Lösungen zum Übungsblatt 2

Transkript

1 Fakultät für Luft- ud Raumfahrttechik Istitut für Mathematik ud Recherawedug Partielle Differetialgleichuge II (ME), Prof. Dr. J. Gwier Übug: N. Ovcharova, K. Dvorsky 6. Jauar bis 9. Februar 011 Lösuge zum Übugsblatt Fouriermethode für die Wärmeleitugs- ud die Wellegleichug 1. Orthoormalsysteme im ilbertraum (a) Besselsche Ugleichug Sei ei reeller ilbertraum ud (e i ), N ei Orthoormalsystem. D.h. e i, e j δ ij für alle i, j {1,..., }. Ma zeige für diese Fall die Bessel sche Ugleichug. Für alle x gilt : 0 x x, e i dist (x, spa {(e i ) }). { } Wobei spa {(e i) } x : x a i e i, (a i) R ud dist (x, spa {(e i) }) if (a i ) R x a i e i. (b) Orthoormalbasis im ilbertraum Mit de obige Bezeichuge ist ei Orthoormalsystem (e i ) i N vollstädig i bzw. eie Basis vo falls: Für alle x gibt es eie eideutig bestimmte Folge (a i ) i N R mit a i e i Zeige Sie, dass die folgede Eigeschafte eies Orthoormalsystems äquivalet sid. (i) (e i ) i N ist eie Basis vo. (ii) spa {(e i ) i N } liegt dicht i. (iii) Für alle x gilt : x x, e i e i. x. Beweis (a) Für eie beliebig gewählte Koeffizietefolge (a i ) R ud x betrachte wir 0 x Biomische a i e i x Formel x, a i e i + a i e i x x, a i e i + a i e i Satz des Pythagoras Liearität x vo, Quadratische Ergäzug a i x, e i + x x, e i + a i x, e i x x, e i. a i a i x, e i

2 Damit erhalte wir die Besselsche Ugleichug x, e i x ud zusätzlich eie Idetifizierug der Differez x x, ei x x, e i e i if (a i ) x a i e i dist (x, spa {(e i) }) R als Abstad zwische x ud der lieare ülle des Orthoormalsytems (e i ). Beweis (b) (i) (ii) Folgt direkt aus der Defiitio eier Basis. (ii) (iii) spa {(e i ) i N } liegt dicht i. D.h. x (ã i ) i N R : x ã i e i 0. Betrachte u x Bessel x, e i e i if (a i) R x a i e i Wähle a i ã i x ã i e i 0. (iii) (i) Wir habe x x, e i e i ud es geügt die Eideutigkeit der Koeffiziete zu zeige. ierfür sei x a i e i eie beliebige Darstellug vo x. Da folgt für jedes j N x, e j a i e i, e j a j die Eideutigkeit der Koeffiziete x, e i.. Fouriermethode für die Wärmeleitugsgleichug Sei Ω (0, a) R ud ϕ L (Ω). Zu u L (Ω (0, )) betrachte wir u u t u xx 0 i Ω (0, ) (1) u 0 auf Ω (0, ) () u ϕ auf Ω {0}. (3) (a) Mit dem Treugsasatz u(x, t) v(x) w(t) stelle ma die zu (1) ud () gehörige gewöhliche Differetialgleichuge als Eigewertprobleme auf. Bestimme Sie die allgemeie Lösuge. (b) Aus de Eigefuktioe (v k ) k N des Eigewertproblems i (a) wähle ma eie Orthoormalbasis (e k ) k N vo L ((0, a)). (c) u L (Ω (0, )) sei eie Lösug vo (1), (), ud (3). Gebe Sie ihre Reiheetwicklug bezüglich (e k ) k N a. Lösuge (a) Aus (1) erhalte wir die getrete Form v v w w ud mit () die Eigewertprobleme λ R ; v 0, w 0 (4) v λ v, v(0) v(a) 0 (5) ud w λ w. (6)

3 Die triviale Lösuge sid hierbei ach (4) ausgeschlosse. Betrachte wir zuächst (5), um die i Frage kommede Eigewerte zu bestimme. Die allgemeie Lösug lautet v(x) exp( λ x) + C exp( λ x). Mit Beachtug der Radbediguge ud uter Ausschluß der Triviallösug folgt λ > 0 ud damit v(x) cos( λ x) + C si( λ x). v(0) v(a) 0 0, C A k 0 ud λ λ k ( ) Also v k (x) A k si λk x Für Lösuge vo (6) folgt damit w k (t) B k exp( λ k t), B k 0. (b) Mit dem Normierugsfaktor A k Orthoormalsystem { e k (x) a ( ) k π für k N. a erhalte wir aus de Eigefuktioe v k i (5) ei } ( ) a si λk x, k N bezüglich des Skalarproduktes, L ((0,a)). Dieses Orthoormalsystem ist vollstädig ud bildet die Fourierbasis vo L ((0, a)). (c) Eierseits wisse wir ach (a) ud (b) dass die Liearkombiatioe u(x, t) B k exp( λ k t) e k (x), N (7) Lösuge vo (1) ud () sid. Adererseits köe wir die Lösug u vo (1), () ud (3) zu jedem fixierte Parameter t (0, ) als u u(, t) L ((0, a)) darstelle. Da (e k ) k N u eie Basis vo L ((0, a)) ist, gibt es eie eideutig bestimmte - vom Parameter t abhägige - Koeffizietefolge (C k (t)) k N so, dass u(x, t) C k(t) e k (x) gilt. Ei Koeffizietevergleich mit (7) liefert C k (t) B k exp( λ k t), k N ud damit u(x, t) B k exp( λ k t) e k (x). Durch die Afagsbedigug i (3) ud die Darstellugseigeschaft vo Base (1.(b) (iii)) köe wir die Koeffiziete (B k ) k N idetifiziere. ϕ(x) u(x, 0) B k e k (x) Wir erhalte schließlich u(x, t) 3. Wellegleichug i R 3 - Kirchhoffsche Formel Wir betrachte u C (R 3 (0, )) mit 1.(b) (iii) B k ϕ, e k L ((0,a)) a ϕ, e k L ((0,a)) ( exp k π ) ( ) k π a t si a x. u tt u 0 i R 3 (0, ) (8) u ϕ, u t ψ auf R 3 {0} mit Afagsort ϕ C 3 (R 3 ) ud Afagsgeschwidigkeit ψ C (R 3 ). Da ist die Lösug vo (8) durch die Kirchhoffsche Formel u(x, t) 1 4πt (t ψ(y) + ϕ(y) + ϕ(y) (y x)) dσ y gegebe.

4 Für ϕ(x) x ud ψ(x) x 1 + x + x 3 bestimme ma die Lösug vo (8) explizit. Lösug ( 3 ) u(x, t) t x i + x + 3 t 4. Fourierreiheasatz für die Wellegleichug Ω R sei ei beschräktes Gebiet ud Ω i. Weiterhi sei u C (Ω (0, T )), T > 0 die Lösug vo u tt c u 0 i Ω (0, T ) (9) u 0 auf Ω (0, T ) (10) u ϕ, u t ψ auf Ω {0} (11) wobei ϕ C 3 (Ω) ud ψ C (Ω). Mit ilfe des Asatzes u(x, t) f(x) g(t) gebe ma die Fourierreiheetwicklug vo u ach de Produkte f k (x) g k (t) a. Mit dem Separatiosasatz ud (9) folgt f f 1 c g g λ (kostat). (1) Die Radbedigug i (10) ud (1) liefert für f C (Ω) das Eigewertproblem f λ f i Ω (13) f 0 auf Ω (14) ud aus (1) folgt eie gewöhliche Differetialgleichug für g C ((0, T )) g λ c g. (15) Das Eigewertproblem i (13) wird durch diskret verteilte Eigewerte (λ k ) k N R mit 0 < λ 1 λ... ud zugehörige ormierte Eigefuktioe (f k ) k N L (Ω) gelöst. Diese Eigefuktioe bilde eie Orthoormalbasis i L (Ω) C (Ω). Zu de obige Eigewerte löse wir u (15) durch g k (t) Ãk cos( λ k c t) + B k si( λ k c t). Diese Lösuge bilde eie Basis vo L ((0, T )). Mit (f k ) k N L (Ω) ud (g j ) j N L ((0, T )) köe wir u durch (f k g j ) k,j N L (Ω (0, T )) eie Produktbasis vo L (Ω (0, T )) aufstelle. D.h. für beliebige v L (Ω (0, T )) existert die eideutig bestimmte Darstellug v k,j N a kj f k g j. Wege C (Ω (0, T )) L (Ω (0, T )) besitzt die Lösug u C (Ω (0, T )) vo (9) somit die folgede Darstellug: u(x, t) a kj f k (x) g j (t). k,j N Nach dem Separatiosasatz ud de Betrachtuge i (13) ud (15) sid f k ud g j Eigefuktioe zum jeweils gleiche Eigewert λ k. Damit gilt { a k für k j u löst (9) mit Separatiosasatz a kj ((a kj ) ist diagoal). 0 für k j Mit A k a k à k ud B k a k Bk folgt da u(x, t) f k (x) ( A k cos( λ k c t) + B k si( ) λ k c t). (16)

5 Nu sid och die Koeffiziete A k, B k i Abhägigkeit vo de Afagsbediguge i (11) zu bestimme. ϕ(x) u(x, 0) ψ(x) u t (x, 0) A k f k (x) L (Ω) B k λk c f k (x) L (Ω). (f k ) k N ist eie Orthoormalbasis vo L (Ω) ud wir erhalte A k ϕ, f k L (Ω) ud B k 1 λk c ψ, f k L (Ω). Durch diese Koeffiziete erhalte wir schließlich mit (16) die Fourierreihedarstellug vo u.

6 Zusatzaufgabe 1. Beweise Sie mit ilfe vo (Üb1-pdglII/Aufg.4c) de folgede Satz. Ω R 3 sei ei beschräktes Gebiet ud Ω i. Setze damit Ω c : R 3 \ Ω. Da gilt die Implikatio u (Ω c ) C 0 (Ω c ) ud C > 0 : 0 u(x) C x Beweis Wir setze Ω c R : B R(0) \ Ω, R > if {r > 0 : B r (0) Ω}. Ω c R s, s > 0 sup Ω c u max Ω u. ist beschräkt ud damit schwaches Max.prizip sup Ω c R u max u Ω c R ( ) Nu gilt Ω c R B R(0) Ω ud 0 max u C B R (0) R 0. s R D.h. max u max u für hireiched großes R ud somit B R (0) Ω max Ω c R u max u Ω sup u ( ) max u max Ω c Ω c R R u u ist stetig Ω R sup u max u. Ω c Ω 4. (Abkligverhalte vo Lösuge der Wellegleichug) Für die Date vo (Aufg. 3.) gelte u ϕ, ψ C c (R 3 ). Zeige Sie dass i diesem Fall ei C > 0 so existiert, dass Lösuge vo (1) das folgede Abkligverhalte aufweise. Es gilt: u(x, t) ψ C c (R3 ) Falluterscheidug für t 1 : ϕ C c (R3 ) u(x, t) C t ; (x, t) R3 (0, ) (t ψ(y) + ϕ(y) + ϕ(y) (y x)) dσ y ψ(y) dσ y + 1 ϕ(y) + ϕ(y) (y x) dσ y + C + C ud für t < 1 : ϕ C c (R3 ) ϕ(y) + ϕ(y) (y x) dσ y + 1 vol () sup ϕ(y) + ϕ(y) (y x) y + C 3 4 π + C 3 ud mit C : max ( +C ) 4 π, C1+C3 4 π folgt schließlich u(x, t) C t ; (x, t) R3 (0, ).