3 a) A berechnen: u berechnen: A = a 2

Transkript

1 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 9 Umfang und Flächeninhalt uftakt Seiten 9, 0 Seite 9 Um den Flächeninhalt der Wohnung zu berechnen, zählt man im Plan die nzahl der kleinen Kästchen. Kästchen entspricht m. ie Wohnfläche (ohne alkon) besteht aus Kästchen. Somit hat die Wohnung einen Flächeninhalt von m. ie Räume haben folgende Formen: Küche und bstellraum: Rechteck Kinderzimmer und Wohnzimmer: Trapez alkon: reieck Schlafzimmer: Quadrat adezimmer: zusammengesetzte Figur aus Rechteck und reieck Seite 0 Individuelle Lösungen, zum eispiel: ie grüne aufläche ist etwas größer als die beiden großen Grundstücke zusammen, die rechts oberhalb der Fläche liegen. Ihr Flächeninhalt beträgt zusammen 8 m. Somit könnte man die aufläche auf etwa 00 m schätzen. Man kann die ungefähre Größe der aufläche auch mithilfe des Maßstabs ermitteln. ie aufläche hat ungefähr die Form eines Rechtecks. Länge und reite des Rechtecks kann man im uch abmessen. Länge:, cm sind in Wirklichkeit 00 cm = m; reite: cm sind in Wirklichkeit 000 cm = 0 m. Flächeninhalt: 0 = 00 ie Größe der aufläche beträgt ungefähr 00 m. Wie viele Häuser auf dieser Fläche Platz haben, hängt vor allem von der Größe der Häuser ab. Man könnte zum eispiel zwei kleine und zwei große Häuser oder sechs kleine Häuser bauen. Rechteck und Quadrat Seiten 0, Seite 0 Einstieg ÆÆ Individuelle Schätzungen ÆÆ Jule will beide Figuren mit grünen Quadraten auslegen und so die Flächeninhalte miteinander vergleichen. In das rote Rechteck passen 0 grüne Quadrate. Wenn man das blaue Quadrat mit 9 grünen Quadraten auslegt, bleibt ein Rand übrig, den man mit halbierten Quadraten und einem Viertel Quadrat auslegen kann. as entspricht ganzen Quadraten und einem Viertel Quadrat. as blaue Quadrat ist also größer als das rote Rechteck. a) = a b u = a + b = u = + = cm u = 0 cm = a b u = a + b =, 0 u =, + 0 = cm u = cm c) = a b u = a + b = 7, u = + 7, = 7, cm u = cm a) = a b = a b = 9 b : 9 0 = a : = b 0 = b b = cm b = 0 cm c) u = a + b = + b = 8 + b 8 8 = b : 9 = b b = 9 cm Seite a) berechnen: u berechnen: = a u = a = 7 u = 7 = 9 cm u = 8 cm u berechnen: berechnen: u = a = a 8 = a : = 7 7 = a = 89 cm a = 7 cm c) a berechnen: u berechnen: = a u = a = a u = = a u = cm a = cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

2 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite a) = a b u = (a + = 7 u = (7 + ) = cm u = cm = a b u = (a + = u = ( + ) = dm u = dm a) = a b = a b 0 = 0 b : 0 90 = a : = b, = a b = cm a =, cm Seite, links a) c) d) a cm 7 cm cm cm b cm 8 cm cm cm cm cm cm cm u cm 0 cm 8 cm cm Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Figuren in Rechtecke zu zerlegen. a) mögliche Zerlegung: 0 = + = + 8 = 00 cm u = u = 78 cm mögliche Zerlegung:,, = + =, + = 90 cm u = +, + + u = cm c) a) cm cm 0cm cm a) = u = ( + ) = cm u = cm = u = ( + ) = 0 cm u = 8 cm c) = 0 u = ( + 0) = 0 cm u = 0 cm 7 mindestens = 0 = 700 höchstens = 7 90 = 70 er Flächeninhalt des Kleinfeldes beträgt zwischen 700 m und 70 m. u mindestens = + 0 = 0 u höchstens = = 0 er Umfang des Kleinfeldes beträgt zwischen 0 m und 0 m. 8 Grundstück Flächeninhalt in m Preis in pro m = : = 90 0 = : 80 = = : 78 = 70 Grundstück kostet 90 pro m, Grundstück pro m und Grundstück 70 pro m. Seite, rechts a) c) d) a 0, m 7, cm 7 cm, cm b m cm 9, cm, cm m, dm, cm 08, cm u m 7 cm, cm, m In den Teilaufgaben, c) und d) müssen zuerst die Einheiten umgewandelt werden. HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

3 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite a) Seitenlängen einer Schulbuchseite: a = 9, cm; b = cm = 9, = 07 u = 9, + = 9 er Flächeninhalt einer Seite im Mathematikbuch beträgt 07 cm. er Umfang beträgt 9 cm. as Mathematikbuch hat 0 Seiten, das entspricht 0 lättern. Flächeninhalt aller lätter: 0 07 = 90 cm =,9 m Je nach Größe beträgt der Flächeninhalt eines Klassenzimmers zwischen 0 m und 0 m. Man kann also ohne Schwierigkeiten alle lätter des Schulbuchs auf dem oden des Klassenzimmers auslegen. a) a) c) cm cm a) vierter Eckpunkt: ( 8) = u = ( + ) = cm u = 0 cm vierter Eckpunkt: (0 ) = u = = cm u = 0 cm c) vierter Eckpunkt: ( ) = 0 u = (0 + ) = 0 cm u = 0 cm cm 7 as Spielfeld besteht aus 0 Streifen. rei Streifen sind, m breit. lso gilt für die reite des Spielfelds (in m): _, 0 = 0 Flächeninhalt des Spielfeldes (in m ): = 0 = 700 Wasserbedarf pro Tag (in ø): 700 = 8 0 Wasserbedarf pro Woche (in ø): = ø 97 m³ Für die ewässerung des Spielfeldes werden pro Woche 97 m³ Wasser gebraucht. reieck Seiten, Seite Einstieg ÆÆ en untersucht, wie viele Einheitsquadrate in das reieck passen. ÆÆ ie Seitenlängen des Rechtecks betragen cm und cm. = = 8 er Flächeninhalt beträgt 8 cm. ÆÆ Mia erkennt, dass das Rechteck aus zwei gleich großen reiecken besteht. as heißt, der Flächeninhalt eines reiecks ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks. er Flächeninhalt des reiecks beträgt somit cm. Seite a) = c h c u = a + b + c a) = 7 u =,8 +,9 + 7 = cm u = 7,7 cm = b h b u = a + b + c =, u =,8 + +, = 7, cm u =, cm c) = a h a u = a + b + c =, u = +, +, = 8,7 cm u =, cm d) = c h c u = a + b + c = = 8 cm u = + 8, + = c h c = 8 = cm h c = cm c = 8cm u = 7, cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

4 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite c) = 8, =, cm h c = cm c = cm cm a) = = cm = c h c = = 7, cm a) = a h a cm =, =, cm = h a 0 = h a : = h a h a = cm = b h b 0 = b 0 = b : 8 = b b = 8 cm,cm cm c) = = cm a) = =, = 7, cm =,9 cm c) =,7, d) =,,0 cm = 7, cm b =,7cm h c = a = cm Seite, rechts Hinweis: ei Teilaufgabe c) muss man zuerst die Länge der Seite b in die Einheit ezimeter umwandeln. a b h a h b a) 7, cm cm 8 cm cm 0 cm cm 8 cm 7 cm, cm cm c) dm 0,8 m = 8 dm, dm, dm dm c = 7cm a) u = a + b + c u = +,7 + 7 = 7,7 er Umfang beträgt 7,7 cm. m einfachsten ist es, die Höhe h c einzuzeichnen und den Flächeninhalt mithilfe von c und h c zu berechnen. = c h c = 7 = er Flächeninhalt beträgt cm. Seite, links a) = 7 = 8, = 7, cm = cm a) b =,cm = a =,0cm h a =,0cm c =,cm 8,9, u =, +, + 8,9 0,0 cm u =, cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

5 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite b =,cm h c =,0cm a =,0cm c =,cm =,0,0 u =,0 +, +, =, cm c) b = 8,cm u =, cm a =,cm h c =,cm c =,cm =,, u =, + 8, +, =, cm u =, cm h b berechnen: = b h b, =,8 h b, =,8 h b :,8, = h b h b =, cm 8 rot = = as grüne und das blaue reieck sind gleich groß. grün = blau = 0, = 0, Für das rote reieck benötigt man m Stoff. Für das grüne bzw. blaue reieck benötigt man jeweils 0, m Stoff. 9 a) Man kann die Giebelfläche in zwei reiecken (eins oben und eins auf der linken Seite) und ein Rechteck zerlegen. G = reieck oben + reieck links + Rechteck G =, + (,0,) +, G =, +, + 9 =,7 er Flächeninhalt der Giebelfläche beträgt,7 m. er Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 9 m ( vgl. Teilaufgabe a) ). Einnahmen im Monat: 9 8,0 = 7,0 Einnahmen im Jahr: 7,0 = 98,00 ie Jahreseinnahmen betragen 98. Seite, rechts reieck Seite Seite, links a) lle reiecke haben die gleiche Höhe. ie dazugehörige Seite ist bei den reiecken links und rechts gleich lang ( Kästchen lang), bei dem mittleren reieck ist sie um ein Kästchen länger. aher haben die reiecke links und rechts den gleichen Flächeninhalt. er Flächeninhalt des mittleren reiecks ist etwas größer. 7 a) =, =, cm a berechnen: = a h a, = a,, = a, :,, = a a =, cm Zeichnungen im Maßstab : as Produkt aus Seitenlänge und Höhe muss 8 = cm betragen. Mögliche Lösung: () c = cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN u =,7 + u = 8,7 cm b a h c = cm

6 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite () 9 a) Maßstab : 00 ( cm in der Zeichnung entspricht 00 cm = m in der Wirklichkeit.) b = = h c a,m c = 9cm,70m,0m 0,m u = 9, u =,8 cm () b h c =,cm a siehe Zeichnung in a) Man zeichnet eine Parallele zur odenlinie im bstand von,7 cm (also,7 m in der Wirklichkeit). ie Schnittpunkte der Parallele mit den Seiten des reiecks bilden die oberen Eckpunkte eines Rechtecks (vgl. Zeichnung). ieses Rechteck stellt den ereich dar, in dem Emma aufrecht stehen kann. c) Giebelfläche = Rechteck + reieck c = 8cm u =, +,7 + 8 u = 0, cm en kleinsten Umfang hat reieck (). Giebelfläche =,0 0, +,0 (, 0,) Giebelfläche =,0 er Flächeninhalt der Giebelfläche beträgt,0 m. 7 Im rechtwinkligen reieck stehen zwei Seiten senkrecht aufeinander. Wenn man für die erechnung des Flächeninhalts eine dieser Seiten wählt, dann ist die zweite Seite die zugehörige Höhe. Für die Flächeninhalte ergibt sich: reieck : reieck : reieck : = =,8 =,, = cm = 8, cm =,8 cm 8 ie rechteckige Flagge ist in Quadrate unterteilt. ie Seitenlänge eines Quadrats beträgt 0, m. lau = Gelb = Weiß = Grün =, = 0,7, = 0,7 0, = 0,7 0, = 0,7 en Flächeninhalt des roten Vierecks kann man berechnen, indem man vom Flächeninhalt des Rechtecks die Flächeninhalte der farbigen reiecke subtrahiert. rot =, 0,7 =, er Flächenbedarf der Farben lau, Gelb, Weiß und Grün beträgt jeweils 0,7 m. er Flächenbedarf von Rot beträgt, m. Parallelogramm Seite Seite Einstieg ÆÆ individuelle Lösung ÆÆ Individuelle Lösung ÆÆ ntje hat recht. Unabhängig von der Form des Parallelogramms hat das daraus gefaltete Rechteck immer den halben Flächeninhalt. Parallelogramm Seiten, 7 Seite a) = a h a u = a + b = 8 u = 8 + = cm u = cm = b h b u = a + b = 7, u = + 7 = 9, cm u = cm c) = b h b u = a + b =, u = 7, + = 9 cm u =7 cm d) = a h a u = a + b = u = + 8 = cm u = cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

7 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite a) Seite, links h a =,cm a) a = cm h b = b =,9cm = a h a =, = cm h a = a = cm = =,9,0 = cm =, cm h b =, Seite, rechts = b h b =,, =, cm b =, a) 9 8 a) = a h a = b h b 0 = h a : 8 = h b : 8 = h a = h b h a = 8 cm h b = cm a) =, =,, = 0 cm = 8,7 cm c) =, d) =,8, = 9, cm =, cm h a = cm a = cm b =,cm a) u = a + b u = +, = 7, er Umfang beträgt 7, cm. m einfachsten ist es, die Höhe h a einzuzeichnen und den Flächeninhalt mithilfe von a und h a zu berechnen. = a h a = = er Flächeninhalt beträgt cm. 7 h a = 7cm a = cm b = 7,cm = 7 u = + 7, = cm u = 0, cm h a = cm a =,cm = u = +, = cm u = 0,8 cm b =, 8 HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

8 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 7 c) 0 a =,cm h b = b = 9, = 9, u =, + 9, = 7, cm u =, cm Seite 7, links a) a = cm h a = cm b =,cm = u = +, = 7, cm u = 7, cm 7 h a = cm a = cm b =,7cm = u = +,7 = 9 cm u = 9, cm a) c) d) a 8 cm cm 7, cm,8 dm h a cm 9 cm cm, dm 0 cm dm cm 78, dm 7 Fehler bei der erechnung des Flächeninhalts : Statt eine Seitenlänge mit der Länge der zugehörigen Höhe zu multiplizieren, hat Jonas die zwei Seitenlängen des Parallelogramms miteinander multipliziert. Richtig ist: = = cm Fehler bei der erechnung des Umfangs u: Jonas hat vergessen, eine Klammer zu setzen. hne die Klammer wird nur eine Seitenlänge verdoppelt und nicht beide Seitenlängen. Richtig ist: u = ( +,) u =, cm 8 en Flächeninhalt der Rasenfläche erhält man, indem man vom Flächeninhalt der rechteckigen Fläche die Flächeninhalte der beiden Wege subtrahiert. Rasen = Rechteck Weg Rasen = Rasen = 0 m 0 = 000 Es werden 000 g = kg ünger benötigt. 9 Waldstück : Waldstück : = = = 000 m = m Waldstück : = = m er Flächeninhalt der Waldstücke und beträgt zusammen m. er Tausch ist nicht ganz fair, denn das Waldstück ist 000 m kleiner als die Waldstücke und zusammen. Seite 7, rechts Zeichnungen im Maßstab : a) h a =,cm a = cm b = cm 0 =, u = + =,9 cm u = cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

9 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 7 8 h a 0 a = 8cm b = = 8, u = 8 + = 0, cm u = cm c) b =,cm = 0 = cm a =,cm h a =, u =, +, u =, cm a) c) d) a, cm,0 cm 0,0 cm, dm b,0 cm 7,0 cm,0 cm 7,0 dm h a, cm, cm 0, cm 0,7 m h b,9 cm, cm,0 cm, dm u,0 cm,0 cm 0,0 cm 9, dm,7 cm, cm cm 9, dm 7 a) lle Vierecke haben den gleichen Flächeninhalt, denn eine ihrer Seiten ist jeweils gleich lang und die zugehörige Höhe ist ebenfalls gleich lang. Vergleich der Umfänge: as Rechteck in der Mitte hat den kleinsten Umfang, dann kommt das Parallelogramm links; den größten Umfang hat das Parallelogramm rechts. 8 a) Wenn die Länge einer Höhe verdoppelt wird, so verdoppelt sich auch der Flächeninhalt. er Umfang vergrößert sich zwar, verdoppelt sich aber nicht, da nicht alle Seitenlängen verdoppelt wurden. eim Umfang muss man sich klar machen, dass sich (bei gleichbleibendem Winkel α zwischen den Seiten a und die Länge der zweiten Seite b verdoppelt, wenn die Länge der Höhe h a verdoppelt wird. Eine Skizze erläutert den Sachverhalt: h a a h a ie Seitenlänge a bleibt jedoch unverändert, weshalb sich der Umfang nicht verdoppelt. b b b Wenn die Länge der Seite b halbiert wird, so halbiert sich auch der Flächeninhalt (solange der Winkel α zwischen a und b erhalten bleibt). egründung: Wenn der Winkel zwischen den Seiten a und b erhalten bleibt, halbiert sich auch die Höhe h a und damit der Flächeninhalt vgl. Skizze in a). er Umfang verkleinert sich, halbiert sich aber nicht. ie Überlegungen entsprechen Teilaufgabe a). 9 a) Flächeninhalt einer Glasscheibe: = 0,9 0,7 = 0,7 m Flächeninhalt aller drei Glasscheiben: 0,7 m =,0 m Kostenerhöhung um 0 %: W = 0 0 % W = 0 0,0 = Kosten pro Quadratmeter: 0 + = 8 Kosten insgesamt:,0 8 = 8, ie Kosten betragen 8,. benötigte Schienenlänge (in m): ( 0,9 + 0,87) = 0, Kosten: 0, =,88 ie Kosten für die Metallschienen betragen,88. EXTR: rachen und Raute Seite 8 Seite 8 a),8cm cm c),,cm,cm Rechnung zu a) =,cm cm,cm,cm,8cm cm u =, +,8 = cm Rechnung zu = u = 0, cm u =, +,8 = cm u =, cm 0 HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

10 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 8 9 Rechnung zu c) = u =, = cm u = 0 cm oder: a) ie iagonalen sind 0 cm und 70 cm lang. = 0 70 = 00 Es werden 00 cm Papier benötigt. ie Länge der umlaufenden Schnur entspricht dem Umfang des rachens. u = 8, +, = 88,8 ie Länge der Schnur beträgt 88,8 cm. a) c) d) e cm 8 cm cm, dm f 8 cm cm 9, cm 9 dm 8 cm cm 7 cm 0, m =, dm ie iagonale = e hat eine Länge von 8 cm. Es gilt: = e f = 8 f 8 = 8 f : 8 = f ie iagonale f = hat also eine Länge von cm. ußerdem muss sie senkrecht auf stehen. araus ergeben sich viele Möglichkeiten für die Punkte und, zum eispiel: ie Punkte und liegen also auf einer Parallele zur -chse; sie haben die Positionen ( ) und ( ), mit < <. a) ie Spieler, die auf der Linie stehen, haben eine Entfernung voneinander von etwa d, also ca.,0 m. ie zwei anderen Spieler sind etwas mehr als d = 8,0 m voneinander entfernt, also etwa 9 m. Möglicher Maßstab: : 00, d. h. cm in der Zeichnung entspricht 00 cm = m in der Wirklichkeit c) ie Seiten der Raute sind etwa m lang. u = = 8 Nach viermaligem Zuspielen hat der all eine Strecke von etwa 8 m zurückgelegt. Trapez Seite 9 Seite 9 Einstieg Æ Æ ie Trapeze sind Vierecke, bei denen zwei der gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander verlaufen. ie roten Trapeze sind achsensmmetrisch zur Mittelsenkrechten der beiden parallelen Seiten. HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

11 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 9 0 ÆÆ Noah hat die roten Trapeze so zusammengelegt: ÆÆ Mit den gelben Trapezen ist dies auch möglich. Es gibt zwei Möglichkeiten: = (a + c) h T = = cm c) ( + ) a = cm c = cm d h T =, c =,cm b a) = (a + c) h T u = a + b + c + d = ( + ) u = +, + +, = 0, cm u =,8 cm = (a + c) h T u = a + b + c + d = = cm ( + ) u = +, + +, u = 0, cm c) = (a + c) h T u = a + b + c + d = ( + ), u = +, + +,9 = 7, cm u =, cm d) = (a + c) h T u = a + b + c + d = (, +,) u =, +, +, + = 0, cm u =, cm Trapez Seiten 0, Seite 0 a) c = cm = (a + c) h T = = 9 cm ( +,), a) = (a + c) h T 0 = (9 + ) h T 0 = 7, h T : 7, 8 = h T h T = 8 cm = (a + c) h T 8 = ( + ) h T 8 = 0 h T : 0 8, = h T h T = 8, cm a) = (a + c) h T = (a + c) h T = (8 + ) = (, + 0,) 7 = 0 cm = 9, cm c = cm d h T = b d = cm h T = b =,cm a = 7cm a = 8cm = (a + c) h T = = 0 cm (7 + ) d = cm a) u = a + b + c + d u = 8 +, + + = 0, er Umfang beträgt 0, cm. = (a + c) h T = (8 + ) = er Flächeninhalt beträgt cm. a = h T = cm c = cm b HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

12 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 0 Seite 0, links a) c = cm = (,9 +,), = 8,7 cm u =,9 +, +, +, u = cm d =,cm h T = cm b =,cm Seite 0, rechts a) = ( + ) = 9 cm u = +, + +, u =, cm a = c = cm a = cm h T = 7cm d = 7,cm b = 7,cm 7 8 = d =, ( + ) = cm u = + + +, u =, cm c) a = b =, b = h T = cm = a = 0cm (0 + ) 7 u = 0 + 7, + + 7, =, cm d =,cm 0 u = 0, cm c =,cm 9 8 h T =,cm 7 c = cm h T = cm a = cm a =,cm b = 7cm = ( + ) = cm u = +, + +,9 u =, cm d) d =,9cm = (, +,), =, cm u =, + 7 +, +, u = 8,8 cm c =,cm b =,cm h T =,cm d =,cm a =,9cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

13 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 0 c) c = d = h T = cm a = 7cm b =,7cm = (7 + ) u = 7 +,7 + + = cm u =,7 cm a) c) d) a 7 cm 7, cm, cm, m c cm 0, cm 9, cm, m h T, cm, cm 8 cm 8, m cm 9, cm 88 cm 7, m eispielrechnung für Teilaufgabe c) = (a + c) h T 88 = (a + 9,) 8 88 = (a + 9,) : = a + 9, 9,, = a Seite, links a) c) d) a cm cm cm 0, m c 7 cm 0 cm 9 cm, m h T cm cm cm 8, m 0 cm cm cm 8 m Mila hat nicht die Längen der parallelen Seiten addiert. Statt der Höhe hat sie die Länge der längeren Parallelen mit der Summe multipliziert. Finn hat die richtigen Seitenlängen addiert, aber als Höhe die Seite genommen, die nicht senkrecht zu den zwei parallelen Seiten steht. Richtig ist: a = cm; c = cm; h T = cm = ( + ) =, cm 7 Flächeninhalt der Querschnittsfläche: a = m; c = 90 m; h T = m = ( + 90) = 8 ie Querschnittsfläche ist 8 m groß. 8 Flächeninhalt einer Sitzfläche: a = 0 cm = 0, m; c = cm = 0, m; h T = 8 cm = 0,8 m = (0, + 0,) 0,8 = 0,0 m Sitzfläche der gesamten ank: 0,0 m = 0,8 m Materialkosten: 0,8 80 8, ie Materialkosten für die Polsterauflagen betragen 8,. Seite, rechts a) d 0 7 a = 8cm c h T b = cm der Zeichnung entnommene Maße: c = cm; d =,7 cm; h T =,8 cm = (8 + ),8 u = ,7 =,9 cm u =,7 cm d c h T = a = 8cm der Zeichnung entnommene Maße: c =, cm; b = d =, cm = (8 +,) u = 8 +, +, +, =, cm u =,0 cm c) c = cm d = cm 0 h T a = 9cm der Zeichnung entnommene Maße: b = cm; h T =, cm = (9 + ), u = =, cm u = cm b b HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

14 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 7 lle Trapeze haben die gleiche Höhe (8 Kästchen). Entsprechend vergleicht man die Summe der Längen der Parallelen. linkes Trapez: + = 0 Kästchen mittleres Trapez: + 7 = 0 Kästchen rechtes Trapez: 8 + = Kästchen us dem Vergleich der Summen ergibt sich: as linke und das mittlere Trapez haben den gleichen Flächeninhalt. as Trapez rechts hat einen etwas größeren Flächeninhalt. 8 a) Wenn sich die Höhe verdoppelt, verdoppelt sich auch der Flächeninhalt. er Umfang wird größer, da die zwei nicht-parallelen Seiten des Trapezes länger werden, verdoppelt sich aber nicht, da die Längen der Seiten a und c bleiben gleich. Wenn sich die Höhe halbiert, halbiert sich der Flächeninhalt des Trapezes. er Umfang wird kleiner, halbiert sich aber nicht ( vgl. auch Teilaufgabe a) ). c) Wenn sich die Längen der parallelen Seiten verdoppeln, so verdoppelt sich auch der Flächeninhalt. er Umfang vergrößert sich, verdoppelt sich aber nicht, denn die Längen der beiden anderen Seiten bleiben gleich. d) Wenn sich die Längen der parallelen Seiten und die Höhe verdoppeln, so vervierfacht sich der Flächeninhalt. er Umfang verdoppelt sich unter der Voraussetzung, dass die Winkel des Trapezes gleich bleiben. urch die Verdoppelung der Höhe verdoppeln sich auch die Längen der nicht parallelen Seiten. amit verdoppeln sich alle Seiten des Trapezes, der Umfang wird also doppelt so groß. 9 Parallelogramm = 7, = 0 a beide Grundstücke den gleichen Flächeninhalt haben, beträgt der Flächeninhalt des Trapezes 0 m. 0 = ( + ) h T 0 = 7, h T : 7, = h T as trapezförmige Grundstück hat eine Höhe von m. 0 ie Giebelwand besteht aus zwei Trapezen. Flächeninhalt des linken Trapezes: = (, + (, +, +,) ) = (, +,0) = 0, Flächeninhalt des rechten Trapezes: = ( (, +, +,) +, ) = 0,7 Flächeninhalt der gesamten Fläche: = 0, + 0,7 =,9 m m benötigte Menge Farbe in ø: : = 7 Hier wurde die größere ngabe verwendet, also ø Farbe für m Wandfläche. ei der nzahl der Eimer sollte man großzügig aufrunden um sicherzustellen, dass die Farbe ausreicht. 7 ø :, ø =, Man braucht Eimer Farbe. 89,0 = 7,0 ie Farbe zum Streichen der Giebelwand kostet 7,0. EXTR: Formeln durch Falten Seite Seite a) Individuelle Lösung Individuelle usführung Individuelle usführung m = (9 + ) m =, cm er Flächeninhalt des Trapezes ist doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks. Trapez = Rechteck Trapez =,, Trapez =, Trapez =, cm a) Es entsteht ein Rechteck. er Flächeninhalt des Parallelogramms ist doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks. c) ie Seite a findet man bei der Länge des Rechtecks (in der Grafik als waagrechte Seite); _ diese Seite hat die Länge a. ie Höhe h a ist die reite des Rechtecks (in der Grafik als senkrechte Seite). d) Für die gefaltete Figur gilt: a_ Rechteck = ha as Trapez hat einen doppelt so großen Flächeninhalt. lso ist: Parallelogramm = Rechteck Parallelogramm = a _ ha Parallelogramm = a ha HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

15 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite a) as reieck wird zunächst zu einem Trapez und das Trapez zu einem Rechteck gefaltet. m Ende entsteht also ein Rechteck. er Flächeninhalt des reiecks ist doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks. Für das Rechteck gilt: Länge: 0 cm = cm Höhe: cm = cm Rechteck = Rechteck = cm araus folgt: reieck = Rechteck reieck = 0 cm c) er Flächeninhalt des reiecks ist das oppelte des Flächeninhalts eines Rechtecks, mit halb so großer Länge und halb so großer Höhe wie das reieck. reieck = c h c reieck = c h c reieck = c h c as reieck kann ebenfalls gefaltet werden. Man wählt diejenige Seite, die dem stumpfen Winkel gegenüber liegt. Parallel zu dieser Seite wird die Faltungslinie gezogen. nschließend macht man genauso weiter wie in ufgabe. Vielecke Seite Seite Einstieg ÆÆ Es gibt kleine stumpfwinklige reiecke (gel, große rechtwinklige reiecke (blau), gleichseitige reiecke (rot), ein smmetrisches Trapez (grün), ein Rechteck (orange) und eine Raute (lila). ÆÆ Vielecke Seiten, Seite 9 ie Fläche besteht aus zwei rechtwinkligen reiecken ( und ) und einem Trapez ( ). = = = 9 = 7, ( + ) = = = 7, + + =, er Flächeninhalt beträgt, cm. 9 E, 7, 9, ie Fläche besteht aus einem reieck ( ), einem Trapez ( ) und einem rechtwinkligen reieck ( ). = = = (9 +) 7, = 8, (, + 9,) = 9, 9, = 0,7 = 8, + 9, + 0,7 = 9,7 er Flächeninhalt beträgt 9,7 cm. c) ie Figur ist ein regelmäßiges Sechseck, besteht daher aus sechs gleichseitigen reiecken. reieck = 0, =, =, = 7, er Flächeninhalt beträgt 7, cm. HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

16 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite a) () ie Figur wurde in zwei rechtwinklige reiecke und ein Rechteck zerlegt. () = 7 = 0, = 7,, =, = 0, +, =,8 er Flächeninhalt beträgt,8 cm. c) Individuelle Lösungen ie Zerlegungen in () und () sind vorteilhaft, weil die Zerlegungslinien entlang der Gitterlinien verlaufen. So können die notwendigen Seitenlängen genau gemessen bzw. direkt abgelesen werden. as sieht man auch bei den Ergebnissen: das Ergebnis in () weicht von den beiden anderen Ergebnissen ab. ußerdem muss man in () die Figur zeichnen um notwendige Maße ermitteln zu können. a) ie Figur kann zum eispiel in ein Rechteck und ein Trapez zerlegt werden.,8cm cm cm ie Figur wurde in ein Trapez und ein reieck (alternativ: in ein Trapez und zwei rechtwinklige reiecke) zerlegt. () = = 0 = ( + ) = 8 cm = = 8 u = + + +,8 + =,8 er Flächeninhalt beträgt 8 cm. er Umfang beträgt,8 cm. ie Figur kann in zwei gleich große Parallelogramme zerlegt werden. F ie Figur wurde in zwei reiecke (alternativ: in drei reiecke) zerlegt. () = = = = 9 = = = = 7 er Flächeninhalt beträgt 7 cm. () = = (7 +,) = 8,7, = 8, = 8,7 + 8, = 7 er Flächeninhalt beträgt 7 cm. () ei dieser Zerlegung muss man die Figur zeichnen, um im reieck die Länge der Seite c und die zugehörige Höhe bestimmen zu können. E,8cm,cm =,, = 8,7 = = 8,7 = 7, u =,8 +, = 0, er Flächeninhalt beträgt 7, cm. er Umfang beträgt 0, cm. Trapez = (0 + ) = 7 reieck = 9 = Figur = 7 + = 0 er Flächeninhalt der Figur beträgt 0 cm. HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

17 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite Mögliche Zerlegung: reieck und Trapez E E cm Emres erechnung: Um die fehlenden Längen zu ermitteln, muss man die Figur zeichnen.,7cm,7cm 8cm,,8cm cm,cm 9,8cm reieck = 8 = Trapez = (8 + ) = Figur = + = er Flächeninhalt der Figur beträgt cm. u =,8 +, +,7 + +,7 =, er Umfang der Figur beträgt, cm. Seite, links a) ie Figur kann in ein reieck und ein Parallelogramm zerlegt werden. =, =, =, = 7, =, + 7, = 9,7 er Flächeninhalt beträgt 9,7 cm. ie Figur kann in zwei Trapeze zerlegt werden. = ( + ), =, = ( + ), = =, + = 9, = = 9,8, =, cm,7m ( + 9,8),7 =,0 =, +,0 =,9 er Flächeninhalt beträgt,9 cm. a Messungen grundsätzlich etwas ungenau sind, weicht Emres Ergebnis ein wenig von Lenas Ergebnis ab. Hinzu kommt, dass Emres Weg aufwändiger ist. ie sechseckige Fläche besteht aus insgesamt acht trapezförmigen Tischen. Trapez = (, + 0,7) 0, 0,7 Sechseck = Trapez = 0,7, Es werden etwa, m Folie benötigt. 7 a) ie Fläche der Giebelwand kann in ein reieck, ein Rechteck und ein Trapez zerlegt werden. m 8m er Flächeninhalt beträgt 9, cm. a) Lenas Zerlegung: ie Teilflächen sind fünf kongruente gleichschenklige reiecke. Emres Zerlegung: ie Teilflächen sind ein (smmetrisches) Trapez und ein gleichschenkliges reieck. Lenas erechnung: reieck =, =, = reieck =, =, er Flächeninhalt beträgt, cm. m = 8 = 0 = 8 = = 8m m m ( + ) = 7, m = , = 9. er Flächeninhalt der Giebelwand beträgt etwa 70 m. benötigte Farbe (in l): 70 : 7 = 0 8 HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

18 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite Es werden etwa 0 l Farbe, also Eimer Farbe benötigt.,7 =,0 ie Kosten für die Farbe betragen,0. Seite, rechts a) Figur links Zerlegen in ein Trapez und ein Rechteck cm = ( + ) = 7 cm = = cm cm = 7 + = = = Quadrat er Flächeninhalt beträgt cm. Ergänzen zu einem Quadrat Man kann den Flächeninhalt der Figur berechnen, indem man vom Flächeninhalt des Quadrats den Flächeninhalt des reiecks subtrahiert. cm cm cm = = = = cm cm er Flächeninhalt beträgt cm. Figur rechts Zerlegen in ein Parallelogramm und ein Trapez = = 8cm cm = (8 + ) = 8 = + 8 = er Flächeninhalt beträgt cm. Ergänzen zu einem Rechteck Man kann den Flächeninhalt der Figur berechnen, indem man vom Flächeninhalt des Rechtecks den Flächeninhalt der reiecke und subtrahiert. Rechteck = 8 7 = 8cm cm er Flächeninhalt beträgt cm. individuelle Lösungen = = 8 = 7 = = 8 = a) Mögliche Zerlegung: 9 8 7,cm cm,cm E cm erechnung des Flächeninhalts: = = = ( + ) = 0 = = = 8 = = = er Flächeninhalt beträgt cm. erechnung des Umfangs: u =, +, +, + + =, er Umfang beträgt, cm. Mögliche Zerlegung:,8cm E cm,cm,cm ,cm erechnung des Flächeninhalts: = ( + ) =, = = = 0 = 0 =, = 7, er Flächeninhalt beträgt 7, cm. erechnung des Umfangs: u = +, +,8 +,8 + +, = 7, er Umfang beträgt 7, cm.,8cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

19 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 7 a) Möglicher Lösungsweg: Man ergänzt das Sechseck zum Rechteck. m,9m m asistraining Seite 7 Seite 7 Individuelle Lösungen as abgebildete Rechteck links ist Nagelquadrate groß, das reieck rechts ist genauso groß.,9m Vom Flächeninhalt des Rechtsecks subtrahiert man den Flächeninhalt der vier kongruenten reiecke. Rechteck =,9 =, reieck =,9 =,9 =,,9 =,8 ie sechseckige Grundfläche des Wohnhauses ist,8 m groß. Wohnzimmer Schlafzimmer (Parallelogramm): = 8 = (Trapez): (8 +,), = m = 8, m Stauraum (reieck): ad (Trapez): =, = ( +,) = 8,7 m = 8,7 m 7 as regelmäßige chteck besteht aus acht gleichschenkligen reiecken. ie Höhe des reiecks entspricht dem bstand des esuchers vom Kristall. Es genügt, ein reieck nach WSW zu konstruieren. Länge der asis: m (da das gesamte bsperrband 8 m lang ist und das chteck 8 gleich lange Seiten hat) Größe eines asiswinkels: (80 ) : = 7, möglicher Maßstab : ( cm in der Zeichnung entspricht cm in der Wirklichkeit) gemessene Höhe:,8 cm; das sind in der Wirklichkeit,8 = 0 cm =,0 m. 7, 7, er esucher ist also mindestens,0 m vom Kristall entfernt. a) c) d) a 9 cm 8 cm, cm cm b cm, cm cm 8, cm u 8 cm 9 cm cm cm cm cm cm 9 cm a) c) d) c cm 9, cm 8 cm cm h c cm 8 cm, cm 9 cm cm,8 cm cm 7 cm a) = 8 u = = cm u = 8 cm = 9 8 u = = cm c) = u = cm u = = cm c) b =,cm u = cm a = 7,cm a) h a =,cm c = 8cm c = 8,cm h a = cm b = 7,cm b =, h c = cm a = 7,cm c =,8cm c = 7cm a) = = 7, cm = = 0 cm c) = =,9 cm 7 u = 7, +, + 7 u = 9, cm 8 u = 8 + 7, +,8 u = 0,9 cm 7,, u = 7, +, + 8, u =,7 cm 0 HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

20 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 7 8 Mögliche Lösungen a) = = 8 cm 9 a) c) d) a 8 cm cm 0, cm cm b cm 8, cm 7 cm 9 cm h a, cm,8 cm cm 7, cm h b 7, cm cm 9 cm 0 cm, cm cm cm 90 cm = = cm c) = =,8 cm,,,cm,cm cm 7 Individuelle Lösungen lle reiecke mit Grundseite c = cm und Höhe h c = cm haben den gleichen Flächeninhalt. Es gilt: = = 0 cm ie reiecke haben nicht den gleichen Umfang. en kleinstmöglichen Umfang hat das gleichschenklige reieck. Sein Umfang beträgt, cm a) h a = c) a = h a =,9cm a = 7,cm b =,cm a = cm b = cm a) = u = +, = cm u = 7 cm = u = +,7 = 8 cm u = 9, cm c) = 7,,9 u = 7, + =,79 cm u =, cm h a = cm b =,7cm h c c = cm 8 a) kleines Parallelogramm: = = Nagelquadrate großes Parallelogramm: = = 8 Nagelquadrate a) smmetrisches Trapez = ( + ) = 9 Nagelquadrate Trapez mit rechtem Winkel: = ( + ) = 8 Nagelquadrate asistraining Seite 8 Seite 8 Vorüberlegungen zum Umfang der drei Figuren: as Geodreieck ist ein gleichschenkliges reieck, daher haben beide Schenkel die gleiche Seitenlänge a, die Grundseite hat die Seitenlänge b. amit ergibt sich für die drei Figuren: Figur oben links u = (a + a) + b + b = a + b Figur oben rechts u = a Figur unten u = a + b + a + b = a + b Nur zwei der Figuren haben den gleichen Umfang, Leon hat also nicht recht. HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

21 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 8 a) h a a =, = =,, = cm =,9 cm a) c) d) a 7 cm cm cm 8 dm c cm 0 cm 9 cm dm h T cm, cm 8 cm, dm cm cm cm 7, dm a) = (, +,) = 9 cm u =, +, +, +, u =,8 cm = ( + ), =, cm u = +,9 + +,9 u =,8 cm,cm cm h a a cm,cm,cm,9cm,cm,cm cm 9cm 0 cm cm 9 8,cm 8 7,cm 0cm 7 0cm cm 7,cm cm cm 8cm a) = = 0 cm = = cm c) = = cm (8 + ) u = u = 0 cm (0 + ) u = 0 + 8, + + u =, cm (0 + ) 7, u = 0 + 7, a) Mögliche Zerlegung: m u =, cm,9cm m m c) = ( +,),9 0,88 cm u = + +, +, u =, cm,cm cm,9cm,cm cm m m m = = = = = = = + + = er Flächeninhalt der Gartenterrasse beträgt m. 9 = 8 ie Kosten betragen 8,00. 7 a) reieck = 8 = Parallelogramm = 8 = = + = er Flächeninhalt der Figur beträgt cm. HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

22 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 8 9 reieck = Trapez = 0 = 0 (0 + 0) 8,7 = 0, = 0 + 0, = 0, er Flächeninhalt der Figur beträgt 0, cm. 8 a) Mögliche Zerlegung: =,cm, =, =, = 0,cm,cm =, + 0 =, er Flächeninhalt beträgt, cm. u = +, +, +, +, = er Umfang beträgt cm. = cm ( + ) =,cm cm,cm,cm = = = + = 9 er Flächeninhalt beträgt 9 cm. u = +, + +, +, + =, er Umfang beträgt, cm.,cm cm nwenden. Nachdenken Seite 9 Seite 9 9 a) Figur : Figur : = 8 = = cm = cm Figur : Figur : = 8 = ( + ) = cm = cm lle Figuren haben den gleichen Flächeninhalt. Figur : Figur : u = 8 +,7 +,7 u = ( +,7) u = 9, cm u = 9, cm Figur : Figur : u =, u = +,7 + + u = 8 cm u = 7,7 cm en kleinsten Umfang hat Figur. 0 a) Wenn man die Länge einer Seite verdoppelt, dann verdoppelt sich der Flächeninhalt des Rechtecks. Wenn man die Länge und die reite verdoppelt, dann vervierfacht sich der Flächeninhalt des Rechtecks. c) Wenn man die Länge halbiert und die reite verdoppelt, dann bleibt der Flächeninhalt des Rechtecks gleich. a) Vorgehensweise: Es ist c = = 0 cm. erechnung der Länge der Höhe: = c h c h c c 7 = 0 h c 0 = 0 h c : 0 = h c ie Länge der Höhe beträgt cm. araus ergibt sich der Punkt ( ). HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

23 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 9 h c c = 0cm reieck : reieck : reieck : u = + 7, + u = + + u = +, + 8,9 u = 7, cm u = cm u = 9, cm Elias hat recht. as gleichschenklige reieck hat den kleinsten Umfang. Zeichnungen im Maßstab : a) Es ist c = = 0 cm. Entsprechend a) erhält man h c = cm. liegt auf einer Parallelen zu im bstand von cm. ußerdem befindet sich auf der Geraden = 8, da seine -Koordinate gleich 8 ist. araus ergibt sich der Punkt (8 ). c) 0 9 a = h b c = cm =, =, cm h b = cm a =,cm a = cm 8 b = 0cm 7 h c = cm 7 Es ist b = = 0 cm. araus folgt h b = cm. ie Konstruktion erfolgt wie in. liegt auf einer Parallelen zu im bstand von cm. ußerdem befindet sich auf der Geraden = 7, da seine -Koordinate gleich 7 ist. araus ergibt sich der Punkt (7 7). a) = = er Flächeninhalt beträgt cm. lle reiecke haben den gleichen Flächeninhalt, da die Seite c und die zugehörige Höhe bei allen reiecken gleich sind. c = 7cm = 7 = 7, cm c) a = cm = =, cm b = cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

24 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 9 0 a) Flagge von Kongo: Grüne Fläche: Quadrat + halbe Quadrate = Quadrate Gelbe Fläche: halbe Quadrate = Quadrate Rote Fläche: Quadrat + halbe Quadrate = Quadrate dam hat recht: lle drei Farben in der Flagge haben den gleichen Flächenanteil (Hinweis: Statt Quadrate zu zählen, kann man auch die Flächeninhalte berechnen.) ie rote und die weiße Farbfläche bilden je zwei gleich große Trapeze, die blaue Farbfläche bildet ein gleichschenkliges reieck. Es gilt: Rot = Weiß = ( +,) =, lau =, =, ie rote und die weiße Fläche sind je, m groß, die blau Fläche ist, cm groß. as eingezeichnet Trapez hat eine Fläche von = ( + ) = cm, das gesamte Parallelogramm eine Fläche von 9 = cm. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Teilungslinie zu ziehen: des Parallelogramms ist immer länger als die Seite b des Rechtecks, da sie nicht senkrecht auf a steht. nwenden. Nachdenken Seite 0, Seite 0 7 a) Man bestimmt die Länge der Grundseite und die Höhe des Parallelogramms. Grundseite =, cm; Höhe =,9 cm cm in der Zeichnung entspricht cm = 7000 m = 7 km in der Wirklichkeit. lso lauten die Maße in der Wirklichkeit: Grundseite = 0,8 km; Höhe = 0, km = 0,8 0, km ie ngabe des Reiseführers ist also passend. Mögliche Lösung: er Flächeninhalt kann mithilfe eines reiecks abgeschätzt werden. Santa ruz de Tenerife La rotava Teneriffa Los ristianos Maßstab : In beiden Fällen entstehen ein Trapez und ein Parallelogramm. lle Teilflächen haben eine Größe von cm. Tina hat recht. Folgende Figur verdeutlicht die Situation: a b = h a ie Seite a ist die gemeinsame Grundseite des Rechtecks und des Parallelogramms. ie Seite b des Rechtecks ist gleichzeitig die Höhe des Parallelogramms. ie Seite b b Grundseite =, cm; Höhe =, cm cm in der Zeichnung entspricht cm = 000 m = km in der Wirklichkeit. lso lauten die Maße in der Wirklichkeit: Grundseite = 79, km; Höhe =, km = 79,, 0 km ie Fläche von Teneriffa wird mit 0 km angegeben. lso passt die Schätzung nur ungefähr. 8 Gesucht ist der bstand zwischen Feldweg und Waldstück, also die Höhe h T des Trapezes. Es gilt: = ( ) h T = 00 h T Um die Höhe zu bestimmen, muss man also zuerst den Flächeninhalt bestimmen. : 7 = 8,9 HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

25 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 0 9 a) Landwirt bezahlt Pacht für 8,9 Hektar (ha) ckerland. ha = m ; die Fläche ist also 8, = m groß. amit gilt: = 00 h T : 00 7 = h T er bstand zwischen Feldweg und Waldstück beträgt 7 m h T = cm a = 8cm Lösungsweg: Es gilt a = = 8 cm und h T = cm. Gesucht ist die Länge der Seite c = des Trapezes. = (a + c) h T = (8 + c) 90 = (8 + c) : 8 = 8 + c 8 0 = c befindet sich also auf der -chse, links von und der bstand zu beträgt 0 cm. araus folgt: ( 0) a = 0cm h T = cm Lösungsweg: gemessen: a = = 0 cm und h T = cm Gesucht ist die Länge c = des Trapezes. = (0 + c) 90 = (0 + c) : = 0 + c 0 = c befindet sich also auf einer Parallele zu, rechts von und der bstand zu beträgt cm. araus folgt: (0 7). c) 8 7 c =,8cm h T = 7,cm Lösungsweg: gemessen: c = =,8 cm und h T = 7, cm Gesucht ist die Länge a = des Trapezes. = (a +,8) 7, 90 = (a +,8) 7, : 7,,7 = a +,8,8 9,9 = a befindet sich also auf einer Parallele zu, links von und der bstand zu beträgt 9,9 cm. araus folgt: ( ). 0 a) Hinweis: Im ersten ruck des Schülerbuchs ist die Länge der langen Tischseite nicht angegeben. ie lange Seite des Tisches ist 0,0 m =,0 m lang. as kann man sich leicht klar machen: as Trapez ist die Hälfte eines regelmäßigen Sechsecks. as Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen reiecken: HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

26 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite 0 a) 0,0m 0,0m 0,0m,0m erechnung des Flächeninhalts eines trapezförmigen Tisches: = (0 + 0) = 8 cm In der Gruppe sitzen an zwei Tischen insgesamt sechs Schüler. (8 ) : = In der Gruppe sitzen an vier Tischen insgesamt zehn Schüler. (8 ) : 0 87 In der Gruppe beträgt die rbeitsfläche pro Schüler cm, in der Gruppe ungefähr 87 cm. individuelle Lösungen H G E Q Vergleich der Flächeninhalte des Trapezes und der Raute EFGH: Trapez = Trapez = cm (9 + ) ie Raute kann man in zwei gleichschenklige reiecke zerlegen und dann den Flächeninhalt berechnen. Raute = EG QF Raute = Raute = cm er Flächeninhalt der Raute ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Trapezes. Vergleich der Flächeninhalte der Raute EFGH und des Rechtecks MNP: Rechteck = Rechteck = cm er Flächeninhalt des Rechtecks ist halb so groß wie der Flächeninhalt der Raute. Mila hat also recht. F Um die Umfänge zu bestimmen, muss man die Figur ins Heft übertragen und die Längen der Seiten messen. u Trapez = u Trapez = cm u Raute =, u Raute =, cm u Rechteck = ( + ) u Rechteck = 0 cm Nein, die Umfänge der Figuren halbieren sich nicht. Seite Um den Wasserdurchfluss zu verdoppeln, muss der Flächeninhalt des Querschnitts verdoppelt werden. a die reite des Wasserspiegels und der Sohle gleich bleiben, muss die Wassertiefe verdoppelt werden. Neue Tiefe: 0,0 m =,0 m Probe: alt = neu = (,0 +,00) 0,0 =, (,0 +,00),0 =,0 Nach der Maßnahme ist der ach,0 m tief. er Flächeninhalt des Querschnitts hat sich verdoppelt auf,0 m. a) Lea ergänzt die Figur zu einem Trapez (s. unten). Sie erhält sie den Flächeninhalt der Figur, indem sie von der Trapezfläche den Flächeninhalt des ergänzten reiecks subtrahiert. Figur () = Trapez reieck = ( + ) =, =, cm Figur () ie Figur kann zu einem Parallelogramm ergänzt werden. = Parallelogramm reieck = = = 9 cm HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

27 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite E,cm cm 0cm 0cm ie reiecke und E überschneiden sich um das reieck. aher gilt für den Flächeninhalt des Fünfecks E: E = + E E = , E = E = 7 cm er Flächeninhalt des Fünfecks beträgt 7 cm. a) Individuelle Versuche us den Teilen kann diese Figur gelegt werden: cm 0cm 0cm cm llerdings scheinen die Teile nicht so gut zusammen zu passen: Man schafft es nicht richtig, die Linien in der Mitte zu einer iagonale zusammenzulegen. Wenn man die Figuren auf Karopapier nachzeichnet, stellt man fest, dass es in der Mitte Überlappungen gibt. 0cm cm cm h 8cm 80cm 0cm ie orange Sprungfläche ist ein regelmäßiges Sechseck. ieses besteht aus gleichseitigen reiecken. Höhe eines solchen reiecks (in cm): h = (0 0) : = 0 Flächeninhalt der Sprungfläche: = reieck = 8 0 = 8700 cm Flächeninhalt der blauen ußenfläche ie ußenfläche besteht aus gleich großen Trapezen. = Trapez = (80 + 8) 0 = 880 cm ie Flächen sind ähnlich groß, wobei die Sprungfläche ist etwas größer. 7 Man konstruiert vom Fünfeck und vom Sechseck jeweils ein reieck. Man entnimmt der Zeichnung die Höhe und kann somit den Flächeninhalt des Fünfecks bzw. Sechsecks bestimmen.. reieck des Fünfecks: cm h a =,cm cm 0cm Mia hat die Flächeninhalte berechnet und dabei festgestellt, dass sie unterschiedlich groß sind. Quadrat = 0 Rechteck = Quadrat = 00 cm Rechteck = 9 cm as Rechteck ist um cm kleiner als das Quadrat. as erklärt auch die Überlappungen, die entstehen, wenn man versucht, die einzelnen Teile zum Rechteck zusammenzulegen. a =,cm 8 HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN

28 Umfang und Flächeninhalt Schülerbuchseite. reieck des Sechsecks: a =,cm h a =,0cm 0 0 Flächeninhalt des Fünfecks: = reieck Flächeninhalt des Sechsecks: = reieck =,, =,,0 =,8 cm =, cm Flächeninhalt des Fußballs: =,8 + 0, =, cm Materialbedarf:, +, 0, = 700, er Materialbedarf beträgt etwa 700 cm = 7 dm. HTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende -dresse senden: SchnittpunktW@klett.de ie Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISN