Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)

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1 Eigenwerte (Teschl/Teschl 4.2 Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x = (A λi n x =. Der Skalar λ ist dann ein Eigenwert von A, mit sagt x ist Eigenvektor zum Eigenwert λ. Beispiel ( Mit A = 2 2 ( Es folgt, dass x = λ = 3 ist. ( und x = ( ist Ax = 3 3 = 3 x. Eigenvektor von A zum Eigenwert eigenwerte.pdf, Seite

2 Beispiel 2 (, 6, 8 Die Matrix A = beschreibt eine Spiegelung an, 8, 6 der Geraden durch (; und (; 2. Für alle Vektoren v auf der Spiegelachse, d. h. die skalaren Vielfachen von (; 2, gilt Av = v = v. Somit besteht die Spiegelachse aus Eigenvektoren zum Eigenwert. Die skalaren Vielfachen w von (2; stehen senkrecht zur Spiegelachse. Damit gilt Aw = w = w, d. h. diese Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert. Man kann nachprüfen, dass Vektoren, die auf keiner dieser beiden Achsen ( liegen, ( keine Eigenvektoren von A sind. Zum (, 4 Beispiel A = kein skalares Vielfaches von., 2 eigenwerte.pdf, Seite 2

3 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren Man bestimmt im ersten Schritt die Eigenwerte einer gegebenen Matrix A und anschlieÿend im zweiten Schritt zu jedem Eigenwert die zugehörigen Eigenvektoren. Letztere erhält man als Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems. Zur Bestimmung der Eigenwerte dient folgende Überlegung: Es gilt λ ist Eigenwert von A Es gibt einen Vektor x mit Ax = λx = λi n x das LGS (A λi n x = hat eine Lösung x die Matrix (A λi n = ist singulär (nicht regulär det(a λi n =. eigenwerte.pdf, Seite 3

4 Charakteristisches Polynom Aus der LaplaceEntwicklung der Determinante folgt, dass p A (λ = det(a λi n ein Polynom nten Grades in λ ist, das charakteristische Polynom von A. Dessen Nullstellen sind gerade die Eigenwerte. ( 2 Beispiel: Das charakteristische Polynom von A = ist p A (λ = det(a λi 2 = det ( = det λ 2 2 λ ( ( 2 2 ( λ λ 2 = ( λ = λ 2 2λ 3. Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen 3 und von p A (λ. eigenwerte.pdf, Seite 4

5 Bemerkungen Nur quadratische Matrizen können Eigenwerte und Eigenvektoren haben. Ist A nicht quadratisch, so haben Vektoren x und y = Ax unterschiedliche Dimensionen, so dass y kein skalares Vielfaches von x sein kann. Das charakteristische Polynom einer n nmatrix ist ein Polynom nten Grades und hat somit höchstens n Nullstellen. Diese können reelle oder komplexe Zahlen sein. Auch eine Matrix mit reellen Koezienten kann somit komplexe Eigenwerte haben. Im folgenden werden wir uns auf Beispiele beschränken, wo die Eigenwerte reell sind. Warnung: Die Eigenwerte einer Matrix ändern sich im Allgemeinen bei elementaren Zeilenoperationen. Daher können diese bei der Berechnung von Eigenwerten nicht benutzt werden. eigenwerte.pdf, Seite 5

6 Berechnung der Eigenvektoren Hat man einen Eigenwert λ bestimmt, so erhält man die zugehörigen Eigenvektoren als Lösung des homogenen LGS (A λi n x =. Im Beispiel ergeben sich die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = als Lösungen des LGS [ ( ( ] ( ( ( ( 2 x 2 2 x = = 2 x x 2 ( x x 2 = t ( mit t R beliebig. Mit λ = 3 ergibt sich ( ( 3 2 x = 2 3 x 2 ( ( x = t mit t R. x 2 ( ( x ( = x 2 eigenwerte.pdf, Seite 6

7 Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Dierentialgleichungssysteme, z. B. Schwingungsgleichungen Bestimmung von Wachstumsraten Bestimmung von Maximal- und Minimalwerten von Funktionen mehrerer Veränderlicher Stabilität von Gleichgewichtslösungen dynamischer Systeme Stationäre Verteilungen für MarkovProzesse Dreh und Spiegelachsen bei geometrischen Transformationen eigenwerte.pdf, Seite 7

8 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren Eine n nmatrix hat höchstens n Eigenwerte. Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind die Koezienten auf der Diagonale. Ist λ Eigenwert von A, so bildet die Menge aller Eigenvektoren zum Eigenwert λ als Lösungsmenge eines homogenen LGS einen Teilraum des R n, den Eigenraum zum Eigenwert λ. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig. Hat A n verschiedene Eigenwerte, so gibt es eine aus Eigenvektoren { bestehende Basis des R n. ( ( } Beispiel:, ist eine aus Eigenvektoren von ( 2 A = bestehende Basis des R 2. 2 eigenwerte.pdf, Seite 8

9 Beispiel A = hat das charakteristische Polynom λ det 4 2 λ = ( λ (2 λ (3 λ λ mit den Nullstellen λ =, λ 2 = 2 und λ 3 = 3. Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu λ = löst man das LGS (A I 3 x = x = t mit t R, d. h. der Eigenraum zum Eigenwert λ = ist der aus allen skalaren Vielfachen von 2 2 bestehende eindimensionale Teilraum des R 3. eigenwerte.pdf, Seite 9

10 Fortsetzung Beispiel A = Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu λ 2 = 2 löst man das LGS (A 2Ix = 2 mit der allgemeinen Lösung x = t t bzw. t = t 2 2, 5 = t R, die den zugehörigen Eigenraum bildet. 2 mit Analog erhält man den Eigenraum zu λ 3 = 3 als Menge aller skalaren Vielfachen von. Eine Basis aus Eigenvektoren ist { 2 2, 2, } eigenwerte.pdf, Seite

11 Eigenwerte symmetrischer Matrizen Ist A eine symmetrische n nmatrix, so sind alle Eigenwerte reell. Es gibt immer eine aus Eigenvektoren von A bestehende Basis des R n. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander. Beispiel ( A = 2 2 λ = und λ 2 = 3. ist symmetrisch und hat die Eigenwerte Die Eigenvektoren zu λ sind die skalaren Vielfachen von v = (, die zu λ2 = 3 die skalaren Vielfachen von v 2 = ( {v, v 2 } ist eine Basis des R 2 und es ist v, v 2 =, d. h. die beiden Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander.. eigenwerte.pdf, Seite

12 Beispiel 2: A = p A (λ = det(a λi 3 = det (mit der Regel von Sarrus λ 2 2 λ 2 2 λ = ( λ 2 [ ( λ 4 ( λ ] 4 ( λ = ( λ ( λ ( λ 8 = ( λ (λ 2 8 hat die Nullstellen λ =, λ 2 = 3 und λ 3 = 3. Die Eigenvektoren zu λ = erhält man durch (A I 3 x = mit t R x = t eigenwerte.pdf, Seite 2

13 Fortsetzung Beispiel A = Mit λ 2 = 3 erhält man das LGS (A + 3I 3 x = x = t mit λ 3 = 3 dann (A 3I 3 x = mit t R, x = t mit t R. eigenwerte.pdf, Seite 3

14 Fortsetzung Beispiel A = Wählt man zu jedem Eigenwert einen normierten Eigenvektor, so erhält man die Basis { } {b, b 2, b 3 } = 2, 6 2 Es ist b = b 2 = b 3 = und b, b 2 = b, b 3 = b 2, b 3 =,, 3 d. h. alle Basisvektoren haben die Länge und stehen jeweils senkrecht aufeinander. Es handelt sich um eine Orthonormalbasis des R 3., eigenwerte.pdf, Seite 4

15 Spur und Determinante Die Spur einer quadratischen Matrix A ist deniert als die Summe der Koezienten auf der Diagonale, also Spur(A = n k= a kk = a + a a nn. Satz: Hat eine n nmatrix A n Eigenwerte, so ist die Summe der Eigenwerte gleich Spur(A und das Produkt der Eigenwerte gleich det A. Beispiel A = hat die Eigenwerte λ =, λ 2 = 3 und λ 3 = 3. Es ist Spur(A = + = = λ + λ 2 + λ 3 sowie det A = 4 4 = 9 (mit Sarrus = ( 3 3 = λ λ 2 λ 3. eigenwerte.pdf, Seite 5

16 Beispiel 2 ( Die Summe der Eigenwerte von A = Spur(A = = sein. 2 4 muss gleich Hat A zwei Eigenwerte der Form λ und λ, so muss weiter gelten λ ( λ = λ 2 = det A = 8 = 9 λ = ±3. Bemerkung Der Satz gilt für beliebige quadratische Matrizen. Im allgemeinen Fall müssen komplexe Eigenwerte mit berücksichtigt werden und mehrfache Nullstellen des charakteristischen Polynoms gemäÿ ihrer algebraischen Vielfachheit gezählt werden. eigenwerte.pdf, Seite 6