Zel der Klasseetelug: Struktur der Gesamthet möglchst deutlch herauszuarbete. Notwedge Azahl der Klasse hägt vom Utersuchugsgegestad ud Datemateral ab. Zu wege Klasse: Iformatosverlust! Zu vele Klasse: Uüberschtlchket, da ege Klasse da ur schwach besetzt sd. Bestrebug, kostate Klassebrete zu wähle! Problem, we Merkmalswert geau auf Klassegreze fällt: er wrd z.b. edrgere oder höhere oder e zur Hälfte bede Klasse aufgeomme. Soll de oberste Klasse ee Obergreze habe? We cht, da kommt es zu uterschedlch brete Klasse... Kostate Klassebrete Berechug der Klassegreze be kostate Klassebrete: ) Bestmmug des Werteberechs [MIN,, MAX] ) Bestmmug der Azahl m der Klasse Max M 3) Berechug der Klassebrete B m 4) Berechug der Klasseutergreze ud der Klasseobergreze Bespel: M 500, Max3500, wähle m6 Klasse, B 500, bestmme 6 de Klassegreze: De m Klasse sd m Itervalle [m -/ B;m +/ B) (her: lks geschlosse, rechts offe), mt m de ewelge Klassemtte. [500;000) [000;500) [500;000) [000;500) [500;3000) [3000;3500] De Azahl der Elemete, dere Merkmalswert de Klasse,,...,m fällt, bezechet ma als absolute Klassehäufgket f. De relatve Klassehäufgket h ergbt sch be m Klasse als 9

20 h f mt m f Bespel: Kfz-Hädler Klasse Nr. Ekommesvertelug der Beschäftgte Bruttomoatsverdest Klassebrete Klassemtte Azahl Atel Beschäftgte Beschäftgte Bcost. B m f h 500 bs uter , bs uter , bs uter , bs uter , bs uter , bs uter ,0875 Summe 80 Be der grafsche Darstellug der Häufgketsvertelug ka be kostater Klassebrete e Hstogramm 3 verwedet werde mt de Klassehäufgkete als Säulehöhe Klasserte Date lasse sch eem Hstogramm oder auch als Häufgketspolygo darstelle. Bem Häufgketspolygo werde de Klassemtte a de obere Säulesete mteader verbude. 3 E Hstogramm st e Balkedagramm, be dem kee Zwscheräume zwsche de Balke lege. 0

21 h f 30 0,4 0,35 5 0,3 0, , 0,5 0 0, 0, Hstogramm mt mt Klasse Klasse kostater Brete, Brete, Atel Azahl Beschäftgte Beschäftgte mt Häufgketspolygo Ekomme.. Ugleche Klassebrete Verwedet ma uterschedlche Klassebrete B, da dürfe cht mehr de Balkehöhe de Klassehäufgkete proportoal se, soder de Fläche. Dazu muss ma de Klassehäufgkete eue Balkehöhe umreche. I efache Statstkprogramme wrd de Opto uterschedlcher Klassebrete mestes gar cht agebote, soder de uterschedlche Berechugsvorschrfte für gleche oder ugleche Berechugsvorschrfte verachlässgt. Zu de Berechugsvorschrfte für de eue Balkehöhe be ugleche Klassebrete vgl. Lteratur. Bespel: Metwohuge

22 Balkedagramm Wohugsgröße Quadratmeter Mehrdmesoale Häufgkete, Kreuztabelle Mehrdmesoale Häufgketsvertelug, we de Merkmalsträger hschtlch mehrerer Merkmale utersucht werde. Zwedmesoale Urlste: Erhebe zwe Merkmale pro Merkmalsträger (z.b. Merkmal Y: Wohugsgröße ud Merkmal X Kaltmete.) Bespel: Metwohuge v3 Kaltmete Euro v Wohugsgröße Quadratmeter Abs. Häufgket Summe Summe Egeschlosse sd 7 vo sgesamt 7 Fälle

23 v3 Kaltmete Euro v Wohugsgröße Quadratmeter Spalteprozete Summe Summe N Egeschlosse sd 7 vo sgesamt 7 Fälle v3 Kaltmete Euro v Wohugsgröße Quadratmeter Zeleprozete Summe N Summe Egeschlosse sd 7 vo sgesamt 7 Fälle 3

24 Streudagramm V Wohugsgröße Quadratmeter V3 Kaltmete Euro V Parameter vo Häufgketsverteluge V Zel: Verdchte vo vele Ezelformatoe aus de Häufgketsverteluge mt Hlfe vo bestmmte Kegröße, Parameter oder Maßzahle. 3. Lageparameter De Lage eer Häufgketsvertelug auf der Merkmalswertachse stellt ee wesetlche Egeschaft eer Häufgketsvertelug dar. 4

25 Bespel: Wohugsgröße vo bs 4 Zmmerwohuge Balkedagramm Wohugsgröße Quadratmeter Bespel: Wohugsgröße vo 5 bs 7 Zmmerwohuge Balkedagramm Wohugsgröße Quadratmeter

26 Idee: Beschrebug der Lage der Häufgketsvertelug mt der Mtte bzw. dem Zetrum der Vertelug. Es ka da der relatve Abstad der ezele Werte vo der Mtte bestmmt werde. 3.. Der Modus Auch Modalwert, häufgster Wert, höchste Säule Defto: Modus st derege Wert, der am häufgste beobachtet wrd. Voraussetzug: Mdestes Nomal-Skalerug der Merkmale. Bespel: Metwohuge ach Azahl Zmmer Balkedagramm Azahl der Zmmer Egug: Modus st przpell für ede Vertelug bestmmbar. Bldug des Modus st cht mmer svoll, z.b. we kee herausragede Häufgket zu beobachte st. Ezger möglcher Mttelwert für omalskalerte Merkmale Beurtelug: Schelle ud efache Ermttlug. 6

27 Vo Ausreßer ubeeflusst. Ist geeget, we sch Vertelug auf de Modus h zusptzt, sollte herausrageder Wert se. Klasserte Date mt gleche Klassebrete: - Bestmmug der Modusklasse als de Klasse mt der größte Klassehäufgket. - Bestmmug der Klassemtte der Modusklasse als Näherugswert für de Modus. Bespel: Metwohuge ach Kaltmete Balkedagramm Kaltmete Euro Klasserte Date mt uglecher Klassebrete: De Berechug st etwas komplzerter ud wrd her verachlässgt. Schwergkete der Bestmmug des Modus be Vertelug mt mehrere Mod oder Glechvertelug 7

28 h, f x h, f x 3.. Der Meda Auch Zetralwert, zetraler Wert Defto: Meda heßt der Merkmalswert, desse Merkmalsträger der Ragordug aller Merkmalsträger geau de mttlere Posto emmt. Uterhalb ud oberhalb des Medas lege ewels de Hälfte aller Merkmalsauspräguge oder Merkmalswerte. Voraussetzuge: Wege der beötgte Ragordug müsse de Merkmale mdestes ordalskalert se. Berechug: Mttlere Posto Bespel: Schuhgröße Fall: ugerade. De Medaposto st her Posto 5. 8

29 Der füfte Schuh der Rehe st der Medaschuh. See Größe st der Meda. Bespel: Überstude Fall: ugerade: Bestmmug des Merkmals x, das a der mttlere Posto steht. + Erfassug der gelestete Überstude: absolute Azahl kumulerte Azahl x f F Summe 4 4+ De mttlere Posto st. x ME. Der Beschäftgte mt der Postosummer hat geau Überstude gelestet (De erste 0 Beschäftgte habe kee, der. bs 5. Beschäftgte hat ee Überstude gelestet.). 50% der Beschäftgte habe oder weger Überstude gelestet, 50% habe oder mehr Überstude gelestet. Bespel: Fehltage Fall: gerade: De mttlere Postoszffer st kee gaze Zahl (her: 0,5). 9

30 Fehltage absolute Azahl kumulerte Azahl x f F Summe 0 x ME x + x ( 6 + 7) ( ) + Der Meda st her der Durchschtt der Merkmalsauspräguge der bede zetral gelegee Merkmalsträger (her: Merkmalsträger mt Posto 0 hat 6 Fehltage ud Merkmalsträger mt Posto hat 7 Fehltage). 50% der Beschäftgte habe 6,5 ud weger Tage ud 50% der Beschäftgte habe 6,5 ud mehr Tage gefehlt. Beurtelug: ubeeflusst vo Ausreßer, da ur vo Azahl der Merkmalswerte abhägg, schelle, efache Ermttlug, Der Meda ka u.u. selber als Merkmalswert cht vorkomme (6,5 Fehltage gbt es cht)! Be ordalskalerte Merkmale ud gerader Azahl st ee Durchschttsbldug zwsche de zwe zetrale Merkmale, we se uterschedlche Merkmalsauspräguge aufwese, cht möglch ( 50% aller Agehörger der Budeswehr habe de Destrag Leutat oder ee tefere Rag, 50% habe de Destrag Leutat oder ee höhere Rag. Gemttelte Räge gbt es edoch cht.). Geeget für schefe Verteluge, Zerlegug der Gesamthet Hälfte gbt bessere Eblck de Mtte. Bestmmug des Medas aus der kumulerte Häufgketsvertelug: 30

31 Bespel: Metwohuge ach Kaltmete v3 Kaltmete Euro Codes Azahl% sgesamt% vo gültge% kumulert

32 Summe Meda 400 Meda (terpolert) Mode 650 Berechug des Medas be klasserte Date: Meda muss aus der Agabe der Klasserug geschätzt werde. De Efall- oder Medaklasse m st de Klasse, der der Merkmalsträger mt der Postoszffer oder 0,5 legt 4. Zur Utergreze der Medaklasse a m st ee Strecke d zu addere, de sch aus dem Strahlesatz bzw. eer leare Iterpolato ergbt: 0,5 x ME a m + Fm ( bm am) f. m Zur geaue Berechug des Medas be klasserte Date vgl. z.b. Bourer S Verefached ka de Klassemtte der Medaklasse als Näherug für de Meda errechet werde. 4 Es wrd her cht mehr ach geradem oder ugeradem Stchprobeumfag uterschede. 3

33 3..3 p%-quatle Defto: Uterhalb des p%-quartls lege p % der Realsatoe oder Werte. Nebe dem allgemee Begrff der p%-quatle sd auch bestmmte Spezalbegrffe gebräuchlch, z.b. de Quartle (tele de Gesamtmasse 4 Tele), de Qutle, (tele de Gesamtmasse 5 Tele), de Perzetle (tele de Gesamtmasse 00 Tele), Defto: Quartl: Uterhalb des. Quartls lege 5% der Realsatoe oder Werte. Uterhalb des 3. Quartls lege 75% der Werte. Der Meda etsprcht dem. Quartl, uter dem 50% der Werte lege. Für uklasserte Date: Bespel: Metwohuge ach Kaltmete Das. Quartl beträgt ca. 30. Das 3. Quartl beträgt ca De Werte köe aus de kumulerte relatve prozetuale Häufgkete des Computer-Ausdrucks weter vore abgelese werde. Für klasserte Date: De Berechug der Quartle bzw. p%-quatle erfolgt aalog zur Berechug des Medas. De Quartlsklasse st de Klasse, der der Merkmalsträger mt der Postoszffer 0,5 bzw.0,75 legt 5. Zur Utergreze der Quartlsklasse a m st ee Strecke d zu addere, de sch aus dem Strahlesatz bzw. eer leare Iterpolato ergbt: Q 0,5 Fm 0,75 Fm am + ( bm am) bzw. Q am + ( bm am ) f f m Allgeme wrd das p%-quatl berechet als: m 5 Es wrd her cht mehr ach geradem oder ugeradem Stchprobeumfag uterschede. 33

34 p% F p%-quatl 00 m am + ( bm am) f m 3..4 Arthmetsches Mttel Auch Mttelwert, Durchschtt, mea Defto: Das arthmetsche Mttel x vo Werte x st de Summe deser Werte, getelt durch hre Azahl. Der Mttelwert x betrachtet de efache Etferuge der Werte voeader. x x Voraussetzug: Es muss mdestes Itervallskalerug 6 vorlege; de Merkmale müsse messbar cht zählbar se! Achtug: Durchschttsote über x egetlch cht zulässg! Vo omalskalerte Merkmale ka ma überhaupt ke x blde! Bespel: Gewcht vo 5 Persoe kg x ( ) 65, 4kg 5 Egeschafte: De Summe der Dffereze aller Werte vom Mttelwert st 0! ( 55 65, 4) + ( 75 65, 4) + ( 60 65, 4) + ( 66 65, 4) + ( 7 65, 4) ( 0, 4) + 9, 6 + ( 5, 4) + 0, 6 + 5, 6 0 De Summe der Quadrate der Dffereze aller Werte vom Mttelwert st kleer als de Summe der Quadrate der Dffereze aller Werte vo rgedeem adere Wert (Mmumegeschaft der arthmetsche Mttels) ( 55 65, 4) + ( 75 65, 4) + ( 60 65, 4) + ( 66 65, 4) + ( 7 65, 4) 6, 6 Ma muss also Dffereze blde köe. Ee Nullpukt braucht ma des cht. 34

35 Würde ma bspw. de Dffereze zu 65 reche, wäre de Summe größer. ( 55 65) + ( 75 65) + ( 60 65) + ( 66 65) + ( 7 65) 6 We e ezeler Beobachtugswert mehrfach auftrtt: Defto: Das gewogee arthmetsche Mttel berechet sch, dem de ezele Merkmalswerte mt hrer Häufgket f gewoge werde. x Bespel: Semesterzahl für e gewogees arthmetsches Mttel: m x f Semesterzahl Summe x 00 f ( ) 9, 7 Der Mttelwert sollte cht mt übertrebeer Geaugket der Nachkommastelle agegebe werde, also besser 9,7 statt 9,73. Beurtelug: - Wrd be klee Gesamthete vo Ausreßer stark beeflusst. 4 z.b. x ( ), 75. x wrd ach ute gezoge. - Ugeeget be schefe Verteluge, geeget be umodale Verteluge. - We Merkmale als Quotete defert sd, st x uzulässg: Bespel: De Weg zur km etferte Hochschule legt S. Tudet mt 5 km/h zurück, de Hemweg mt 0 km/h. De Durchschttsgeschwdgket beträgt NICHT 7,5 km/h! Durchschttsgeschwdgkete werde mt dem harmosche Mttel berechet! - De Mttelwerte zweer Verteluge köe zu eem gemesame Mttelwert aggregert werde: Bespel: Semesterzahl Semesterzahl Summe Bochum: f Esse: f

36 x Bo x E x Bo+E ( ) 9, 73 ( ) 0 88 ( 9, ) 9, 856 Für klasserte Häufgketsverteluge: - x ka ur äherugswese berechet werde. - Es werde de Klassemtte als Merkmalsauspräguge verwedet. Bespel: Nebeeküfte De durchschttlche Nebeeküfte betrage Nebeeküfte vo bs uter m f Summe 45 x 45 ( ) 30, 9 Damt st x deutlch größer als der Meda x ME 7,90. Bespel: Metwohuge ach Größe V Wohugsgröße Quadratmeter 36

37 Mttelwert 7.46 Summe Mmum 5.00 Maxmum N 7. Quartl 47.5 Meda Quartl Egeschlosse sd 7 vo sgesamt 7 Fälle Der Meda legt be 70 ud das arthmetsche Mttel be 7,46. Häufgketspolygo V Wohugsgröße Quadratmeter Es glt: x MO ME < < x x be rechtsschefe bzw. lksstele umodale Verteluge (rechtsschef heßt: rechts zu flach). x ME x MO x < < be lksschefe bzw. rechtsstele umodale Verteluge (lkssschef heßt: lks zu flach). 37

38 3..5 Harmosches Mttel Defto: Vom HM lege de vor hm der Häufgketsvertelug legede Merkmalswerte der Summe gesehe relatv glech wet etfert we de ach hm legede Merkmalswerte. Das harmosche Mttel 7 betrachtet also de relatve Etferuge der Merkmalswerte voeader. (erere: Das AM betrachtete de efache Etferuge.). Voraussetzuge: HM f + f +... f m f f f x x x - Für relatve Etferuge braucht ma Quotete. HM st ezge Möglchket, Durchschttswerte vo Quote zu bestmme. Der Zähler der Quote ud de Häufgket muss auf deselbe Größe bezoge se. - Das Merkmal muss verhältsskalert 8 se. - De Merkmalswerte müsse alle postv oder alle egatv se. m m Bespel: De Weg zur km etferte Hochschule legt S. Tudet mt 5 km/h zurück, de Hemweg mt 0 km/h. (Zähler der Quote: km, Häufgket (Her: Etferug) ebefalls km.) x 5km/h, f km x 0km/h, f km Gesamtstrecke: f +f 4km [ ] [ ] km Hweg: 5 km / h [ h] 0, 4, Rückweg: 0 Durchschttsgeschwdgket [ km] [ km / h] Gesamtstrecke Gesamtzet Alteratve Berechug ach der Formel : [ h] 0,, Gesamtzet: 0,6[h]. 4 0 [ km], 6[ h] 6, 67 [ km / h] 7 Das harmosche Mttel lässt sch auch mt Hlfe der Harmoelehre der Musk erkläre: We de Schallwelle doppelt so schell schwge [ MHz bzw. Azahl Schwguge/Sekude] we bem Kammerto a, st e To doppelt so hoch. 8 Ma muss also aussagefähge Quotete mt de Merkmale blde köe: doppelt so groß, halb so schell... 38

39 [ km] + [ km] 4[ km] 4[ km] 6, 67[ km / h] [ km] [ km] 3 + [ h] + [ h] [ h] km km 5[ ] 0[ ] h h Klasserte Date: Nehme Klassemtte für de x Geometrsches Mttel Defto: Das geometrsche Mttel st der Wert, der mehrere aufeader folgede Vervelfachuge eer Größe als Mttelwert berechet. Voraussetzuge: GM x x... x - Merkmalswerte müsse verhältsskalert 9 se. - Merkmalswerte müsse größer als Null se Beurtelug: Ezge Möglchket, um aus Wachstumsrate bzw. aus de zugehörge Wachstumsfaktore e Durchschttswachstum zu bereche. Bespel: Gewetwcklug Gew Wachstumsrate % 4,00-3,8 8,0 3,7 Wachstumsfaktor,04 0,96,080,037 Es glt: Wachstumsrate [ %](Wachstumsfaktor-) 00 % (,0-) 00 Der Wachstumsfaktor sagt aus, das wevel-fache der eue Wert des alte Wertes st. Der Wert des Jahres 003 st das,08-fache des Wertes des Jahres 00. GM 4, 04 0, 96, 08, 037, 089 Das Durchschttswachstum beträgt,89%. 9 Aus de Merkmale muss ma aussagefähge Quotete blde köe: z.b. doppelt so schell. 39

40 Es glt: Ist der Afagswert ud der Edwert der Etwcklug eer wrtschaftlche Größe bekat, so ka de Gesamtvervelfachug aus dese bede Größe berechet werde Daraus folgt: GM Edwert Afagswert GM , 089 Klasserte Date: Bem geometrsche Mttel cht möglch. 3. Streuugsparameter E Mesch, der vo Statstk hört, dekt dabe ur a Mttelwert. Er glaubt cht dra ud st dagege, e Bespel soll es glech belege: E Jäger auf der Eteagd hat ee erste Schuss gewagt. Der Schuss zu hastg aus dem Rohr, lag ee gute Hadbret vor. Der zwete Schuss mt lautem Krach lag ee gute Hadbret ach. Der Jäger sprcht gaz ubeschwert voll Glaube a de Mttelwert: Statstsch st de Ete tot. Doch wär er klug ud ähme Schrot - des se gesagt, h zu bekehre - er würde see Chace mehre: Der Schuss geht ab, de Ete stürzt, wel Streuug hr das Lebe kürzt. P.H. Lst, Marburg 977 Beschrebe de Streuug der Merkmalswerte um ee mttlere Wert Maß für Streuug ka auch Etferug zwsche zwe ausgewählte Merkmalsträger se 40

41 3.. Spawete Auch Varatosbrete, rage Defto: Voraussetzug: Beurtelug: Maß für de Etferug zwsche klestem ud größtem beobachtete Merkmalswert, gbt Läge des Berechs a, über de sch de Merkmalswerte vertele. Berechug vo Dffereze erfordert mdestes Itervallskalerug. I Praxs häufg auch Ordalskalerug als ausreched agesehe ( De Note streue zwsche ud 5. ). - Erste Abschätzug für de Streuug, sofer kee Ausreßer vorlege. - Reagert sehr empfdlch auf Ausreßer. - Aschaulches ud lecht verstädlches Maß für de Brete der Streuug. - Gbt kee Iformato über de Art der Streuug der Merkmalswerte. - I Praxs häufg cht als absolutes Maß soder als Wertepaar höchst/tefst (z.b. be Temperature, Börsekurse, Tdehub) agegebe. Bespel: Semesterzahl Semesterzahl Summe f De beötgte Semesterzahl bs zum Dplom streut zwsche 8 ud Semester. Klasserte Date: Nehme als kleste Wert de Utergreze der tefste Klasse ud als größte Wert de Obergreze der höchste Klasse. Bespel: Im Bespel der Nebeeküfte streut de Höhe der Eküfte zwsche 50 ud Quartlsabstad Defto: Der zetrale Quartlsabstad ZQA Q3 Q st de Etferug zwsche de bede Merkmalswerte, de de zetral gelegee 50% der Merkmalsträger egreze. 4

42 Defto: Der halbe Quartlsabstad Q3 Q wrd als Streuugsmaß svollerwese geau da egesetzt, we als Lageparameter der Meda verwedet wrd. Voraussetzug: Merkmale müsse mdestes tervallskalert se, da zur Berechug des Abstades de Dfferez gebldet werde muss. We statt des Abstades ur de Werte der bede Quartle Q ud Q3 agegebe werde, recht de Ordalskala ( 50% der Note streue zwsche ud 3 ). Grafsche Darstellug des zetrale Quartlsabstad mt Hlfe des Summepolygos H 0,75 50% 0,5 0, Q Zetraler Quartlsabstad Q3 x Beurtelug: Ausreßer uproblematsch, da utere ud obere 5% der Häufgketsvertelug abgeschtte werde. We be Spawete wrd über Streuberech formert, aber cht we de Merkmalswerte desem Berech streue. Isbesodere geeget für Vertelug des Ekommes ud des Vermöges ( 50% der Ekomme lege zwsche 500 ud 300 ) Klasserte Date: Berechug der Quartle we weter vore beschrebe. 4

43 3..3 Mttlere absolute Abwechug Mea absolute devato m MAD x x x f oder m MADx ME x xme st das arthmetsche Mttel der absolute Abwechuge der ezele Merkmalswerte vom arthmetsche Mttel oder vom Meda, ma braucht mdestes tervallskalerte Merkmale, allgeme lässt sch zege, dass de mttlere absolute Abwechug bezoge auf rgedee Wert e kleer werde ka als de mttlere absolute Abwechug bezoge auf de Meda (Mmumegeschaft des Medas). De mttlere absolute Abwechug lässt sch haltlch terpretere ud st efach zu bereche: z.b. m Durchschtt weche de Überstude aus dem Überstudebespel um,3 Stude vom arthmetsche Mttel bzw. um, Stude vom Meda ab. f 3..4 Varaz ud Stadardabwechug Varace, stadard devato Defto: De Varaz st e Streuugsmaß, das als Summe der quadrerte Abwechuge der Merkmalswerte vom Mttelwert, dvdert durch de Azahl der Elemete, berechet wrd. De Stadardabwechug st de Wurzel aus der Varaz. De Symbole σ ud σ stehe für de theoretsche Größe der Varaz bzw. Stadardabwechug der Grudgesamthet. I der Praxs teressere mmer kokrete Varaze ud Stadardabwechug eer kokrete Stchprobe. Zur Uterschedug vo de theoretsche Größe σ ud σ aus der Grudgesamthet, de der Regel ubekat sd ud ur abgeschätzt werde köe, werde de Symbole s ud s verwedet. De Varaz eer Stchprobe st: s m ( x x) De Formel für de Varaz der Grudgesamthet 0 st f 0 Im Gegesatz zur Formel für s für de Stchprobevaraz wrd her statt durch durch getelt. We ma durch etwas größeres telt, kommt etwas kleeres heraus. De theoretsche Varaz der Grudgesamthet fällt also mmer etwas kleer aus als de Stchprobevaraz s. Damt überschätzt de Stchprobevaraz de σ 43

44 m σ ( x x) f Voraussetzuge: Wege der Abstadsmessug müsse de Merkmale mdestes tervallskalert se. Bespel: Überstude x f Überstude x x ( x x) ( x x) f 0 0 -,6,59 5,9 5-0,6 0,37 5,58 6 0,39 0,5 0,9 3 4,39,93 7,73 4 3,39 5,7 7, ,39,49 34,48 4 9,76 66 ) x, 6 4 ) Berechug der quadrerte Abwechuge ( x x) f ud Summebldug ergbt 9,76. 9, 76 3) s, 9 [Überstude zum Quadrat]!!! 4 4) s, 9,5 [ Überstude ]!!! theoretsche Varaz der Grudgesamthet etwas. Ma legt also be der Abschätzug auf der pessmstsche, aber schere Sete der Streuugsmessug. Obge Formel für de Varaz lässt sch auch der etwas bequemere Varate m σ x f x darstelle (Verschebugssatz). 44

45 Achtug: De Iterpretato Im Durchschtt streue de Merkmalswerte um,5 Stude um de Mttelwert st cht zulässg! Rchtg heßt es: De Streuug beträgt,5 Überstude! Beurtelug: De Merkmale müsse mdestes tervallskalert se, da Dffereze berechet werde. De Varaz (ud de Stadardabwechug) ka cht haltlch terpretert werde, de de resulterede quadrerte Dmesoe sd haltlch cht terpreterbar. Quadratur der Abwechuge führt zu postve Abwechugswerte, de um so größer ausfalle, e weter der Merkmalswert vom Mttelwert weg st (Stärkere Gewchtug der Ausreßer!) Svoll ur bem Verglech zweer Verteluge; es ka de mt der gergere Varaz bzw. Streuug detfzert werde. E Verglech zweer Varaze oder Stadardabwechuge st ur be ählchem Mttelwert svoll. Je größer de Varaz st, desto größer st de Stadardabwechug. Klasserte Date: Nur äherugswese Berechug der Varaz ud Stadardabwechug möglch Ersetze de Merkmalswerte durch de Klassemtte (d.h. Aahme, dass alle Merkmalswerte auf de Klassemtte falle.). Bespel: Nebeeküfte 45

46 Nebeeküfte vo bs zu Klassemtte m f m f ( m x) ( m x) ( m x) f , , , ,9 9.3, , ,9 5.09, , ,08 845, , , , , , , , , x 30, Berechug der quadrerte Abwechuge der Klassemtte m vom Mttelwert ud Addto s , ,7 45 s 88, 58 Ihaltlche Iterpretato der Ergebsse cht möglch, ur Größeverglech! I ege Veröffetlchuge wrd statt der Stadardabwechug der Stadardfehler s.e. (stadard error) agegebe. s s. e. oder der Stadardfehler des Mttelwertes s M 3..5 Varatoskoeffzet Defto: Der Varatoskoeffzet st e Maß zum Verglech der Streuug zweer Verteluge mt sehr uterschedlche Mttelwerte. s VK 00 x s Bespel: Nebeeküfte VK 88, , 8% 30, 9 De Stadardabwechug beträgt 58,8% des arthmetsche Mttelwertes. Ee wetergehede Iterpretato st cht zulässg. 46

47 Beurtelug: Wege Verwedug der Stadardabwechug cht terpreterbar. Ist dmesoslose Größe ud damt uabhägg vom Nveau der Ausgagswerte Eget sch zum Verglech vo Streuuge vo Häufgketsverteluge mt uterschedlchem Mttelwert. Bespel: Metwohuge V Wohugsgröße Quadratmeter Mttelwert 7.46 Summe Mmum 5.00 Maxmum N 7 Stadardabwechug , 45 Varatoskoeffzet 00 44% 7, 46 V3 Kaltmete Euro Mttelwert Summe Mmum 0.00 Maxmum N 7 Stadardabwechug , 49 Varatoskoeffzet 00 40% 446, 8 De Wohugsgröße streut stärker als de Kaltmete. 47

48 3..6 Zusammefassug Maße ud Skale Skala Nomal Ordal Itervall Verhälts (mt atürlchem Nullpukt) Maß Lagemaße Modus X X X X Meda X X X arthmet. Mttel X X geometr. Mttel, harmosch X Streuugsmaße Spawete X X X Quartlsabstad X X X mttlere absolute Abwechug X X Varaz, Stadardabwechug X X Varatoskoeffzet X ach: Bleymüller, Gehlert, Gülcher (00), S. 4 4 Wetere Vertelugsmaße 4. Box-Plots Auch: Box-Whsker-Plot (whskerbarthaar) E Box-Plot veraschaulcht verefacht de Lage ud Streuug vo Verteluge grafsch. Es zegt -. ud 3. Quartl - Meda - Extreme Werte - Ausreßer. De mttlere 50% der Beobachtuge werde durch ee Kaste (Box) dargestellt, der durch das. ud 3. Quartl begrezt wrd. I der Box wrd der Meda als Le agezegt. Es werde Zäue festgelegt. Ierhalb der Zäue aber außerhalb der Box lege de extreme Werte. De Zäue lege eer Etferug des -fache Quartlsabstads d.h. das -fache der Boxläge vom. bzw. 3. Quartl weg (adacet values). De Zäue köe auch kürzer ausfalle, falls das Mmum oder das Maxmum um weger als ee Quartlsabstad vo Q bzw. Q 3 etfert lege. Außerhalb der Zäue lege de Ausreßer. 48

49 Bespel: Bem Alter der Beschäftgte ees Uterehmes lege der Meda be 46 Jahre, das. Quartl be 40, das 3. Quartl be 50 Jahre. Der Praktkat st 9 ud de Hausmester 55 Jahre. Wer vo bede st Ausreßer? De Zäue lege be ud Das Alter der Hausmester st ke Ausreßer, es legt dessets des Zaus., ZQAQ 3-Q ZQA * 0 Q x ME Q 3 Box-Plots köe gut zum Verglech verschedeer Verteluge egesetzt werde. Bespel: Metwohuge Box-Plot eer lksstele Vertelug: V3 Kaltmete Euro Mttelwert Summe Mmum 0.00 Maxmum N 7 Stadardabwechug Quartl Meda Quartl Schefe.03 Kurtoss.58 Egeschlosse sd 7 vo sgesamt 7 Fälle 49

50 Häufgketspolygo V3 Kaltmete Euro Schefe, Wölbug Nebe Lage ud Streuug sd Schefe ud Wölbug wetere wchtge Egeschafte eer Häufgketsvertelug. Schefe: Schefe >0: lksstel bzw. rechtsschef! Schefe 0: symmetrsche Vertelug Schefe <0 rechtsstel bzw. lksschef 50

51 lksstel bzw. rechtsschef rechtsstel bzw. lksschef Schefe/Skewess >0 Schefe/Skewess <0 Es st ur svoll, de Wölbug symmetrscher Verteluge zu bereche! Wölbug/Kurtoss: Wölbug < 0: flacher gewölbt (als ee Normalvertelug mt deselbe Parameter) Wölbug 0 detsche Wölbug (we ee Normalvertelug mt deselbe Parameter) Wölbug > 0: steler gewölbt (als ee Normalvertelug mt deselbe Parameter) De Wölbug ka ur schlecht per Augemaß detfzert werde, wel se mmer mt der korrespoderede Normalvertelug verglche werde muss! Darüber haus reagert das Wölbugsmaß sehr empfdlch auf usymmetrsche Verteluge, so dass ur be symmetrsche Verteluge de Wölbug berechet werde sollte. De Normalvertelug wrd erst der duktve Statstk egeführt. De Gestalt der Normalvertelug mt de Parameter Erwartugswert 0 ud Streuug (auch als Gauß-Kurve bezechet) war auf dem alte 0 DM-Sche abgebldet. 5

52 stele Wölbug flache Wölbug Wölbug > 0 Wölbug < Kozetratosmaße We st de Merkmalswertsumme (kumulerte Merkmalsauspräguge) auf de Merkmalsträger vertelt? Ist se glechmäßg auf de Merkmalsträger vertelt oder kozetrert se sch auf wege Merkmalsträger? Bespel: Vertelug des Ekommes (Merkmalswertsumme, kumulerte Merkmalswerte) auf de Haushalte (Merkmalsträger): Hat eder deselbe Ekommesatel oder erhalte wege ee große Ekommesatel? Vertelug der Marktatele (Merkmalswertsumme, kumulerte Merkmalswerte) auf de Uterehme (Merkmalsträger): Habe alle Uterehme deselbe Marktatel oder gbt es ee Marktführer? 5

53 4.3. Absolute Kozetrato Defto: Absolute Kozetrato der erste k Merkmalsträger C k k x k a mt 0 C k mt x x Merkmalsausprägug (her: Umsatz) des Merkmalsträgers (her: Uterehme) ud a Atel der Merkmalsausprägug des -te Merkmalsträgers a der Summe aller Merkmalsauspräguge, C k Atel der Summe der Merkmalsauspräguge der erste k Merkmalsträger a der Summe aller Merkmalsauspräguge Bespel: Umsätze Umsatzkozetrato Umsatz Umsatzatel kumulerter für a Mo. a % Umsatzatel Herfdahl a % a ² Uterehme, ach Umsatz sortert Meer GmbH 50 50% 50% Müller GbR 05 % 7%.05 Schmtt GmbH 50 0% 8%.500 Scheder OHG 40 8% 89%.600 Fraz GmbH 30 6% 95% 900 Meyer GmbH 0 4% 99% 400 Vogt OHG 5 % 00% 5 Summe

54 0% 8% 6% 4% % Umsatzkozetrato Meer GmbH Müller GbR Schmtt GmbH Scheder OhG Fraz GmbH 50% Meyer GmbH Vogt OhG % Her: x Umsatz des. Uterehmes, a Umsatzatel des. Uterehmes am Gesamtumsatz alle Uterehme, C Umsatzatel des. Uterehmes am Gesamtumsatz, C Umsatzatel der erste bede Uterehme am Gesamtumsatz usw C 0, 5 C 0, Auf das umsatzstärkste Uterehme etfällt 50% des Umsatzes. Auf de bede umsatzstärkste Uterehme etfalle 7% des Umsatzes. Nachtel: Wllkürlche Festlegug vo k, also we vel Merkmalsträger betrachtet werde Kozetratosdex vo Herfdahl Defto: C Herfdahl x x mt C Herfdahl Je größer der Kozetratosdex, desto größer st de Kozetrato Be eer Glechvertelug ergbt sch für de Herfdal-Idex der mmale Wert vo. Bespel: Umsätze 54

55 78950 C Herfdahl 0, Da sch der Umsatz schwerpuktmäßg auf zwe Uterehme vertelt, st de Kozetrato cht so hoch. We de Meer GmbH ud de Müller GbR fusoere würde, ergäbe sch für de Herfdahl-Idex C Herfdahl ( ) , Relatve Kozetrato: Lorez-Kurve ud G-Koeffzet We vel Prozet der Summe der Merkmalsauspräguge etfalle auf we vel Prozet der Merkmalsträger? Klasse Ekommesvertelug Merkmalsträger Azahl Atel kumulerter Atel: Atel Ekomme Klassemtte Persoe Persoe Persoe % vo bs uter m f h H H , 0,, ,7 0,38 37, ,36 0,73 73, , 0,96 95, ,04,00 00,00 Summe 450,00 Klasse Merkmalswerte/Merkmalsauspräguge Ekomme: Klassemtte mal Azahl kumulerter Atel: Ekomme Atel Atel Ekomme Klassemtte Ekomme % vo bs uter m m f y Y Y ,0 0,0, ,3 0,5 5, ,35 0,50 50, ,37 0,87 86, ,3,00 00,00 Summe 68500,00 Durch de Gegeüberstellug der bede relatve kumulerte Häufgkete H ud Y köe Kozetratosaussage getroffe werde. Bespel: Ekommesvertelug 73,33% der Persoe habe Eküfte bs uter

56 50,8% der Eküfte werde vo Persoe der Ekommesklasse bs 000 erzelt. 73,33% der ärmste Persoe erzele ur 50,8% der Eküfte (es muss also e paar Reche gebe). Der Atel der Persoe mt dem höchste Ekomme zwsche 3000 ud 6000 beträgt ur 4%, dese erzele aber 3,% des gesamte Ekommes. Der Atel der Persoe bs 500 Ekomme (z.b. de Studerede) beträgt %. Dese erzele edoch cht % des gesamte Ekommes, soder ur,83%. Auf % der ärmste Persoe etfällt,8% des Ekommes, auf 38% der ärmste Persoe etfällt 5% des Ekommes usw. kumulerter Atel der Merkmalssumme (Ekomme) A Lorezkurve B F F' C kumulerter Atel der Merkmalsträger (Persoe) Be Glechvertelug etsprcht de Lorez-Kurve der Wkelhalberede: Auf 0% der Persoe etfällt 0% des Ekommes usw.. Be sehr hoher Kozetrato wrd de Lorez-Kurve mmer eckger ud etfert sch mmer weter vo der Wkelhalberede. 56

57 Je äher de Lorezkurve a der Wkelhalberede legt, desto gerger st de Kozetrato, e weter se vo der Wkelhalberede weg legt, desto größer st de Kozetrato. G-Koeffzet: Kozetratosmaß, das de Kozetrato eem Wert ausdrückt. GK Fläche F Fläche ABC 0 GK m h ( Y Y ) GK + mt Y 0 0. Je äher der GK be 0, desto gerger st de relatve Kozetrato (eher Glechvertelug). Je äher der GK be,(das st fast ), desto größer st de relatve Kozetrato (eher Uglechvertelug). De auf geau ormerte Varate des G-Koeffzete heßt Lorez Müzer-Koeffzet ud errechet sch als LM GK Bespel: Ekommesvertelug GK -[0, (0+0,0) + 0,7 (0,0+0,5)+ 0,36 (0,5+0,50) +0, (0,50+0,87)+0,04 (0,87+)] -0,660,34 Der G-Koeffzet legt uter der Mtte des Wertebereches 0 GK her: schwache bs mttlere Kozetrato. Bespel: Errechete Kozetratosmaße vo Marktatele deutscher Fersehseder (m5 Seder) bzw. Netto-Ekomme Deutschlad (m0 Klasse), Marktatele vo Uterehme, de Ux-Server abete (m4). aus: Zöfel, Peter: Statstk für Wrtschaftswsseschaftler, Pearso Verlag, 003, S

58 Bespel m G Herfdahl TV-Seder 5 0,46 0,05 Ekomme 0 0,36 0,30 Ux-Server 4 0,90 0,8 G-Koeffzet ud Herfdahl-Idex uterschede sch um so stärker voeader, e größer de Azahl der Merkmalsträger st. 5 Zwedmesoale deskrptve Statstk Frage ach Zusammehag zwsche Varable: Wrd ee Varable vo eer adere beeflusst? Frage ach Glechläufgket (Berufserfahrug Jahre ud Ekomme) oder Gegeläufgket (Ekomme ud Frezet Stude) Frage ach Ausprägug des Zusammehags (stark oder schwach) Frage ach ezele Ausreßer, de e atypsches Verhalte aufwese (Persoe mt sehr lager Berufserfahrug köe trotzdem e edrges Ekomme habe). 5. Kovaraz Defto: De Kovaraz msst de glechzetge Abwechug zweer Varable. s xy ( x x) ( y y) Efachste Möglchket zur Messug ees Zusammehages De Kovaraz 3 ka Werte zwsche ud aehme. Be eer egatve Kovaraz legt e gegeläufger Zusammehag vor. Be eer postve Kovaraz legt e glechläufger Zusammehag vor. Be eer Kovaraz vo ahezu Null legt ke Zusammehag vor. 3 Achtug: I ege Lehrbücher wrd der Formel für de Kovaraz durch statt durch (-) getelt. 58