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1 Es freut uns sehr, dass Sie die GRATIS Dienste von Fit4Exam in Anspruch nehmen. In diesem Bereich versteht sich Fit4Exam als Wiki-Plattform für Lösungen. Denn leider ist es häufig so, dass Lehramtskandidaten zwar einfach an die Angaben früherer Staatsexamen kommen, durchgerechnete Lösungen aber meist nicht verfügbar sind. Diese Lücke wird von Fit4Exam geschlossen. Deshalb sammeln wir auf Fit4Exam alle Lösungen und stellen sie GRATIS für alle Prüflinge zur Verfügung! Helfen Sie mit unser Angebot zu erweitern und zu verbessern und wo nötig zu korrigieren. Nutzen Sie unser Kontaktformular und senden Sie uns Ihre Lösungen! Nachfolgende Generationen von Lehramtskandidaten werden es Ihnen danken! Beachten Sie hierzu bitte unsere FAQ! Aus urheberrechtlichen Gründen dürfen die Angaben sämtlicher Staatsprüfungen hier leider nicht veröffentlicht werden! (siehe FAQ). Sie können diese aber hier downloaden (Externe Seite!). Sie haben Lösungen zu Aufgaben die Sie nicht auf Fit4Exam finden? Dann schicken Sie diese doch an uns! Die nächste Generation der Lehramtsstudenten wird es Ihnen DANKEN! Nähere Infos dazu finden Sie in den FAQ s auf Das bayerische Staatsministerium für Unterricht und Kultus hat die Veröffentlichung von NICHT-offiziellen Lösungsvorschlägen mit Schreiben vom genehmigt.

2 Tphy_2006_He_A Seite 1 von 5 1. Rotierende Stange (H2006) Die Bewegung des Massenpunktes und der Stange findet in einer Ebene statt und die Schwerkraft kann vernachlässigt werden! a) Verwende ebene Polarkoordinaten um die Koordinaten der Punktmasse anzugeben: Hier soll man jetzt allerding die Koordinaten der Punktmasse in Abhängigkeit von der Auslenkung aus der Ruhelage angeben. Wie man sich leicht klar macht, geschieht dies, indem man ansetzt. Damit ergibt sich: Durch ableiten erhält man die Geschwindigkeit der Punktmasse: Die kinetische Energie ist also gegeben durch: Die potentielle Energie rührt her von der Feder und beträgt: Damit folgt die Lagrange Funktion: b) Die Euler-Lagrange Gleichungen lauten: (1) (2) Betrachtet man den Term stellt man fest, dass er auch als geschrieben werde kann, welche die etwas gewöhnlichere Form der Zentrifugalkraft beschreibt. Der Term kann ebenfalls zur besseren Wiedererkennung umgeschrieben werden zu:. Dieser Ausdruck sollte an die Corioliskraft, welche auf die Stange wirkt erinnern. Offensichtlich handelt es sich bei beiden Kräften um Scheinkräfte eines rotierenden Systems. c) Eine zyklische Variable kommt in der Lagrange Funktion nicht explizit vor. Deshalb erkennt man, dass es sich bei Größe bestimmt sich also durch: um eine solche Variable handelt. Die erhaltene

3 Tphy_2006_He_A Seite 2 von 5 Die Erhaltungsgröße ist also der Drehimpuls bezüglich des Rotationspunktes P. Desweiteren hängt die Lagrange Funktion nicht explizit von der Zeit ab. Somit ist auch die Hamilton Funktion eine Erhaltungsgröße. Gemeinsam mit dem Faktum, dass die Geschwindigkeiten quadratisch auftreten folgt, dass die Energie erhalten ist. Es gilt also: d) Aus dem Drehimpulserhaltungssatz folgert man durch Umformung: Setzt man dies in (1) ein, ergibt sich: Eine Kraft lässt sich immer auch als Ortsableitung eines Potentials darstellen, deshalb schreiben wir: Durch Integration erhält man: e) Das effektive Potential hat also den nachfolgend skizzierten Verlauf: Um das Potentialminimum zu erhalten, führt man eine gewöhnliche Kurvendiskussion durch: Mit der Näherung folgt:

4 Tphy_2006_He_A Seite 3 von 5 Und damit: strebt für und gegen unendlich. Somit ist für jede Energie die Bewegung der Teilchen gebunden und vollführt anharmonische Schwingungen.

5 Tphy_2006_He_A Seite 4 von 5 2. Fallender Stein auf rotierender Erde (H2006) a) Setzt man die Relativkoordinate in umgeformter Art in die angegebene Bewegungsgleichung ein ergibt sich: Für nicht zu tiefe Brunnen kann die -Abhängigkeit der Zentrifugalkraft vernachlässigt werden. Damit ergibt sich: Mit ergibt sich: Damit ergibt sich die Differentialgleichung: b) Vernachlässigt man die Corioliskraft, erhält man die vereinfachte Bewegungsgleichung: Durch zweimalige Integration erhält man die Trajektorie : Offensichtlich ist c) Mit dem angegebenen Ansatz Erhält man für die Bewegungsgleichung:

6 Tphy_2006_He_A Seite 5 von 5 Durch einsetzen der zuvor generierten speziellen Lösung ergibt sich für die Bewegungsgleichung: Im Coriolis-Term setzt man nicht ein, um die gewünschte Differentialgleichung aus der Angabe durch Integration zu erhalten! Auf Grund der Anfangsbedingungen gilt: d) Die Abweichung vom Lot wird beschrieben durch. Vernachlässigt man diese Abweichung (gilt also: ) ergibt sich für die Bewegungsgleichung: Durch Integration ergibt sich: Auf Grund der Anfangsbedingung gilt wieder