Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Transkript

1 Theoretische Grundlagen des Software Engineering 6: Formale Logik Einführung

2 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens Rational richtige Ableitung von neuem Wissen aus gegebenem 2

3 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens Rational richtige Ableitung von neuem Wissen aus gegebenem Rolle der Logik in der Informatik Grundlagen der Informatik und der Mathematik: Axiomatische Mengenlehre, Boolsche Schaltkreise Anwendung innerhalb der Informatik: Spezifikation, Programmentwicklung, Programmverifikation Werkzeug für Anwendungen außerhalb der Informatik: Künstliche Intelligenz, Wissensrepräsentation 2

4 Quellen Dieser Teil der Vorlesung lehnt sich an Teile der Vorlesung Logik für Informatiker von Bernhard Beckert, Universität Koblenz an, die wiederum auf der Vorlesung Logik für Informatiker von Uli Furbach, Universität Koblenz, beruht. Literaturempfehlung: C. Chang and R.C. Lee, Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving, Academic Press,

5 Modellierung 4

6 Modellierung Modellierung? Abstraktion? 5 Logik für Informatiker, SS 06 p.4

7 Modellierung: Adäquatheit des Modells Wenn formulierbare Aussage wahr im Modell, dann entsprechende Aussage wahr in Wirklichkeit 6

8 Beispiel: Aufzugssysteme Höhe 818m 162 Stockwerke 57 Aufzüge Aufzughöhe bis 504m Geschwindigkeit bis 10m/s (36 km/h) Doppelstöckige Aufzüge 7

9 Modellierung: Beispiel Aufzug Modellierung: Beispiel Aufzug oben oben mitte Modellierung der statischen Eigenschaften o mitte m unten unten u 8 Logik für Informatiker, SS 06 p.6

10 Modellierung: Beispiel Aufzug Modellierung: Beispiel Aufzug oben oben mitte Modellierung der statischen Eigenschaften o mitte m unten unten u 8 Logik für Informatiker, SS 06 p.6

11 Modellierung: Beispiel Aufzug Modellierung: Beispiel Aufzug oben oben mitte Modellierung der statischen Eigenschaften o mitte m unten unten u 8 Logik für Informatiker, SS 06 p.6

12 Modellierung: Strukturen Modellierung: Strukturen oben oben oben oben o o o o mitte mitte mitte mitte m m m m unten unten unten unten u u u u 9 Logik für Informatiker, SS 06 p.7

13 Modellierung: Strukturen Modellierung: Strukturen oben oben oben oben o o o o mitte mitte mitte mitte m m m m unten unten unten unten u u u u Logik für Informatiker, SS 06 p.7 9

14 Modellierung: Strukturen Modellierung: Strukturen oben oben oben oben o o o o mitte mitte mitte mitte m m m m unten unten unten unten u u u u Aussagen beziehen sich auf Strukturen (Formale) Aussagen sind in jeder einzelnen Struktur zu wahr oder falsch auswertbar 9 Logik für Informatiker, SS 06 p.7

15 Formale Logik 10

16 Formale Logik Syntax - Welche Formeln? 11

17 Formale Logik Syntax - Welche Formeln? Semantik - Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? 11

18 Formale Logik Syntax - Welche Formeln? Semantik - Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus - Ableitung neuer wahrer Formeln 11

19 Aussagenlogik: Syntax Atomare Aussagen Aufzug ist oben aufzugoben Innen mittlerer Knopf gedrückt innenmittegedrueckt 12

20 Aussagenlogik: Syntax Atomare Aussagen Aufzug ist oben aufzugoben Innen mittlerer Knopf gedrückt innenmittegedrueckt Verknüpft mit logischen Operatoren und oder impliziert nicht 12

21 Aussagenlogik: Syntax Komplexe Aussagen Wenn innen mittlerer Knopf gedrückt, dann Aufzug nicht in der Mitte innenmittegedrueckt aufzugmitte 13

22 Aussagenlogik: Syntax Komplexe Aussagen Wenn innen mittlerer Knopf gedrückt, dann Aufzug nicht in der Mitte innenmittegedrueckt aufzugmitte Der Aufzug ist oben aufzugoben und der Aufzug ist nicht unten aufzugunten 13

23 Aussagenlogik: Semantik Theoretische Grundlagen des Software Engineering Aussagenlogik: Semantik Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten Der Aufzug aufzugoben ist oben und der Aufzug aufzugunten ist nicht unten aufzugoben aufzugunten ist ist wahrinin oben o mitte m unten u 14 Logik für Informatiker, SS 06 p.12

24 Aussagenlogik: Deduktionsmechanismus Syllogismen P Q Q P 15

25 Aussagenlogik: Deduktionsmechanismus Syllogismen P Q Q P aufzugoben aufzugunten aufzugunten aufzugoben 15

26 Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus im allgemeinen Kalküle 16

27 Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus im allgemeinen Kalküle Wahrheitstafeln Logische Umformung Resolutionskalkül In dieser Vorlesung 16

28 The Whole Picture Diskurs in natürlicher Sprache Mathematische Probleme Programm + Spezifikation Formalisierung Syntax Semantik Aussagenlogik Prädikatenlogik Kalkül Ableitung Gültige Formeln Vollständigkeit Korrektheit 17 Beweisbare Formeln

29 The Whole Picture Diskurs in natürlicher Sprache Mathematische Probleme Programm + Spezifikation Formalisierung Modellierung Semantik Syntax Aussagenlogik Prädikatenlogik Kalkül Ableitung Gültige Formeln Vollständigkeit Korrektheit 17 Beweisbare Formeln

30 The Whole Picture Diskurs in natürlicher Sprache Mathematische Probleme Programm + Spezifikation Formalisierung Syntax Deduktion Semantik Aussagenlogik Prädikatenlogik Kalkül Ableitung Gültige Formeln Vollständigkeit Korrektheit 17 Beweisbare Formeln

31 Inhalt der Vorlesung 1. Einführung 2. Aussagenlogik Syntax und Semantik Resolution, Vollständigkeits- und Korrektheitsbeweise 3. Prädikatenlogik Syntax und Semantik Resolution, Vollständigkeits- und Korrektheitsbeweise 18

32 Beispiel: 8- Damen Problem 19

33 Das 8- Damen Problem Man plaziere acht Damen so auf einem Schachbrett, dass sie sich gegenseitig nicht bedrohen. 20

34 Das 8- Damen Problem Man plaziere acht Damen so auf einem Schachbrett, dass sie sich gegenseitig nicht bedrohen. 20

35 Das 8- Damen Problem Aussagenlogische Beschreibung des Problems Für jedes Feld des Schachbretts eine aussagenlogische Variable D i,j... mit der Interpretation, dass D i,j den Wert wahr hat, wenn auf dem Feld (i, j) eine Dame steht. Wir benutzen kartesische Koordinaten zur Notation von Positionen. 21

36 Das 8- Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame 22

37 Das 8- Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame 22

38 Das 8- Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame 22

39 Das 8- Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame Einschränkungen für D 57 FE 5,7 D 5,7 D 5,8 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 D 5,7 D 4,7 D 3,7 D 2,7 D 1,7 D 6,7 D 7,7 D 8,7 D 5,7 D 6,8 D 4,6 D 3,5 D 2,4 D 1,3 D 5,7 D 4,8 D 6,6 D 7,5 D 8,4 23

40 Das 8- Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame Einschränkungen für D 57 FE 5,7 D 5,7 D 5,8 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 D 5,7 D 4,7 D 3,7 D 2,7 D 1,7 D 6,7 D 7,7 D 8,7 D 5,7 D 6,8 D 4,6 D 3,5 D 2,4 D 1,3 D 5,7 D 4,8 D 6,6 D 7,5 D 8,4 Entsprechende Einschränkungen für jedes Feld! 23

41 Das 8- Damen Problem Globale Einschränkungen Eigentlich: Es müssen genau 8 Felder belegt sein 24

42 Das 8- Damen Problem Globale Einschränkungen Wir mogeln Für jedes k mit 1 k 8: R k D 1,k D 2,k D 3,k D 4,k D 5,k D 6,k D 7,k D 8,k 24

43 Das 8- Damen Problem Globale Einschränkungen Wir mogeln Für jedes k mit 1 k 8: R k D 1,k D 2,k D 3,k D 4,k D 5,k D 6,k D 7,k D 8,k Jede Zeile hat mindestens eine Dame 24

44 Das 8- Damen Problem Eine aussagenlogische Struktur beschreibt eine Lösung des Acht- Damen Problems genau dann, wenn sie ein Modell der Formeln ist F i,j für alle 1 i, j 8 R k für alle 1 k 8 25

45 Beispiel: Sudoku 26

46 Sudoku: Lösung

47 Sudoku Wir führen für jede Zellenposition (i, j) des Sudoku und jede Zahl k zwischen 1 und 9 eine Boolesche Variable D k i,j ein, mit der Vorstellung, daß D k i,j den Wert wahr hat, wenn auf dem Feld (i, j) die Zahl k steht. Wir benutzen kartesische Koordinaten zur Notation von Positionen. Beispiel: D9,1 9 wahr, wenn in der rechten unteren Ecke die Zahl 9 steht. 28

48 Sudoku Ziffer 1 mindestens einmal in der ersten Zeile D 1 1,9 D1 2,9 D1 3,9 D1 4,9 D1 5,9 D1 6,9 D1 7,9 D1 8,9 D1 9,9 29

49 Sudoku Ziffer 1 mindestens einmal in der ersten Zeile D 1 1,9 D1 2,9 D1 3,9 D1 4,9 D1 5,9 D1 6,9 D1 7,9 D1 8,9 D1 9,9 Ziffer 1 mindestens einmal in der ersten Spalte D 1 1,1 D1 1,2 D1 1,3 D1 1,4 D1 1,5 D1 1,6 D1 1,7 D1 1,8 D1 1,9 29

50 Sudoku Ziffer 1 mindestens einmal in der ersten Zeile D 1 1,9 D1 2,9 D1 3,9 D1 4,9 D1 5,9 D1 6,9 D1 7,9 D1 8,9 D1 9,9 Ziffer 1 mindestens einmal in der ersten Spalte D 1 1,1 D1 1,2 D1 1,3 D1 1,4 D1 1,5 D1 1,6 D1 1,7 D1 1,8 D1 1,9 Ziffer 1 mindestens einmal in der Region links unten D 1 1,1 D1 1,2 D1 1,3 D1 2,1 D1 2,2 D1 2,3 D1 3,1 D1 3,2 D1 3,3 29

51 Sudoku In jeder Zelle höchstens eine Zahl (D 1 1,1 D2 1,1 ), (D1 1,1 D3 1,1 ), (D1 1,1 D4 1,1 ), (D1 1,1 D5 1,1 ), (D 1 1,1 D6 1,1 ), (D1 1,1 D7 1,1 ), (D1 1,1 D8 1,1 ), (D1 1,1 D9 1,1 ), (D 2 1,1 D3 1,1 ), (D2 1,1 D4 1,1 ), (D2 1,1 D5 1,1 ), (D2 1,1 D6 1,1 ), (D 2 1,1 D7 1,1 ), (D2 1,1 D8 1,1 ), (D2 1,1 D9 1,1 ), (D3 1,1 D4 1,1 ), usw... 30

52 Sudoku Allgemein für alle 1 i, j, s, t 9 mit s < t. Ergibt = 2916 Formeln. (D s i,j D t i,j ) 31

53 Zusammenfassung 32

54 Einführung: Zusammenfassung Ziel und Rolle der Formalen Logik in der Informatik 33

55 Einführung: Zusammenfassung Ziel und Rolle der Formalen Logik in der Informatik Modellierung, Adäquatheit der Modellierung 33

56 Einführung: Zusammenfassung Ziel und Rolle der Formalen Logik in der Informatik Modellierung, Adäquatheit der Modellierung Wesentliche Komponenten für jede Logik: Syntax, Semantik, Deduktionsmeachanismus (Kalkül) Beispiel Aussagenlogik: Syntax, Sematik, Syllogismen 33

57 Einführung: Zusammenfassung Ziel und Rolle der Formalen Logik in der Informatik Modellierung, Adäquatheit der Modellierung Wesentliche Komponenten für jede Logik: Syntax, Semantik, Deduktionsmeachanismus (Kalkül) Beispiel Aussagenlogik: Syntax, Sematik, Syllogismen The Whole Picture: Formel in der wahren Welt / (semantisch) gültige Formel, gültige Formel / ableitbare Formel Vollständigkeit und Korrektheit von Kalkülen 33

58 Einführung: Zusammenfassung Ziel und Rolle der Formalen Logik in der Informatik Modellierung, Adäquatheit der Modellierung Wesentliche Komponenten für jede Logik: Syntax, Semantik, Deduktionsmeachanismus (Kalkül) Beispiel Aussagenlogik: Syntax, Sematik, Syllogismen The Whole Picture: Formel in der wahren Welt / (semantisch) gültige Formel, gültige Formel / ableitbare Formel Vollständigkeit und Korrektheit von Kalkülen Beispiel für (nicht- triviale) aussagelogische Modellierungen: Acht- Damen- Problem, Sudoku 33

59 Aufgaben Modellieren Sie das 3- Stockwerk- Aufzugsproblem. Geben Sie jeweils eine umgangssprachliche und eine Aussagenlogische Formulierung an. Welche wichtigen Elemente gibt es? Welche atomaren Eigenschaften sollten modelliert werden? Welche statischen Einschränkungen können beschrieben werden? Geben Sie eine Reihe von legalen und illegalen Strukturen für diese Spezifikation an. 34