Diesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und

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1 Bevor wir zum ächste Kapitel übergehe, werde wir de Begri eier Fuktio i mehrere Variable eiführe. Eie Fuktio vo Variable ist eie Vorschrift, die jedem Pukt (x 1,x,...,x ) eier Teilmege D des IR eie bestimmte reelle Zahl f(x 1,...,x ) zuordet. Diese ist der Fuktioswert a der Stelle (x 1,...,x ). We = sid wir gewoht de Pukt i der Ebee (x, y) zuee. Wir werde hier weder die Stetigkeit, och die Di erezierbarkeit betrachte, wohl aber die partielle Ableitug. Da köe wir das bisher über Grezwerte Gelerte verwede. Eie Fuktio ist im Iere ihres Defiitiosbereiches ach eier Variable x i partiell di erezierbar, weder Grezwert existiert f(...,x i + h,...) f(...,x i,...) lim h!0 h Diese Grezwert et ma partielle Ableitug vo f ach x i ud wird mit x i f(x 1,x,...,x )bezeichet. Bsp. Wir suche die partielle Ableituge ach x ud y vo f(x, y) =yx +siy + cos(xy) f(x, y) = xy y si(xy) x y f(x, y) = x + cos y x si(xy) d.h. we wir die partielle Ableitug ach x bilde, leite wir eifach ach x ab, die adere Variable bleibt fix. 8 Kleiste Fehlerquadrate 8.1 Lieare Regressio Ageomme wir führe ei Experimet durch ud erhalte eie Reihe vo Messwerte y 1,...,y. We die Werte ugefähr auf eier Gerade liege, werde wir eie lieare Asatz mache. y(x) =a + bx Diese et ma Ausgleichsgerade. Doch für mehr als zwei Werte ( ) stellt sich die Frage, welche Gerade, d.h. welche Parameter a ud b ma 33

2 ehme soll. Die Methode der kleiste Fehlerquadrate besteht dari, dass ma folgede Fuktio bezüglich a ud b miimiert: X F (a, b) = (y i (a + bx i )) Dabei wird die vertikal gemessee Abweichug des Puktes (x i,y i )(Messdate) vo der Ausgleichsgerade (Modellvorhersage) miimiert. Notwedige Bediguge für ei Extremum der Fuktio F sid folgede: a F (a, b) = ( ) X (y i (a + bx i )) = 0 b F (a, b) = ( ) X [(y i (a + bx i ))x i ]=0 Das so erhaltee Extremum ist tatsächlich auch das relative Miimum (um das zu zeige würde wir mehr Wisse über Fuktioe i mehrere Variable brauche, was über de Sto dieser Vorlesug hiausgeht). Bsp. Habe wir folgede Werte: i x i y i F (a, b) =( (a + b)) +(3 (a +b)) +(4.5 (a +3b)) Die otwedige Bediguge für das Extremum: a F (a, b) = ( )[( a b)) + (3 a b)) + (9 a 3b))] = 0 b F (a, b) = ( )[( a b)) + (3 a b)) + 3(9 a 3b))] = 0 Die zwei Gleichuge: a 6b = 0 6a 14b = 0 liefer die Lösug a = 3 ud b = 5 4 für die Ausgleichsgerade y = x. 34

3 Die Bediguge a F (a, b) =0ud bf (a, b) = 0 köe wir umforme. Führe wir das arithmetische Mittel ei: x = 1 X x i y = 1 X y i köe wir a F (a, b) = ( ) P (y i (a + bx i )) = 0 aufschreibe als ( )(y a bx) = 0 also gilt: a = y bx aus der zweite Gleichug erhalte wir (idem wir für a die soebe erhaltee P Gleichug eisetze): P (x i y i x i (y bx) bx i ) = 0 da für b = (y i y)x i P (x Da P i x)x i (y i y) = 0 ud P (x i x) = 0 erweiter wir Neer (mit P (x i x)x = 0) ud Zähler (mit P (y i y)x = 0) i b ud erhalte schliesslich: P (y i y)(x i x) b = P (x i x) Da sehe wir, dass b icht defiiert wäre, we alle x i gleich wäre. Satz 8. Zu jeder Puktmege (x 1,y 1 ), (x,y ),...,(x,y ) mit ud midestes zwei verschiedee x-werte gibt es geau eie empirische Ausgleichsgerade y = a + bx, für dere Parameter a ud b die Quadratsumme F (a, b) miimal wird. I dem obe gerechete Beispiel köe wir also a ud b direkt ausreche. Zuerst bereche wir die arithmetische Mittel x = = ud y = , also habe wir für b ud a: 3 = 19 6 b = ( 19 6 )(1 ) + ( )( ) + ( )(3 ) ( 1) = 5 4 a = = 3 35

4 8. Nichtlieare Regressio Quadratische Regressio Habe wir Messdate, die durch ei Polyom zweite Grades beschriebee werde: y = a + bx + cx versuche wir u die drei Parameter a, b ud c so zu ermittel, dass die mittlere quadratische Abweichug miimal wird. Wir führe wiederum die Fuktio F ei: X F (a, b, c) = (y i (a + bx i + cx i )) Die otwedige Bediguge für ei Extremum sid: a F (a, b) = ( ) X (y i (a + bx i + cx i )) = 0 b F (a, b) = ( ) X [(y i (a + bx i )+cx i )x i ]=0 c F (a, b) = ( ) X [(y i (a + bx i + cx i ))x i ]=0 Expoetielle Regressio Da führe wir eie Trasformatio ei, so dass die erhaltee Größe liear voeiader abhäge. Ist die Modellvorhersage folgede: y = Ae bx da führe wir u = ly ei, ud u hägt u liear vo x ab: u =la + bx Setze wir a =la, habe wir die Ausgleichsgerade für (x i,u i ). Bsp. i x i y i u i =ly i l l l 0 36

5 Die Fuktio F ist da F (a, b) =[ (a+b)] +[ l (a+b)] +[ l 5 (a +3b)] +[ l 0 (a +4b)]. Die Bediguge für eie Extrempukt sid: F (a, b) a = ()[(a + b)+l+(a +b)+l5+(a +3b) + l 0 + (a +4b)] = 0 F (a, b) b = ()[(a + b)+(l+(a +b)) + (l 5 + (a +3b))3 + (l 0 + (a +4b))4] = 0 d.h. 4a + 10b + l 00 = 0 10a + 30b +l( ) = 0 a =l( p 10), also A = p ud b = 1 10 l(0000) 0.99 Literatur: Grudkurs Mathematik für Biologe, H Vogt, Teuber Stuttgart, 1994 Mathematik für Biologe, A. Riede, Vieweg,

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