Physik Freier Fall. 1. Ziele des Versuches. 2. Aufgaben. 3. Grundlagen

Transkript

1 Physik Freier Fall 1. Ziele es Versuches Untersuchung es Fallgesetzes Einfluss es Luftwierstanes Abschätzung es Luftwierstansbeiwertes c w 2. Aufgaben Messung er Fallzeit verschieener Körper (Plastilinkugeln, Tennisbälle, Tischtennisbälle) in Abhängigkeit von er Fallhöhe sowie verschieener Hilfsgrößen Zeichnerische Darstellung er Fallzeit in Abhängigkeit von er Höhe Bestimmung es cw-wertes aus em Weg-Zeit-Diagramm unter er Voraussetzung konstanter Engeschwinigkeit 3. Grunlagen Kennt man ie Beschleunigung a( eines Körpers, kann man ie Geschwinigkeit v( urch eine einmalige Integration über ie Zeit t un ie zurückgelegte Strecke s( urch zweimalige Integration berechnen: Stan: 09/2013

2 t v( = a(τ)τ s( = v(τ)τ t 0 t 0 t Diese Gleichungen un ie "Umkehrung" in em Sinne, ass Geschwinigkeit un Beschleunigung urch Differenziation aus em Weg abgeleitet weren können: v ( = s( a( = v( t t bilen en Kern er Kinematik un amit eine Grunlage er gesamten klassischen Mechanik Wenn ie Beschleunigung konstant ist (a c = const.) vereinfachen sich ie Gleichungen zu: 1 v( = ac t s( = ac t 2 mit: Weg [s] = m Geschwinigkeit [v] = m/s Beschleunigung [a c ] = m/s² Zeit (hier Fallzei [t] = s Bei Fallbewegungen ist ie konstante Beschleunigung urch ie Erbeschleunigung g gegeben, ie für Krefel ungefähr en Wert g 9,81 m/s² besitzt. 2 Die letzte Gleichung kann man umformen, um ie Fallzeit in Abhängigkeit von er Fallhöhe s( = h zu erhalten: h t = 2 g Allerings kann man nur im Vakuum von einer konstanten Beschleunigung ausgehen. Im luftgefüllten Raum muss ie Luftreibung berücksichtigt weren, a as en Körper umströmene Gas ie Bewegung hemmt. Die Vorgänge beim Umströmen eines Körpers sin recht kompliziert un hängen von einer ganzen Reihe von Parametern ab, z.b. von er Gestalt un er Oberflächenbeschaffenheit es Körpers, em Luftruck sowie er Strömungsgeschwinigkeit. Man unterscheiet laminare Strömungen - wenn sich keine Wirbel bilen - un turbulente Strömungen mit Wirbelbilung, wie bei Kugeln in Luft. Bei en hier erreichten Geschwinigkeiten kann ie bremsene Kraft F R er Luftreibung nach STOKES recht gut urch en folgenen Ausruck beschrieben weren: F R = 1 2 c w ρ A v2 Freier Fall Seite 2/6

3 mit: Kraft er Luftreibung [F R ] = N Wierstansbeiwert, bei Kugeln je nach Oberflächenbeschaffenheit [c w ] = 0,22 bis 0,43 (imensionsl.) Dichte er Luft [ρ] = kg/m³ projizierte Stirnfläche es Körpers (hier Kugel) [A] = m² Geschwinigkeit [v] = m/s in em ie besonere (ie Bewegung urch ie Luft hemmene) Gestalt eines Körpers in er imensionslosen Zahl c w em Wierstansbeiwert berücksichtigt wir, wie er z.b. vom Automobilbau her bekannt ist. Zunächst soll eine Gleichung für ie Fallgeschwinigkeit abgeleitet weren, ie für alle Fallkörper un zu jeem Zeitpunkt gilt. Da Kraft em Proukt aus Masse un Beschleunigung entspricht: F = m a mit: Kraft [F] = N Masse [m] = kg Beschleunigung [a] = m/s² kann man aus F R irekt ie negative (bremsene) Beschleunigung er Luftreibung berechnen: Die gesamte einwirkene Beschleunigung ist emnach: a R = F R /m a( = g F R m = g c w ρ A 2m v 2 ( also zeitabhängig. Somit ist ie Beschleunigung auf ie (noch unbekannte) Geschwinigkeit v( zurückgeführt. Da a( aber urch ie Ableitung von v( gegeben ist: v( a( = t erhält man eine Bestimmungsgleichung (Differenzialgleichung, DGL) für v(: t v( = g c w ρ A 2m v 2 ( ie man vereinfacht schreiben kann: v( = g B v 2 ( t mit er Konstanten B = c w ρ A/(2m). Durch iese DGL ist v( vollstänig bestimmt. Die Gleichung kann anschaulich interpretiert weren. Nehmen wir zuerst an, ie Luftreibung sei 0, ann gilt B = 0. Die Differentialgleichung lautet ann: v/t = g,.h. ie Geschwinigkeit nimmt stänig zu (v/t ist positiv), er Körper wir immer schneller. Wenn Luftreibung auftritt - B ist ann ungleich null - wir ie Änerung von v geringer, a er Term Bv² abgezogen wir. Je höher ie Geschwinigkeit wir, umso stärker wir ie Bremsung -Bv². Wegen es Quarates ist ie Zunahme er Freier Fall Seite 3/6

4 Bremsung sogar stärker als ie Zunahme er Geschwinigkeit. Beie Terme weren schließlich gleichstark: Der Körper sinkt mit konstanter Geschwinigkeit. Mathematisch nähert sich ie Geschwinigkeit em asymptotischen Wert v. Dieser Effekt ist bekannt un wir häufig praktisch ausgenutzt: Beim Fallschirmspringen einer typischen Fallbewegung will man ja gerae eine konstante Sinkgeschwinigkeit erreichen. Man muss nur afür sorgen, ass ie Konstante B groß genug wir (aher ie Benutzung es Fallschirms), um ein tolerierbares v zu erhalten. Der Vollstänigkeit halber sei ie mathematische Lösung er Differentialgleichung angegeben (im Praktikum wir eine vereinfachte Auswertung mittels v urchgeführt, s. u.): v( = v g t tanh v wobei tanh(x) en hyperbolischen Tangens bezeichnet, eine nicht so häufig benutzte Funktion, für ie wie für en normalen Tangens gilt: tanh(x) = sinh(x)/cosh(x). Für en Fallweg s( ergibt sich: 2 v g t s( = ln cosh g v Für ie konstante Engeschwinigkeit v (ie im wirklich freien Fall erst nach unenlich langer Zeit erreicht würe, aher er Inex) erhält man urch Gleichsetzen er Gewichtskraft F G bzw. G = mg mit er STOKESschen Luftreibungskraft F R (siehe Seite 2): v = 2 m g c A ρ w Für en Spezialfall konstanter Engeschwinigkeit, ie bei en Fallversuchen mit em Tischtennisball erreicht wir, kann man c w aus ieser Gleichung einfach bestimmen. 4. Durchführung er Messung a) Bestimmen Sie ie Massen er Plastilinkugeln un Bälle urch Wiegen (Waagen im Praktikumsraum. Bei en Tischtennisbällen viele auf einmal wiegen! Schätzen Sie bitte en Fehler für ie einzelnen Objekte bei er Wägung urch Wieerholung er Messungen (minestens 3- mal) ab. b) Bestimmen Sie ie Projektionsflächen A er Versuchskörper urch Messungen mit em Messschieber (wieerum 3 Messungen pro Objektar. Schätzen Sie en Fehler er Messungen ab. c) Die Fallexperimente weren im Treppenhaus ausgeführt. Freier Fall Seite 4/6

5 Achten Sie auf Sicherheit! Sie selbst un kein Passant arf urch ie Wurfgeschosse oer unvorsichtiges Hantieren im Treppenhaus gefähret weren! Die Objekte weren vom 5., 4., 3., 2. un 1. Stock fallengelassen. Ein Experimentator pro Zweiergruppe misst ie Fallzeit mit einer Stoppuhr im Kellergeschoss un notiert as Ergebnis. Je nach Vorgabe es Praktikumsleiters notiert ggf. jeer Experimentator auch ie Ergebnisse aller aneren beteiligten Gruppen. Die übrigen Experimentatoren sorgen afür, ass ie Versuchsobjekte aufgesammelt un an en Startort gebracht weren. Ein Experimentator pro Objektart startet ie Fallbewegungen. Der Start geschieht mit Hilfe einer speziellen Hilfskonstruktion un wir urch Lichtzeichen signalisiert. Zehn Fallexperimente sin pro Objektart urchzuführen. ) Die Länge er Fallstrecken (jeweils Abstan zum Kellerboen) wir mit einem Banmaß ausgemessen. e) Zur Bestimmung es c w -Wertes benötigt man noch ie Dichte ρ er Luft. Diese hängt von er Temperatur un em Luftruck gemäß er Tabelle im Anhang ab. Zur Temperaturbestimmung erhalten Sie ein Thermometer, as jeweils in en Treppenhaus-Etagen aufgestellt un nach einiger Zeit er Angleichung abgelesen wir. Achten Sie arauf, ass im gesamten Treppenhaus möglichst einheitliche Verhältnisse herrschen. Insbesonere sollten alle Zugangstüren geschlossen sein, auch um Luftzirkulationen zu vermeien! Den Luftruck lesen Sie bitte an em Barometer im Laborraum B217 ab (er Luftruck hängt kaum vom Ort innerhalb er Gebäues ab). 5. Auswertung a) Kurze Beschreibung es Versuchs, b) Auflistung er Messwerte für ie Massen er Fallobjekte, einschließlich Fehlerabschätzungen, c) Auflistung er Messwerte für ie projektierten Flächen A, ie Temperatur T, en Luftruck p un ie araus folgene Dichte ρ er Luft, Freier Fall Seite 5/6

6 ) Auflistung er Mittelwerte er Messwerte (ggf. aller Gruppen, je nach Anweisung) für ie Fallzeiten er einzelnen Objekte un Etagen, Abb. 1.1: Grafische Abschätzung von v e) Übertragung es Messprotokolls in eine Tabellenkalkulation (z. B. Excel); Zeichnung er Fallhöhe h in Abhängigkeit von er ermittelten Fallzeit t (Achtung! Auf Abszisse un Orinate achten!), f) Bestimmung eines Näherungswertes von v für ie Tischtennisbälle aus er Geraensteigung im Weg-Zeit-Diagramm (siehe Abb. 1.1), g) Berechnung er c w -Werte für ie Tischtennisbälle; lösen Sie afür ie Gleichung für v, (siehe Seite 4) nach c W auf, h) Kritische Diskussion es Versuches (Messunsicherheiten, systematische Messfehler, Was wure gelernt? ) Dichte ρ trockener Luft in kg/m³: Anhang Druck p in Torr ϑ in C ,178 1,203 1,229 1,253 1,270 1,278 1, ,157 1,182 1,207 1,231 1,248 1,256 1, ,137 1,161 1,186 1,210 1,226 1,234 1, ,118 1,141 1,166 1,189 1,205 1,213 1, ,099 1,122 1,146 1,169 1,185 1,193 1, ,080 1,104 1,126 1,149 1,165 1,173 1,196 Tab 1: Dichte ρ trockener Luft Freier Fall Seite 6/6