Mathematik für Ingenieure 2

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1 Mathematik fü Ingenieue Doppelintegale THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

2 Anschauung des Integals ingenieusmäßige Intepetation des bestimmten Integals Das bestimmte Integal lässt sich anschaulich auch wie folgt intepetieen und smbolisch umfomulieen: f ( ) b b f ( ) d da da mit I a; b a a ( I ) f( ) In Woten: De lächeninhalt untehalb de Kuve entsteht duch Aufsummieen de infinitesimal schmalen lächensteifen da f ( ) d zwischen a und b. a da f( ) b d Diese omulieung ist zwa mathematisch nicht ganz päzise. Sie macht jedoch deutlich, dass es sich beim Integal um ein Aufsummieen (Bilanzieen) von infinitesimal kleinen Gößen handelt in diesem all um lächeninhalte. Diese Anschauung veeinfacht das Veständnis de Anwendungen von Integalen wesentlich, ohne jeweils auf die eakte mathematische Bescheibung übe Genzwetbildungen zuückgeifen zu müssen. Bei de Einfühung von Mehfachintegalen und ihen Anwendungen vewenden wi diese Intepetation des Integals. THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

3 Doppelintegale THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

4 Doppelintegale () unktionen mit zwei Veändelichen egeben eine läche im deidimensionalen Raum. Wi wollen nun das Volumen beechnen, das zwischen de läche und einem Gebiet A de --Ebene eingeschlossen wid. z z f ( ; ) z z f ( ; ) k k k V k (k-tes Volumenelement) Integationsbeeich A A k Integationsbeeich A Dabei wid entspechend wie bei de Einfühung des Riemann-Integal vogegangen: man zelegt den Integationsbeeich A in n quadatische lächen A k und bildet das Volumen des Quades bis zum unktionswet f ( ; ). Dann egibt sich das Volumen des k-ten Quades wie folgt: THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale k k V z A f ( ; ) A k k k k k k Duch Aufsummieen alle Quade ehält man eine Näheung an das gesuchte Volumen: n n V V f ( ; ) A k k k k k k De Übegang zum Genzwet lim und A liefet dann das gesuchte Volumen. n k

5 Doppelintegale () Definition: Eistiet de Genzwet lim f ( ; ) A k lächenintegal ode zweifaches Integal ) bezeichnet. n n A k k k k so wid e als Doppelintegal (auch Gebietsintegal, ( A) f ( ; ) da Wichtige Anmekungen: Wie im eindimensionalen all egibt sich beim Doppelintegal das oientiete Volumen : Beeiche mit negativen unktionsweten liefen negative Volumina. Doppelintegale sind in den allemeisten ällen bestimmte Integale, also mit konketen Integationsgebieten. Die Untescheidung Stammfunktion/unbestimmtes Integal bestimmtes Integal entfällt. Eine de Hauptabeiten bei de Beechnung von Mehfachintegalen besteht in de konketen Bescheibung des Integationsgebietes A. Das kann bei Doppelintegalen in unteschiedlichen Koodinatendastellung beschieben weden: katesische Koodinaten (echtwinkliges Koodinatensstem) Polakoodinaten 5 THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

6 Beechnung von Doppelintegalen in katesischen Koodinaten 6 THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

7 Beechnung von Doppelintegalen in katesischen Koodinaten () Wi beschänken uns beim Integationsgebiet A auf Gebiete, die fü duch eine obee Kuve f ( o ) und eine untee Kuve f ( u ) gemäß Abbildung beschieben weden können und das Intevall [a;b] duchläuft. ü solche sogenannte Nomalbeeiche gilt: a b und f ( ) f ( ) u o Nomalbeeich f ( ) f ( ) o oben In katesischen Koodinaten ist ein lächenelement Integationsgebiet ein Quadat (s. Abb. unten): da d d dv z da f ( ; ) d d Das Doppelintegal kann dann auf zwei nacheinande auszufühende Integationen einmal in -Richtung, danach in -Richtung - wie folgt beechnet weden: b fo( ) f ( ; ) da f ( ; ) d d ( A) a fu( ) da im z Integationsbeeich A f ( ) f ( ) u unten a b z f ( ; ) innees Integal äußees Integal dv Bei de Beechnung des inneen Integals wid dabei die Vaiable wie konstante Paamete behandelt. Die Integationseihenfolge ist i.a. nicht vetauschba! da d d Integationsbeeich A 7 THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

8 Beechnung von Doppelintegalen in katesischen Koodinaten () Beispiel: Man beechne das Volumen, das von dem Rotationspaaboloid f ( ; ) und de --Ebene übe dem Deieck ; ezeugt wid. Lösung: V f ( ; ) da ( A) d d f ( ; ) d d d z d d d 6 VE innee Integation äußee Integation Integationsbeeich 8 THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

9 Beechnung von Doppelintegalen in katesischen Koodinaten () Übung: Man beechne folgendes Doppelintegal: d d Lösung: d d d d d d aktoegel innee Integation d äußee Integation 9 THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

10 Beechnung von Doppelintegalen in Polakoodinaten THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

11 Beechnung von Doppelintegalen in Polakoodinaten () Ein Punkt in de Ebene lässt sich neben de Angabe seine - und -Koodinaten auch duch Angabe seines Abstandes vom Nullpunkt und dem Winkel φ, den e zu positiven -Achse bildet, eindeutig angeben (Polakoodinaten). Zwischen Polakoodinaten und katesischen Koodinaten besteht übe den Pthagoas folgende Zusammenhang: cos sin mit und In bestimmten Anwendungsfällen ist es wesentlich einfache, indem man statt katesische Koodinaten Polakoodinaten vewendet. Beispielsweise lassen sich otieende Teile im Moto, Räde ode Planetenbahnen eheblich einfache mit Polakoodinaten bescheiben. Beim Übegang von katesischen zu Polakoodinaten wid aus eine unktion und Winkel φ abhängigen unktion: f ( ; ) f cos ; sin f ( ; ) eine vom Radius Die Bescheibung de in diesen Anwendungen auftetenden Integationsbeeichen A von Doppelintegalen f ( ; ) da sowie das infinitesimale lächenelement da haben in Polakoodinaten dann folgendes ( A) Aussehen: THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

12 Beechnung von Doppelintegalen in Polakoodinaten () d Insgesamt egibt sich: A ( außen ) ( ) innen Integationsbeeich in Polakoodinaten Beechnung eines Doppelintegals in Polakoodinaten: d da d d lächenelement da in Polakoodinaten. Man beachte: Die Länge eines Keisbogens ist das Bogenmaß des Winkels Tansfomiet man katesische Koodinaten in Polakoodinaten, so gelten folgende Substitutionsgleichungen: cos sin da d d Mit diesen Substitutionen und den Bezeichnungen de obigen Abbildungen tansfomiet sich das Doppelintegal wie folgt: außen ( ) ( A) ( ) f ( ; ) da f cos ; sin d d innen Anmekung: Üblicheweise efolgt die innee Integation nach dem Radius. Dabei wid de Winkel φ als Paamete festgehalten. Die äußee Integation efolgt anschließend nach de Vaiablen φ. THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

13 Beechnung von Doppelintegalen in Polakoodinaten () Beispiel : Wi beechnen das Volumen, das vom Rotationspaaboloid Ebene ezeugt wid. z f (, ) und de -- De Integationsbeeich ist de Schnitt zwischen de unktion und de --Ebene. Das ist ein Keis vom Radius (siehe Skipt _...). Die Integation fühen wi dahe übe Polakoodinaten aus: Tansfomation de unktionsbescheibung in Polakoodinaten: esetze cos und sin : z cos sin Integationsgebiet: THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale cos sin = (tigonometische Pthagoas) V f ( ; ) da ( Keisscheibe ) Einsetzen in die Tansfomationsfomel: f cos ; sin d d d d

14 THE SERVICES PROVIDER DIE Mathematik fü Ingenieue - Doppelintegale Beechnung von Doppelintegalen Polakoodinaten () d d V Beechnung des Integals duch Ausfühen de inneen und äußeen Integation: d d d innee Integation d d 8 d d = äußee Integation 8

15 Beechnung von Doppelintegalen in Polakoodinaten (5) Beispiel : Beechnung des Volumens eines Zlindes mit Radius R und Höhe Es ist die konstante unktion f ( ; ) übe das Integationsgebiet eine Keisscheibe vom Radius R zu integieen : V ( Keisscheibe ) da da ( Keisscheibe ) ( Keisscheibe ) d d In katesischen Koodinaten müsste das halbe Integationsgebiet mit Hilfe des Pthagoas wie folgt beschieben weden R R R R was auf ein komplizietes Integal fühen wüde. In Polakoodinaten sind dagegen nu zwei einfache Integationen auszufühen: Integationsgebiet: R Tansfomation des Doppelintegals: V ( Keisscheibe ) da R d d R d R R d z R d R R innee Integation R De Wet des Doppelintegals ist de lächeninhalt de Keisscheibe. Auf diese Weise lassen sich allgemein auch lächeninhalte von lächen in de Ebene beechnen: 5 THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale äußee Integation

16 Anwendung: Beechnung von lächeninhalten und schwepunkten 6 THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

17 Beechnung von lächeninhalten und schwepunkten mit Doppelintegalen () Teil : Beechnung von lächeninhalten mit Doppelintegalen Setzt man im Doppelintegal die unktion konstant, f ( ; ), so egibt de Wet des Doppelintegals den lächeninhalt des Integationsbeeichs: ( A) da Katesische Nomalbeeich f ( ) o De lächeninhalt beechnet sich fü katesische Nomalbeeiche wie folgt: b f ( ) o a f ( ) u d d Beechnung des lächeninhalts in Polakoodinaten: a Integationsbeeich A f ( ) u Nomalbeeich in Polakoodinaten b ( ) a ( ) i d d A i ( ) ( ) a 7 THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

18 Beechnung von lächeninhalten und schwepunkten mit Doppelintegalen () Teil : Beechnung von lächenschwepunkten Sei A de lächeninhalt eine läche A im. Dann beechnet sich de Schwepunkt S s; s nach folgenden omeln: s da ; A s ( A) A ( A) da Katesische Nomalbeeich f ( ) o Integationsbeeich A In katesische Koodinaten: f ( ) u s b f ( ) b f ( ) o o d d ; A s a f ( ) A a f ( ) u u d d a Nomalbeeich in Polakoodinaten b In Polakoodinaten (einsetzen de Tansfomationsfomeln): s a( ) a( ) s ( ) A ( ) cos d d ; sin d d A i i A i ( ) ( ) a 8 THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

19 Beechnung von lächeninhalten und schwepunkten mit Doppelintegalen () Beispiel : Wo liegt de Schwepunkt S de läche, die duch die Geade und die -Achse im Intevall eingeschlossen wid? Lösung: Bescheibung de unteen und obeen Begenzungskuven: f ( ) u fü fü Beechnung des lächeninhalts: f ( ) o fü fü - f ( ) f ( ) o f ( ) u d d d d d d d d 9 5 Beechnung de Schwepunktkoodinaten: fo ( ) s d d d d d d A fu ( ) , 7 5 s f ( ) A f ( ) o u d d d 5 d d d + 7, THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

20 Beechnung von lächeninhalten und schwepunkten mit Doppelintegalen () Beispiel : Wo liegt de Schwepunkt S de läche, die duch die beiden Geaden und den Keis mit Radius 5 gebildet wid? Lösung: Integationsgenzen: 5 8 und Beechnung des lächeninhalts: A 8 5 d d 5 8 d 5 8 d Beechnung de Schwepunktkoodinate s : cos d d cos d d cos d cos d 5 sin sin sin sin sin 8 5, 68 9, s, 9 5, 8 s THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

21 Beechnung von lächeninhalten und schwepunkten mit Doppelintegalen (5) Beechnung de Schwepunktkoodinate s : 8 5 sin d d 8 5 sin d d 8 5 sin d 5 cos 8 5 cos cos 8 5 cos cos 8 5,, 57 6 s, 57 5, 75 s THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale

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