Streuungsmaße von Stichproben

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1 Streuungsmaße von Stichproben S P A N N W E I T E, V A R I A N Z, S T A N D A R D A B W E I C H U N G, Q U A R T I L E, K O V A R I A N Z, K O R R E L A T I O N S K O E F F I Z I E N T Zentrale Methodenlehre, Europa Universität - Flensburg

2 Streuungsmaße: wozu? 2 Lagemaße alleine sind nicht genug, um eine Verteilung zu beschreiben ഥx = D = x = ഥx = D = x = ഥx = D = x

3 Beschreibung einer Verteilung: Maßzahlen 3 Die Verteilung eines Merkmals kann durch 2 Arten Maßzahlen beschrieben werden: Lagemaße: beschreiben die zentrale Tendenz (Zentrum, Mitte, Schwerpunkt) einer Verteilung. Streuungsmaße: beschreiben, wie die Ausprägungen des Merkmals um die zentrale Tendenz der Verteilung streuen. In dieser Präsentation werden wir Streuungsmaße für ordinale oder quantitative Merkmale kennenlernen.

4 Streuungsmaße: Spannweite Spannweite der Stichprobe (R): 4 Sei {X 1, X 2,., X n } eine geordnete Stichprobe des Merkmals X. X 1 =Min X n =Max 0% 100% Die Spannweite ist definiert als: Beispiel: R = X n X 1 = Max - Min Alter = {19, 21, 22, 22, 23, 25, 28, 29, 29, 30, 31, 31}; R = = 12 Jahre

5 Streuungsmaße: Varianz Varianz der Stichprobe (s 2 ): 5 Sei {X 1, X 2,., X n } eine Stichprobe des Merkmals X. Die Varianz ist definiert als: σ n i=1 s 2 = σ n i=1 (Xi x) ҧ 2 n 1 (X i x) ҧ 2 wird auch SAQ x genannt. SAQ heißt Summe der Abstandsquadrate. Außerdem, SAQ X = σ n i=1 X 2 i nxҧ 2

6 Streuungsmaße: Varianz 6 Beispiel: X = Alter = {18, 21, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 30, 30, 32, 35} ; ഥx = 26 Jahre Also: Bzw.: s 2 = σ n i=1 (Xi x) ҧ 2 n 1 s 2 = = Jahre 2 SAQ X = σ n i=1 X i 2 n ҧ x 2 =? s 2 = SAQ X n 1 = = Jahre 2 = * 26 2 = 298

7 Streuungsmaße: Standardabweichung Standardabweichung der Stichprobe (s): 7 Sei {X 1, X 2,., X n } eine Stichprobe des Merkmals X. Die Standardabweichung ist definiert als: s = s 2 Beispiel: Alter = {18, 21, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 30, 30, 32, 35}; s 2 = Jahre 2 s = Jahre 2 = 5.21 Jahre

8 Perzentile (Perz i ): Streuungsmaße: Perzentile 8 Sei {X 1, X 2,., X n } eine geordnete Stichprobe des Merkmals X. X 1 =Min X n =Max 0% 100% Die Perzentile sind die Ausprägungen, die die Stichprobe in 100 1%-Teile teilen: 1% 1% 1% 50% 1% Teile Perz 1 Perz 2 Perz 3 Perz 50 Perz 99 Oder x

9 Quartile(Q i ): Streuungsmaße: Quartile 9 Sei {X 1, X 2,., X n } eine geordnete Stichprobe des Merkmals X. X 1 =Min X n =Max 0% 100% Die Quartile sind die Ausprägungen, die die Stichprobe in 4 25%-Teile teilen: 25% 25% 25% 25% Q 1 Q 2 Q 3 Oder Perz 50 Oder x

10 Streuungsmaße: Quartile 10 Wenn die Stichprobe mit Umfang n (n>100) geordnet ist, dann findet man die Quartile Q 1 und Q 3 mit der folgenden Prozedur: Q 1 = X (n+3)/4 Q 3 =X (3n+1)/4 (Quelle: Müller-Benedict, Volker: Grundkurs Statistik In Den Sozialwissenschaften, VS Verlag für Sozialwissenschaften, Auflage: 5. Aufl. 2011)

11 Streuungsmaße: Quartile 11 Beispiel: x = Q 2 = Moderate 25% der Daten überschritten Q 1 = slightly Liberal n USA: GSS % der Daten überschritten Q 3 = slightly Conservative Oder: Q 1 = X (n+3)/4 = X (1973+3)/4 Q 1 = X 494 = slightly Liberal Q 3 = X (3n+1)/4 = X ( )/4 Q 3 = X 1480 = slightly Conservative Die unteren 25% der Befragten haben eine eher liberale politische Einstellung Die oberen 25% der Befragten haben eine eher konservative politische Einstellung

12 Streuungsmaße: Boxplots 12 Boxplots sind grafische Darstellungen, die mit Hilfe der Quartile Verteilungsformen aufzeigen, z.b. für die Rechtssteile Verteilung: Min Q 1 x Q 3 Max Boxplot:

13 Streuungsmaße: Boxplots Übung: 13 Quelle: Kindepanel, Mündlicher Fragebogen für Mütter und alleinerziehende Väter, Deutsches Jugendinstitut Verteilungsform?

14 Quartilsabstand: Streuungsmaße: Quartile 14 Q A = Q 3 Q 1 2

15 Streuungsmaße: Beispiel 15 Lasst uns den ALLBUS 2010 benutzen, um die Streuungsmaße für die Antworten zu folgender Frage zu den Lagemaßen hinzuzufügen:

16 Streuungsmaße: Beispiel 16 Man hat folgende Information über die Stichprobe mit der Antworten der Befragten: Streuungsmaße interpretiert man nicht allein. Streuungsmaße werden benutzt, um die Streuung um eine Zentrale Tendenz zu beschreiben. Um die Streuung der Werte eines Merkmals zu beschreiben, kombiniert man ein Lagemaß und ein Streuungsmaß. Nicht alle Kombinationen sind sinnvoll, zum Beispiel Kombinationen mit dem Streuungsmaß der Spannweite sind nicht sinnvoll. Die bekannteste Kombination ist die mit dem Mittelwert und der Standardabweichung, obwohl diese Kombination von möglichen Ausreißern beeinflusst werden kann.

17 ҧ Beschreibung der Streuung: Mittelwert und Standardabweichung 17 Mit der Kombination der Information der Mittelwert und die Standardabweichung wird ein Intervall gebaut ( xҧ - s, x + s) das die Streuung der Werte eines Merkmals beschreiben: xҧ s ( xҧ s, x ҧ + s) = ( , ) = (5.25,7.37) (5,7) Ein bestimmter % der Antworten der Befragten streuen zwischen 5 und 7. Wie viel Prozent der Antworten streuen zwischen diese zwei Werte? Dazu können wir die Häufigkeitstabelle benutzen. Man kann entweder die relative Häufigkeit benutzen: 11.4%+22%+59.9%=93.3% oder die kumulierte relative Häufigkeit: 100%-6.7%=93.3%. Die Beschreibung der Streuung lautet also: 93.3% der Befragten antworteten mit Werten zwischen 5 und 7 zur der Frage wie wichtig ist es, eine sichere Berufsstellung zu haben, wobei 7 sehr wichtig bedeutet. Diese Kombination kann von Ausreißern beeinflusst werden. Wenn man das Problem vermeiden möchte, kann man die Kombination von Median und Semiquartilsabstand benutzen: ( x - Q A, x + Q A )

18 Streuungsmaße: Zusammenfassung Übung: 18 Info: Beschreiben Sie die Streuung der Verteilung sowohl für Ost- als auch für Westdeutschland mit und ohne Ausreißern: Welche Verteilung hat eine größere Streuung? Verteilungsform für Ost und West?

19 Streuungsmaße 19 Zusammenfassung: Streuungsmaße für die verschiedenen Skalenniveaus R s 2 s Q 1 Q 3 Q A Q A Nominal Ordinal Quantitativ

20 Streuungsmaße: Streuungsdiagramm 20 Streuungsdiagramme werden eingesetzt, um Zusammenhänge zwischen 2 quantitativen Merkmalen X und Y visuell zu untersuchen. Eine Stichprobe der zwei Merkmale X (das unabhängige Merkmal) und Y (das abhängige Merkmal) wird auf folgende Weise bezeichnet: {(X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),,(X n,y n )} In diesem Seminar werden wir lineare Zusammenhänge behandeln.

21 Streuungsmaße: Streuungsdiagramm 21 II I III IV A: Kein Zusammenhang B: positiver linearer Zusammenhang C: Negativer (inverser) linearer Zusammenhang D: positiver linearer Zusammenhang (stärker als in B)

22 Streuungsmaße: Zusammenhang zwischen 2 quantitative Merkmale 22 Um den linearen Zusammenhang zwischen 2 quantitativen Merkmalen zu analysieren, gibt es 2 Streuungsmaße, die 2 verschiedene Komponenten des Zusammenhangs beschreiben: Richtung des Zusammenhangs: Kovarianz Stärke des Zusammenhangs: Korrelationskoeffizient

23 Streuungsmaße: Kovarianz Die Kovarianz (bezeichnet als s xy ) ist definiert als: 23 s xy = σ i=1 n (Xi ഥx)(Y i ഥy) n 1 σ n i=1 (X i ഥx)(Y i ഥy) wird auch SAQ xy genannt. Außerdem: SAQ xy =σ n i=1 X i Y i nഥx ഥy Die Kovarianz zeigt die Richtung des Zusammenhangs: Wenn s xy >0: Es gibt einen positiven Zusammenhang zwischen X und Y. Wenn s xy <0: Es gibt einen negativen Zusammenhang zwischen X und Y.

24 Streuungsmaße: Korrelationskoeffizient 24 Aber: Wie stark ist der Zusammenhang? Dafür berechnen wir Pearsons Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient (bezeichnet als r xy ) ist definiert als bzw. r xy = s xy s x s y r xy = SAQ xy SAQ x SAQ y r xy liegt zwischen -1 und 1 Je näher zu 1, desto stärker ist der positiven lineare Zusammenhang zwischen X und Y Je näher zu -1, desto stärker ist der negativen lineare Zusammenhang zwischen X und Y

25 Streuungsmaße: Korrelationskoeffizient 25 A: r xy = B: r xy = C: r xy = D: r xy = 0.986

26 Streuungsmaße: Korrelationskoeffizient 26 Die Interpretation von r xy variiert je nach wissenschaftlicher Fachdisziplin. Für die Sozialwissenschaften kann man sich zum Beispiel an folgende Interpretationen orientieren:

27 Streuungsmaße: Zusammenhang zwischen 2 quantitative Merkmale Beispiel: Wir haben eine Stichprobe von n=6 Paaren (x,y), wobei: X: Bevölkerungsdichte (in pro Quadratkilometer) Y: Anzahl der Verbrechen (pro Einwohner) 27 Vermutung: Die Anzahl der Verbrechen erhöht sich, je größer die Bevölkerungsdichte ist. Fragen: 1. Richtung des Zusammenhangs? 2. Stärke des Zusammenhangs? 3. Interpretation? Wird die Vermutung bestätigt?

28 Hausaufgabe Sie haben die Schulnoten zweier Schulklassen vorliegen. Daraus wurden jeweils zwei Stichproben gezogen: Stichprobe Klasse A: 4, 4, 3, 3 Stichprobe Klasse B: 6, 6, 1, 1 Berechnen Sie den Mittelwert der beiden Stichproben. Was ergibt sich aus dem Mittelwertvergleich, gibt es Unterschiede? Berechnen Sie entsprechende Streuungsmaße (Varianz, Standardabweichung, Spannweite). Vergleichen Sie erneut die beiden Stichproben.

29 Hausaufgabe 29 Aus den PISA-Daten 2000 für Deutschland werden die Anzahl Bücher zu Hause (X) und die Lese-kompetenz (Scores, um 500 zentriert) in den Häufigkeitstabellen auf der nächsten Folie dargestellt. Die folgenden Kennwerte wurden bereits (unter Verwendung der Mittelpunkte der jeweiligen Messklasse als Datum für alle Fälle der Klasse) ermittelt (N=32416): Y i = ; x ҧ = 205,98; (Y i തy) 2 = X i 2 = ; X i Y i =

30 Hausaufgabe 30 Berechnen Sie: a) Varianz und Standardabweichung von X und Y. Wie viel % der Lesekompetenz- Scores streuen zwischen y s und y? y s y b) den Quartilsabstand für X und Y und interpretieren Sie ihn. c) die Kovarianz. Was besagt das Vorzeichen? d) die Korrelation und interpretieren Sie den Wert.

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