Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 1

Transkript

1 Mittelschule / Realschule / Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 1 Hinweise: Alle Zwischen- und Endergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden. Die Zeichnungen sind nicht maßstäblich. Alle Maße sind in mm, falls nicht anders angegeben. 1. Bestimme das Maß x in nebenstehender Zeichnung. 2. Eine Platte wird zylindrisch und kegelig durchbohrt. Berechne das Maß s der skizzierten Platte. 3. Eine Kugel wird in ein Werkstück eingedrückt. Berechne die Eindringtiefe h für d < 12 mm und d1 < 5 mm. 4. Ein Zylinder wird abgeflacht. Bestimme die Breite x der Abflachung. GM_AU055 **** Lösungen 16 Seiten (GM_LU055) 1 (7)

2 Mittelschule / Realschule / Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 1 5. Ein Zylinder durchdringt eine Kugel. Wie groß ist der Zylinderdurchmesser d? 6. Gesucht ist das Kontrollmaß x der nebenstehend dargestellten Platte. 7. Berechne das Maß x des skizzierten Werkstückes. 8. Drei Wellen (Zylinder) sind wie nebenstehend dargestellt angeordnet. Berechne die Höhe h, wenn der Außendurchmesser der Wellen 90 mm beträgt. 9. Berechne die Länge x im nebenstehend skizzierten Dreieck. GM_AU055 **** Lösungen 16 Seiten (GM_LU055) 2 (7)

3 Mittelschule / Realschule / Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz Berechne im nebenstehenden Dreieck die Seite s. Stelle zunächst eine allgemeine Formel für s auf und setze anschließend die gegebenen Werte ein. h = 12 cm, r = 380 cm 11. Konstruiere das rechtwinklige Dreieck ABC mit p < 3,5 cm, q < 2,5 cm und φ < 90 Berechne die Fläche des Dreiecks. 12. Berechne die Länge x in nebenstehender Figur. 13. In einer Nut der Breite d = 48 cm sitzt ein Zylinder mit Radius r = 25 cm fest. Wie tief (Maß x) steckt der Zylinder in der Nut? 14. Dem Kreis k mit dem Radius r ist ein Drachenviereck ABCD einbeschrieben. Die Diagonale [DB] hat die Länge DB< 1,5r Bestimme die Strecke MP < a in Abhängigkeit von r. GM_AU055 **** Lösungen 16 Seiten (GM_LU055) 3 (7)

4 Mittelschule / Realschule / Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz Im nebenstehenden Dreieck ABC sind folgende Stücke gegeben: Dreieckshöhe h a = 8 cm Seitenhalbierende s a = 8,5 cm Flächeninhalt Χ ABC = 38 cm 2 a) Berechne AC. b) Zeichne das Lot von H auf AC und berechne seine Länge. 16. Gegeben: a < 8 cm, q < 6 cm. Berechne h, b, c und s. 17. Die Seitenlänge des Quadrates sei a. Berechne die Längen von r und s. 18. Gegeben ist das Dreieck ABC mit a = 7 cm, b = 24 cm, 90 φ <. Berechne die Länge der Seite c, die Hypotenusenabschnitte p und q und die Höhe h c 19. Gegeben ist nebenstehende Figur mit den Maßen: AC < b < 13 cm CD < d < 12 cm CE < e < 9,6 cm Berechne: DE < u; DF < v GM_AU055 **** Lösungen 16 Seiten (GM_LU055) 4 (7)

5 Mittelschule / Realschule / Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz In der nebenstehenden Figur sind gegeben: ED < u < 3 cm FD < v < 4 cm Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 21. In der nebenstehenden Figur berührt die Tangente t den Kreis in B. Die Gerade g schneidet den Kreis in C und D. AB < 12cm; AD < 9cm Berechne die Strecke AC. Welchen Radius r hat der Kreis? 22. Auf einer Ebene stehen zwei Türme im Abstand von 60 m. Der eine Turm ist 50 m, der andere ist 40 m hoch. Zwischen den Türmen befindet sich ein Brunnen B, der jeweils gleich weit von den Turmspitzen entfernt ist ( AB < BC ). Wie weit ist der Brunnen von den Türmen entfernt (Maß x)? 23. Aus einem A4-Blatt (210 mm breit, 297 mm lang) sollen zwei möglichst große und vollständige Kreise ausgeschnitten werden. Wie groß ist der Durchmesser zu wählen, wenn beide Kreise gleiche Größe haben sollen? Hinweis: Die Kreise berühren sich genau in Blattmitte. GM_AU055 **** Lösungen 16 Seiten (GM_LU055) 5 (7)

6 Mittelschule / Realschule / Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz Berechne die Kegelhöhe h, wenn die Mantellinienlänge s < 18 cm und der Grundkreisdurchmesser d < 22 cm beträgt. 25. Vom Rechteckprisma (Quader) sind gegeben: κ < 42 cm, b < 28 cm, h < 16 cm Berechne die Länge der Raumdiagonalen D. 26. Einem Würfel aus Holz wird eine Ecke abgesägt (siehe nebenstehende Skizze). Berechne den Flächeninhalt der farbigen Schnittfläche für eine Würfelkantenlänge von 8 cm. 27. In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind die Punkte A( 2 /3), B( 19 /9) und C(11 /15) gegeben. a) Untersuche das Dreieck ABC auf Rechtwinkligkeit. b) Berechne den senkrechten Abstand des Punktes C von AB. 28. Leiteraufgabe Eine Leiter wird an eine senkrechte Wand gelehnt. Die Höhe der Wand und die Leiterlänge stimmen überein. Wie lang ist die Leiter, wenn sie nun von der Oberkante der Wand 0,2 m nach unten gezogen wird und dann vom Fuß der Wand 1,2 m wegsteht? GM_AU055 **** Lösungen 16 Seiten (GM_LU055) 6 (7)

7 Mittelschule / Realschule / Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz Wie lang ist die gemeinsame Sehne der beiden Kreise? M1M2 < 8 cm 30. An die beiden sich berührenden k M ; r < 2 cm und Kreise ( k2 M 2; r2 6 cm( < ist eine gemeinsame Tangente t gelegt. Die Berührpunkte sind P und Q. Berechne die Länge PQ. 31. Dem Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a = 10 cm ist ein gleichseitiges Dreieck DEF einbeschrieben (vgl. Abb. rechts). Berechne die Länge der Dreiecksseite s. 32. Die Tangente t an den Kreis k mit dem Berührpunkt C ist Teil des Dreiecks ABC mit den Längen AD< 4cm, AB < 14cm, BC< 2r Berechne den Radius r des Kreises k und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. GM_AU055 **** Lösungen 16 Seiten (GM_LU055) 7 (7)

8 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse 9 Hinweise: Die Zeichnungen sind teilweise verkleinert dargestellt. Alle Maße sind in mm, falls nicht anders angegeben. Die folgenden Aufgaben wurden aus Schulaufgaben Klasse 9 Gymnasium entnommen, die auch auf meiner Webseite zu finden sind (siehe Tabelle auf S. 11) 1. Berechne den exakten Abstand der beiden Punkte A(-3/4) und B(-5/-2). Gib den erforderlichen Lösungsansatz an. 2. Gegeben sind die Punkte P(1/4) und Q(-3/7). [PQ] ist die Diagonale eines Quadrates. Berechne PQ und die Seitenlänge a dieses Quadrates. 3. Quadrate a) Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 4 ha. Berechne die Länge seiner Diagonalen! b) In einem Quadrat beträgt die Länge einer Diagonalen 8 cm. Berechne den Umfang des Quadrates! 4. Gegeben sind die Punkte A31, ( B, 2,5 5( und C, 3 2(. a) Berechne im Dreieck ABC die Seitenlängen c < AB und b < AC. b) Stefan sagt, das Dreieck ist bei C rechtwinklig. Zeige mit einer nachvollziehbaren Rechnung, ob Stefans Annahme stimmt. c) Berechne die Länge der Höhe d < CD im Dreieck ABC. 5. Ein Schiffsmast wurde auf einem Viertel seiner Höhe vom Sturm geknickt. Seine Spitze berührt 8 m vom Mast entfernt den Schiffsboden. Skizziere vereinfacht die Situation und berechne die ursprüngliche Höhe des Mastes. 6. Nina und Tim wollen ihren Dachboden mit Gipskartonplatten auskleiden. Die rechteckigen Platten sind 1 cm dick und haben die Maße 1,25m x 2,50m. Leider ist die Dachluke, um die Platten noch oben zu befördern, mit 1,10m x 0,75m etwas klein geraten. Nina und Tim fragen Ihren Nachbarn, der weiß sofort wie es ohne großen Aufwand geht. Welche Möglichkeit siehst Du? GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 1 (11)

9 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse 9 7. Wie weit kann man von einem Leuchtturm der Höhe h (über dem Meeresspiegel) auf das Meer hinaussehen? Berechne diese Entfernung s zunächst allgemein, danach für h< 36m. Der Erdradius beträgt r < 6370 km. Fertige eine saubere Skizze an. 8. Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel bei C) sind folgende Stücke gegeben: Hypotenusenabschnitt q < 8 cm, Kathete b < 12 cm. Fertige eine saubere Skizze an. Berechne: Seitenlänge a und c, Länge der Höhe zweiter Hypotenusenabschnitt p. h C, Flächeninhalt A, 9. a) Eine Leiter ist genauso lang, wie eine Mauer hoch ist. Lehnt man die Leiter 20 cm unter dem oberen Mauerrand an, so steht sie unten 1,20 m von der Mauer entfernt. Berechne die Länge der Leiter. (Fertige zuerst eine Skizze an.) b) Aus einem kreisrunden Blech (Radius r = 100 mm) soll ein Quadrat geschnitten werden. Berechne die Seitenlänge a des Quadrates. (Skizze.) 10. Hier wurden (vielleicht?) Fehler gemacht. Betrachte die Lösungen zu den folgenden Aufgaben und entscheide, ob sie richtig oder falsch sind. Berichtige falsche Lösungen. a) Gib die Seitenlänge w in Abhängigkeit von u und v an. Lösung: 2 2 w < u v b) Berechne die Länge h. Lösung: h< 4 5 < 20 < 2 5 c) Berechne die Länge x. Lösung: a 2 < x d 2 2( 2 2 a x < < < < < 2 d GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 2 (11)

10 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse Prüfe, ob die Formeln stimmen. Korrigiere gegebenenfalls. a) b) x 2 < pq p q< b c 2 2 d< a b h < d, a Welche Terme müssen in die Lücken eingefügt werden, damit sich eine wahre Aussage ergibt (bezogen auf die nebenstehende Skizze)? a) g 2 = b b) = a b c) a = 2, c - b 13. Berechne die Länge der Diagonalen d des nebenstehend abgebildeten Quaders. 14. Bestimme aus den Kantenlängen des Quaders die Länge der Raumdiagonalen D. GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 3 (11)

11 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse Zwei Quader sind nebeneinander angeordnet (siehe Zeichnung). a) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC. b) Überprüfe rechnerisch, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist. 16. Zwei Würfel der Kantenlänge a übereinander gestellt bilden den Quader der Zeichnung. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von a und zeige durch Rechnung, dass es rechtwinklig ist. 17. Im Würfel der Kantenlänge a halbieren die Punkte B und C jeweils die Kanten. a) Bestimme den Umfang des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von a. b) Berechne den Umfang des Dreiecks ABC auf Millimeter gerundet, wenn gilt: a < 8,0 cm. 18. Die Cheopspyramide in Ägypten ist die älteste und größte der drei Pyramiden von Gizeh und wird deshalb auch als Große Pyramide bezeichnet. Sie ist eine regelmäßige Pyramide mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge 230 m. Die Höhe betrug ursprünglich etwa 146 m. Wie lang war eine der Seitenkanten? 19. Die Cheopspyramide hat eine quadratische Grundfläche. Ihre Grundkante a betrug ursprünglich 230 m, ihre Seitenkante s 220 m. Berechne die Höhe h und die Oberfläche (ohne Grundfläche) der Pyramide. GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 4 (11)

12 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse Ein Tetraeder ist eine regelmäßige dreiseitige Pyramide. Ihre Kanten sind alle gleich lang, die Oberfläche besteht also aus vier gleichseitigen Dreiecken. Berechne für einen Tetraeder in Abhängigkeit der Kantenlänge a a) die Höhe h S der Seitenflächen. b) die Körperhöhe h K des Tetraeders. 21. Von einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist die Kantenlänge a der Grundfläche und die Seitenkante s bekannt. Leite eine Formel für die Höhe h in Abhängigkeit von a und s her. 22. Wie hoch darf ein 70 cm breiter Schrank höchstens sein, damit man ihn in einem 2,10 m hohen Kellerraum durch Kippen aufstellen kann. Die nebenstehende Skizze zeigt den Vorgang des Aufstellens. (Ist der Schrank zu hoch, dann steht er an der Kellerdecke an) 23. Eine Kugel mit Radius r < 4 cm steckt in einem 6 cm breiten Spalt. Wie tief sitzt die Kugel im Spalt? (Maß x) GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 5 (11)

13 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse Bei der Härteprüfung nach Brinell (Johan August Brinell, geb. 1849, schwedischer Ingenieur) wird eine Kugel aus Hartmetall in ein Probestück, z.b. ein Aluminiumblech, gedrückt. Dabei wird eine kreisförmige Vertiefung (eine Kugelkalotte) im Blech hinterlassen. Bei einer Härteprüfung ergaben sich folgende Werte: Durchmesser D der Kugel: 10 mm, Durchmesser d des Abdrucks: 3 mm. Wie tief ist der Abdruck? 25. Eine Scheibe wird an einer Stelle abgefräst (Maße nach Zeichnung) Berechne die Breite x der Abflachung. 26. Berechne den Radius x des kleinsten Kreises (siehe nebenstehende Skizze). Der Durchmesser des größten Kreises beträgt 8 cm. 27. Der nebenstehende Rundbogen stellt ein romanisches Motiv dar. Gib eine Gleichung an für den Radius r des kleinen Vollkreises in Abhängigkeit von der Breite d. Tipp: Benutze das eingezeichnete Hilfsdreieck zur Berechnung. GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 6 (11)

14 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse Berechne die Länge x in nebenstehender Figur. 29. Berechne die Seitenlänge b des skizzierten Rechtecks. 30. Berechne folgende Streckenlängen in nebenstehender Zeichnung. a) AE b) CE 31. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Länge des Hypotenusenabschnittes r = 6 cm und die Länge der Hypotenuse s = 15 cm gegeben. Berechne die Längen k, z, f. 32. In dem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Seite a = 4 cm und der Hypotenusenabschnitt x = 2 cm gegeben. Berechne die fehlenden Größen b, c, y und z. 33. Im rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben: h < 3,2 cm, q < 2,8 cm (vgl. Skizze). Berechne die Längen p und c. GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 7 (11)

15 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC. Leite eine Formel zur Berechnung der Höhe h her. Berechne die Höhe h für a < 6 cm. 35. Das Dreieck ABC ist bei B rechtwinklig. Die Höhe auf die Seite b werde mit h bezeichnet, ihr Höhenfußpunkt mit F. Berechne alle Seitenlängen sowie den Flächeninhalt des Dreiecks, für AF < 10 cm und CF < 4 cm. Achte dabei auf einen nachvollziehbaren Rechenweg und gib alle Ergebnisse mathematisch exakt an (nicht gerundet, aber so weit wie möglich radiziert). 36. In der nebenstehenden, nicht maßstabstreuen Figur sind bekannt: h = 6,0 cm und p = 18,0 cm AC ] BD h] c Berechne q, b, s und r. Gib die Ergebnisse auf eine Dezimale genau an. 37. Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat die Seitenlängen AC < BC < 7 cm und die Höhe EC < 6 cm. Das Lot auf BC in C schneidet AB im Punkt D (vgl. Skizze). Berechne AB und DE. Nenne jeweils den von dir verwendeten geometrischen Satz und runde auf eine Stelle hinter dem Komma. GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 8 (11)

16 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse Das Bild zeigt einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r. Auf dem Durchmesser ΖCD steht die Sehne ΖAB senkrecht. Durchmesser und Sehne schneiden sich in F. Es gilt: AD < a < 4 cm und FD < b < 1,5 cm. Berechne den Radius r und die Sehnenlänge AB. 39. Gegeben: a = 3 cm b = 13 cm c = 12 cm Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Dreiecks PQR. 40. Zur Messung von Geschossgeschwindigkeiten kann man ein so genanntes Ballistisches Pendel verwenden. Ein Geschoss wird in einen Plastilinklumpen gefeuert, der an einem Faden aufgehängt ist. Der senkrechte Abstand des Geschosses bis zum Aufhängepunkt des Fadens hat die Länge l. Aus dem Höhenzuwachs h, den der Klumpen erreicht, kann man die Geschossgeschwindigkeit berechnen. Leichter zu messen ist allerdings die maximale Auslenkung d. (vgl. Skizze) Leite deshalb einen Term h(d) her, mit dem man die Höhe h aus der Auslenkung d berechnen kann. GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 9 (11)

17 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse Einem Quadrat mit der Seitenlänge 32 cm ist ein weiteres Quadrat einbeschrieben (siehe Zeichnung). Die Diagonale des einbeschriebenen Quadrates ist 36 cm lang. Berechne die Seiten g und h des schraffierten Dreiecks. Anmerkung: Für diese Aufgabe sind Kenntnisse über das Lösen von quadratischen Gleichungen notwendig. 42. Konstruiere 12 mit Hilfe des Kathetensatzes. 43. Konstruiere mit Hilfe des Kathetensatzes ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 16 cm Ausgehend von einem Quadrat mit Seitenlänge s < 4 cm soll ein Quadrat mit 2 Flächeninhalt 8 cm konstruiert werden. Erläutere, inwieweit die Diagonalen des Ursprungs-Quadrates dabei hilfreich sein können. 45. Konstruiere sauber und nachvollziehbar ein Quadrat mit Flächeninhalt 30 cm². Irrationale Streckenlängen sollen dabei mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. 46. Konstruiere (nicht nur zeichnen!) ein Dreieck, von dem eine Seite die Länge 21 hat. Der Lösungsweg soll deutlich erkennbar sein. 47. Konstruiere zu dem vorgegebenen Rechteck mit Zirkel und Lineal und mit Hilfe des Kathetensatzes ein flächeninhaltsgleiches Quadrat. Übertrage das Rechteck auf dein Blatt. 48. Konstruiere eine Strecke der Länge 10 mit Hilfe eines Satzes aus der Satzgruppe des Pythagoras. Kennzeichne die Länge 10 deutlich. Wie heißt der von Dir gewählte Satz? (Längen und rechte Winkel darfst Du mit dem Geodreieck zeichnen, Kreise mit dem Zirkel) 49. Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 49 mm und b = 36 mm. Konstruiere mit Hilfe des Höhensatzes ein zu dem Rechteck flächengleiches Quadrat. Gib eine kurze Konstruktionsbeschreibung für dein Vorgehen. 50. Konstruiere unter Verwendung des Kathetensatzes, ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 16 cm 2, dessen eine Seite 7 cm misst. GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 10 (11)

18 Gymnasium Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 2 Klasse 9 Aufgabe Nr. Schulaufgabe Klasse 9 Gym. GM_A.. Aufgabe Nr. Schulaufgabe Klasse 9 Gym. GM_A GM_AU056 **** Lösungen 25 Seiten (GM_LU056) 11 (11)

19 Hauptschule (Realschule) Raumgeometrie - Würfel, Quader (Rechtecksäule) 1. Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a = 4 cm. a) Zeichne das Netz des Würfels (Abwicklung). b) Zeichne ein Schrägbild des Würfels. Verkürzungsfaktor = 0,5; Verschrägungswinkel = 45. c) Berechne das Volumen und die Oberfläche des Würfels. 2. Die Oberfläche eines Würfels beträgt 54 cm 2. Wie groß ist seine Kantenlänge? 3. Die Seiten eines hohlen, oben offenen Würfels aus Blech sind 2,5 m lang. Wie hoch ist der Materialpreis, wenn der Quadratmeter Blech 45 kostet? 4. Wie groß ist das Volumen eines Würfels, wenn seine Oberfläche cm 2 beträgt? 5. Ein hohles, oben offenes, würfelförmiges Gefäß aus Blech mit der Kantenlänge a = 8 dm steht auf einer waagerechten Unterlage. In dieses Gefäß schüttet man 320 l Wasser. Wie groß ist der Abstand des Wasserspiegels bis zum oberen Rand? 6. Ein Würfel hat ein Volumen von 27 cm 3. Wie groß ist seine Kantenlänge? 7. Wie groß ist die Oberfläche und das Volumen einer quadratischen Säule, wenn die Grundkanten 6 cm und die Höhe 8 cm betragen? 8. Das Volumen eines Quaders ist 51,2 m 3 und seine Höhe 8 m. Wie groß ist die Grundfläche? 9. Ein quaderförmiges Schwimmbecken von 25 m Länge und 20 m Breite soll l Wasser fassen (bis zum oberen Rand gemessen). Wie tief muss das Becken werden? 10. Gegeben ist das Netz einer Rechtecksäule (siehe Skizze). Berechne ihr Volumen? HM_AU001 **** Lösungen 15 Seiten (HM_LU001) 1 (4)

20 Hauptschule (Realschule) Raumgeometrie - Würfel, Quader (Rechtecksäule) 11. Ein rechteckiges Zimmer ist 9 m lang, 6 m breit und 4 m hoch. Wie viel Liter Sauerstoff befinden sich im Zimmer? (In 100 l Luft sind 21 l Sauerstoff enthalten) 12. Ein rechteckiger Kamin aus Betonstein mit den Außenabmessungen a = 4,9 dm; b = 3,7 dm und der Höhe h = 8 m hat im Inneren zwei quadratische Kaminzüge mit jeweils a = 20 cm Kantenlänge. (siehe Skizze des Kamin- Querschnittes) Wie viel m 3 Beton wird zur Herstellung des Kamines benötigt? 13. Eine Quadratsäule hat eine Oberfläche von 450 cm 2 und eine Mantelfläche von 400 cm 2. Berechne die Länge ihrer Grundkante a. 14. Ein Würfel mit der Kantenlänge von 4 dm und eine quadratische Säule mit der Grundkante von 2 dm haben gleiche Oberflächen. Berechne die Höhe der Säule. 15. Ein Karton von 30 cm Länge, 25 cm Breite und 20 cm Höhe ist bis zum Rand mit Sand gefüllt. Mit dem Sand wird ein anderer Karton mit 40 cm Länge und 15 cm Breite randvoll gefüllt. a) Berechne die Höhe des neuen Kartons. b) Zu welchem der beiden Kartons wird weniger Pappe benötigt, wenn beide oben offen sind? 16. Ein quaderförmiges Schwimmbecken, das 14 m lang, 9 m breit und 2 m tief ist, soll hellblau gestrichen werden. Berechne den Flächeninhalt der bemalten Fläche. 17. Ein Lkw bringt 6 m 3 Schotter zu einer Straßenbaustelle. Für welche Fläche reicht diese Ladung, wenn der Schotter überall 15 cm dick aufgeschüttet wird? 18. Ein Acker ist 32,5 m breit und 84 m lang. Wie viel hl Wasser fiel im Jahr auf den Acker, wenn die gemessene Regenhöhe im Jahr 650 mm betrug? 19. Eine Fläche von 125 m 2 muss 42 cm hoch aufgefüllt werden. Ein Lkw bringt bei jeder Fahrt 2,5 m 3 Erde. Wie oft muss er fahren? HM_AU001 **** Lösungen 15 Seiten (HM_LU001) 2 (4)

21 Hauptschule (Realschule) Raumgeometrie - Würfel, Quader (Rechtecksäule) 20. Aus einem 5 cm dicken Brett von 1,85 m Länge und 45 cm Breite werden drei quadratische Löcher von 25 cm Seitenlänge herausgeschnitten. a) Welchen Rauminhalt hat der übrig gebliebene Körper? b) Wie schwer ist er, wenn 1 dm 3 Holz 0,7 kg wiegt? m 3 Luft wiegt 1,3 kg. Wie schwer ist die Luft in einem Klassenzimmer, dass 11 m lang, 5,4 m breit und 2,5 m hoch ist? 22. In welcher Zeit steigt in einem Wasserbehälter von 30 m Länge und 5 m Breite der Wasserstand um 1,5 m, wenn in einer Minute 5 hl Wasser zufließen? 23. In ein quaderförmiges Wasserbecken mit der Wasseroberfläche von 15,8 m 2 sind 23,7 m 3 Wasser eingelassen worden. a) Wie hoch steht das Wasser? b) Wie viel m 3 Wasser sind ausgelaufen, wenn der Wasserspiegel um 40 cm gesunken ist? 24. Ein quaderförmiger Eisenblock ist 1,6 m lang, 1,25 m breit und 60 cm hoch. Er soll zu einer Platte von 4,5 m Länge und 3,2 m Breite ausgewalzt werden. Wie dick wird die Platte? 25. Eine quaderförmige Wanne mit einem 50 cm breiten Quadrat als Grundfläche ist zum Teil mit Wasser gefüllt. Lässt man einige Tropfen Öl darauf fallen, so bildet sich auf der Wasseroberfläche eine dünne Ölschicht. Wie dick ist diese, wenn 160 Öltropfen 5 cm 3 ergeben? 26. Ein Quader ist fünfmal so hoch wie breit und ebenso breit wie lang. Wie lang sind die Kanten, wenn sie zusammen eine Länge von 140 cm ergeben? 27. Wie viel Draht braucht man zum Herstellen eines Kantenmodells für einen 16 cm langen, 8,5 cm breiten und 5,5 cm hohen Quader? 28. Wie viel wiegt ein Goldbarren von der Größe einer Zündholzschachtel (Länge: 5 cm; Breite: 2,5 cm; Höhe: 1 cm), wenn 1 cm 3 Gold g wiegt? HM_AU001 **** Lösungen 15 Seiten (HM_LU001) 3 (4)

22 Hauptschule (Realschule) Raumgeometrie - Würfel, Quader (Rechtecksäule) 29. Aus einem Blatt Schreibmaschinenpapier (29 7 cm lang; 21 cm breit) kann man auf 10 zweierlei Arten einen Quader mit quadratischer Grundfläche formen (siehe Zeichnung). Haben diese beiden Quader den gleichen Rauminhalt? 30. Ein würfelförmiger, oben offener Pappkarton wird innen und außen mit Silberpapier beklebt. Man braucht dazu einen ganzen Bogen von 2 m 5 dm Länge und 1 m Breite. Welches Volumen in Litern hat der Karton? HM_AU001 **** Lösungen 15 Seiten (HM_LU001) 4 (4)

23 Hauptschule Dreiecke konstruieren und berechnen 1. a) Zeichne ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm und kennzeichne die Ecken mit A, B, C, die Seiten mit a, b, c und die Winkel mit, α und φ. b) Wie groß sind die Winkel? (messe ab) 2. Wie groß ist die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks? 3. Konstruiere ein Dreieck mit folgenden Maßen: c = 7,5 cm, a = 5,5 cm, α = Gegeben sind Dreiecke mit den Maßen: a) c = 6 cm, = 40, α = 40 b) a = 5 cm, b = 5 cm, c = 5 cm c) c = 6,5 cm, = 60, α = 60 d) a = 6 cm, b = 6 cm, c = 3 cm e) c = 5 cm, = 90, b = 5 cm f) c = 4 cm, α = 100, a = 4 cm Zeichne die 6 Dreiecke und gib an, welche von ihnen gleichschenklig und welche gleichseitig sind. 5. Gegeben sind die Dreiecke mit: a) a = 6 cm, b = 7,5 cm, c = 8 cm b) c = 7 cm, = 120, b = 6,5 cm Zeichne jeweils die drei Höhen h a, h b und h c farbig ein. 6. Konstruiere das Dreieck ABC mit c = 9 cm, = 70, α = 60. (Platzbedarf nach oben 10 cm) Zeichne den Inkreis des Dreiecks. Wie heißen die geometrischen Linien mit deren Hilfe der Mittelpunkt des Inkreises gefunden werden kann? Zeichne diese Linien in das Dreieck ein. 7. Konstruiere das Dreieck ABC mit c = 8 cm, α = 50, a = 9 cm. Zeichne den Umkreis des Dreiecks ein. Wie heißen die geometrischen Linien mit deren Hilfe der Mittelpunkt des Umkreises gefunden werden kann? Zeichne diese Linien in das Dreieck ein. 8. Gegeben ist das Dreieck a = 7 cm, b = 6 cm, c = 9 cm. Berechne den Flächeninhalt. Zeichne dazu eine beliebige Höhe ein und miss deren Länge. 9. Zwei Dreiecke haben einen Flächeninhalt von jeweils 45 cm 2. a) Dreieck 1 hat eine Höhe von 10 cm. Wie lang ist die zugehörige Grundlinie? b) Dreieck 2 hat eine Grundlinie von 6 cm. Wie lang ist die zugehörige Höhe? HM_AU002 **** Lösungen 6 Seiten (HM_LU002) 1 (2)

24 Hauptschule Dreiecke konstruieren und berechnen 10. Herr Meier will die Giebelseite seines Hauses mit Platten verkleiden. Wie groß ist die zu verkleidende Fläche, wenn die beiden Fenster jeweils eine Länge von 2,2 m und eine Höhe von 1,2 m haben? 11. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite c = 6 cm und einem Flächeninhalt von 18 cm Berechne die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks. (Zeichnung ist nicht maßstäblich.) HM_AU002 **** Lösungen 6 Seiten (HM_LU002) 2 (2)

25 Hauptschule / Realschule Aufgaben zum Pythagoras Hinweise: Alle Zwischen- und Endergebnisse auf 1 Stelle nach dem Komma runden Die Zeichnungen sind nicht maßstäblich 1. Berechne den Flächeninhalt des nebenstehenden Dreiecks. (Ergebnis: A = 1350 m 2 ) 2. Berechne die Länge der Strecke x. 6 (Ergebnis: x = 11,3) 4,8 X 6 2, Die Diagonalen der Raute halbieren sich gegenseitig und stehen senkrecht aufeinander. a Berechne die Seitenlänge a einer Raute, deren Diagonalen 7 cm und 9 cm lang sind. 7cm 9cm (Ergebnis: a = 5,7 cm) 4. Berechne die Länge einer Dachsparre. (Ergebnis: L = 7,3 m) HM_AU003 **** Lösungen 7 Seiten (HM_LU003) 1 (4)

26 Hauptschule / Realschule Aufgaben zum Pythagoras 5. In ein Quadrat mit der Seitenlänge 8 cm wird ein kleineres Quadrat einbeschrieben (siehe nebenstehende Skizze). Welchen Flächeninhalt hat das innere Quadrat? (Ergebnis: A = 50 cm 2 ) 6. Aus einem Baumstamm soll in einem Sägewerk ein Balken mit quadratischem Querschnitt (Kantenlänge 14 cm) hergestellt werden. Welchen Durchmesser muss der Baumstamm mindestens haben? (Ergebnis: d = 19,8 cm) 7. Welchen Durchmesser muss ein Baumstamm mindestens haben, um daraus einen Balken mit einem Querschnitt von 16 cm 26 cm sägen zu können? (Ergebnis: d = 30,5 cm) HM_AU003 **** Lösungen 7 Seiten (HM_LU003) 2 (4)

27 Hauptschule / Realschule Aufgaben zum Pythagoras 8. Berechne Umfang und Flächeninhalt des schraffierten Dreiecks, wenn das Rechteck 9 cm lang und 6 cm breit ist. Die Ecken B und C des Dreiecks liegen in den Seitenmitten des Rechtecks. (Ergebnis: A = 20,3 cm 2 ; u = 22,4 cm) 9. Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Kathete b = 3 cm und die Hypotenuse c = 5 cm gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. (Ergebnis: A = 6 cm 2 ) 10. Einem Quadrat ABCD ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 10 cm und 4 cm einbeschrieben. Berechne den Flächeninhalt des Quadrates. (Ergebnis: A = 98 cm 2 ) 11. Das trapezförmige Grundstück gemäß nebenstehender Zeichnung ist gegeben. a) Zeichne das Grundstück im Maßstab 1 : 500. b) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt. (Ergebnis: u = 90,4 m; A = 345,6 m 2 ) HM_AU003 **** Lösungen 7 Seiten (HM_LU003) 3 (4)

28 Hauptschule / Realschule Aufgaben zum Pythagoras 12. Eine Grundstücksfläche besteht aus einem gleichschenkligem Trapez und einem rechtwinkligen Dreieck (siehe nebenstehende Zeichnung). Berechne den Flächeninhalt des gesamten Grundstücks. (Ergebnis: Trapezfläche = 3112,9 m 2 Dreiecksfläche = 2880 m 2 Gesamtfläche = 5992,9 m 2 ) 13. In ein Quadrat mit der Seitenlänge 120cm ist ein kleineres Quadrat entsprechend der nebenstehenden Zeichnung einbeschrieben. Berechne den Flächeninhalt der grauen Fläche. (Ergebnis: A = 1150 cm 2 ) 14. Eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat eine Grundkante a = 5 cm und eine Körperhöhe h k = 6 cm. a) Berechne die Höhe h s einer Seitenfläche. b) Berechne die Länge s einer Seitenkante. (Ergebnis: a) h s = 6,5 cm b) s = 6,9 cm ) HM_AU003 **** Lösungen 7 Seiten (HM_LU003) 4 (4)