Nachklausur Analysis 1 WS 2007 /

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Angelika Pohl
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1 Nachklausur Analysis 1 WS 27 / Es gibt 11 Aufgaben. Die jeweilige Punktzahl steht am linken Rand. Die Gesamtpunktzahl ist 4 Punkte. Zum Bestehen der Klausur sind 16 Punkte erforderlich. Bei Wahr / Falsch-Aufgaben gibt es für jede korrekte Antwort 1 Punkt, für jede falsche Antwort 1 Punkt, und für jede Nicht-Antwort Punkte. Negative Gesamtergebnisse werden als gewertet. Die Bearbeitungszeit beträgt 12 Minuten. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Tragen Sie unten auch Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer, und den Namen Ihres Tutors ein. Und nun: Viel Erfolg... Ana-1 7/8 Blatt NK vom Seite 1 von 7

2 Ana-1 NK+L 2 A n a l y s i s 1 7 / 8 P r o f P ö s c h e l N a c h k l a u s u r h4i Aufgabe 1 Welche der folgenden Aussagen sind wahr oder falsch? a. Eine monotone Zahlenfolge hat mindestens einen Häufungspunkt. wahr falsch b. Eine Zahlenreihe ist konvergent, wenn ihre Glieder eine Nullfolge bilden. wahr falsch c. Eine beschränkte reellwertige Funktion nimmt ihr Supremum an. wahr falsch d. Ist f W R! R im Punkt p differenzierbar, so ist f dort auch stetig. wahr falsch Welche der folgenden Aussagen sind wahr oder falsch? a. Eine monotone Zahlenfolge hat mindestens einen Häufungspunkt. wahr falsch b. Eine Zahlenreihe ist konvergent, wenn ihre Glieder eine Nullfolge bilden. wahr falsch c. Eine beschränkte reellwertige Funktion nimmt ihr Supremum an. wahr falsch d. Ist f W R! R im Punkt p differenzierbar, so ist f dort auch stetig. wahr falsch h4i Aufgabe 2 a. Geben Sie die Definition einer surjektiven Abbildung f W A! B. b. Seien gw A! B und hw B! C zwei surjektive Abbildungen. Zeigen sie, dass auch deren Komposition f D h B gw A! C ebenfalls surjektiv ist. a. Zu jedem b 2 B existiert ein a 2 A mit f.a/ D b. b. Zu jedem c 2 C existiert ein b 2 B mit h.b/ D c, da h surjektiv ist. Zu diesem b 2 B existiert ein a 2 A mit g.a/ D b, da g surjektiv ist. Also existiert zu jedem c 2 C ein a 2 A mit f.a/ D h.g.a// D h.b/ D c: Ana-1 7/8 Blatt NK vom Seite 2 von 7

3 Ana-1 NK+L 3 A n a l y s i s 1 7 / 8 P r o f P ö s c h e l N a c h k l a u s u r h3i Aufgabe 3 Es sei 6 a 6 1. Zeigen Sie, dass.1 C a/ n 6 1 C.2 n 1/a; n > : Für n D ist sowohl.1 C a/ D 1 als auch 1 C.2 1/a D 1, die Behauptung also richtig. Gilt die Behauptung für irgendein n >, so folgt.1 C a/ nc1 D.1 C a/ n.1 C a/ 6.1 C.2 n 1/a/.1 C a/ D 1 C.2 n 1/a C a C.2 n 1/a C.2 n 1/a C a C.2 n 1/a wegen 6 a 6 1 D 1 C.2 nc1 1/a: h3i Aufgabe 4 Beweisen Sie für reelle Zahlen a; b die Ungleichung a ˇb C b aˇ > 2: Für welche a; b gilt Gleichheit? a ˇb aˇ a 2 C b 2 ˇ ab ˇ > 2, ˇˇa2 C b 2ˇˇ > 2 jabj, jaj 2 C jbj 2 > 2 jabj, jaj 2 C jbj 2 2 jabj >,.jaj jbj/ 2 > : Die letzte Ungleichung ist offensichltich richtig, also gilt auch die erste Ungleichung. Und Gleichheit gilt genau dann, wenn jaj D jbj, also a D b. Ana-1 7/8 Blatt NK vom Seite 3 von 7

4 Ana-1 NK+L 4 A n a l y s i s 1 7 / 8 P r o f P ö s c h e l N a c h k l a u s u r h3i Aufgabe 5 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. X. 1/ n X nš X n a. p ; a > b. c. n C a n n.n 1/.n C 1/.n C 3/ n> n>3 n>2 a. Es handelt sich um eine alternierende Reihe, wobei 1= p n C a monoton fallend gegen Null konvergiert. Also konvergiert die Reihe aufgrund des Leibniskriteriums. b. Konvergent aufgrund des Quotientenkriteriums:.n C 1/Š.n C 1/ nc1 n n nš D nn.n C 1/ D 1 n.1 C 1=n/! 1 n e ; n! 1: Somit sind fast alle diese Quotienten kleiner als beispielweise q D 1=2. Oder man bemerkt, dass wegen nš n D 12 n n nn n 6 2 n ; n > 2; 2 eine konvergente Majorante existiert. c. Konvergente, da wegen n.n 1/.n C 1/.n C 3/ 6 1.n 1/.n C 1/ D 1 n n 2 ; n > 2; eine konvergente Majorante existiert. h4i Aufgabe 6 Zeigen Sie, dass die Funktion f W R! R; f.t/ D t 8 C at C b für beliebige a; b 2 R höchstens zwei Nullstellen haben kann. Hinweis: Argumentieren Sie indirekt und verwenden Sie den Satz von Rolle. Hätte f drei Nullstellen u < v < w, so hätte f aufgrund des Satzes von Rolle in.u; v/ und in.v; w/ einen kritischen Punkt, mithin also mindestens zwei kritische Punkte. Es ist aber f.t/ D 8t 7 C a streng monoton steigende, besitzt somit höchstens eine Nullstelle. Das ist ein Widerspruch. Ana-1 7/8 Blatt NK vom Seite 4 von 7

5 Ana-1 NK+L 5 A n a l y s i s 1 7 / 8 P r o f P ö s c h e l N a c h k l a u s u r h4i Aufgabe 7 Es sei f W Œa; b! R eine stetig differenzierbare Funktion mit f.a/ > f.b/; f.b/ > : Zeigen Sie, dass dann ein c 2.a; b/ existiert mit f.c/ D. Siehe Klausur vom h4i Aufgabe 8 Bestimmen Sie die folgenden Integrale. Hinweis:.e t / D e t. a. t 2 e t dt b. te t 2 dt a. Partielle Integration: t 2 e t dt D t 2 e tˇˇˇ1 C D t 2 e t 2te 2te t dt ˇˇˇ1 t C D. t 2 2t 2/e tˇˇˇ1 D 2 5 e : b. Man findet unmittelbar eine Stammfunktion: 2e t dt te t 2 dt D 1 2 2te t 2 dt D 1 2 e t 2ˇˇˇ1 D e 1 2e : h4i Aufgabe 9 Gegeben ist die Funktionenfolge f n W Œ; 1! R; f n.t/ D.1 t/t n C t: a. Bestimmen Sie den punktweisen Limes f dieser Funktionenfolge. b. Zeigen Sie, dass f n! f gleichmäßig auf Œ; 1. Ana-1 7/8 Blatt NK vom Seite 5 von 7

6 Ana-1 NK+L 6 A n a l y s i s 1 7 / 8 P r o f P ö s c h e l N a c h k l a u s u r a. Für t 2 Œ; 1 gilt lim f n.t/ D t; n!1 denn t n! für 6 t < 1 und.1 t/t n D für t D 1. b. Zu zeigen ist, dass es zu jedem " > ein N > 1 gibt, so dass (j) max jf n.t/ 6t61 tj D max 6t61 j.1 t/t n j < "; n > N: Ist 1 t < ", so ist für alle n j.1 t/t n j 6 j1 tj < ": Andernfalls ist 1 t > ", also t 6 1 ", und dann gilt j.1 t/t n j 6 jtj n 6.1 "/ n < " für n hinreichend groß. Also existiert zu jedem " > ein N, so dass.j/ gilt. h4i Aufgabe 1 a. Geben Sie die Definition einer offenen Teilmenge A eines normierten Raumes.E; kk/. b. Seien.E; kk E / und.f; kk F / normierte Räume. Zeigen Sie: Ist W E! F stetig, so ist das Urbild jeder offenen Teilmenge von F unter eine offene Teilmenge von E. Siehe Skript. h3i Aufgabe 11 Sei f W R! R eine periodische Funktion. Das heißt, es gibt ein T >, so dass f.t C T / D f.t/ für alle t 2 R. Zeigen Sie: Gilt lim f.t/ D ; t!1 so ist f.t/ D für alle t 2 R. Ana-1 7/8 Blatt NK vom Seite 6 von 7

Ana-1 NK+L 7 A n a l y s i s 1 7 / 8 P r o f P ö s c h e l N a c h k l a u s u r 1 8.

t / für irgendein t, so nähme also f in jeder Umgebung von 1 den Wert f.

7 Ana-1 NK+L 7 A n a l y s i s 1 7 / 8 P r o f P ö s c h e l N a c h k l a u s u r Aus f.t C T / D f.t/ folgt f.t C nt / D f.t/; n D 1; 2; : : : Wäre f.t / für irgendein t, so nähme also f in jeder Umgebung von 1 den Wert f.t / unendlich oft an. Dann kann aber nicht lim t!1 f.t/ D gelten. Ana-1 7/8 Blatt NK vom Seite 7 von 7

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537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.