Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

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Edmund Bretz
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1 Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg

5 Definition der Reihe Gegeben: (a n) unendliche Folge in R Dann heißt (s n) mit Beispiel: eine unendliche Reihe. s n heißt n-te Partialsumme s n = a 0 + a a n = Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen n a i n N 0 i=0 (a n) geometrische Folge (s n) geometrische Reihe n a n+1 s n = a i ; mit = q a i=0 n Offensichtlich gilt: a n = a n 1 q = a n 2 q 2 =... = a 0 q n 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen s n = n a 0 q i = a 0 (1 + q + q q n 1 q n+1 ) = a 0 i=0 1 q 121

6 Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Summe aller Körner auf Schachbrett: s n = 63 i=0 Das bedeutet: 1 q 64 a i = a 0 1 q = , Körner = 1 g Weizen 1, g 1, kg 1, t = 180 Mrd. t 1 Güterwagon = 50 t Weizen 3,6 Mrd. Güterwagons 36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 36 Mill. km 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen 100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond 122

Konvergenzkriterien für Reihen Gegeben: a i Folge, s n = Divergenzkriterium n a i i=1 Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent dazu: Quotientenkriterium lim k lim k a i ist keine

7 Konvergenzkriterien für Reihen Gegeben: a i Folge, s n = Divergenzkriterium n a i i=1 Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent dazu: Quotientenkriterium lim k lim k a i ist keine Nullfolge s n divergent a k+1 a k a k+1 a k < 1 sn konvergent > 1 sn divergent 7.1. Eigenschaften und Beispiele 7.2. Konvergenz und Grenzwert 7.3. Reihen Bemerkung: Für lim a k+1 k a = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich k Spezialfall geometrische Reihe: a k+1 = q lim a k k a k+1 a k { q < 1 = q sn konvergent q 1 s n divergent 123

9 : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration 8 Finanzmathematik Zinsen Renten Tilgung Kursrechnung

10 Zinsen Zinsen sind der Preis, den ein Schuldner für die befristete Überlassung von Kapital bezahlen muss. Der Betrag der Zinsen (Z) wird aus der Höhe des überlassenen Kapitals K und der Dauer der Überlassung berechnet. Verwendete Symbole: Symbol Bezeichnung K 0 Anfangskapital K n Endkapital n ganzzahlige Laufzeit f gebrochene Laufzeit x nicht ganzzahlige Laufzeit Z Zins p Prozentzinssatz i = p Zinssatz 100 q = 1 + i Aufzinsungsfaktor v = 1 Abzinsungsfaktor q 8.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung 125

12 Einfache Verzinsung Sparzinsen können zinseszinslich angelegt werden Bei Kreditgeschäften zwischen Privatpersonen ist das illegal (BGB, 248) Deswegen: Einfache (lineare) Verzinsung gemäß K n = K 0 + Z = K 0 + K 0 i n ( = K p n ) Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung 126

13 Unterjährige einfache Verzinsung In Deutschland Einteilung des Zinsjahres in 12 Monate zu je 30 Tagen (360 Tage) Dadurch Berechnung von Monats- bzw. Tageszinsen möglich Laufzeit n N in Jahren wird dann zu Laufzeit f Q in Jahren mit f = t 2 t (t 1 entspricht Tag der Einzahlung, t 2 Tag der Auszahlung) Daraus ergibt sich K n = K 0 + K 0 i ( ) t 360 = K t i Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung Stellung eines Tages im Jahr: (Aktueller Monat 1) 30 + Tag im Monat 127

14 Barwert bei einfacher Verzinsung K 0 unbekannt: Abzinsung bzw. Diskontierung bzw. Barwertberechnung Amtliche Diskontierung: K 0 = K n 1 + ni Kaufmännische Diskontierung (Nur erste Näherung): K 0 = K n (1 ni) 8.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung 128

15 Die Zinseszinsformel Während Laufzeit Zinszahlungen mit sofortiger Wiederanlage und Verzinsung zum Zinssatz i Entwicklung des Kapitals: K 1 = K 0 + K 0 i = K 0 (1 + i) = K 0 q K 2 = K 1 (1 + i) = (K 0 q) q = K 0 q 2 K 3 = K 2 (1 + i) = ( K 0 q 2) q = K 0 q 3 Damit folgt die Zinseszinsformel, mit n (zunächst) ganzzahlig Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung K n = K 0 q n q n heißt Aufzinsungfaktor 129

16 Die Zinseszinsformel Auflösung der Zinseszinsformel nach K 0, q und n: K 0 = K n q n Abzinsungs- oder Diskontierungsformel 1 heißt Abzinsungsfaktor qn Kn Kn q = n bzw. i = n 1 K 0 K Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung n = ln K n ln K 0 ln q 130

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