Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Modellbildung am

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1 Technische Universität Wien Institut für utomatisieruns- un Reelunstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Moellbilun am rbeitszeit: 120 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: ufabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Bitte traen Sie Name, Vorname un Matrikelnummer auf em Deckblatt ein,... rechnen Sie ie ufaben auf separaten Blättern, nicht auf em nabeblatt,... beinnen Sie für eine neue ufabe immer auch eine neue Seite,... eben Sie auf jeem Blatt en Namen sowie ie Matrikelnummer an un... berünen Sie Ihre ntworten ausführlich. Viel Erfol!

2 1. Betrachten Sie en rehbar elaerten Balken aus bbilun 1. 9 P. s 1 τ 0 s 2 b 2 bbilun 1: Drehbar elaerter Balken. Der arestellte Balken mit em Träheitsmoment Θ (0) yy ist in seinem Schwerpunkt rehbar elaert un kann mit em externen Moment τ ereht weren. uf em Balken ist ein Waen montiert, er sich entlan es Balkens beween kann. Die Entfernun vom Schwerpunkt es Balkens sei s 1. n em Waen ist im Punkt ein Starrkörper mit er Masse m 2, er Läne un er Breite b 2 aufehänt. Die Distanz zwischen Balken un Starrkörper sei s 2. Die Feer, an er er Starrkörper aufehänt ist, besitzt ie entspannte Läne s 20 un ist so konstruiert, ass sich er Starrkörper nicht rehen kann. a) Stellen Sie ie Ortsvektoren zum ufhänpunkt es Starrkörpers sowiu 2 P. essen Schwerpunkt im Koorinatensystem (0xyz) auf. Die Dicke es Balkens kann hierfür vernachlässit weren. b) Stellen Sie ie kinetische un potentielle Enerie es Gesamtsystems auf. 4 P. c) Geben Sie allemein ie Beweunsleichunen es Systems in Form er Euler- 3 P. Larane Gleichunen an. Werten Sie anschließen ie Beweunsleichun für en Winkel aus. 2

3 2. Ein moerner Desin-Heizkörper er Läne L (siehe bb. 2) wir in einem Ess- 8 P. zimmer an er Wan montiert. Er besteht hauptsächlich aus er Schicht b (Dicke b, Wärmeleitfähikeit λ b ), auf ie ie Schicht a (Dicke a, Wärmeleitfähikeit λ a ) aufebracht wure, um ie Strahlunseienschaften es Heizkörpers zu verbessern. Schicht a L q 0 Schicht b T Pfanne h bbilun 2: Esszimmer. a) Leiten Sie ie stationäre Wärmestromichte q urch en Heizkörper als Funk- 2 P. tion er Temperaturen T a un T b an er Vorer- bzw. an er Rückseite es Heizkörpers her. b) Der Heizkörper wir mit einer konstanten Wärmestromichte q 0 elektrisch e- 2 P. heizt un ibt seine Wärme urch Strahlun un Konvektion (Wärmeüberanskoeffizient α) in en Raum mit er leichmäßien Umebunstemperatur T ab. Geben Sie eine Bestimmunsleichun für ie Oberflächentemperatur T a es Heizkörpers im stationären Fall an. Welche Form er Konvektion tritt hier auf? Nennen Sie eine Kennröße, von er er Wärmeüberanskoeffizient α abhäni ist. c) uf en Tisch unterhalb es Heizkörpers wir eine Pfanne (Durchmesser p, 4 P. homoene Temperatur T p ) estellt. Berechnen Sie ie Nettowärmestromichte in ie Pfanne. Nehmen Sie azu an, ass er Tisch ie leiche Temperatur wie ie Umebun hat, un vernachlässien Sie ie Konvektion. ufrun er speziellen Strahlunseienschaften er Schicht a kann ie Emissivität es Heizkörpers zu ε h = 1 anenommen weren. Die Emissivität er Umebun beträt ebenfalls ε = 1. Hinweis: Die Nettowärmestromichten können mit er Formel q = ia{ε} (E F (E ia{ε})) 1 (E F) σt 4 berechnet weren. Berücksichtien Sie abei eschickt ie Eienschaften er Sichtfaktoren im hier betrachteten zweiimensionalen Fall. Der Sichtfaktor F hp kann als bekannt anenommen weren. 3

4 3. Betrachten Sie as in bbilun 3 arestellte mechanische System. Der Rahmen 15 P. (homoene Dichte ρ, Masse m r, Dicke, Breite b) ist im Punkt rehbar elaert un am linken Ene urch eine Feer er Steifikeit c mit em Boen verbunen. Die Feer ist für = 0 entspannt. uf em Rahmen ist ie Masse m m im bstan l m vom mittleren Ste befestit. c l m l 1 m m bbilun 3: Mechanisches System. a) Berechnen Sie en Gesamtschwerpunkt S es Systems als Funktion es Winkels 3 P.. Betrachten Sie abei ie Masse als Punktmasse auf em Rahmen. b) Berechnen Sie as Träheitsmoment Θ () zz es Systems bezülich. 3 P. c) Geben Sie en Drallsatz bezülich es Punktes an. 1 P. 4

5 Das zuvor betrachtete mechanische System wir um eine hyraulische ktorik, wie in bbilun 4 arestellt, erweitert. Hierbei ist ie untere Kammer es hyraulischen Zyliners (uslenkun l Z es Kolbens) urch ein Rohr mit er Höhe l R an einen Wasserbehälter mit er Grunfläche B aneschlossen. Das Wasser hat ie konstante Dichte ρ sowie as Volumen V. Der Umebunsruck p 0 an er Oberfläche sei konstant. Der Wasserstan in em Behälter hat ie Höhe h un kann urch en Zufluss q 1 un en bfluss q 2 beeinflusst weren. Die obere Kammer es Zyliners ist an einen Tank mit konstantem Druck p T aneschlossen. Die Kolbenflächen es Zyliners seien 1 für ie obere un 2 für ie untere Fläche. q 1 c l m l 1 p 0 ξ ρ, V h B q 2 m m l R F Z p T 1 2 l Z bbilun 4: Mechanisches System mit hyraulischer ktorik. ) Schreiben Sie ie Massenerhaltun er Flüssikeit im Behälter für ein us- 3 P. ansvolumen V 0 bei er Wasserhöhe h 0 sowie ie Bernoulli-Gleichun v t ξ v2 + 1 p ρ ξ + z ξ = 0 (1) entlan er Strömunslinie ξ an. Nehmen Sie hierfür eine stationäre Strömun an. e) Berechnen Sie ie benötite Wasserhöhe h, bei er er Zyliner en Mechanis- 3 P. mus urch ufbrinen er Kraft F Z = F G mit er Zylinerauslenkun l Z = l Z0 im Gleichewicht hält. f) Der Mechanismus wir urch ufbrinen eines externen Drehmoments um ie 2 P. -chse mit = ω 0 ereht. Welcher Zufluss q 1 muss sich für kleine Winkel mit em bfluss q 2 = 0 einstellen, um ie Kraft F Z = F G konstant zu halten. 5