Prüfungsliteratur: Rudolf & Müller S

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1 1 Beispiele zur univariaten Varianzanalyse Einfaktorielle Varianzanalyse (Wiederholung!) 3 Allgemeines lineares Modell 4 Zweifaktorielle Varianzanalyse 5 Multivariate Varianzanalyse 6 Varianzanalyse mit Messwiederholungen 7 Kovarianzanalyse 8 Allgemeines lineares Modell Prüfungsliteratur: Rudolf & Müller S Folie Nr. 1

2 1 Einfaktorielle Varianzanalyse Modell Voraussetzungen Statistische Hypothesen Vorgehen nach Fisher Varianzzerlegung Signifikanzprüfung Effektgröße Post-Hoc-Tests und lineare Kontraste Folie Nr.

3 Beispiel 1 (Rudolf & Müller, S. 95ff) abhängige Variable Y: Kommunikationsfähigkeit Einschätzung durch Experten Skala zwischen 0 und 0 intervallskaliert unabhängige Variable: Beruf (Faktor A, 3 Stufen) 1=Versicherungsvertreter =Lehrer 3=Programmierer Folie Nr. 3

4 Datenmatrix: Pb Beruf Kommunikation Pb Beruf Kommunikation 1 Programmierer 5 13 Versicherung 10 Versicherung Programmierer 9 3 Lehrer 8 15 Programmierer 7 4 Programmierer 6 16 Lehrer 8 5 Lehrer Programmierer 5 6 Programmierer 8 18 Lehrer 1 7 Versicherung Versicherung 11 8 Lehrer 1 0 Lehrer 10 9 Versicherung 10 1 Lehrer 9 10 Versicherung 10 Lehrer 9 11 Versicherung 9 3 Programmierer 7 1 Versicherung 9 4 Programmierer 5 Folie Nr. 4

5 Versicherungsvertr. MW = SA = 1.60 Lehrer MW = 9.88 SA = 1.64 Programmierer MW = 6.50 SA = 1.51 Folie Nr. 5

6 y ij = + i + ij (i = 1,...,k; j = 1,,n i ) y ij : Wert der abhängigen Variablen Y des j-ten Probanden unter der i-ten Faktorstufe : Mittelwert der AV in der Population (Grundgesamtheit) i : Effekt der Teilpopulation unter der i-ten Faktorstufe ij : Residuum des j-ten Probanden unter der i-ten Faktorstufe k: Anzahl der Faktorstufen n i : Anzahl der Probanden unter der i-ten Faktorstufe Folie Nr. 6

7 Statistische Unabhängigkeit der Modellfehler (Residuen) Homogenität der Varianzen der Modellfehler (Residuen) zwischen den Gruppen Normalverteilung der Modellfehler (Residuen) innerhalb der Gruppen Stufen des Faktors A sind fest vorgegeben (Modell 1), zu Modell siehe einführend z.b. Rudolf & Kuhlisch (008) oder Hartung et al. (005) Bewertung der Voraussetzungen (Simulationsergebnisse)! siehe für einfakt. VA ausführlich z.b. Bortz (005) S.84 ff Folie Nr. 7

8 - Die Monte-Carlo-Methode - Beispiel: t-test bei schiefer (rechtssteiler) Verteilung (Vorgehen bei Varianzanalyse o.a. analog) Ziehung von Stichproben aus dieser Verteilung (in der Regel mindestens 1000, oft auch mehr als 10000). Bestimmung des Anteils γ, mit dem die H 0 abgelehnt wird. γ<α konservativer Test γ α robuster Test γ>α H 0 wird mit größerer Wahrscheinlichkeit als α abgelehnt, obwohl sie in der Population zutrifft. Folie Nr. 8

9 Verteilung 1: Normalverteilung; Voraussetzungen des t-tests erfüllt Folie Nr. 9

10 Verteilung : linkssteil; Voraussetzungen des t-tests nicht erfüllt Frage: Test robust bei n=10? Folie Nr. 10

11 Verteilung : linkssteil; Voraussetzungen des t-tests nicht erfüllt Frage: Test robust bei n=100? Folie Nr. 11

12 Simulation: Zufallszahlen jeder Verteilung Für jede der 3 Situationen 3000 Tests der H 0 : μ=0 Untersuchungsziel: prozentualer Anteil der 3000 Tests, bei denen die H0 abgelehnt wird (obwohl sie in der jeweiligen Grundgesamtheit korrekt ist) Beurteilung der Robustheit des t-tests in der jeweiligen Situation Folie Nr. 1

13 Simulationsergebnisse: Folie Nr. 13

14 H 0 : i = 0 für alle i (i = 1,,k) H 1 : i 0 für mindestens ein i (i = 1,,k) Zwei grundsätzliche Ansätze der Hypothesenprüfung: Klassischer varianzanalytischer Ansatz nach Fisher Vorgehensweise nach dem Allgemeinen linearen Modell Folie Nr. 14

15 Ausgangspunkt: totale Quadratsumme im Beispiel: QS total = QS total (yij y) Quadratsummenzerlegung: QS total = QS Faktor + QS Fehler Faktorquadratsumme: QS Faktor (yi y) n i (yi y) QS Beruf = 8 ( ) + 8 ( ) + 8 ( ) = Fehlerquadratsumme: QS Fehler (yij yi ) QS Fehler = (5 6.50) + ( ) + (8 9.88) (5 6.50) = 5.88 Folie Nr. 15

16 Mittlere Quadratsummen MQ (Varianzschätzungen s ): MQ Faktor = QS Faktor / (k 1) MQ Beruf = MQ Faktor (s Faktor): Mittlere Quadratsumme (Varianzanteil), die auf die Faktorstufen zurückzuführen ist k: Anzahl der Faktorstufen MQ Fehler = QS Fehler / (N k) MQ Fehler =.5 MQ Fehler (s Fehler): Mittlere Fehlerquadratsumme (Fehlervarianz) k: Anzahl der Faktorstufen; N: Anzahl der Probanden (N = Σ n i ) Signifikanztest: MQ F MQ Faktor F = 14.7 (p<.01) bei Gültigkeit der H 0 F-verteilt mit (k 1), (N-k) Freiheitsgraden. Fehler Folie Nr. 16

17 erklärte Quadratsumme totale Quadratsumme QS QS Faktor total Anteil an der totalen Quadratsumme, der durch den Faktor erklärt werden kann ( 0 1) im Beispiel:.58 Folie Nr. 17

18 A priori - Einzelvergleichshypothesen Prüfung von bereits in der Planungsphase aufgestellten Einzelvergleichshypothesen in der Regel mittels linearer Kontraste (vgl. Abschnitt VA mit Messwiederholungen) siehe. Semester vgl. Rudolf & Müller (01), S.108 ausführlicher Horn & Volland (1995), Rudolf & Kuhlisch (008), Bortz (005) Folie Nr. 18

19 A posteriori Mehrfachvergleiche viele verschiedene Tests verfügbar (Tukey, Bonferroni, Scheffe, Dunnett,...) Vergleich mehrerer Post-Hoc-Tests bei Horn & Volland (1995) gute statistische Eigenschaften: Tukey-Test siehe. Semester vgl. Rudolf & Müller (01), S.108 ausführlicher Horn & Volland (1995), Rudolf & Kuhlisch (008), Bortz (005), Folie Nr. 19

20 Grundanliegen Beispieldatensatz Dummy - Codierung von nominalskalierten Variablen und RA mit Indikatorvariablen Effekt - Codierung von nominalskalierten Variablen und RA mit Indikatorvariablen Literaturhinweise für ausführliche Darstellungen (kleine Auswahl): Bortz, J. (005). Statistik. Berlin: Springer. Kapitel 14. Moosbrugger, H. (00). Lineare Modelle. Regressions- und Varianzanalysen. Bern: Huber. Werner, J. (1997). Lineare Statistik: Das allgemeine lineare Modell. Weinheim: Beltz, Psychologie-Verlags-Union. Cohen, J., Cohen, P., West, St. G., Aiken, L. S. (00): Applied Multiple Regression / Correlation Analysis for the Behavioral Sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Ass. Folie Nr. 0

21 Das Allgemeine lineare Modell (ALM) umfasst die wichtigsten Verfahren der Statistik, insbesondere auch der multivariaten Statistik, z.b. regressions- und varianzanalytische Verfahren erweitert der Ansatz der multiplen Korrelations- bzw. Regressionsanalyse durch die mögliche Berücksichtigung von nominalskalierten Prädiktoren, die als Indikatorvariablen (die alle Informationen des nominalskalierten Merkmals enthalten) codiert werden (k Stufen der nominalskalierten Variablen erfordern dabei (k-1) Prädiktorvariablen) Folie Nr. 1

22 Folie Nr.

23 Folie Nr. 3

24 F R QS erklärte Varianz df nicht erklärte Varianz y; c1c Faktor QS QS Faktor total R y; c1c 1 df QS QS( yˆ) / k 1 QS( e) N k total 1 R y; c1c QS Fehler F-Wert der ANOVA; k: Anzahl der Faktorstufen; N: Gesamtanzahl der Pb QS QS Fehler total ( 1 R y; c1c ) QS total F R (1 R y; c1c y; c1c QS ) QS total total /( k 1) /( N k) R (1 R y; c1c y; c1 ( N k) c) ( k 1) F-Wert der multiplen Regression; k-1: Anzahl der Indikatorvariablen; N: Gesamtanzahl der Probanden Folie Nr. 4

25 Folie Nr. 5

26 Folie Nr. 6

27 Regressionsgleichung im Beispiel: y i b 0 b cd 1i b für Programmierer: cd 1 = cd = 0 1 cd i b 0 y 3 e i für Versicherungsvertr.: cd 1 = 1, cd = 0 für Lehrer: cd 1 = 0, cd = 1 b y y3 b 1 y1 y3 Bei Dummycodierung entspricht die Regressionskonstante der durchschnittlichen Merkmalsausbildung der durchgängig mit Nullen codierten Gruppe (Referenzgruppe). Die übrigen Regressionskoeffizienten ergeben sich als Differenz der jeweiligen Gruppenmittelwerte und des Mittelwerts der Referenzgruppe. Folie Nr. 7

28 Folie Nr. 8

29 Folie Nr. 9

30 Folie Nr. 30

31 Regressionsgleichung im Beispiel: y i b 0 b ce für Programmierer: ce 1 = ce = -1 1i b für Versicherungsvertr.: ce 1 = 1, ce = 0 für Lehrer: ce 1 = 0, ce = 1 1 ce Gleichungssystem, Umstellungen ergeben b0 yges, b1 y1 yges, b y yges Bei Effektcodierung entspricht die Regressionskonstante dem Gesamtmittelwert der abhängigen Variablen. Die übrigen Regressionskoeffizienten ergeben sich als Differenz der jeweiligen Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert. i y e i y b b0 3 b1 b b0 y 1 b1 b0 Folie Nr. 31

32 Folie Nr. 3

33 Folie Nr. 33