1. Einführung in Temporallogik CTL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1. Einführung in Temporallogik CTL"

Transkript

1 1. Einführung in Temporallogik CTL Temporallogik dient dazu, Aussagen über Abläufe über die Zeit auszudrücken und zu beweisen. Zeit wird in den hier zunächst behandelten Logiken als diskret angenommen im Gegensatz zur üblicheren Vorstellung von Zeit als einer kontinuierlichen Größe. Die diskreten Zeitpunkte entsprechen diskreten System- oder Weltzuständen. Ein (diskreter) Zeitfortschritt spiegelt sich in einem diskret definierten Zustandsübergang der betrachteten Welt wider. Es wird nicht streng zwischen Zeitpunkt und Zustand unterschieden Zeitpunkte werden (indirekt) dadurch bestimmt, dass ein System bestimmte Zustände annimmt. Der Wahrheitsbegriff der Temporallogik ist dynamisch im Gegensatz zu dem normalen statischen Wahrheitsbegriff der Aussagenlogik und Prädikatenlogik: in den verschiedenen Zuständen eines Modells können Aussagen unterschiedliche Wahrheitswerte annehmen v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

2 Zeitbegriffe und Temporallogiken Unterschiedliche Zeitbegriffe: Lineare Zeit: eine lineare (total geordnete) Folge von Zeitpunkten (Zuständen) verzweigte Zeit (branching time): Es werden verschiedene mögliche zukünftige Folgezustände ( Weltenzustände ) betrachtet. zukünftige Zeit hat Baum-Struktur geeignet zur Modellierung von Nicht-Determinismus Daraus ergeben sich unterschiedliche Formen von Temporallogik: LTL: CTL: Linear-time Temporal Logic Computation Tree Logic Hier (zunächst) behandelt: CTL v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

3 CTL: Syntax induktive Definition der CTL-Formeln (abstrakte BNF): ::= p ( ) ( ) ( ) ( ) AX EX AG EG AF EF A [ U ] E [ U ] und stehen für die Konstanten wahr und falsch; p steht für eine atomare Formel; die aussagenlogischen Verknüpfungen sind die üblichen. v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

4 Syntax von CTL (2) AX usw. sind temporale Verknüpfungen jeweils aus zwei Komponenten zusammengesetzt: A: entlang aller Pfade notwendigerweise, Always E: entlang mindestens eines Pfade möglicherweise, Exists X: nächster Zustand next F: in einem zukünftigen Zustand Future G: in allen zukünftigen Zuständen Globally U: bis Until v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

5 Syntax von CTL (3) Präzedenz: und die unären temporalen Verknüpfungen AX usw. binden am stärksten, gefolgt von binären logischen Operatoren,,, AU und EU in der angegebenen Reihenfolge Unterformel: definiert in der üblichen Weise v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

6 EF v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

7 EG v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

8 AF v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

9 AG v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

10 CTL: Semantik Abstrakte Charakterisierung eines Zustandsübergangssystems (state transition system) als CTL-Modell: M = (S,, L) mit S Menge der Zustände Zustandsübergangsrelation (Transitionsrelation), d.h. S S Für jedes s S gibt es ein s S mit s s L Markierung von Zuständen: L : S P(A), mit A eine Menge von Atomen Intuitive Bedeutung der Markierung: jedem Zustand wird eine Menge von Aussagen (eine Konjunktion von Atomen) zugeordnet, die in dem Zustand wahr sind. ( ) v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

11 Semantik von CTL (2) Die Bedingung ( ) stellt sicher, dass es zu jedem Zustand (mindestens) einen Nachfolger-Zustand gibt, d.h. es gibt keinen deadlock Dies kann immer formal erreicht werden durch Einfügen eines neuen Zustands s d, einer Transition s d s d (Schleife) und hinreichend vielen Transitionen s i s d Das Verhalten eines Systems wird beschrieben durch die möglichen Pfade, d.h. Folgen von Transitionen: Ein Pfad von M ist eine Folge von Zuständen aus S, s 1, s 2,..., s i, s i+1,... in der für alle i 1 gilt: s i+1 ist ein Nachfolger-Zustand von s i, d.h. es gilt jeweils s i s i+1 v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

12 Semantik von CTL (3) Eine Formel wird von einem Modell M in Zustand s erfüllt: M, s = Definition der Relation = induktiv über den Aufbau der CTL-Formeln v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

13 Semantik von CTL (4) M, s = und M, s = für alle s S M, s = p genau dann, wenn p L(s) M, s = genau dann, wenn M, s = M, s = 1 2 genau dann, wenn M, s = 1 und M, s = 2 Analog für 1 2 und 1 2 M, s = AX genau dann, wenn für jedes s mit s s gilt M, s = AX: in jedem Nachfolger-Zustand v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

14 Semantik von CTL (5) M, s = EX genau dann, wenn es ein s mit s s gibt, so dass gilt M, s EX: in einem Nachfolger-Zustand = M, s = AG genau dann, wenn für jeden Pfad s 1 s 2... mit s = s 1 und für jedes s i entlang des Pfads gilt M, s i = AG: für jeden Pfad beginnend mit s und in jedem Zustand entlang des Pfads gilt... M, s = EG genau dann, wenn es einen Pfad s 1 s 2... mit s = s 1 gibt, so dass für jedes s i entlang des Pfads gilt M, s i = EG: es gibt einen Pfad, so dass in jedem Zustand entlang des Pfads gilt... v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

15 Semantik von CTL (6) M, s = AF genau dann, wenn es für jeden Pfad s 1 s 2... mit s = s 1 ein s i entlang des Pfads gibt, so dass gilt M, s i = AF: für jeden Pfad beginnend mit s gibt es einen zukünftigen Zustand entlang des Pfads, so dass gilt... M, s = EF genau dann, wenn für einen Pfad s 1 s 2... mit s = s 1 und ein s i entlang des Pfads gilt M, s i = EF: es gibt einen Pfad beginnend mit s und einen zukünftigen Zustand entlang des Pfads, so dass gilt... v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

16 Semantik von CTL (7) M, s = A [ 1 U 2 ] genau dann, wenn gilt: jeder Pfad s s 2... erfüllt 1 U 2, d.h. es gibt ein s i entlang des Pfads, so dass M, s i = 2, und M, s j = 1 für jedes s j mit j < i AU: für alle Pfade beginnend mit s gilt 1 solange, bis in einem Zustand 2 gilt. M, s = E [ 1 U 2 ] genau dann, wenn gilt: es gibt einen Pfad s s 2..., der 1 U 2 erfüllt (wie vorher). EU: es gibt einen Pfad beginnend mit s, entlang dem 1 solange gilt, bis in einem Zustand 2 gilt. v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

17 Äquivalenzen von CTL-Formeln Zwei CTL-Formeln und ψ heißen (semantisch) äquivalent, falls gilt: wenn in einem Zustand in einem Modell erfüllt ist, dann ist in dem Zustand auch ψ erfüllt: M, s = genau dann, wenn M, s = ψ Notation: ψ Bemerkung: Dies ist völlig analog zum entsprechenden Begriff in Aussagen- bzw. Prädikatenlogik. Einige wichtige Äquivalenzen: 1. demorgan-regeln : A und E bzw. G und F können jeweils aufgefaßt werden als universelle bzw. existentielle Quantoren über Pfaden bzw. den Zuständen entlang eines Pfads. Es gelten entsprechende Beziehungen zwischen den Operatoren v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

18 Äquivalenzen von CTL-Formeln (2) AF EG EF AG AX EX 2. AF A [ U ] EF E [ U ] 3. Die üblichen aussagenlogischen Äquivalenzen gelten auch, wenn die Teilformeln CTL-Formeln sind. v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

19 CTL-Äquivalenzen (3) 4. Fixpunkt-Charakterisierung der temporalen CTL-Operatoren: AG AX AG EG EX EG AF AX AF EF EX EF A [ U ψ] ψ ( AX A [ U ψ] E [ U ψ] ψ ( EX E [ U ψ] v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

20 Reduzierte CTL-Operator-Mengen Aufgrund der angegebenen Beziehungen zwischen den CTL-Operatoren kann deren Menge reduziert werden. Vgl. in Aussagenlogik: die Menge {,, } reicht aus, um alle anderen Verknüpfungen (und damit alle aussagenlogischen Formeln) auszudrücken. Umsetzungen in CTL: AX EX AG EF (E [ U ]) EG AF (A [ U ]) die Operatoren AU, EU und EX sind ausreichend. Andere ausreichende Operator-Mengen: EG, EU, EX AG, AU, AX AF, EU, EX und andere v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

21 Muster für CTL-Spezifikationen In CTL-Spezifikationen kommen sich wiederholende Muster für praktisch relevante Fragestellungen vor. In jedem Zustand gilt: wenn ein Gerät angefordert ist, wird es schließlich auch bereitgestellt : AG (angefordert AF bereit) bereit (z.b. für einen Prozeß) ist auf jedem Pfad unendlich oft wahr : AG (AF bereit) beendet (z.b. für einen Prozeß) wird auf jeden Fall erreicht : AF (AG beendet) Von jedem Zustand aus ist es möglich, den Start-Zustand zu erreichen : AG (EF start) v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

22 Muster für CTL-Spezifikationen (2) q tritt erst ein (d.h. ein Zustand wird erreicht, in dem q wahr ist), wenn auch p eintritt, oder Solange nicht p eingetreten ist, kann auch nicht q eintreten : AG (A [ q U p]) v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

23 Beispiel: Mutual Exclusion Mutual Exclusion gegenseitiger Ausschluß Wichtiges Prinzip bei nebenläufigen Prozessen: es soll verhindert werden, dass mehrere Prozesse gleichzeitig Zugriff auf eine kritische, gemeinsam genutzte Ressource haben (z.b. Schreiben einer Datenbank-Tabelle) Realisierung durch kritische Regionen (critical regions) in den jeweiligen Programmen, und ein Protokoll dafür, unter welchen Bedingungen die kritische Region betreten werden darf. Abläufe von zwei Prozessen verschränkt (interleaving): wir nehmen an, dass jeder Prozeß separat und unabhängig, aber nicht gleichzeitig mit einem anderen Prozeß, einen Zustandsübergang ausführt. v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

24 Mutual Exclusion: Eigenschaften Geforderte Eigenschaften: 1. Sicherheit: zu jedem Zeitpunkt darf sich nur ein Prozeß in der kritischen Region befinden. 2. Lebendigkeit: Wenn ein Prozeß die kritische Region anfordert will, dann erhält er schließlich auch den Zugang. 3. Kein Blockieren: Ein Prozeß kann jederzeit die kritische Region anfordern. 4. Flexibilität: Prozesse müssen nicht ihre kritische Region in fester Reihenfolge betreten (Ausschluß eines rigiden Plans, wie z.b. Zyklus). v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

25 Mutual Exclusion: Modellierung Jeder Prozeß durchläuft einen Zyklus n t c n..., wobei n nicht kritisch t kritische Region angefordert (trying) c in kritischer Region Menge der Zustände für System von 2 Prozessen: Zustände markiert mit Elementen aus einer Teilmenge des kartesischen Produkts {n 1, t 1, c 1 } {n 2, t 2, c 2 } Initialer Zustand: mit Markierung n 1, n 2 Zustandsübergänge: einer der Prozesse macht einen Übergang entsprechend dem angegebenen Zyklus; z.b. (n 1, t 2 ) (n 1, c 2 ) v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

26 s 0 n 1 n 2 s 1 t 1 n 2 n 1 t 2 s 5 s 2 s 3 c 1 n 2 t1 t 2 s 6 n 1 c 2 s 4 s 7 c 1 t 2 t 1 c 2 v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

27 Mutual Exclusion: formal Formalisierung der geforderten Eigenschaften: Sicherheit: 1 := AG (c 1 c 2 ) Lebendigkeit: 2 := AG (t 1 AF c 1 ) Kein Blockieren: 3 := AG (n 1 EX t 1 ) Flexibilität: 4 := EF (c 1 E [c 1 U ( c 1 E [ c 2 U c 1 ])]) v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

28 s 0 n1 n 2 s 1 t 1 n 2 n 1 t 2 s 5 s 2 s 3 s 9 s 6 c 1 n 2 t 1 t 2 t 1 t 2 n 1 c 2 s 4 c 1 t 2 t 1 c 2 s 7 v.henke: Computergestützte Modellierung und Verifikation SS

Bisher. Wiederholung NFA Modellierung durch NFA Kripke-Struktur

Bisher. Wiederholung NFA Modellierung durch NFA Kripke-Struktur Bisher Wiederholung NFA Modellierung durch NFA Kripke-Struktur Model-Checking Modell beschrieben durch Kripke-Struktur A Spezifikation ϕ in einer Temporallogik Verifikation: Nachweis, dass die Struktur

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

Foundations of Systems Development

Foundations of Systems Development Foundations of Systems Development Vergleich und Zusammenfassung Martin Wirsing in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer WS 2007/08 2 Ziele Wichtige Aspekte von algebraischen Spezikationen

Mehr

Temporale Logiken: CTL und LTL

Temporale Logiken: CTL und LTL Westfälische Wilhelms-Universität Münster usarbeitung Temporale Logiken: CTL und LTL im Rahmen des Seminars Formale Spezifikation im WS 2005/06 Thorsten Bruns Themensteller: Prof. Dr. Herbert Kuchen Betreuer:

Mehr

Kapitel 4: (Einige) Andere Logiken

Kapitel 4: (Einige) Andere Logiken Kapitel 4: (Einige) Andere Logiken 4.1: Modale Logiken Grundgedanke Nicht alles stimmt unabhängig vom Zeitpunkt es schneit unabhängig vom Ort man kann das Meer sehen unabhängig vom Sprecher ich bin müde

Mehr

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30 Formale Methoden II SS 2008 Universität Bielefeld Teil 8, 11. Juni 2008 Gerhard Jäger Formale Methoden II p.1/30 Beispiele Anmerkung: wenn der Wahrheitswert einer Formel in einem Modell nicht von der Belegungsfunktion

Mehr

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

2. Vorlesung. Slide 40

2. Vorlesung. Slide 40 2. Vorlesung Slide 40 Knobelaufgabe Was tut dieses Programm? Informell Formal Wie stellt man dies sicher? knobel(a,b) { Wenn a = 0 dann return b sonst { solange b 0 wenn a > b dann { a := a - b sonst b

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete (und Relationen, Funktionen, Aussagenlogik) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/18 Überblick Alphabete ASCII Unicode

Mehr

Logik und Mengenlehre. ... wenn man doch nur vernünftig mit Datenbanken umgehen können will?

Logik und Mengenlehre. ... wenn man doch nur vernünftig mit Datenbanken umgehen können will? Mengenlehre und Logik: iederholung Repetitorium: Grundlagen von Mengenlehre und Logik 2002 Prof. Dr. Rainer Manthey Informationssysteme 1 arum??? arum um alles in der elt muss man sich mit herumschlagen,......

Mehr

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes)

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes) Prädikatenlogik Man kann den natürlichsprachlichen Satz Die Sonne scheint. in der Prädikatenlogik beispielsweise als logisches Atom scheint(sonne) darstellen. In der Sprache der Prädikatenlogik werden

Mehr

Semantic Web Technologies I!

Semantic Web Technologies I! www.semantic-web-grundlagen.de Semantic Web Technologies I! Lehrveranstaltung im WS11/12! Dr. Elena Simperl! DP Dr. Sebastian Rudolph! M.Sc. Anees ul Mehdi! www.semantic-web-grundlagen.de Logik Grundlagen!

Mehr

Zusammenhänge präzisieren im Modell

Zusammenhänge präzisieren im Modell Zusammenhänge präzisieren im Modell Dr. Roland Poellinger Munich Center for Mathematical Philosophy Begriffsfeld Logik 1 Mathematik und Logik Die Mathematik basiert auf logisch gültigen Folgerungsschritten

Mehr

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion Was bisher geschah Daten, Information, Wissen explizites und implizites Wissen Wissensrepräsentation und -verarbeitung: Wissensbasis Kontextwissen Problemdarstellung fallspezifisches Wissen repräsentiert

Mehr

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra 5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft

Mehr

Softwarelösungen: Versuch 4

Softwarelösungen: Versuch 4 Softwarelösungen: Versuch 4 Nichtstun in Schleife wird ersetzt durch zeitweilige Zurücknahme der Anforderung, um es anderen Prozessen zu erlauben, die Ressource zu belegen: /* Prozess 0 */ wiederhole flag[0]

Mehr

Mai 2006. Hauptseminar: Nichtrelationale Datenbanken Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln

Mai 2006. Hauptseminar: Nichtrelationale Datenbanken Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln Hauptseminar: Nichtrelationale Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln Mai 2006 Was ist eine Datenbank? Erweiterung relationaler um eine Deduktionskomponente Diese

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

Prädikatenlogik - Micromodels of Software

Prädikatenlogik - Micromodels of Software Prädikatenlogik - Micromodels of Software Philipp Koch Seminar Logik für Informatiker Universität Paderborn Revision: 30. Mai 2005 1 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 3 2 Modelle 3 2.1 Definition eines Modells.......................

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 29/ Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws9

Mehr

Motivation. Motivation

Motivation. Motivation Vorlesung Modellierung nebenläufiger Systeme Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Was sind nebenläufige Systeme? Ganz allgemein: Systeme, bei denen mehrere Komponenten/Prozesse nebenläufig arbeiten

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik schulz@eprover.org Logisches Schließen 2 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death 1000 10

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Muster für die Verifikation von Formeln in Temporaler Logik

Muster für die Verifikation von Formeln in Temporaler Logik INSTITUT FÜR INFORMATIK Softwaretechnik und Programmiersprachen Universitätsstr. 1 D 40225 Düsseldorf Muster für die Verifikation von Formeln in Temporaler Logik Philipp Kantner Masterarbeit Beginn der

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

6. Explizite Zeit und Zeitautomaten

6. Explizite Zeit und Zeitautomaten 6. Explizite Zeit und Zeitautomaten Bisher: Zeit nur als Ordnungsrelation zwischen Zuständen/Ereignissen Jetzt: Zeit als explizite kontinuierliche Größe modelliert (reelle Werte) Uhren: stückweise kontinuierliche

Mehr

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 9: Prädikatenlogik schulz@eprover.org Rückblick 2 Rückblick: Vor- und Nachteile von Aussagenlogik Aussagenlogik ist deklarativ: Syntaxelemente entsprechen

Mehr

5 Logische Programmierung

5 Logische Programmierung 5 Logische Programmierung Logik wird als Programmiersprache benutzt Der logische Ansatz zu Programmierung ist (sowie der funktionale) deklarativ; Programme können mit Hilfe zweier abstrakten, maschinen-unabhängigen

Mehr

7. Formale Sprachen und Grammatiken

7. Formale Sprachen und Grammatiken 7. Formale Sprachen und Grammatiken Computer verwenden zur Verarbeitung von Daten und Informationen künstliche, formale Sprachen (Maschinenspr., Assemblerspachen, Programmierspr., Datenbankspr., Wissensrepräsentationsspr.,...)

Mehr

Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer:

Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

A.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze

A.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze Schaltfunktionen und Schaltnetze A. Schaltfunktionen und Schaltnetze 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Bedeutung des Binärsystems für den Rechneraufbau Seit Beginn der Entwicklung von Computerhardware

Mehr

Kapitel DB:V (Fortsetzung)

Kapitel DB:V (Fortsetzung) Kapitel DB:V (Fortsetzung) V. Grundlagen relationaler Anfragesprachen Anfragen und Änderungen Relationale Algebra Anfragekalküle Relationaler Tupelkalkül Relationaler Domänenkalkül DB:V-67 Relational Algebra

Mehr

Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen

Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen aussagenlogischer Regeln: Wissensbasis (Kontextwissen): Formelmenge,

Mehr

3.2 Spezifikationen mit Zeit

3.2 Spezifikationen mit Zeit 32 Spezifikationen mit Zeit typische Anforderungen mit Zeitbezug Einführung von Uhren Semantik von Uhren Datentypen Deadlocks durch Zeitbedingungen Urgent und Committed 178 Spezifikation mit Zeit Zeit

Mehr

Beschreibungslogiken. Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de

Beschreibungslogiken. Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de Beschreibungslogiken Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de Was sind Beschreibungslogiken? Definition: Formalisms that represent knowledge of some problem domain (the world ) by first defining

Mehr

1 Transitionssysteme. 1.1 Motivation: Model-Checking

1 Transitionssysteme. 1.1 Motivation: Model-Checking 1 Transitionssysteme Thema dieser Vorlesung sind temporale und modale Logiken sowie damit zusammenhängende Verfahren aus der Automaten- und Spieltheorie. Die Motivation für viele der hier behandelten Methoden

Mehr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein

Mehr

Übungsaufgaben zur Vorlesung Modellbasierte Softwareentwicklung Wintersemester 2014/2015 Übungsblatt 8

Übungsaufgaben zur Vorlesung Modellbasierte Softwareentwicklung Wintersemester 2014/2015 Übungsblatt 8 Prof. Dr. Wilhelm Schäfer Paderborn, 8. Dezember 2014 Christian Brenner Tristan Wittgen Besprechung der Aufgaben: 15. - 18. Dezember 2014 Übungsaufgaben zur Vorlesung Modellbasierte Softwareentwicklung

Mehr

Fixpunktsemantik logischer Programme Pascal Hitzler Juli 1997 Kurzuberblick im Rahmen der Vorlesung Einfuhrung in Prolog von T. Cornell im Sommersemester 1997 an der Universitat Tubingen. Beweise sind

Mehr

Binärbäume als weiteres Beispiel für abstrakte Datentypen in PVS mit in Knoten gespeicherten Werten vom Typ T:

Binärbäume als weiteres Beispiel für abstrakte Datentypen in PVS mit in Knoten gespeicherten Werten vom Typ T: Binäre Bäume Binärbäume als weiteres Beispiel für abstrakte Datentypen in PVS mit in Knoten gespeicherten Werten vom Typ T: BinTree [T: TYPE]: DATATYPE empty: empty? node (key: T, left:bibtree, right:bibtree):

Mehr

Organisatorisches. Zeit und Ort: Mo 12-14 MZH 1450 Mi 16-18 MZH 1460. Prof. Carsten Lutz Raum Cartesium 2.59 Tel. (218)-64431 clu@uni-bremen.

Organisatorisches. Zeit und Ort: Mo 12-14 MZH 1450 Mi 16-18 MZH 1460. Prof. Carsten Lutz Raum Cartesium 2.59 Tel. (218)-64431 clu@uni-bremen. Logik Organisatorisches Zeit und Ort: Mo 12-14 MZH 1450 Mi 16-18 MZH 1460 Prof. Carsten Lutz Raum Cartesium 2.59 Tel. (218)-64431 clu@uni-bremen.de Position im Curriculum: Wahlbereich Bachelor-Basis, Theoretische

Mehr

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle.

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle. Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien Tobias Hebel Koblenz, am 18.02.2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 3 2 Grundlagen...

Mehr

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 7 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 1 Wir betrachten die folgende Signatur

Mehr

Vorlesung Methoden des Software Engineering. Martin Wirsing. Einheit C.3, 9.12.2004

Vorlesung Methoden des Software Engineering. Martin Wirsing. Einheit C.3, 9.12.2004 Block C (Formale Methoden): Petrinetze 9.12.04 1 Vorlesung Methoden des Software Engineering Block C Formale Methoden Petrinetze Martin Wirsing Einheit C.3, 9.12.2004 Block C (Formale Methoden): Petrinetze

Mehr

Grundlagen der Informatik II. Teil I: Formale Modelle der Informatik

Grundlagen der Informatik II. Teil I: Formale Modelle der Informatik Grundlagen der Informatik II Teil I: Formale Modelle der Informatik 1 Einführung GdInfoII 1-2 Ziele/Fragestellungen der Theoretischen Informatik 1. Einführung abstrakter Modelle für informationsverarbeitende

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische

Mehr

Wissensbasierte Systeme/ Expertensysteme. Teil 2

Wissensbasierte Systeme/ Expertensysteme. Teil 2 Wissensbasierte Systeme/ Expertensysteme Teil 2 BiTS, Sommersemester 2004 Dr. Stefan Kooths KOOTHS BiTS: Wissensbasierte Systeme/Expertensysteme Teil 2 1 Gliederung 1. Einführung und Einordnung 2. Entscheidungsunterstützung(ssysteme)

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Grundlagen der Informationverarbeitung

Grundlagen der Informationverarbeitung Grundlagen der Informationverarbeitung Information wird im Computer binär repräsentiert. Die binär dargestellten Daten sollen im Computer verarbeitet werden, d.h. es müssen Rechnerschaltungen existieren,

Mehr

Planen als Model Checking

Planen als Model Checking Otto-Friedrich-Universität Bamberg Lehrstuhl Angewandte Informatik Kognitive Systeme Seminararbeit Planen als Model Checking Svetlana Balinova Januar 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Explicit Model

Mehr

Wissensbasierte Systeme

Wissensbasierte Systeme WBS4 Slide 1 Wissensbasierte Systeme Vorlesung 4 vom 03.11.2004 Sebastian Iwanowski FH Wedel WBS4 Slide 2 Wissensbasierte Systeme 1. Motivation 2. Prinzipien und Anwendungen 3. Logische Grundlagen 4. Suchstrategien

Mehr

Foundations of System Development

Foundations of System Development Foundations of System Development Martin Wirsing in cooperation with Axel Rauschmayer WS 05/06 Verfeinerung und Strukturierung 2 Verfeinerung und Strukturierung Bisher haben wir einfache ( flache ) TLA-Spezifikationen

Mehr

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen

Mehr

Seminar Model-Based Testing - Preorder. Marcel Bosling

Seminar Model-Based Testing - Preorder. Marcel Bosling Seminar Model-Based Testing - Preorder Marcel Bosling 1 / 34 Inhaltsverzeichnis Systeme, Prozesse und LTS Ausgewählte Preorder Trace Preorder Observable Testing Preorder Testing Preorder Conformance Testing

Mehr

26.01.2009. Gliederung. Nebenläufigkeit und Fairness. 1. Nebenläufigkeit Lokalitätsprinzip. 2. Betrachtungsweisen von Nebenläufigkeit. 3.

26.01.2009. Gliederung. Nebenläufigkeit und Fairness. 1. Nebenläufigkeit Lokalitätsprinzip. 2. Betrachtungsweisen von Nebenläufigkeit. 3. Gliederung Lokalitätsprinzip Nebenläufigkeit und Fairness Seminar Model lchecking WS 08/09 Interleaving Halbordnung. Fairness Jan Engelsberg engelsbe@informatik.hu berlin.de Was ist Nebenläufigkeit? In

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Modellierung verteilter Systeme Grundlagen der Programm und Systementwicklung

Modellierung verteilter Systeme Grundlagen der Programm und Systementwicklung Modellierung verteilter Systeme Grundlagen der Programm und Systementwicklung Wintersemester 2009/10 Prof. Dr. Dr. h.c. Manfred Broy Unter Mitarbeit von Dr. K. Spies, Dr. M. Spichkova, L. Heinemann, P.

Mehr

Grundlagen verteilter Systeme

Grundlagen verteilter Systeme Universität Augsburg Institut für Informatik Prof. Dr. Bernhard Bauer Stephan Roser Viviane Schöbel Wintersemester 07/08 Übungsblatt 5 08.01.08 Grundlagen verteilter Systeme Lösungsvorschlag Aufgabe 1:

Mehr

SQL: statische Integrität

SQL: statische Integrität SQL: statische Integrität.1 SQL: statische Integrität Im allgemeinen sind nur solche Instanzen einer Datenbank erlaubt, deren Relationen die der Datenbank bekannten Integritätsbedingungen erfüllen. Integritätsbedingungen

Mehr

Requirements Engineering WS 11/12

Requirements Engineering WS 11/12 Requirements Engineering WS 11/12 9. Übung am 20.01.2012 Feedback & Organisatorisches Hospitation der Übung Feedback Zwischenpräsentation Feedback Evaluation Abgabe Deliverable 2 Ablauf am 27. Januar:

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 18. Februar 2010 Name: Mustermann Vorname: Peter Matrikel-Nr.: 0000000 Klausur-ID: 0000 A1 (15) A2 (10) A3 (10) A4

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Nichtmonotones Schließen

Nichtmonotones Schließen Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen klassischer Aussagenlogik: Entscheidungstabellen, -bäume, -diagramme Wissensrepräsentation und -verarbeitung durch

Mehr

11 Logik. 11.1 Formale Logik III

11 Logik. 11.1 Formale Logik III III Neben statischen Strukturen und dynamischen Abläufen zwischen Systemkomponenten gibt es noch logische Abhängigkeiten, die unabhängig von der Statik und der Dynamik immer gelten. Solche logischen Abhängigkeiten

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Lehrstuhl für Softwaretechnik und Programmiersprachen Professor Dr. Michael Leuschel Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012 Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Disclaimer: Bei Folgendem

Mehr

5 Relationen. Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012. Robert Marti

5 Relationen. Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012. Robert Marti Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012 Robert Marti Vorlesung teilweise basierend auf Unterlagen von Prof. emer. Helmut Schauer Allgemeine Definition einer Relation Eine n-stellige Relation

Mehr

fsq Ein Abfragesystem für syntaktisch annotierte Baumbanken

fsq Ein Abfragesystem für syntaktisch annotierte Baumbanken fsq Ein Abfragesystem für syntaktisch annotierte Baumbanken SFB 441, Universität Tübingen Syntaktisch annotierte Baumbanken Ursprünglich: Morphosyntaktische Tags (POS) Anreicherung mit syntaktischen Informationen

Mehr

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS / KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

Mehr

9 Verteilte Verklemmungserkennung

9 Verteilte Verklemmungserkennung 9 Verteilte Verklemmungserkennung 9.1 Grundlagen Für die Existenz einer Verklemmung notwendige Bedingungen Exklusive Betriebsmittelbelegung Betriebsmittel können nachgefordert werden Betriebsmittel können

Mehr

Die Spezifikationssprachen Z und VDM. Michael Hildebrandt

Die Spezifikationssprachen Z und VDM. Michael Hildebrandt Die Spezifikationssprachen Z und VDM Michael Hildebrandt 1. Formale Spezifikationen Was sind formale Spezifikationen? abstrakte Beschreibungen bzgl. des Verhaltens eines (zu entwickelnden) Systems geben

Mehr

Logik & Semantik 7. Vorlesung Prädikatenlogik 1. Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik: Grundbegriffe (Variablen-)Substitutionen

Logik & Semantik 7. Vorlesung Prädikatenlogik 1. Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik: Grundbegriffe (Variablen-)Substitutionen Logik & Semantik 7. Vorlesung Prädikatenlogik 1 Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik: Grundbegriffe (Variablen-)Substitutionen 1 Definition eines logischen Systems: Generelles Schema

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik Einheit 1 Mathematische Methodik 1. Problemlösen 2. Beweistechniken 3. Wichtige Grundbegriffe Methodik des Problemlösens Klärung der Voraussetzungen Welche Begriffe sind zum Verständnis

Mehr

Einleitung Projektion Selektion Join Mengenop. Vollst.keit. Einleitung Projektion. Selektion Join. Vollst.keit. Einleitung Projektion Selektion Join

Einleitung Projektion Selektion Join Mengenop. Vollst.keit. Einleitung Projektion. Selektion Join. Vollst.keit. Einleitung Projektion Selektion Join Parsen der Anfrage (SQL) Transformation in eine Standardform (Relationenalgebra) Logische Optimierung Transformation in alternative Zugriffspläne, Physische Optimierung Ausführung des gewählten Zugriffsplans

Mehr

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation 4. Relationen Relationen spielen bei Datenbanken eine wichtige Rolle. Die meisten Datenbanksysteme sind relational. 4.1 Binäre Relationen Eine binäre Relation (Beziehung) R zwischen zwei Mengen A und B

Mehr

DIPLOMARBEIT. Ein interaktives E-Learning System für die Grundlagen der mathematischen Logik. Ausgeführt am

DIPLOMARBEIT. Ein interaktives E-Learning System für die Grundlagen der mathematischen Logik. Ausgeführt am DIPLOMARBEIT Ein interaktives E-Learning System für die Grundlagen der mathematischen Logik Ausgeführt am Institut für Informationssysteme Arbeitsbereich Wissensbasierte Systeme der Technischen Universität

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 8: kontextfreie Grammatiken Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/37 Überblick Kontextfreie Grammatiken

Mehr

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny 2 Datenstrukturen 2.1 Einführung Syntax: Definition einer formalen Grammatik, um Regeln einer formalen Sprache (Programmiersprache) festzulegen.

Mehr

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 3. Aussagenlogik Einführung: Logisches Schließen im Allgemeinen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Beispiel:

Mehr

1.4.12 Sin-Funktion vgl. Cos-Funktion

1.4.12 Sin-Funktion vgl. Cos-Funktion .4. Sgn-Funktion Informatik. Semester 36 36.4.2 Sin-Funktion vgl. Cos-Funktion Informatik. Semester 37 37 .4.3 Sqr-Funktion Informatik. Semester 38 38.4.4 Tan-Funktion Informatik. Semester 39 39 .5 Konstanten

Mehr

VBA-Programmierung: Zusammenfassung

VBA-Programmierung: Zusammenfassung VBA-Programmierung: Zusammenfassung Programmiersprachen (Definition, Einordnung VBA) Softwareentwicklung-Phasen: 1. Spezifikation 2. Entwurf 3. Implementierung Datentypen (einfach, zusammengesetzt) Programmablaufsteuerung

Mehr

Source: Stephan. Werner Stephan

Source: Stephan. Werner Stephan Werner Stephan Software-Krise 1969 NATO Konferenz: Software-Engineering Phasen-Modelle Projektmanagement Qualitaetssicherung Requirements-Engineering Case-Tools UML Softwarekrise 1999 Bedarf (1) an sicherer

Mehr

Semestralklausur zu Modellierung verteilter Systeme

Semestralklausur zu Modellierung verteilter Systeme Name: Vorname: Matr.Nr: Technische Universität München WS 2010/2011 Institut für Informatik Prof. Manfred Broy 09.02.2011 Semestralklausur zu Modellierung verteilter Systeme Allgemeine Hinweise: Schreiben

Mehr

Verwendet man zur Darstellung nur binäre Elemente ( bis lat.: zweimal) so spricht man von binärer Digitaltechnik.

Verwendet man zur Darstellung nur binäre Elemente ( bis lat.: zweimal) so spricht man von binärer Digitaltechnik. Kursleiter : W. Zimmer 1/24 Digitale Darstellung von Größen Eine Meßgröße ist digital, wenn sie in ihrem Wertebereich nur eine endliche Anzahl von Werten annehmen kann, also "abzählbar" ist. Digital kommt

Mehr

Endlicher Automat (EA)

Endlicher Automat (EA) Endlicher Automat (EA) siehe auch Formale Grundlagen 3 1 Motivation: Automaten für die Modellierung, Spezifikation und Verifikation verwenden! Definition Ein Endlicher Automat A = (S,I,Σ,T,F) besteht aus

Mehr

Java Einführung Operatoren Kapitel 2 und 3

Java Einführung Operatoren Kapitel 2 und 3 Java Einführung Operatoren Kapitel 2 und 3 Inhalt dieser Einheit Operatoren (unär, binär, ternär) Rangfolge der Operatoren Zuweisungsoperatoren Vergleichsoperatoren Logische Operatoren 2 Operatoren Abhängig

Mehr

6.2 Petri-Netze. kommunizierenden Prozessen in der Realität oder in Rechnern Verhalten von Hardware-Komponenten Geschäftsabläufe Spielpläne

6.2 Petri-Netze. kommunizierenden Prozessen in der Realität oder in Rechnern Verhalten von Hardware-Komponenten Geschäftsabläufe Spielpläne 6.2 Petri-Netze WS 06/07 mod 621 Petri-Netz (auch Stellen-/Transitions-Netz): Formaler Kalkül zur Modellierung von Abläufen mit nebenläufigen Prozessen und kausalen Beziehungen Basiert auf bipartiten gerichteten

Mehr

Programmierung und Modellierung

Programmierung und Modellierung Programmierung und Modellierung Terme, Suchbäume und Pattern Matching Martin Wirsing in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer SS 2009 2 Inhalt Kap. 7 Benutzerdefinierte Datentypen 7. Binärer Suchbaum 8. Anwendung:

Mehr

3. Entscheidungsbäume. Verfahren zum Begriffslernen (Klassifikation) Beispiel: weiteres Beispiel: (aus Böhm 2003) (aus Morik 2002)

3. Entscheidungsbäume. Verfahren zum Begriffslernen (Klassifikation) Beispiel: weiteres Beispiel: (aus Böhm 2003) (aus Morik 2002) 3. Entscheidungsbäume Verfahren zum Begriffslernen (Klassifikation) Beispiel: weiteres Beispiel: (aus Böhm 2003) (aus Morik 2002) (aus Wilhelm 2001) Beispiel: (aus Böhm 2003) Wann sind Entscheidungsbäume

Mehr

1 Syntax von Programmiersprachen

1 Syntax von Programmiersprachen 1 Syntax von Programmiersprachen Syntax ( Lehre vom Satzbau ): formale Beschreibung des Aufbaus der Worte und Sätze, die zu einer Sprache gehören; im Falle einer Programmier-Sprache Festlegung, wie Programme

Mehr

Vorlesung Theoretische Informatik

Vorlesung Theoretische Informatik Vorlesung Theoretische Informatik Automaten und Formale Sprachen Hochschule Reutlingen Fakultät für Informatik Masterstudiengang Wirtschaftsinformatik überarbeitet von F. Laux (Stand: 09.06.2010) Sommersemester

Mehr

Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken

Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken Alphabet A: endliche Menge von Zeichen Wort über A: endliche Folge von Zeichen aus A A : volle Sprache über A: Menge der A-Worte formale Sprache

Mehr

Effiziente Modellprüfung des µ-kalküls mit binären Entscheidungsdiagrammen. Dissertation

Effiziente Modellprüfung des µ-kalküls mit binären Entscheidungsdiagrammen. Dissertation Effiziente Modellprüfung des µ-kalküls mit binären Entscheidungsdiagrammen Zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften von der Fakultät für Informatik der Universität Karlsruhe

Mehr

Semantik von Formeln und Sequenzen

Semantik von Formeln und Sequenzen Semantik von Formeln und Sequenzen 33 Grundidee der Verwendung von Logik im Software Entwurf Syntax: Menge von Formeln = Axiome Ax K ist beweisbar Formel ϕ beschreiben Korrektkeit Vollständigkeit beschreibt

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik - das Quiz zur Vorlesung Teil I - Grundzüge der Logik In der Logik geht es um... (A) die Formen korrekten Folgerns (B) die Unterscheidung von wahr und falsch (C) das Finden von

Mehr