Zahlensysteme. Wie Computer Zahlen darstellen und mit ihnen rechnen Peter Ziesche

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Achim Heinrich
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1 Zahlensysteme Wie Computer Zahlen darstellen und mit ihnen rechnen Peter Ziesche

2 ahlen Natürliche Zahlen 1, 2, 3,... Ganze Zahlen..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Rationale Zahlen -2, -1/2, -1/3, -1/4,..., 0,..., 1/4, 1/3,... Reelle Zahlen Pi, 2 Komplexe Zahlen a + bi Es gilt: N < Z < Q < R < C

3 ömische Zahlen i, ii, iii, iv, v, vi, vii, viii, ix, x Jedes Symbol (Ziffer) hat einen ganz bestimmten Wert i = 1 v = 5 x = 10 usw. Nachteil Entweder gibt es sehr viele Symbol oder große Zahlen sind nur schwer zu schreiben MMMMMMMMMMMMMMMMMMM MMMMMMMMMMMMMMMMMMM MMMMMMMMMMMMMMMMMMM MMMMMMMMDXXXVI

4 rabische / Indische Zahlen 1, 2, 3,..., 10, 11, 12,... Der Wert eines Symbols (Ziffer) hängt von seiner Position innerhalb einer Zahl ab Stellenwertsystem Beispiel 33 Vorteil Beliebig große Zahlen können mit einem relativ kleinen Vorrat an Symbolen geschrieben werden Nachteil 30 3 Das Lesen einer Zahl ist eine Rechenaufgabe

5 tellenwertsysteme Voraussetzungen z.b. 10 Symbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Die Symbole werden den natürlichen Zahlen von 0 bis 9 zugeordnet Die Symbole einer Zahl werden von rechts nach links nummeriert, das erste Symbol steht an der Stelle 0 Berechnung Der Wert jeder Stelle wird berechnet Die einzelnen Werte werden addiert Berechnung eine Stelle Eine Ziffer z an der Stelle i hat den Wert z * 10 hoch i 5 an 0. Stelle: Wert 5 3 an 8. Stelle: Wert (300 Millionen)

6 tellenwertsysteme Die Anzahl der Symbole wird als Basis eines Stellenwertsystems bezeichnet Normal für uns: Basis 10 10er-System Beispiel * 10 hoch 0 = 6 3 * 10 hoch 1 = 30 5 * 10 hoch 2 = * 10 hoch 3 = * 10 hoch 4 = = 65536

7 ahlen vs. Schreibweise Was kann man aus den römischen Zahlen lernen MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM MMMDXXXVI Die Zahlen bleiben unabhängig von ihrer Schreibweise die selben xx = 20 = zwanzig xii = 12 = zwölf mmiv = 2004 = zweitausendvier Anders ausgedrückt Zahlen existieren unabhängig von einer konkreten Schreibweise

8 ngewöhnliche Schreibweisen Bisher war alles recht einfach weil es unserer alltäglichen Erfahrung entspricht und die Berechnung von Zahlen unterbewusst abläuft Aber Wenn Zahlen unabhängig von einer konkreten Schreibweise sind könnten sie auch anders geschrieben werden Beispiel 4 4, E, = 0, 4 = 1, E = 2, * = wird zu *@@*44@@ Hausaufgabe: Nachrechnen!

9 ahlen im Computer Aufbau des Arbeitsspeichers Eine Kette von einzelnen Bits Jedes Bit ist 0 oder 1 Je 8 Bits ergeben ein Byte Jedes Byte hat eine Adresse Byte 219 Byte 220 Kilobyte = 2 10 Byte = 1024 Byte Megabyte = 2 10 Kilobyte = 1024 Kilobyte = Byte usw.

10 ahlen im Computer Dualzahlen 2 Symbole: 0, 1 0 = 0, 1 = 1 Berechnung Der Wert jeder Stelle wird berechnet Die einzelnen Werte werden addiert Berechnung eine Stelle Eine Ziffer z an der Stelle i hat den Wert z * 2 hoch i 1 an 0. Stelle: Wert 1 1 an 8. Stelle: Wert 2 hoch 8 = 256

11 ahlen im Computer Beispiel * 2 hoch 0 = 0 1 * 2 hoch 1 = 2 0 * 2 hoch 2 = 0 1 * 2 hoch 3 = 8 1 * 2 hoch 4 = 16 0 * 2 hoch 5 = 0 1 * 2 hoch 6 = 64 1 * 2 hoch 7 = = 218

12 ahlen im Computer 218 im Arbeitsspeicher Byte 219 Byte 220 Dualzahlen sind des Computers Leibgericht Entsprechen genau seiner Fähigkeit zwischen 0 und 1 zu unterscheiden Für Menschen sind Dualzahlen schwere Kost Sie entsprechen nicht unserer Alltagserfahrung

13 chreibweise für Zahlen Wichtig Zahlen existieren unabhängig von ihrer Schreibweise (siehe Folie 7) Ob dual oder dezimal, es bleiben die gleichen Zahlen Ein Computer speichert die gleichen Zahlen, mit denen wir Menschen täglich umgehen Konvention die Basis wird als Index hinter eine Zahl geschrieben Was ist 111? hundertelf (10er-System) sieben (2er-System) = sieben = hundertelf

14 mwandlungen Aufgabe >? : 1 * 2 10 = 1024 Rest 87 87: 0 * : 0 * : 0 * : 1 * 2 6 = 64 Rest 23 23: 0 * : 1 * 2 4 = 16 Rest 9 9: 1 * 2 3 = 8 Rest 1 1: 0 * 2 2 1: 0 * 2 1 1: 1 * 2 0 =

15 mwandlungen Aufgabe >? 16 Hexadezimalsystem Basis: 16 Symbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Beliebt, da 1 Byte mit 2 Ziffern dargestellt werden kann Umwandlung 16 ist eine Potenz von 2 (2 4 ) 4 duale Ziffern entsprechen einer hexadezimalen Ziffer F A 16

16 ddition von Dualzahlen Wie rechnet ein Computer mit Dualzahlen Ganz einfach: genauso, wie wir mit Dezimalzahlen Beispiel Beispiel Ganz einfach, oder?

17 egative Zahlen Zahlen haben eine fest vorgegebene Länge Vorzeichen (+/-) wird durch das höchstwertigste Bit dargestellt 0 = positive Zahl 1 = negative Zahl Beispiel: 8 Bit Zahlen Vorzeichen negative Zahl Vorzeichen positive Zahl

18 egative Zahlen Hinter dem Vorzeichen folgt eine normale Dualzahl? Schlecht, denn dann ist die 0 nicht eindeutig = Vergleiche werden aufwändiger, wenn mehrere Bit-Kombinationen ein und dieselbe Zahl darstellen können Lösung: Zweierkomplement-Berechnung Das inverse einer Zahl ist definiert als ihr Zweierkomplement Durch die Berechnung des Zweierkomplements erhält man zu einer positiven Zahl die entsprechende negative und umgekehrt

19 egative Zahlen Berechnung des Zweierkomplement Alle Bits invertieren (0 wird zu 1 und 1 wird zu 0) 1 addieren Beispiel 8-Bit-Zahl = Bits invertieren: addieren 1 2 Ergebnis: =

20 egative Zahlen Beispiel 4-Bit Zahlen mit Vorzeichen Wertebereich von -8 bis

21 egative Zahlen Wertebereiche Das Vorzeichen benötigt Platz und schränkt damit den Zahlenraum ein Ohne Vorzeichen gilt mit n Bit lassen sich Zahlen von 0 bis 2 n -1 darstellen Beispiel: 8 Bit: 0 bis 255 Mit Vorzeichen gilt mit n Bit lassen sich Zahlen von -2 n-1 bis 2 n-1-1 darstellen Beispiel: 8 Bit: -128 bis = -2 7 bis Begründung Abzüglich Vorzeichen verbleiben 7 Bit Damit lassen sich Zahlen von 0 bis 127 darstellen

22 ubtraktion von Dualzahlen Wie subtrahiert der Computer Dualzahlen? Da Dualzahlen eben ganz normale Zahlen sind, gelten die grundlegenden mathematischen Gesetze a b = a + (-b) a (-b) = a + b Subtraktion durch Addition des Inversen das Inverse einer Dualzahl ist ihr Zweierkomplement Ablauf der Subtraktion a b Berechne das Zweierkomplement von b addiere das Ergebnis zu a Es ist egal, ob b positiv oder negativ ist!

23 ubtraktion von Dualzahlen Beispiel entspricht Zweierkomplement berechnen Bits invertieren: addieren: 1 Ergebnis: Addieren entspricht 32 Stimmts?

24 ubtraktion von Dualzahlen Beispiel entspricht 109 (-1) Zweierkomplement berechnen Bits invertieren: addieren: 1 Ergebnis: Addieren entspricht 110 Stimmts?

25 ubtraktion von Dualzahlen Beispiel entspricht Zweierkomplement berechnen Bits invertieren: addieren: 1 Ergebnis: Addieren entspricht -11? Probe: berechne Zweierkomplement

26 ypisierung Bei der Programmierung haben Variablen und Prozeduren immer einen Typ int, boolean,... Wozu das ganze? Variablen symbolisieren Speicherzellen Man sieht einer Speicherzelle nicht an, was sie darstellt Im Programm muss daher angegeben werden, wie eine Speicherstelle zu interpretieren ist Beispiel Zahl ohne Vorzeichen: 153 Zahl mit Vorzeichen: -102 ASCII-Zeichen: Ö

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