Literatur zum Quantenchaos:
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- Bernhard Pohl
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1 von Interesse für Untersuchungen zum Quantenchaos sind: Zeit Energie (Fourier-Transformation) Dynamik Eigenschaften von Energiespektren Eigenschaften der Eigenzustände gibt es chaotische Eigenfunktionen? Quantenmechanik im Phasenraum Zeitverhalten einfacher Quantensysteme, die klassisch chaotisch sind. Literatur zum Quantenchaos: F. Haake: `Quantum Signatures of Chaos H.-J. Stöckmann: `Quantum Chaos An Introdution M. Gutzwiller: `Chaos in Classical and Quantum Mechanics J. E. Bayfield: `Quantum Evolution: Am Introduction to Time-Dependent Quantum Mechanics Web-Book: `Chaos Classical and Quantum Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 4 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite Zufallsmatrizen und Energieniveau-Statistik vermiedene Kreuzung Energieniveau-Abstoßung zwei Zustände: Eigenwerte: Entartung erfordert die Variation von zwei reellen Parametern. Ausnahme: Entartung: Typischerweise nicht erreichbar bei Variation nur eines Parameters. Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 6 Symmetrie Kreuzung bei Variation nur eines Parameters. Die Anzahl reeller Parameter, die typischerweise variiert werden müssen um eine Entartung zu erhalten, heißt Kodimension der Kreuzung. Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 7 1
2 unitäre Matrizen allgemeine Form (2x2): Gaußsches Ensemble hermitescher Matrizen Eigenwerte: Kodimension der Kreuzung = 3 (4 Parameter) Hermitesche 2x2-Matrizen mit O(2) als Gruppe kanonischer Transformationen = Gaußsches orthogonales Ensembe (GOE) Wahrscheinlichkeitsdichte symplektische Matrizen: P(H) sei invariant gegenüber orthogonalen Transformationen Jeder Eigenwert zweifach entartet Minimalmodell einer Kreuzung ist 4x4 allgemeine Form Kodimension der Kreuzung = 5 (mehr dazu siehe Haake) unkorreliert, d.h. Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 8 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 9 Infinitesimale orthogon. Transf. Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 10 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 11 2
3 4.2.3 Eigenwertverteilung für GOE Das lässt sich noch etwas verschönern: Wahl des Energienullpunktes A entspricht Wahl der Energieeinheit C festgelegt durch die Normierung Analog auch für das Gaußsche unitäre (GUE) und das Gaußsche symplektische Ensemble (GSE). In allen Fällen ergibt sich: Gültig auch für N x N Matrizen im Grenzfall für großes N (sonst nur näherungsweise). Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 12 Diagonalisierung von H durch orthogonale Transformation: Transformation Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 13 ähnlich auch für NxN Matrizen: n = Kodimension der Niveaukreuzungen Wigner-Dyson Verteilungen Verteilung der Niveau-Abstände (S = `Level Spacing ): Achtung: Diese einfachen Formeln sind nicht streng gültig für N x N Matrizen, wohl im Grenzfall für großes N. zufällige Energiewerte: Poisson-Verteilung (mehr dazu unten) Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 14 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 15 3
4 4.2.4 Entfalten von Spektren mittlerer Energieabstand ist nicht konstant Korrektur Wahrscheinlichkeitsverteilungen für nächste-nachbar- Abstände: GOE GUE GSE Poisson Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 16 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite Zufällige Niveaufolgen Lösung: Für den Fall zufälliger, gleichverteilter und unkorrelierter Eigenwerte ist g(s) konstant Poisson- Verteilung Wahrscheinlichkeit, dass kein anderer Eigenwert dazwischen liegt Wahrscheinlichkeit für nächsten Nachbarn im Intervall [0,S] Bemerkung: Im Vergleich mit den Wigner-Dyson- Verteilungen sieht man, dass für kleine Werte von S gilt (n ist die Kodimension der Kreuzungen) Differentialgleichung für P(S) Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 18 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 19 4
5 4.2.6 Integrable Systeme Klassisch integrable Systeme mit N Freiheitsgraden haben N unabhängige Integrale der Bewegung; quantenmechanisch in der Regel auch Energieeigenwerte haben N Quantenzahlen Beispiele für GOE-Spektren in der Physik: In semiklassischer Näherung: Torus-Quantisierung Kreuzungen haben Kodimension n=1 Poisson-Verteilung der nächsten Nachbarn. Genau wie zufällige Niveaufolgen!!! (1) Energieniveaus hochangeregter Zustände des H- Atoms (Rydberg- Zustände) im Magnetfeld (2) Rotations- Schwingungsniveaus des Moleküls Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 20 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 21 (3) Stadion- Billard mit Mikrowellen (klassisch voll chaotisch) Spektrum der Eigenfrequenzen zeigt GOE-NN- Statistik Hypothese (Bohigas-Giannoni-Schmidt) : Eine klassisch chaotische Dynamik korrespondiert mit quantenmechanischen Zufallsspektren Eigenwerte von Zufallsmatrizen: Nächste-Nachbar-Abstände n = Kodimension der Niveaukreuzungen zufällige Eigenwerte und integrable Systeme: Poisson-Verteilung Wigner-Dyson Verteilungen GOE GUE GSE Poisson Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 22 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 23 5
6 weitere Beispiele: (4) Kernspektren - viele Freiheitsgrade, komplizierte Wechselwirkung `zufällige Spektren nicht verwunderlich. (5) Es gibt aber auch einfachere Systeme: F-Praktikum Physik: Quantenchaos (Univ. Bochum) Text stammt von Studenten (6) Oder sogar noch einfachere? Riemannsche Zeta-Funktion Mehr dazu unter normierte Abstände der Nullstellen der Zeta- Funktion in der Nähe der sten im Vergleich mit der GUE-Verteilung Nullstellen wurden benutzt zur Berechnung der Abstandesverteilung (kleine Kreise). Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 24 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 25 Schwingungsmoden einer Rechteckmembran (integrabel): a Generische Niveaukreuzungen bei Variation eines Parameters Kodimension gleich eins Poisson NN-Verteilung b Es gibt aber Ausnahmen, z.b.: Eindimensionale Systeme mit Kreuzungen sind streng verboten, haben also Kodimension unendlich und P(S) verschwindet für S 0 schneller als jede Potenz. Eine ungeordnete lineare Kette von Delta-Potentialen hat die Abstandsverteilung. Der zweidimensionale harmonischer Oszillator hat Energieeigenwerte Entartungsverhalten hängt ab vom Frequenzverhältnis. Für irrationales Verhältnis gibt es keine Entartungen. Ein sehr untypisches System! Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 26 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 27 6
7 Bohigas-Giannoni-Schmidt Hypothese: Eine klassisch chaotische Dynamik korrespondiert mit quantenmechanischen Zufallsspektren Lässt sich belegen durch viele Beispiele für Systeme, die klassisch voll chaotisch sind. Frage: Was erwartet man, wenn das klassische System typisch ist, also eine gemischt regulär/chaotische Dynamik zeigt? Man muss untersuchen, was passiert, wenn man Spektren unterschiedlicher Statistik superponiert. Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 28 7
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