EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK

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1 v. MANGOLDT/KNOPP EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK FÜR STUDIERENDE UND ZUM SELBSTSTUDIUM ERSTER BAND ZAHLEN-FUNKTIONEN-GRENZWERTE ANALYTISCHE GEOMETRIE ALGEBRA- MENGENLEHRE 16. AUFLAGE MIT 116FIGUREN IM TEXT S. HIRZEL VERLAG STUTTGART 1980

2 INHALTSVERZEICHNIS Erster Abschnitt Kombinatorik. Gruppen 1. Aufgaben der Kombinatorik 5 2. Erklärungen 6 Permutationen 3. Erste Grundaufgabe. Anzahl der Permutationen voneinander verschiedener Elemente 7 4. Das Induktionsgesetz (Schluß von n auf (n + 1)) 9 5. Erklärung des Zeichens n! Lexikographische Anordnung Transpositionen und Inversionen Gerade und ungerade Permutationen Zweite Grundaufgabe. Anzahl der Permutationen von Elementen, die nicht alle verschieden sind Übungsaufgaben l'ermutationen als Umordnungen oder Substitutionen 18 * 12. Zusammensetzung oder Produkt von Permutationen Inverse Umordnungen Gruppen 22 Kombinationen 15. Erklärungen Dritte Grundaufgabe. Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung Erklärung des Zeichens ( ) Eigenschaften des Zeichens ( ) 29 \*/ 19. Der Binomiallehrsatz Anwendungen Der Polynomiallehrsatz Kombinationen mit Wiederholung Vierte Grundaufgabe. Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung Übungsaufgaben 39 Zweiter Abschnitt Determinanten 25. Bedeutung der Determinanten Vorläufiges über Determinanten, Matrizen und Vektoren Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten 45 IX

3 28. Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Zwei homogene lineare Gleichungen mit drei Unbekannten Determinanten dritten Grades Adjunkten Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten Determinanten beliebigen Grades Vertauschungssatz und Nullsatz Gleichungen zwischen den Elementen und Adjunkten Einfache Umformungen von Determinanten Beispiele für die Berechnung einer Determinante Das Differenzenprodukt von n gegebenen Zahlen System von n linearen Gleichungen mit «Unbekannten Anwendungen System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten Homogene lineare Gleichungen Vektoren. Inneres Produkt ' Lineare Gleichungen in vektorieller Schreibweise. Erste Art Lineare Abhängigkeit von Vektoren. Zweite vektorielle Schreibweise linearer Gleichungen Multiplikation zweier Determinanten Andere Darstellungen des Produktes Determinante des Systems der Adjunkten Produkte von Matrizen 97 Dritter Abschnitt Das System der rationalen Zahlen Die Grundgesetze der Arithmetik 50. Die Grundlagen der Analysis. Vorbemerkungen Die natürlichen und die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen Die Grundgesetze der Arithmetik 106 I. Grundgesetze der Gleichheit und der Anordnung 106 II. Grundgesetze der Addition 107 III. Grundgesetz der Subtraktion 108 IV. Grundgesetze der Multiplikation 109 V. Grundgesetz der Division 110 VI. Archimedisches Grundgesetz m Abgeleitete Rechenregeln 54. Unabhängigkeit und Widerspruchsfreiheit der Axiome Vorzeichen- und Klammerregeln Summen und Produkte mit beliebig vielen Gliedern Ungleichungen und Beträge Beispiele für das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen Abbildung der rationalen Zahlen auf Punkte einer orientierten Geraden. Intervalle Direkte und indirekte Beweise. Besonderheiten der mathematischen Ausdrucksweise 133 X

4 Teübarkeitseigenschatten der ganzen Zahlen 61. Teilbarkeit Größter gemeinsamer Teiler Die kanonische Darstellung der ganzen Zahlen als Produkt von Primzahlpotenzen Endliche regelmäßige Kettenbrüche Näherungsbrüche Beispiele 149 Zahlenfolgen 67. Zahlenfolgen Arithmetische und geometrische Folgen Grundbegriffe der Differenzenrechming. Übungsaufgabe Arithmetische Folgen höherer Ordnung Summenformeln 160 Nullfolgen 72. Nullfolgen ' Beispiele von Nullfolgen Bemerkungen über Nullfolgen Einfache Sätze über Nullfolgen Vierter Abschnitt Das System der reellen Zahlen Die irrationalen Zahlen 76. Unvollkommenheit des Systems der rationalen Zahlen Das Cantorsche Axiom ; Die irrationalen Zahlen 176 Das System der reellen Zahlen 79. Die Grundgesetze der Gleichheit und der Anordnung Grundgesetze der Addition Grundgesetz der Subtraktion ^ Grundgesetze der Multiplikation und Division Das Archimedische Grundgesetz Die reellen Zahlen Abbildung der reellen Zahlen auf die Punkte der Zahlengeraden. Abszissen Abgeleitete Regeln. Zusammenfassung Dezimalbrüche Der Dedekindsche Schnitt : Rückblick auf die Abschnitte I, II und III Unendliche regelmäßige Kettenbrüche Beliebige Zahlenfolgen, Nullfolgen und Intervallschachtelungen Erweiterung des Systems der reellen Zahlen 196 Fünfter Abschnitt Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 93. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Wurzeln Potenzen mit rationalen Exponenten Abhängigkeit einer Potenz vom Exponenten Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten Logarithmen 207 XI

5 Sechster Abschnitt Grundbegriffe der analytischen Geometrie Grundlagen der Geometrie 99. Grundlagen der Geometrie. Vorbemerkungen Die Axiome der Verknüpfung (I) Die Axiome der Anordnung (II) Die Axiome der Kongruenz (III) ' Die Axiome der Stetigkeit (IV) Das Parallelenaxiom (V) Winkel und Winkelmessung Erweiterung des Winkelbegriffs 220 Koordinatensysteme 107. Das Wesen der analytischen Geometrie Rechtwinklige und schiefwinklige ebene Koordinatensysteme Ebene Polarkoordinaten ' Das rechtwinklige räumliche Koordinatensystem " 227 m. Schiefwinklige räumliche Koordinatensysteme Zylinder-und räumliche Polarkoordinaten 230 Erklärungen und Sätze, die für Ebene und Raum gemeinsam gelten 113. Mittel zur Vermeidung von Fallunterscheidungen Projektionen von Strecken Parallelverschiebung der Koordinatenachsen Komponenten und Koordinaten einer Strecke Vektoren Abstand zweier Punkte und die Dreiecksungleichung Abstandsverhältnis 246 Grundaufgaben der analytischen Geometrie der Ebene 120. Richtungskosinus in der Ebene Sätze über Richtungskosinus in der Ebene Steigung einer Geraden Projektion des Leitstrahls eines Punktes..' Winkel zwischen zwei Strahlen. Additionstheorem der Kreisfunktionen Bedingung des Senkrechtstehens : Bedingung des Parallelseins Dreiecksinhalt Formel für den Inhalt eines Dreiecks Koordinatenverwandlung in der Ebene bei Änderung der Achsenrichtungen Grundaufgaben der analytischen Geometrie des Raumes 130. Richtungskosinus im Räume Sätze über Richtungskosinus im Räume Ausdrücke der Richtungskosinus durch geographische Länge und Breite Projektion des Leitstrahles eines Punktes auf einen Strahl im Räume Winkel zwischen zwei Strahlen im Räume Bedingung des Senkrechtstehens Bedingung des Parallelseins Skalares Produkt Positive Normalenrichtung einer Ebene Zuordnung von positivem Drehungssinn und positiver Normale Positiver Windungssinn im Räume 274 XII

6 141. Projektion eines Dreiecks Projektionen eines Dreiecks auf die Koordinatenebenen. Dreiecksinhalt im Räume " Gemeinsames Lot zweier Richtungen Vektorprodukt Rauminhalt eines Tetraeders Ausdruck des Rauminhaltes eines Tetraeders durch die Koordinaten der Ecken Koordinatenverwandlung im Räume bei Änderung der Achsenrichtungen Gleichzeitige Änderung des Anfangs und der Achsenrichtungen Gleichungen zwischen den neun Richtungskosinus, welche die gegenseitige Lage zweier rechtwinkliger Achsenkreuze bestimmen Beziehungen zwischen den eben entwickelten Gleichungen Darstellung der Drehungen durch drei willkürlich wählbare Zahlen 293 Siebenter Abschnitt Das System der komplexen Zahlen Grundbegriffe 152. Geschichtliches Die komplexen Zahlen Gleichheit und Ungleichheit Addition und Subtraktion Multiplikation Division Zusammenfassung. Abgeleitete Regeln Das System der komplexen Zahlen als Erweiterung des Systems der reellen Zahlen Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten der komplexen Zahlen. Bezeichnungen und geometrische Ausdrucksweise Geometrische Veranschaulichung der vier Grundrechnungsarten Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen Übungsaufgaben Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Anwendungen Wurzeln Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten 328 Achter Abschnitt Veränderliche und Funktionen Feststellung der allgemeinen Begriffe 168. Beispiele von Funktionen Konstante und Veränderliche Intervalle « Begriff einer Funktion Bezeichnung der Funktionen Geometrisches Bild einer Funktion Funktionen von mehreren Veränderlichen 343 XIII

7 Erklärung einiger besonderer Arten von Funktionen A. Rationale Funktionen, Polynome 175. Rationale Funktionen...., Ganze und gebrochene rationale Funktionen Normalform eines Polynoms in einer Veränderlichen Hilfssatz aus der Algebra Eindeutigkeit der Normalform eines Polynoms in einer Veränderlichen Grad eines Polynoms einer Veränderlichen Algebraische Gleichungen mit einer Unbekannten Interpolationsformeln von Lagrange und Newton Normalform der Polynome in mehreren Veränderlichen Gesamtgrad eines Polynoms in mehreren Veränderlichen Teilbarkeit von Polynomen Größter gemeinsamer Teiler zweier Polynome Allgemeine Form der gebrochenen,rationalen Funktionen 365 B. Algebraische Funktionen 188. Beispiele nicht rationaler Funktionen Algebraische Gleichungen zwischen mehreren Veränderlichen Begriff einer algebraischen Funktion. 368 C. Transzendente Funktionen 191. Begriff der Transzendenz Exponentialfunktionen Umkehrung der Exponentialfunktion. Logarithmen Potenzen mit irrationalen Exponenten Trigonometrische oder Kreisfunktionen Zyklometrische Funktionen Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrung Geschlossene analytische Ausdrücke. Elementare Funktionen Mittelbare Funktionen 383 Geometrische Darstellung einer Funktion 200. Übereinstimmung des Bildes einer Funktion mit anderweitig bekannten Kurven Konstruktion des geometrischen Bildes einer Funktion Beispiele geometrischer Bilder 388 Neunter Abschnitt Gerade und Ebene 203. Parameterdarstellung einer Geraden in einer Ebene Darstellung einer Geraden durch eine Gleichung Bestimmtheit der Gleichung einer Geraden Beispiele Besondere Formen der Gleichung einer Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden Schnittpunkt zweier Geraden Winkel zwischen zwei Geraden Allgemeine Formen der Gleichung einer Geraden 410 XIV

8 " 212. Übungsaufgaben Affine Abbildung Parameterdarstellung einer Geraden im Räume Parameterdarstellung einer Ebene im Räume Darstellung einer Ebene durch eine Gleichung Bestimmtheit der Gleichung einer Ebene Verbindungsebene dreier Punkte Besondere Formen der Gleichung einer Ebene Abstand eines Punktes von einer Ebene Bedingungen für das Parallelsein und für das Schneiden zweier Ebenen Winkel zweier Ebenen Die Gerade als Schnittlinie zweier Ebenen Schnittpunkt dreier Ebenen Bedingung, daß vier Ebenen einen Punkt gemein haben Allgemeine Formen der Gleichung einer Ebene Übungsaufgaben 446 Zehnter Abschnitt Grenzwerte Grenzwerte von Zahlenfolgen 228. Zahlenfolgen. Nullfolgen Erklärungen und Sätze Spezielle Nullfolgen Konvergente Zahlenfolgen Weitere Bemerkungen und Beispiele Sätze über konvergente Zahlenfolgen Divergente Zahlenfolgen Weitere Beispiele konvergenter Zahlenfolgen Die Zahl e Diebeiden Konvergenzprobleme Das erste Hauptkriterium (für monotone Folgen) Das zweite Hauptkriterium (für beliebige Zahlenfolgen) 479 Grenzwerte von Funktionen 240. Vorbemerkungen und Beispiele Grenzwert einer Funktion von x für x > ± Zurückführung des Konvergenzverhaltens von Funktionen auf dasjenige von Zahlenfolgen Grenzwert einer Funktion bei Annäherung ihres Arguments an einen endlichen Wert Grenzwert von für x > o 494 x 245. Einseitige Grenzwerte Sätze über Grenzwerte Die uneigentlichen Grenzwerte + 00 und Erstes Hauptkriterium (für monotone Funktionen) Zweites Hauptkriterium (für beliebige Funktionen) 502 XV

9 Elfter Abschnitt Zahlen- und Punktmengen 250. Der Begriff einer Menge Beispiele von Zahlen-und Punktmengen Abzählbare und nicht abzählbare Mengen Äquivalenz von Mengen Untere und obere Grenze Häufungspunkte und Häufungsgrenzen Zahlenmengen und Zahlenfolgen Das III. Hauptkriterium für die Konvergenz von Zahlenfolgen Häufungspunkte beliebiger Punktmengen Punktfolgen. Konvergenz Weitere Erklärungen und Sätze 528 Zwölfter Abschnitt Stetigkeit 261. Stetigkeit und Unstetigkeit einer Funktion Einseitige Stetigkeit. Stetigkeit in einem Intervall Stetigkeit der einfachsten Funktionen Sätze über Funktionen, die in einem Intervall stetig sind Stetigkeit einer mittelbaren Funktion Umkehrung einer monotonen und stetigen Funktion Stetigkeit einer durch Umkehrung entstandenen Funktion Stetigkeit der elementaren Funktionen Darstellung unstetiger Funktionen 550 Namen- und Sachverzeichnis zum ersten Bande 555 Mathematische Zeichen Trigonometrische und hyperbolische Funktionen sin (sin)* Sinus cos (cos) Kosinus tg (tan) Tangens ctg (cot) Kotangens aresin (Aresin) Arkussinus (Hauptwert) arecos (Arecos) Arkuskosinus (Hauptwert) arctg (Arctan) Arkustangens (Hauptwert) arectg (Arccot) Arkuskotangens (Hauptwert) Sin (sinh) Sinus hyperbolicus Goj (cosh) Kosinus hyperbolicus Sfl (tanh) Tangens hyperbolicus Ctg (coth) Kotangens hyperbolicus «r Sin (arsinh) area-sinus hyperbolicus 9lt oj (arcosh) area-cosinus hyperbolicus «t SG (artanh) area-tangens hyperbolicus 9lr Gtg (arcoth) area-cotangens hyperbolicus xvt In Klammern Abkürzung nach TdL '