Musterlösung zur Probeklausur zur Geometrie

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1 UNIVERSITÄT ULM Institut für Zhlentheorie un Whrsheinlihkeitstheorie Musterlösung zur Proeklusur zur Geometrie Prof. Dr. Helmut Mier, Hns- Peter Rek Gesmtpunktzhl: 3 Punkte, Punkte= % keine Age. Gi Definitionen für ie folgenen Begriffe: Polytop Eine Teilmenge Q V heißt Polytop, wenn es enlih viele Punkte p,..., p N V git, so ß Q = Konp,..., p N gilt. Polyeer Ein Polyeer ist eine konvexe Teilmenge p V, für ie P = {p V : ϕp } mit enlih vielen lineren Funktionlen ϕ = ϕ,..., ϕ M V M un reellen Zhlen =, X..., M R M gilt. Extremlpunkt Es sei K V eine konvexe Teilmenge. Dnn heißt ein Punkt p K Extremlpunkt, wenn p niht innerer Punkt einer Streke [p, p ] mit p, p K ist. stereogrphishe Projektion Die stereogrphishe Projektion ist eine Ailung er Riemnnshen Zhlenkugel S := {z R 3 : z = } uf ie erweiterte komplexe Eene C. Sie ornet einem Punkt z S, woei z niht er Norpol N ist, en Durhstoßpunkt er Geren urh z un N urh ie xy- Eene zu. Ferner wir er Norpol N uf geilet. 6 Punkte. Gi Beispiele für ie folgenen Ojekte oer zeige, ß solhe Ojekte niht existieren: niht kompktes Poyeer Die Menge { } x P = R : x y ist ein Polyeer. Es ist niht eshränkt un her uh niht kompkt.

2 niht geshlossenes Polyeer es R n Es sei P = {x R n : ϕ j x j, j M} nihtleer. Weiter sei x R n un lim x k = x mit x k P. Dnn erfüllt uh x ie Ungleihungen ϕ j x j, k lso ist x P. Dmit enthält P seine sämtlihen Berührpunkte un ist somit geshlossen. Folglih git es ein niht geshlossenes Polyeer niht. Punkte 3. Es sei z = i, z = 3i un w = 4i. Fine w H, so ß ie eien hyperolishen Astäne z, z un w, w gleih sin. Für Punkte uf er imginären Ahse z = si un z = ti ist z, z = log t s. Also gilt w = i oer w = 4 3 i. Fine eine Bewegung er hyperolishen Eene H, ie ie Streke z z in ie Streke w w üerführt. Eine Bewegung, ie z z in w w üerführt, ist ϕ A : z z / mit A =. 4. Formuliere zwei elieige Kongruenzxiome er Eukliishen Eene. Die Kongruenzxiome sin K: Mn knn Längen trgen. Punkte Sin P, Q, P, R E mit P Q un R P, so git es genu einen Punkt Q uf em Strhl SP, R, so ß P Q = P Q gilt. K: Länge ist symmetrish. Für je zwei Punkte P, Q E gilt P Q = QP. K3: Länge ist itiv. Liegen von sehs Punkten P, Q, R un P, Q, R er Punkt Q zwishen P un R sowie Q zwishen P un R, un ist P Q = P Q sowie QR = Q R, so ist uh P R = P R. K4: Winkel sin symmetrish. Für rei Punkte P, Q, R, ie niht uf einer Geren liegen, gilt < P QR < RQP. Ferner gilt < P QR < P QR für lle von Q vershieenen Punkte P SQ, P un R SQ, R. K5: Mn knn Winkel trgen. Sin P, Q, R, X, P Q Punkte us E, so ß P, Q, R niht uf einer Geren liegen un X niht uf er Geren urh P un Q liegt, so git es genu einen von Q usgehenen Strhl S, so ß für lle Punkte R von S, ie von Q vershieen sin,

3 < P QR < P Q R gilt un R uf erselen Seite er Geren urh P un Q liegt wie X. K6: Zwei Seiten mit eingeshlossenem Winkel estimmen s Dreiek. Sin P, Q, R, P, Q, R Punkte von E, so ß weer P, Q, R noh P, Q, R uf einer Geren liegen un gilt P Q = P Q, QR = Q R sowie < P QR < P Q R, so gilt uh P R = P R, < QP R < Q P R un < QRP < Q R P. Punkte 5. Wie ist ie Gruppe SL, R efiniert? Es gilt SL, R := { A = } GL, R:,,, R, et A =. Beshreie ie Menge er Bewegungen er hyperolishen Eene H un zeige, ß es sih um eine Gruppe hnelt. Hinweis: Es knn ohne Beweis verwenet weren, ß SL, R eine Gruppe ist. Die Ailungen sin von er Form Es sei A = ϕ A : z z + z + mit A = SL, R. Dnn ist SL, R. ϕ A ϕ B z = ϕ Bz + ϕ B z + = sz+t uz+v + s + u z + t + v sz+t = + s + u z + t + v = ϕ ABz. uz+v Wegen ϕ I z = i mit I = folgt ie Gruppeneigenshft von {ϕ A } us er von SL, R. Bestimme en Stilistor es Punktes i. Ds Ergenis ist zu egrünen. Für en Stilistor es Punktes i gilt { {A SL, R: ϕ A i = i} = Dies gilt, für A = SL, R folgenes gilt: } :, R, + =. ϕ A i = i i + = i i + = + i = un =. i + 3 Punkte

4 6. Die zwei hyperolishen Geren g un g seien urh g := {it: t > } un g := {z : z =, Iz > } efiniert. Bestimme en Shnittwinkel δ zwishen g un g, woei ie eien Geren so prmetrisiert sein sollen, ß δ π gelte. Die Geren g un g esitzen ie Prmetrisierungen ϕ : t x t+iy t mit x t = un y t = sowie t > zw. ϕ : t x t + iy t mit x t = osπ t un y t = sinπ t sowie t, π. Der Shnittpunkt S von g un g ist S = i. Es ist x = un y =. Weiter ist x t y t x y =. Also gilt wegen nn x t y t x y = = λ Die Tngentileinheitsvektoren sin somit u = zw. v =., worus nn os θ = u v = un mit θ = π 4 folgt. 5 Punkte 7. Ein Polyeer P sei urh P = x y z R 3 : ϕ j x, y, z j, j 4 mit ϕ x, y, z = x y, ϕ x, y, z = y, ϕ 3 x, y, z = z un ϕ 4 x, y, z = x + y + 3z sowie = = 3 = zw. 4 = 6 efiniert. Bestimme ie Extremlpunkte von P mit Begrünung. Nh em Ekenkriterium Stz 3.3. git es für jee Eke p Inizes i, i un i 3, so ß ϕ i, ϕ i, ϕ i3 eine Bsis es Dulrums V un ϕ i p = i, ϕ i p = i zw. ϕ i3 p = i3 ist. 4

5 Mn erhält ie vier Eken p, p, p 3 un p 4 urh ϕ p = ϕ p = ϕ 3 p = p = ϕ p = ϕ p =, ϕ 4 p = 6 p = ϕ p 3 = ϕ 3 p 3 =, ϕ 4 p 3 = 6 p = ϕ p 4 = ϕ 3 p 4 =, ϕ 4 p 4 = 6 p = 6. 5 Punkte 8. Es sei P ein Pltonisher Körper. Weiter sei q ie Anzhl er regulären p- Eke, ie in einer Eke von P zusmmentreffen. Gi p un q für folgene Ojekte n: Tetreer Für en Tetreer gilt p = q = 3. Okteer Hier ist p = 3 un q = 4. Ikoseer Shließlih hen wir eim Ikoseer p = 3 un q = 5. 5 Punkte 9. Ein Okteer esitze im xyz- Koorintensystem ie sehs Eken ɛ,, T,, ɛ, T un,, ɛ T mit ɛ {, }. Bestimme en Rius er umeshrieenen Sphäre, uf er ie sehs Eken liegen, un er eineshrieenen Sphäre, welhe ie ht Seitenflähen erührt. Hinweis: Es knn ohne Beweis ngenommen weren, ß ie eineshrieene Sphäre ie Seitenflähen in en Shwerpunkten erührt. Ds sin iejenigen Punkte im Inneren er Dreieke, ie von en rei Ekpunkten en gleihen Astn hen. Die sehs Eken hen von M = lle en Astn. Die umeshrieene Sphäre ht lso en Rius. Wir ehneln en Fll es Dreieks P, P un P 3 mit P =,,, P =,, un 5

6 P 3 =,,. Es liegt in er Eene mit er Gleihung x + y + z =. Der Shwerpunkt ist lso S = 3, 3, 3. Dmit ist er Rius er eineshrieenen Sphäre gere Punkte. Ein Hexeer esitze wieerum im xyz- Koorintensystem ie ht Eken ɛ x, ɛ y, ɛ z T mit ɛ x, ɛ y, ɛ z {, }. Die Mittelpunkte er sehs Seitenqurte sin ie Eken eines pltonishen Körpers. Um welhen hnelt es sih mit kurzer Begrünung? Die Mittelpunkte er Seitenqurte sin ±, ± un ±, lso ie Eken eines Okteers. Punkte Viel Erfolg! 6

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