Musterlösung zur Übungsklausur Statistik

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1 Musterlösung zur Übungsklausur Statistik WMS15B Oettinger 9/216 Aufgabe 1 (a) Falsch: der Modus ist die am häufigsten auftretende Merkmalsausprägung in einer Stichprobe. (b) Falsch: die beiden Größen sind voneinander unabhängig - sie können gleich sein, müssen aber nicht. (c) Richtig: es handelt sich um eine Summe positiver Abweichungen. (d) Richtig: es kann als mittlerer Wert nur kleiner als das Maximum sein. (e) Ein Merkmal ist entweder metrisch oder stetig, d.h. es gibt kein Merkmal, das gleichzeitig metrisch und stetig ist - falsch, ein stetiges Merkmal ist immer auch metrisch (Zahlen!). Aufgabe 2 (a) Jede Antwort ist zulässig (b) Statistische Einheit sind Giovannis Kunden, Merkmale sind Speisen und Getränke. Die Merkmalsausprägungen sind die vom Kunden bestellten Gerichte und Getränke, beispielsweise Rotwein oder Pizza. (c) Darstellung der Daten im Stab- oder Balkendiagramm. Grafik nicht gefordert!

2 Speisen.8.6 Häufigkeit.4.2 Spaghetti Tortellini Pizza Salate Abbildung 1: Stabdiagramm als Beispiel für die grafische Darstellung (d) Ereignis A: Kunde bestellt Spaghetti, P (A) =, 6. Ereignis B: Kunde bestellt Rotwein, P (B) =, 7. Ereignis C: Kunde bestellt Spaghetti und Rotwein, P (C) = P (A) P (B) =, 6, 7 =, 42 = 42%. Ereignis D: Kunde bestellt Spaghetti, aber keinen Rotwein, P (D) = P (A) (1 P (B)) =, 6 (1, 7) =, 6, 3 =, 18 = 18%. (e) Die relative Häufigkeit für eine Spaghettilänge größer als 8cm ist, 15 +, 5 =, 2 = 2%. Das arithmetische Mittel (in cm) muss mit den Klassenmitten gerechnet werden (wegen der Angabe relativer Häufigkeiten wird nicht durch die Gesamtzahl geteilt): x =, = 64, 25 (f) Der Median (in cm) entfällt auf die 3.Klasse ]6; 8]: x Z = x u 3 + (x o 3 x u 3) F ( x Z) F (x u 3) F (x o 3) F (x u 3) = 6 + (8 6), 5, 4, 8, 4 = 65. (g) Da die Klassen unterschiedlich breit sind, wird die Dichte der relativen Häufigkeiten aufgetragen. Daten zur grafischen Darstellung:

3 Länge Klasenbreite (in m) rel. Häufigkeit Dichte (cm) k f k fk = f k k (2; 4], 2,15,75 (4; 6], 2,25 1,25 (6; 8], 2,4 2, (8; 1], 2,15,75 (1; 13], 3,5,167 Nudeln 2 Dichte f i * Laenge (cm) Abbildung 2: Histogramm der Verteilung der Nudellänge Aufgabe 3 Die Tabelle in Form relativer Häufigkeiten: X (PKW) Verbrauch Y 6,1,182,2,182,194,185 6,2,545,6,545,516,546 6,3,273,2,273,29, (a) Die Spalten der Tabelle relativer Häufigkeiten unterscheiden sich = die Größen X und Y sind nicht stochastisch unabhängig. (b) Die bedingte Verteilung f(x i Y = 6, 2) ist die Zeile mit Y = 6, 2, also f(x i Y = 6, 2) = {6; 12; 9; 9}.

4 (c) Benötigt wird der Mittelwert des Verbrauchs für PKW 2 (alle Angaben in l): ȳ(x = 2) = 1 (4 6, , , 3) = 6, 2. 2 Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert, also s 2 (Y X = 2) = 1 ( 4 (6, 1 6, 2) (6, 2 6, 2) + 4 (6, 3 6, 2) ) 2 = 1 2 8, 12 = Aufgabe 4 a) Die benötigten Daten: Einkommen Klassenbreite Häufigkeit relativ kumuliert Dichte in Talern in Tausend Talern ]-5],5 9,9,9 18 ]5-1],5 13,13,22 26 ]1-15],5 32,32,54 64 ]15-2],5 41,41,95 82 ]2-3] 1, 3,3,98 3 ]3-5] 2, 2,2 1, 1 Histogramm der Einkommen: Einkommen in Entenhausen Dichte h i * Einkommen (Tausend Taler) Abbildung 3: Einkommensverteilung in Entenhausen

5 b) arithmetisches Mittel (in Tausend Taler): x = 1 139, 25 (, , , , , 2) = 1 1 = 1, 39 5% der befragten Personen werden in der 3.Klasse erreicht, der Median (in Tausend Taler) ist F ( x Z ) = x u 3 + (x o 3 x u 3) F ( x Z) F (x u 3) F (x o 3) F (x u 3) = xu 3 + (x o 3 x u 3) F (, 5) F (xu 3) F (x o 3) F (x u 3) 1 + (1, 5 1), 5, 22, 54, 22 = 1, 44. Der Median ist etwas größer - die Verteilung scheint leicht rechtssteil. c) Für die Lorenzkurve wird das gesamte Einkommen benötigt (in Tausend Talern): g ges =, , , , , 2 = 139, 25 Jetzt kann der Anteil der Personen in jeder Klasse am Gesamteinkommen berechnet werden: q k = f k (x o k + x u k)/2. Lorenz-Plot: Einkommen relative kumuliert Anteil kumuliert in Talern Häufigkeit f k F k q k Q k ]-5],9,9,32,32 ]5-1],13,22,7,12 ]1-15],32,54,287,389 ]15-2],41,95,515,94 ]2-3],3,98,54,958 ]3-5],2 1,,57 1

6 Lorenzkurve des Einkommens Diagonale D Q.4.2 Lorenzkurve L F Abbildung 4: Lorenzkurve der Einkommensverteilung in Entenhausen Der Gini-Koeffizient entspricht der doppelten Fläche zwischen den beiden Kurven. Man erkennt, dass die relative Konzentration (und damit der Gini- Koeffizient) nicht besonders groß ist. Aufgabe 5 1. Harmonisches Mittel: 7 x H = = 17, ,5 17, Die Durchschnittsgeschwindigkeit erhält man als Quotienten der gesamten zurückgelegten Strecke und der gesamten benötigten Zeit, also 15km + 16, 5km + 17, 5km + 18km + 18km + 2km + 22km 7h Die Anwendung des arithmetischen Mittels ist hier korrekt. 1. geometrisches Mittel: x G = = 2 1 = 1 oder 1%, genau das ist ja die Aussage (verdoppelt sich jede Nacht!).

7 2. x G = = 4 1 = 3 oder 3%. 3. Eine Stunde 5 km/h, 1 Stunde und 15 Minuten 4 km/h. Die Gesamtzeit sind 2 Stunden und 15 Minuten, die zurückgelegte Strecke s = 1h 5km/h +1, 25h 4km/h = 1km. Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h: v = 1 2, 25 = 44, 4. Das ist das harmonische Mittel der Geschwindigkeiten (in km/h): v = 1 1/2( ) = 44, 4 Aufgabe 6 a) Daten mit Ausgleichsgerade b) Anpassung einer Geraden y = a x + b über lineare Regression: Tabelle benötigter Daten

8 Preis Verträge (x i x) (y i ȳ) (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 (y i ȳ) Die Steigung der Geraden ist a = n (x i x)(y i ȳ) i=1 n = 1, 2 (x i x) 2 i=1 der Achsenabschnitt ist b = ȳ a x = 1591, 71 c) der Pearson-Koeffizient ist r xy = = 1 n n i=1 (x i x)(y i ȳ) 1 n n i=1 (x (1) i x) 2 1 n n i=1 (y i ȳ) 2 n i=1 (x i x)(y i ȳ) n i=1 (x i x) 2 n i=1 (y =, 87 (2) i ȳ) 2 Der Wert nahe eins legt einen relativ guten linearen Zusammenhang zwischen den Daten nahe.

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