W. Schäfer/K. Georgi. Mathematik-Vorkurs

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1 W. Schäfer/K. Georgi Mathematik-Vorkurs

2 Mathematik Vorkurs Übungs- und Arbeitsbuch tür Studienantänger Von Prof. Dr. rer. nat. habil. Wolfgang Schäfer und Oberstudienrat Kurt Georgi unter Mitarbeit von Prof. Dr. rer. nat. Christa atto Studienrat Rolf Schroedter Dr. rer. nat. habil. Gisela Trippier Dr. oec. Dieter Winkel mann 2., durchgesehene Auflage B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart. Leipzig 1994

3 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Schäler, WoIIg8ng: Mathematik-Vorkurs : Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger I von Wolfgang Schäfer und Kurt Georgi. Unter Mitarb. von Christa Otto , durchges. Aufl. - Stuttgart ; Leipzig: Teubner, 1994 ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: Georgi, Kurt: Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1993 Umschlaggestaltung: E. Kretschmer, Leipzig

4 Vorwort Das vorliegende Übungs- und Arbeitsbuch dient der Vorbereitung auf die Mathematik-Grundausbildung an Hochschulen im weitesten Sinne. Dabei stehen natur-, ingenieur- und wirtschaftswissenschaftliche Studiengänge im Mittelpunkt. Es wendet sich sowohl an jene Leser, die sich frühzeitig entschlossen haben, ein mathematikintensives Studium zu beginnen, als auch an alle, die schon studieren und nun merken, was ihnen an Mathematikkenntnissen noch fehlt, und die das Fehlende möglichst schnell nachholen wollen. Das Buch beinhaltet alle wesentlichen Stoff gebiete, die auch in den Mathematikprüfungen zum Abitur und zu anderen Formen der Hochschulreife von Bedeutung sind. Da es in Deutschland kein "Einheitsabitur" gibt, sind die Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten im Fach Mathematik sogar bei Studienanfängern formal gleicher Bildungswege extrem unterschiedlich und nicht selten zu gering. Die Mathematikausbildung orientiert sich dann meist an einem "mittleren" Studenten. Die Folge sind außerordentliche Schwierigkeiten bei einem beträchtlichen Teil der Studienanfänger, und das nicht nur im Fach Mathematik, sondern auch in anderen Grundlagenfächem. Oft ist das Scheitern eines Hochschulstudiums auf diese Anfangsschwierigkeiten zurückzufiihren, während gute Mathematik-Vorkenntnisse fiir den Erfolg des Studiums und sogar fiir den beruflichen Erfolg entscheidend sein können. Die Autoren kennen diese Probleme von beiden Seiten: aus der Sicht der Mathematik Grundausbildung an Hochschulen und aus der Sicht der Vorbereitung auf das Hochschulstudium. Dabei haben sie auch jahrelang mit verschiedenen von ihnen entwickelten Lehrmaterialien Erfahrungen sammeln können. Trotz großer Bemühungen war es aus Papiermangel fiüher leider nicht möglich, diese erprobten und erfolgreichen Lehrmaterialien zu einem Buch zu verdichten. Das geschieht nun im vereinigten Teubner-Verlag Stuttgart Leipzig. Den ersten Abschnitten sind nur kurze theoretische Einfiihrungen vorangestellt, den späteren längere. Letzteres gilt vor allem fiir die Abschnitte 15-21, die dann schon Lehrbuchcharakter tragen. Jeder Abschnitt enthält eine Reihe instruktiver Lehrbeispiele (gelöste Musteraufgaben) und vor allem viele Aufgaben nebst Lösungen zum eigenständigen Üben. Somit kann der Leser überprüfen, ob er die einzelnen Teilgebiete wirklich schon in genügendem Maße beherrscht. Die Frage, welche Abschnitte besonders wichtig sind, vor allem wenn man aus Zeitgründen eine Auswahl treffen muß, ist natürlich schwer zu beantworten. Aber die folgende Regel dürfte der Wahrheit nahekommen: Die Abschnitte 1-4, 6 und 16 sind von fundamentaler Bedeutung, denn oft versteht man die "höhere" Mathematik recht gut, kann aber die gestellten Aufgaben nicht lö-

5 6 Vorwort sen, weil man die elementarsten Umfonnungen nicht beherrscht. An den Hochschulen werden aber auch Kenntnisse vorausgesetzt, die über die Elementarmathematik hinausgehen. Dringend zu empfehlen sind daher rur die lineare Algebra und die analytische Geometrie die Abschnitte 11 und 17 und fiir die Analysis die Abschnitte 20 und 21, wobei man teilweise auf die Abschnitte 15, 18 und 19 zurückgreifen muß. Die Autoren möchten sich bei der B. G. Teubner Verlagsgesellschaft sehr herzlich dafiir bedanken, daß dieses schon lange geplante Buch nun erscheinen kann. Ihr besonderer Dank gilt den Herren Dr. P. Spuhler und J. Weiß rur ihr persönliches Engagement, ohne das die Herausgabe so schnell nicht möglich gewesen wäre. Herrn H. Rößler danken wir rur die Mitarbeit bei der Herstellung der reproduktionsfähigen Druckvorlage. Leipzig, Dezember 1992 Wolf gang Schäfer Kurt Georgi

6 Inhalt 1 Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen 11 1.l Aufbau des Zahlensystems Abgeleitete Rechenregeln Übungsaufgaben 24 2 Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzen mit reellen Exponenten Zusammenfassung Übungsaufgaben 40 3 Logarithmen Begriff des Logarithmus Logarithmengesetze Zusammenfassung Übungsaufgaben 49 4 Goniometrie Elementargeometrie Die Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck Die Winkelfunktionen am Einheitskreis Sinus- und Kosinussatz Trigonometrische Formeln Übungsaufgaben 70 5 Komplexe Zahlen Summe und Differenz Produkt Quotient Übungsaufgaben 79 6 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Übungsaufgaben 87 7 Einige Grundbegriffe der mathematischen Logik Aussage, Wahrheitswert, Aussageform Verknüpfung von Aussagen (Aussagenfunktionen) Beziehungen zwischen den Aussagenfunktionen Existenz- und Universalaussagen Notwendige und hinreichende Bedingung Übungsaufgaben 103

7 8 Inhalt 8 Beweismethoden Der direkte Beweis Der indirekte Beweis Beweis durch vollständige Induktion Übungsaufgaben Grundbegriffe der Mengenlehre Der Begriff der Menge Relationen zwischen Mengen Operationen mit Mengen Abbildungen Übungsaufgaben Kombinatorik - Binomischer Satz Die Fakultät Binomialkoeffizienten Der binomische Satz Kombinatorik Übungsaufgaben Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten Beliebig viele Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten Homogene Gleichungssysteme ÜbungsaUfgaben Algebraische Gleichungen Nichtlineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Gleichungen dritten Grades Wurzelgleichungen Übungsaufgaben Transzendente Gleichungen Logarithmische Gleichungen Exponentialgleichungen Goniometrische Gleichungen Übungsaufgaben Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen Ungleichungen Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen Übungsaufgaben 242

8 Inhalt 9 15 Elementare Funktionen Zum Funktionsbegriff Darstellung von Funktionen Zu einigen elementaren Funktionen 249 ] 5.4 Eigenschaften von Funktionen Mittelbare Funktionen Umkehrfunktionen Übungsaufgaben Analytische Geometrie der Ebene Allgemeines Länge und Anstieg einer Strecke Verschiedene Formen der Gleichung einer Geraden Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden Parallelverschiebung des Koordinatensystems Der Flächeninhalt eines Dreiecks Der Kreis Die Ellipse Die Hyperbel Die Parabel Übungsaufgaben Vektorrechnung Grundbegriffe Vektoren im kartesischen Koordinatensystem Gerade und Ebene im Raum Produkte von Vektoren Übungsaufgaben Zahlenfolgen Einfuhrung Begriff der Zahlenfolge Grenzwerte von Zahlenfolgen Berechnung von Grenzwerten Übungsaufgaben Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Grundlegende Begriffe Sätze über Grenzwerte und Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Die Stetigkeit der elementaren Funktionen Übungsaufgaben 334

9 10 Inhalt 20 Differentialrechnung Differentialquotienten und Ableitung Differentiationsregeln Die Ableitung der elementaren Funktion Extremwerte und Wendepunkte Optimierungsprobleme Übungsaufgaben Integralrechnung Das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Zwei Integrationsverfahren Anwendungen der Integralrechnung Übungsaufgaben 399 Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben 406 Sachverzeichnis 462