Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. SS Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe (Übung) Seien m,n N und A K m n. Zeigen Sie die folgenden Aussagen. a) Es gilt Bild(A) Kern(A ). Hinweis: Ist V ein Skalarproduktraum, so ist für M V der Orthogonalraum M von M gegeben durch M {v V : v w w M}. b) Sind U und W endlich-dimensionale Untervektorräume eines Vektorraums, so gilt dim(u + W ) dim(u) + dim(w ) mit Gleichheit genau dann, wenn U W {}. c) Gilt m n und ist A selbstadjungiert, d.h., gilt A A, so gilt K n Kern(A) Bild(A). Hinweis: Verwenden Sie die Dimensionsformel. a) Wir zeigen zunächst, dass in jedem K-Vektorraum V für alle x V gilt. y V : (x y) x Beweis: : Wähle y x, dann ist (x x). Das ist nach Eigenschaft (S) (vgl. Abschnitt 5. der Vorlesung) nur für x möglich. : Sei y V beliebig. Es gilt ( y) (y y y) (y y) (y y). Nun gilt: x Bild(A) z Bild(A) : (x z) y K m : (x Ay) y K m : (A x y) Die letzte Aussage ist nach Obigem äquivalent zu A x. Dies ist wiederum äquivalent zu x Kern(A ). b) Seien {u ;u ;...;u M } eine Basis von U und {w ;w ;...;w N } eine Basis von W. Fall : U W {}. Es ist {u ;... u M ;w ;...;w N } linear unabhängig: Seien λ,λ,...,λ M+N K derart, dass M j λ j u j + Nj λ M+j w j. Insbesondere gilt dann M U λ j u j j N ( λ M+j )w j W. j

2 Daraus folgte dann wegen U W {} M λ j u j j N λ M+j w j j {u ;...;u M } Basis {w ;...;w N } Basis λ j j {;;...;M}, λ j j {M + ;M + ;...;M + N}. Da also alle λ j sein müssen, folgt die lineare Unabhängigkeit von {u ;...;u M ;w ;...;w N }. Offensichtlich (!) ist {u ;...;u M ;w ;...;w N } ein Erzeugendensystem von U + W und wegen der linearen Unabhängigkeit eine Basis von U + W. Insbesondere gilt dim(u + W ) M + N dim(u) + dim(w ). Fall : U W {}. Sei v U W. Dann existieren λ,λ...,λ M+N K derart, dass M λ j u j v j N ( λ M+j )w j. Da v gibt es ein k {;;...;M} derart, dass λ k. Weiter gilt j j M N λ j u j + λ M+j w j. j Da λ k und damit nicht alle λ j gleich sind, ist S : {u ;u ;...;u M w ;w ;...;w N } kein linear unabhängiges System. Damit ist die Dimension von lin(s) höchstens M + N < M + N dim(u) + dim(w ). S ist jedoch ein Erzeugendensystem von U + W und daher gilt auch dim(u + W ) dim(lin(s)) M + N < M + N dim(u) + dim(w ). Aufgrund der strikten Ungleichung ist insbesondere der Zusatz gezeigt, dass dim(u + W ) dim(u) + dim(w ) genau dann gilt, wenn U W {}. c) Sei nun m n und A selbst-adjungiert, d.h. A A. Nach a) gilt dann Bild(A) Kern(A ) Kern(A). Insbesondere gilt Kern(A) Bild(A) {}. Mit b) und der Dimensionsformel folgt nun dim(kern(a) + Bild(A)) b) dim(kern(a)) + dim(bild(a)) Dim.-Formel n. Damit folgt (!) Kern(A) + Bild(A) K n. Tipp: Beweis durch Widerspruch. Aufgabe (Tutorium) Sei V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt ( ). Weiter seien Vektoren v,w,u,...,u m,v,...,v n V sowie Skalare α,...,α m,β,...,β n K (n,m N) gegeben. Zeigen Sie, dass ( ) α i u i β j v j α i β j ui v j. i j i j

3 Sei {e,...,e n } nun eine Orthonormalbasis von V. Beweisen Sie die Formeln a) (v w) n i (v e i )(w e i ). b) (v v) n i (v e i ). Durch die Eigenschaften des Skalarprodukts ist die erste Formel leicht einzusehen, den rigorosen Beweis liefert eine kleine Induktion. Wir zeigen zunächst, dass für m N und u V beliebig α i u i u α i (u i u). i Induktionsanfang (m): Auf beiden Seiten der Gleichung steht exakt derselbe Ausdruck. Induktionsschritt: Die Formel gelte für ein m N (IV). Dann folgt i m+ α i u i u α i u i + α m+ u m+ u i i IV i Nun folgt mit dieser Formel und (S), dass α i u i i β j v j j (S) α i u i u + α m+ (u m+ u) i m+ α i (u i u) + α m+ (u m+ u) α i (u i u) α i u i i α i i j j (S) β j v j i α i β j v j u i i ( ) β j vj u i i j j α i β j ( vj u i ) (S) i j ( ) α i β j ui v j Ist {e,...,e n } nun eine Orthonormalbasis von V, so lassen sich v,w V schreiben als v (v e i )e i, w i Mithilfe der bewiesenen Formel ergibt sich nun ( ) w ej ej. j a) (v w) (v e i )e i i i j ( ) w ej ej j (v e i ) ( )( ) w e j ei e j }{{} δ ij (v e i )(w e i ) i

4 b) Aufgabe (Übung) (v v) a) (v e i )(v e i ) i (v e i ) Seien G eine Menge und : G G G eine Verknüpfung auf G und G erfülle (G) der Vorlesung. (G ) e R G a G : a e R a. e R heißt rechtsneutrales Element. (G ) a G b G : a b e R, wobei e R rechtsneutrales Element sei. b heißt rechtsinverses Element zu a. (KS) a,b G : a b a b. Zeigen Sie die folgenden Aussagen. a) Genügt G zusätzlich (G ) und (G ), so ist G eine Gruppe. b) Genügt G zusätzlich (G ), (G ) und (KS), so ist G abelsch und es gilt a G : a a e. c) Ist G eine Gruppe, so sind das neutrale Element und zu jedem Element die Inverse eindeutig bestimmt. a) G genüge zusätzlich (G ) und (G ). Wir zeigen zunächst, dass ein Rechtsinverses auch stets linksinvers (analog definiert) ist. Seien a,b G derart, dass ab a b e R gilt. Dabei lassen wir der einfacheren Notation halber weg. Dann gilt i ba (G ) b(ab)a (G) (ba)(ba) (G ) e R (ba)[(ba)(ba) ] (G ) (ba)e R (G ) ba, wobei (ba) die Rechtsinverse zu ba sei. Damit ist b auch die Linksinverse zu a. Außerdem gilt e R a (G ) aa e R a (G ) aa a (G) ae R (G ) a. Also ist e R auch linksneutrales Element (analog definiert). Insgesamt sind (G) und (G) der Vorlesung erfüllt und G ist nach Definition eine Gruppe. b) G genüge zusätzlich (G ), (G ) und (KS). Nach a) ist G eine Gruppe. Dann gilt weiter für a G a (G) aea (KS) e. Darüber hinaus erhalten wir ab (G) (ab)(a ) (G) (aba)a (KS) ba. c) Seien e und ẽ zwei neutrale Elemente von G. Dann gilt e eẽ ẽ. 4

5 Seien a und ã zwei inverse Elemente zu a G. Dann gilt Aufgabe 4 (Tutorium) Es sei a a e a aã eã ã. a b U : c a,b,c R. Zeigen Sie, dass U versehen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist. Für i,, seien a i,b i,c i R und a i b i A i c i U. Zunächst muss gewährleistet sein, dass die Matrixmultiplikation zwei Elemente aus U wieder auf ein Element aus U abbildet. Es gilt a + a b + b + a c A A c + c U. Für die Assoziativität (G) berufen wir uns auf Satz 4.6 aus HM, der besagt, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Wir können es aber auch nachrechnen und erhalten a + a + a b + b + b + a c + a c + a c (A A ) A c + c + c A (A A ). Das neutrale Element (G) ist gegeben durch die Einheitsmatrix, welche in U liegt. Daran, dass jedes Element in U in seiner Zeilenstufenform vorliegt, erkennen wir, dass dazu ein Inverses bezüglich der Matrizenmultiplikation existiert. Es bleibt zu zeigen, dass dieses Inverse auch in U liegt. Wir berechnen, dass a b c + + ( c) ( b) a b + c a ac b c, ( a) womit die rechte Seite, ein Element aus U, das Inverse der Anfangsmatrix ist. Aufgabe 5 (Übung) Es sei V P [,] der Vektorraum der reellen Polynomfunktionen auf [,] und p m V definiert durch p m (x) x m 5

6 für alle m N und x [,]. Ferner sei die Abbildung ( ) : V R gegeben durch p(y)q(y) (p q) dy y für alle p,q V. Zeigen Sie, dass durch ( ) ein Skalarprodukt auf V definiert ist und wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren bezüglich ( ) auf {p,p,p } an. Dass die Abbildung ( ) wohldefiniert ist, liegt daran, dass jedes reelle Polynom auf [, ] (nach oben und unten) beschränkt ist, wodurch (p q) C p,q dy C p,q y x t C p,q lim b b lim b + a dt + lim t a b a dx + lim dy x a y y dy C p,q lim a C p,q lim a [arcsin(y)]ya y C p,q lim a arcsin(a) C p,qπ. a y dy Somit ist das uneigentliche Riemannintegral nach dem Majorantenkriterium konvergent. Die Symmetrie (S) der Abbildung ist nun sofort klar, ebenso wie die Linearität (S) nach der Linearität des Integrals. Die Positivität (S) folgt aus folgender Aussage, da der Integrand in (p p) positiv und nicht konstant Null ist, wenn p nicht das Nullpolynom ist: Behauptung: Ist a < b und f : [a,b] R stetig mit b f (x) dx, so ist f (x) für alle x [a,b]. a Beweis. Wir zeigen die Kontraposition der Aussage. Dazu nehmen wir an, dass f (x) für ein x [a,b]. Insbesondere gilt dies auch für ein x (a,b): Sind f (a) f (b), so ist dies klar, ansonsten sei o.b.d.a. f (a). Im letzten Fall ist entweder f ( b+a ) (dann wähle x b+a b+a ) oder f ( ). Dann existiert nach dem Zwischenwertsatz ein x (a, b+a ) mit f (x ) f (a). Setze ε : f (x ) >. Da f stetig ist, existiert ein δ > mit [x δ,x + δ] [a,b] (da x ein innerer Punkt von [a,b] ist) und f (x ) f (x) ε x [x δ,x + δ]. Insbesondere gilt für diese x f (x) f (x ) (f (x ) f (x)) f (x ) f (x ) f (x) ε f (x ) f (x) ε. Wegen der Monotonie des Integrals folgt nun b a x δ x +δ ε b f (x) dx dx + a x δ dx + dx δ ε δε >, x +δ womit die Behauptung folgt. Nun verwenden wir die Notation aus Abschnitt 5.. Es gilt Also ist b (t) π für alle t [,]. (p p ) s.o. dy π. y 6

7 Ferner ist (p b ) y dy. π y Nach der ersten Rechnung dieser Aufgabe konvergiert das uneigentliche Integral in (p b ) nach dem Majorantenkriterium. Da der Integrand punktsymmetrisch ist, gilt (p b ). Des Weiteren ist (p p ) y dy lim y b + b a x t y lim a y lim a arcsin(a) ysin(t) dy x a dx + lim x a a lim dy dt cos(t) sin (t) dt Hauptsatz arcsin(a) π sin (t) dt y y dy > {}}{ sin (t) cos(t) dt cos (t) HM, A6 π. In Aufgabe 6 wurde das Integral über die Potenzen des Kosinus behandelt, durch die Symmetrie gelten für den Sinus jedoch dieselben Werte. Also ist b (t) πt für alle t [,]. Ferner ist (p b ) y dy π (p p ) π y π und (p b ) y π dy. y Wie bei (p b ) sieht man, dass (p b ) gilt. Für alle t [,] gilt also Des Weiteren ist c (t) p (t) (p b )b (t) (p b )b (t) t. (c c ) ( y ) y dy y 4 dy y y 4 y dy (p p ) + 4 (p p ) y dy + y y 4 y dy π 4, 4 y dy sowie y 4 dy lim y b + b a x t y 4 lim a y lim a x 4 a dy + lim x a arcsin(a) ysin(t) dy lim dy dt cos(t) y 4 y dy a sin 4 (t) dt Hauptsatz arcsin(a) π sin 4 (t) dt > {}}{ sin 4 (t) cos(t) dt cos (t) HM, A6 π 8, 7

8 also Somit ist b (t) π (t ) für alle t [,]. Aufgabe 6 (Tutorium) (c c ) π 8. a) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von U lin({v,v,v }) R 5, die Orthogonalprojektion P x von x auf U, sowie den Abstand d(x,u) min y U x y mit v, v, v, x. 4 5 b) Lösen Sie Aufgabe 5 mit dem (bekannten) Skalarprodukt (p q) p(y)q(y) dy. a) Wir berechnen mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens (vgl. Abschnitt 5. der Vorlesung) ein Orthonormalsystem B {b ;b ;b }, welches U erzeugt, wie folgt: b v v c v (v b )b b c c c v (v b )b (v b )b b c c 8

9 Es gilt: v + + b, (v b ) ( ) c c b (v b ), (v b ) c c 4 9 b, Nach Abschnitt 5.8 der Vorlesung ist die Orthogonalprojektion P x gegeben durch:,, P x (x b )b + (x b )b + (x b )b Wir berechnen: Es folgt: (x b ) 7, (x b ), (x b ) 6 P x Schließlich ist nach Abschnitt 5.8 der Vorlesung: d(x,u) min x y x P x y U 9

10 Wir berechnen: x P x 5 8 8, x P x 5, b) Wieder mit der Notation aus dem Abschnitt 5. der Vorlesung gilt: Also ist b (t) für alle t [,]. Ferner ist Des Weiteren ist Also ist b (t) Ferner ist t für alle t [,]. (p p ) dy. (p b ) y dy. (p p ) y dy [ y ] t t. (p b ) y dy und (p b ) y dy. Also ist für alle t [,] und wegen c (t) p (t) (p b )b (t) (p b )b (t) t ( (c c ) y dy y ) 4 y + 9 dy ( 45 ist b (t) 8 t ) für alle t [,].