Musterlösung. 8 (unterschiedlich gewichtet, total 62 Punkte)

Transkript

1 BSc - Seionprüfung Regelungtechnik I (5-59-) Prof. L. Guzzella Muterlöung Dauer der Prüfung: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: Minuten 8 (unterchiedlich gewichtet, total 6 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müen nicht alle Aufgaben gelöt werden. Bei jeder Aufgabe it die Punktezahl angegeben. Falche Antworten bei den Multiple-Choice Aufgaben geben Punkteabzug. (Detaillierte Angaben ind bei den entprechenden Aufgaben zu finden.) Erlaubte Hilfmittel: A4-Blätter (4 Seiten) Die Aitenten dürfen keine Hilfe geben. Eigene elektroniche Hilfmittel ind nicht erlaubt. Für die numerichen Auwertungen erhalten Sie von un einen Tachenrechner Zur Beachtung: Löen Sie die Aufgaben auchlielich auf den vorbereiteten Blättern.

2 Seite Seionprüfung Regelungtechnik I Aufgabe (Normieren und Lineariieren) 7 Punkte Gegeben ei ein invertierte Pendel gemä Abbildung unten. Eine Punktmae ei an einem al maelo und tarr zu betrachtenden Stab befetigt. Der Stab ei im Koordinatenurprung drehbar gelagert. Der Winkel φ(t) oll über ein eintellbare Moment M(t) geregelt werden. l =.5 m m = kg g m / Die Dynamik de abgebildeten Sytem ei durch die folgende Differentialgleichung bechrieben: wobei M(t) = l m φ(t) + k(t) φ(t) + m g l co(φ(t)), () k(t) = k in(φ(t)), () dem nichtlinearen Dämpfungfaktor entpricht. a) ( Punkt) Berechnen Sie die Gleichgewichtlage(n) de Sytem für M(t) = 5 Nm. b) ( Punkte) Finden Sie für da Sytem eine Zutandraumdartellung von der Form: d dt z(t) = f(z(t), v(t)), w(t) = g(z(t), v(t)), z Rn, v R. (3) Verwenden Sie den Winkel φ(t) und die Winkelgechwindigkeit φ(t) al Zutandgröen, da Moment M(t) al Einganggröe und den Winkel φ(t) al Auganggröe. c) ( Punkte) Normieren Sie da Sytem für typiche Aulenkungen φ(t) [ π 6, +π 6 ]rad und für typiche Winkelgechwindigkeiten φ(t) [ 5, +5] rad / um die Gleichgewichtlage. d) ( Punkte) Lineariieren Sie da folgende, bereit normierte Sytem für kleine Aulenkungen um den Betriebpunkt x = [ π ] T und geben Sie die Sytemmatrizen A, b, c, d der lineariierten Zutandraumdartellung an. Bemerkung: Da Sytem it nicht die Löung au Teilaufgabe c) und kann unabhängig davon gelöt werden! ẋ (t) = x (t) ẋ (t) = u(t)x (t) π x (t)x (t) in(x (t)) y(t) = u(t) + x (t)

3 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite 3 Löung a) ( Punkt) In einer Ruhelage ind ämtliche Ableitungen gleich null. Wird nun φ(t) = φ(t) = in () eingeetzt, ergibt ich folgende Löung: M(t) = m g l co(φ(t)) ( ) ( M(t) 5 ) ( ) Nm φ(t) = arcco = arcco = arcco m g l kg m /.5 m φ(t) = ± π 4 = ±45 E gibt zwei Löungen! b) ( Punkte) Der Zutandvektor z(t), die Einganggröe v(t) und die Auganggröe w(t) ind wie folgt definiert: [ ] [ ] z (t) φ(t) z(t) = =, z (t) φ(t) v(t) = M(t), w(t) = φ(t) Damit ergibt ich folgende Zutandraumdartellung. ż (t) = f (z(t), v(t)) = z (t) (4) ż (t) = f (z(t), v(t)) = v(t) k in(z (t)) z (t) mgl co(z (t)) l m (5) w(t) = g(z(t), v(t)) = z (t) (6) c) ( Punkte) Mit den Angaben in der Aufgabentellung lät ich die Tranformationmatrix T ehr leicht betimmen. Damit die normierten Aulenkungen und die normierten Winkelgechwindigkeiten zwichen - und liegen, wird für die Normierung z, = π 6 und z, = 5 gewählt. [ ] [ z, π ] T = = 6 (7) z, 5 Der Skalierungfaktor für den Eingang v ergibt ich au (5) über die Gleichgewichtbedingung ż (t) = z (t) =, die unter a) zu z = φ = ± π 4 = ±45 geführt hat. v = k in(± π 4 ) + mgl co(±π 4 ) = 5. Der Skalierungfaktor für den Augang w ergibt ich au (6). w(t) = z (t) w y(t) = z, x (t) y(t) = x (t) w = z, = π 6 Damit lät ich nun da normierte Sytem herleiten: z, ẋ (t) = z, x (t) z, ẋ (t) = v u(t) k in(z, x (t)) z, x (t) mgl co(z, x (t)) l m w y(t) = z, x (t) v u(t) = v(t)

4 Seite 4 Seionprüfung Regelungtechnik I Oder mit allen Parametern eingeetzt: ẋ (t) = 3 π x (t) ẋ (t) = π ) u(t) k in( 6 x (t) y(t) = x (t) u(t) = M(t) ( π ) x (t) 4 co 6 x (t) d) ( Punkte) Die Sytemmatrizen A, b, c und d errechnen ich au folgenden Gleichungen: A = f x, b = f x=x u, c = g x=x x, d = g x=x u x=x u=u u=u u=u Die Funktionen f und g ind definiert al: u=u (8) f (x(t), u(t)) = [ ẋ (t) ẋ (t) ], g (x(t), u(t)) = y(t) E wird immer um ein Gleichgewichtpunkt lineariiert, darum gilt ẋ (t) = ẋ (t) =. Über die Gleichung ẋ (t) = lät ich u betimmen. Damit it der Gleichgewichtpunkt betimmt: x = [ π ], u = Damit laen ich nun die Sytemmatrizen nach (8) berechnen: [ ] A = u(t) π x (t) co(x (t)) π x = (t) x=x u=u [ ] [ ] b = = x (t) x=x π u=u c = [ ] x=x u=u = [ ] d = [] x=x u=u = [] [ ]

5 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite 5 Aufgabe (Nyquit-Plot, Nyquit-Kriterium) 7 Punkte a) ( Punkte) Gegeben it folgende Strecke P() = +. Berechnen Sie zuert für w + den Realteil von P(jω). Skizzieren Sie dann den Frequenzgang der Strecke für ω [, ] im unten vorbereiteten Nyquit-Diagramm. Hinwei: Die Durchtrittfrequenz der Strecke liegt bei rad. Im Re b) ( Punkte) Nun möchten Sie einen tabiliierenden P-Regler für die Strecke P() finden. Entcheiden Sie anhand de Nyquit-Kriterium, für welche Vertärkungen k P die Strecke mit einem P-Regler tabiliiert werden kann. c) (3 Punkte) Da Sie mit dem Reglerverhalten noch nicht zufrieden ind, benutzen Sie tatt einem P-Regler einen PD-Regler mit der Übertragungfunktion C() = Zeichnen Sie qualitativ die Einheitprungantwort de gechloenen Regelkreie in untentehende Bild. Der Einheitprung erfolgt bei Sekunde. Hinwei: Diee Teilaufgabe it unabhängig von den Ergebnien au den Teilaufgaben a) und b) löbar. Signal [-] Zeit []

6 Seite 6 Seionprüfung Regelungtechnik I Löung a) ( Punkte) Man macht folgende Grenzwertunteruchungen w + und w. P(jω) = jw ω + jω = Für w ergibt ich lim P(jω) = + j w Für w + ergibt ich lim P(jω) = j w + Für w = ergibt ich P(j ) = + j = ω + + ω (ω + ) ω j Die Nyquit-Kurve tartet für poitive Frequenzen bei (, j) und geht unter einem Winkel von 9 in den Urprung b) ( Punkte) Zuert betimmt man die Pole der Strecke. + = =, = Da der Regler elbt keine intabilen oder grenztabilen Pole hat, folgt für den offenen Regelkrei n + =, n = Laut dem Nyquit-Kriterium n c = n + + n =.5,

7 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite 7 mu der Nyuitpunkt.5 mal im Gegenuhrzeigerinn umrundet werden. Gemä dem Nyquitdiagramm de offenen Regelkreie it die erfüllt für < k P < c) (3 Punkte) Die Übertragungfunktion de gechloenen Regelkreie berechnet ich wie folgt T() = C() P() C() P() + = ( ) (+) (+) ( ) (+) (+) + = + = Die Einheitprungantwort it alo die Parallelchaltung einer Sprunganwort eine Tiefpae. Ordnung und einer negativen Impulantwort eine Tiefpae. Ordnung. Die Einheitprungantwort im Frequenzbereich berechnet ich wie folgt mit Y () = T() U() U() = ergibt ich Y () = ( + ) +. Darau folgt mit inverer Laplacetranformation y(t) = ( e t ) e t = e t. Signal [-] Zeit []

8 Seite 8 Seionprüfung Regelungtechnik I Aufgabe 3 (Regleraulegung) 7 Punkte a) (3 Punkte) Gegeben it folgende Strecke P() = ( + ) ( + ). Nun müen Sie einen PI-Regler C() aulegen. E wird gefordert, da da Regelytem eine Durchtrittfrequenz von rad und eine Phaenreerve von 45 haben oll. Betimmen Sie die beiden Reglerparameter (k P,k I ). C() = k P + k I b) ( Punkt) Beim Teten de Regler bemerken Sie, da die Regeltrecke eine zuätzliche Totzeit T von π 6 hat. Wie gro it die Phaenreerve de Sytem jetzt? c) ( Punkte) Sie bechlieen den Regler um eine Nulltelle zu erweitern. Die PI-Reglereintellungen ollen beibehalten werden. Betimmen Sie die Parameter (a,b) de erweiterten Regler C ext (), o da da Regelytem die gleichen Spezifikationen erfüllt, wie in Teilaufgabe a) definiert. C ext () = (k P + k I ) (a + b ) d) ( Punkt) Welcher Reglertruktur entpricht der erweiterte Regler? Löung 3 a) (3 Punkte) Die Kreivertärkung de Regelytem lautet für die Durchtrittfrequenz ω = rad L(j ) = P(j ) C(j ) = (j + ) (j + ) (k P + k I j ). Durch eine Umformung kann ie in der folgenden Form gechrieben werden: L(j ) = k P 3k I 3k P + k I j. Für eine Spezifikation mit einer Phaenreerve von 45 mu die Kreivertärkung bei der Durchtrittfrequenz ω = rad die folgende Form beitzen: L(j ) = j Mittel Koeffizientenvergleich erhält man ein Gleichungytem für die Betimmung der Reglerparameter. Die Löung diee Gleichungytem liefert die folgenden Zahlenwerte für die Reglerparameter: k P = k I =

9 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite 9 b) ( Punkt) Der Betrag und der Winkel von der Totzeit bei der Durchtrittfrequenz ind e j T = und {e j T } = π 6, da T = π 6 Die Totzeit verkleinert die Phaenreerve demzufolge um 3. Sie beträgt noch 5. c) ( Punkte) Da die gleichen Spezifikation wie in Teilaufgabe a) erfüllt werden ollen, mu die Nulltelle die Totzeit kompenieren. a + b jω = und {a + b jω} = + π 6 Für ω = rad mu alo gelten: 3 a + b j = + j und omit 3 a = und b = Nyquit Diagram.5 Regelkrei ohne Totzeit Regelkrei mit Totzeit Regelkrei mit Totzeit und erweitertem Regler d) ( Punkt) Die Struktur de erweiterten Regler entpricht einem PID-Regler ( + 3 ) ( + ) =

10 Seite Seionprüfung Regelungtechnik I Aufgabe 4 (Laplace Tranformation) 8 Punkte a) Ein lineare zeitinvariante SISO-Sytem wird mit dem Signal u(t) = h(t) in(t) angeregt. Dabei it h(t) die Einheitprungfunktion. Die Sytemantwort (im Zeitbereich) it gegeben durch: y(t) = h(t) ( 4 co(t) + 6 in(t) + e t( 4 co( 3t) in( )) 3t) 3 3 i) ( Punkte) Wie lautet die eingechwungene (t ) Sytemantwort? ii) iii) (3 Punkte) Berechnen Sie die Übertragungfunktion de Sytem. ( Punkte) Berechnen Sie die Antiegzeit (t 9 ) und kizzieren Sie die Einheitprungantwort de Sytem.. y(t) [-] Sytemeingang Sytemantwort - 3 Zeit [] b) Gegeben ei ein andere Sytem mit der Übertragungfunktion: P() = i) ( Punkt) Leiten Sie die zugehörige gewöhnliche Differentialgleichung in der Input/Output- Dartellung her. ii) iii) ( Punkt) Stellen Sie da Sytem P al Zutandraummodell in der teuerbaren Standardform (controller canonical form) dar. ( Punkt) Zeichnen Sie da zugehörige Signalflubild (teuerbare Standardform).

11 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite Löung 4 a) i) Für t beteht die Sytemantwort nur noch au einer Schwingung mit der Frequenz der Anregung: lim y(t) = ( ) 4 co(t) + 6 in(t) t 3 ii) E gilt: Y () = Σ() U() Die Anregung U() im Frequenzbereich kann mit der Tabelle betimmt werden: U() = L{u(t)} = + 4 Die Sytemantwort Y () im Frequenzbereich kann mit der Tabelle unter Einbeziehung der hift property betimmt werden: Y () = L{y(t)} ( = L{h(t) 4 co(t) + 6 in(t) + e t( 4 co( 3t) in( )) 3t) } 3 3 = ( ( + ) + 3 ) 3 ( + ) + = ( ( 4 + ) ( ) + ( ) ( ) + 4) 3 ( + 4) ( ) = ( ) ( + 4) ( ) Darau folgt: Σ() = = 3 ( 8 ( + 4) ( ) ) = 3 ( + 4) ( ) iii) Da Sytem it ein Sytem. Ordnung mit folgenden Eigenchaften: ω = 4 rad δ =.5 Die Antiegteit (t 9 ) kann folgendermaen approximiert werden: t 9.4 ω =.6

12 Seite Seionprüfung Regelungtechnik I Da da Sytem unterkritich gedämpft it (δ < ), wird die Sprungantwort überchwingen. Zuammen mit der Antiegzeit kann die Einheitprungantwort abgechätzt werden: y(t) [-].5 Zeit [] Sytemeingang Sytemantwort - 3 b) i) y + y + 6y = 5u + 9u + 4u ii) ( A b c d ) = iii) Siehe Abb.. u y 6 Abbildung : Signalflubild in teuerbarer Standardform

13 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite 3 Aufgabe 5 (Nebenbedingungen) Punkte Um die zu regelnde Strecke zu betimmen wird deren Sprungantwort gemeen. Die Abbildung unten zeigt da Reultat diee Experiment. y(t) r(t) a) ( Punkte) Leiten Sie die Übertragungfunktion P() der Strecke her. b) ( Punkte) Au Kotengründen dürfen Sie nur einen P-Regler C() = k p einetzen. Können Sie mit dieem Regler erreichen, da der Augang y(t) einem prungförmigen Sollwert r(t) = r h(t) für limt exakt folgt? Begründen Sie Ihre Antwort! c) (3 Punkte) Welche Einchwingzeit t 9 können Sie für da gechloene Regelytem im beten Fall erreichen, unabhängig vom eingeetzten Reglertyp? d) (3 Punkte) Fall Sie doch einen P-Regler einetzen: Wie gro it die maximale Reglervertärkung k p,max > welche Sie eintellen können, ohne da Regelytem zu detabiliieren? Welche Durchtrittfrequenz ω c de offenen Kreie L(j ω) erreichen Sie damit? Wie vergleicht ich diee Frequenz mit dem Reultat der vorherigen Teilaufgabe? Löung 5 a) Wie man au der Sprungantwort ieht, beteht die Strecke au einer Totzeit und einem Integrator. Die Übertragungfunktion der Strecke hat dehalb die Struktur Y () = P() U(), P() = e T k Die noch zu betimmenden Parameter (Einheiten in Klammern) kann man direkt au der Sprungantwort herauleen T = (), k = /4 ( )

14 Seite 4 Seionprüfung Regelungtechnik I b) Die Strecke it von Typ (ie hat einen offenen Integrator, bzw. einen Pol im Urprung) und darau folgt, da elbt ein einfacher P-Regler C() = k p genügt, um im Gleichgewichtzutand y = r zu erreichen (voraugeetzt, da da gechloene Regelytem aymptotich tabil it). Die ieht man direkt au der Übertragungfunktion de gechloenen Regelkreie Y () = T() R(), T() = und mit Hilfe de Endwertatze P() C() + P() C() = e T k k p + e T k k p r lim y(t) = lim T() R() = lim T() t = T() r = k k p r = r k k p c) Die Strecke hat eine Totzeit T =, welche ungefähr einer nichtminimalphaigen Nulltelle ζ + = /T =.5 rad/ entpricht. Diee Nulltelle limitiert die mit irgendeinem Regler realiierbare Durchtrittfrequenz nach oben, d.h. ω c <.5 ζ + =.5 rad/. Eine olche Durchtrittfrequenz entpricht aber einer minimalen Einchwingzeit von etwa t 9.7/.5 7. d) Um die maximale Reglervertärkung k p,max zu berechnen benötigt man in dieem Beipiel da Nyquitkriterium. Der Frequenzgang der offenen Regeltrecke lautet L(j ω) = k p e j ω.5 j ω Untentehende Nyquitdiagramm zeigt gerade den grenztabilen Fall, d.h für den Fall da k p = k p,max gewählt wird. - - Wenn da Sytem gerade grenztabil it, mu bei der Durchtrittfrequenz gelten L(j ω c ) = π, L(j ω c ) =

15 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite 5 Die erte Bedingung ergibt die Durchtrittfrequenz L(j ω c ) = ω c π = π ω c = π/4 Die zweite Bedingung ergibt die noch unbekannte maximale Reglervertärkung L(j ω c ) = k p,max.5 ω c = k p,max.5 π/4 = k p,max = π In der letzten Teilaufgabe wurde fetgetellt, da die maximale Durchtrittfrequenz bei etwa.5 rad/ liegt. Hier wird eine maximale Durchtrittfrequenz von π/4.78 rad/ gefunden. Dieer gröere Wert ergibt aber ein grenztabile gechloene Sytem, welche in der Praxi nicht brauchbar wäre. Um ein aymptotich tabile Verhalten zu erreichen und zudem im Regelytem eine gewie Robutheit icherzutellen, mu die Durchtrittfrequenz deutlich unter dem kritichen Wert von π/4 liegen, eben bei maximal.5 rad/.

16 Seite 6 Seionprüfung Regelungtechnik I Aufgabe 6 (Modellieren) 7 Punkte Eine Breme wurde für rotierende Wellen entwickelt. Da Erzeugen de Bremmoment wird durch da Anlegen eine Magnetfelde eingeleitet, da die Vikoität µ der Flüigkeit in der Bremeinheit ändert. Dadurch kann da Bremmoment geteuert werden. Diee Breme it unten in der Abbildung chematich dargetellt. ϑ o ϑ f (t) Welle ω (t) Flüigkeit I (t) R Die phyikaliche Einganggröe, die da Magnetfeld erzeugt, it ein elektricher Strom I, der durch eine Spule in der Bremeinheit mit dem Innenwidertand R fliet. Der Zuammenhang zwichen dem Strom und der erzeugten Vikoität kann wie folgt angeetzt werden: µ(t) = α I(t). (9) Da Drehmoment T, da durch die Breme erzeugt wird, it gegeben durch T(t) = µ(t) ω(t), () wobei ω die Winkelgechwindigkeit der rotierenden Welle it. Der Entwicklungingenieur der Breme möchte wien, wie ich die Temperatur der Flüigkeit im Betrieb ändert. Die Flüigkeit und da Gehäue der Bremeinheit können dabei al ein Körper mit der Mae m, der pezifichen Wärmekapazität c p und der Oberfläche A angenommen werden. Die Temperatur diee Körper it überall gleich der Flüigkeittemperatur ϑ f. Die Wärmequellen der Breme ind einereit die elektrich erzeugte Heizleitung P e = I(t) R und anderereit die Bremleitung P b = T(t) ω(t). Der Wärmeverlut der Bremeinheit kann wie folgt al eine Wärmeabgabe an eine Umgebung modelliert werden: Q v = h A (ϑ f (t) ϑ o ), () wobei h die Wärmedurchgangzahl, ϑ f (t) die Temperatur der Flüigkeit und ϑ o die Umgebungtemperatur ind. a) ( Punkte) Wählen Sie x(t) = ϑ f (t) ϑ o al die termiche Zutandgröe de Sytem und chreiben Sie die Differentialgleichung für die Betimmung der Flüigkeittemperatur mit Hilfe der Energiebilanz de Sytem. b) ( Punkte) Verwenden Sie die Zahlenwerte, die im Anchlu zur Teilaufgabe c) angegeben ind, und betimmen Sie die Flüigkeittemperatur im eingechwungenen Zutand (teadytate) für einen elektrichen Strom von A und einer Winkelgechwindigkeit von rad/.

17 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite 7 c) (3 Punkte) Der Ingenieur möchte nun für einen betimmten Veruch heraufinden, ob die Flüigkeittemperatur über die maximal zuläige Temperatur von 65 C teigen wird. Bei dieem Veruch wird die diipative Leitung (Summe der beiden Wärmequellen: P e + P b ) bei t = auf W geetzt und anchlieend linear mit der Zeit reduziert, bi die diipative Leitung bei t = 6 den Wert W erreicht. Fall die Flüigkeittemperatur am Anfang de Veruch gleich der Umgebungtemperatur it (ϑ f = ϑ o ), betimmen Sie den Verlauf der Temperatur für t > (Sie müen die maximale Temperatur nicht betimmen!). m = kg A = m α = Nm rad h = W m K c p ϑ o = 5 J kg K = 5 C R = ohm Löung 6 Löung 6 a) Mit Hilfe de erten Hauptatze der Thermodynamik kann die Energiebilanz wie folgt aufgechrieben werden: c p m d dt x(t) = h A x(t) + I(t) R + α I(t) ω(t). () b) Für den eingechwungenen Zutand (teady-tate) gilt d x(t) = (3) dt und dehalb erhalten wir für die Zutandgröe im eingechwungenen Zutand x = Ī R + α Ī ω. (4) h A Mit den angegebenen Zahlenwerten erhalten wir x = 5 C und damit eine Flüigkeittemperatur der Breme von ϑ f = 3 C im eingechwungenen Zutand. c) Wenn wir die diipative Leitung al Einganggröe de Sytem betrachten u(t) = I(t) R + α I(t) ω(t), (5) dann erhalten wir mit τ = c p m/h A und k = /h A die folgende Differentialgleichung eine linearen Sytem erter Ordnung: τ d x(t) = x(t) + k u(t). (6) dt Für u(t) =.t erhalten wir mit der Laplace-Tranformation τ X() = X() + k. k. (7)

18 Seite 8 Seionprüfung Regelungtechnik I Nach X() aufgelöt X() = k (τ + ). k (τ + ) (8) und durch Partielbruchzerlegung erhalten wir X() = k τ ( + τ ). k τ + τ +. k τ. k. (9) Durch Laplace-Rücktranformation erhalten wir chlielich den Verlauf der Flüigkeittemperatur für den durchgeführten Veruch x(t) = k ( e t/τ ). k τ e t/τ +. k τ. k t. ()

19 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite 9 Aufgabe 7 (Signalflubild, Sytemanalye) 8 Punkte Gegeben ei da folgende detaillierte Signalflubild eine linearen dynamichen Sytem mit Eingang u(t) und Augang y(t): u f x + + y + + f x f x3 a) ( Punkte) Leiten Sie die Sytemmatrizen A, b, c, d de gegebenen Sytem her. b) ( Punkt) It da gegebene Sytem volltändig teuerbar? Begründen Sie Ihre Auage mathematich. c) ( Punkt) It da gegebene Sytem volltändig beobachtbar? Begründen Sie Ihre Auage mathematich. d) (3 Punkte) Betimmen Sie die Sytemmatrizen A, b, c, d mit minimaler Ordnung. e) ( Punkt) Schreiben Sie die relevanten Matlabbefehle für die Löung der Teilaufgaben (b)-(d) auf. Löung 7 a) Die Löung lautet A =, b =, c = [ ], d = () b) Da Sytem it NICHT volltändig teuerbar R 3 = [ b A b A b ] = () Die Steuerbarkeitmatrix R 3 hat Rang c) Da Sytem it volltändig beobachtbar. c O 3 = c A = 3 (3) c A 3 Die Beobachtbarkeitmatrix R 3 hat Rang 3.

20 Seite Seionprüfung Regelungtechnik I d) Die Übertragungfunktion de SISO-Sytem kann augedrückt werden al, P() = C (I A) B + D. Für da gegebene Sytem ergibt ich, + P() = C B + D T ( ) = C det(i A) # # # B + D # # # ( ) # # = ( + )(( ) ) C # # + D # # = ( + )(( ) ) [ ] ( ) + D = (( ) ) ( + )(( ) ) = +. Dehalb ind die Sytemmatrizen mit minimaler Oordnung A =, b =, c =, d = (4) e) Die relevanten Matlabbefehle lauten Quetion b) c) d) Matlab-command ctrb, rank obv, rank, tf, tf

21 Seionprüfung Regelungtechnik I Seite Aufgabe 8 (Multiple-Choice) 8 Punkte Entcheiden Sie bei den folgenden Auagen, ob ie richtig oder falch ind. Markieren Sie da entprechende Kätchen mit einem Kreuz ( ). Die Antworten ind nicht zu begründen. Alle Fragen ind gleich gewichtet ( Punkt). Falch beantwortete Fragen geben je einen Punkt Abzug. Nicht beantwortete Fragen geben Punkte. Da Punkteminimum für die geamte Aufgabe beträgt Punkte. a) Eine Regeltrecke mit der Übertragungfunktion 3 kann mit einem P-Regler tabiliiert werden, deen Parameter in einem Bereich von k p [, 3] eingetellt werden kann. Richtig Falch b) Eine Regeltrecke wird mit einem PI-Regler C() = k P ( + T i ) aymptotich tabil geregelt. Vergröert man nur die Integrationzeit de Regler T i, wird die Phaenreerve de Regelytem kleiner. Richtig Falch c) Die Sytemmatrizen A, b und c eine Sytem haben minimale Ordnung. Da Sytem it daher owohl volltändig teuerbar al auch volltändig beobachtbar. Richtig Falch d) Eine Regeltrecke mit der Übertragungfunktion P() wurde mit einem PI-Regler C() = k P ( + T ) geregelt, deen Parameter k i p =.9 und T i =.34 nach Ziegler-Nichol eingetellt wurden. Aufgrund dieer Eintellwerte kann behauptet werden, da der folgende Punkt auf dem Nyquit-Plot von P(jω) liegt: P(j 5π) = (.5, j) Richtig Falch e) Die Poitionierung der Senoren in einem Sytem beeinflut deen Steuerbarkeit. Richtig Falch +3 f) Sytem A beitze die Übertragungfunktion A() = 3 + und Sytem B beitze die Übertragungfunktion B() = Die Phaenverchiebung von Sytem B it für alle Frequenzen mindeten o gro wie diejenige von Sytem A. Richtig Falch g) Fall für ein aymptotich tabile Regelytem max S(jω) = gilt, hat diee eine Vertärkungreerve von. ω Richtig Falch h) Zwei lineare Syteme beitzen identiche Nyquitplot. Darau folgt, da Sie owohl die gleiche Phaenreerve al auch die gleiche Durchtrittfrequenz haben. Richtig Falch Seien Sie alo vorichtig!

22 Seite Seionprüfung Regelungtechnik I Löung 8 a) Falch. Da charakteritiche Polynom für die Betimmung der Pole de Regelytem lautet: + 3 k p =. Darau kann der einzige Pol de Regelytem betimmt werden: π = 3 k p. Da für die maximale Eintellung k p = 3 der Realteil de Pol de Regelytem poitiv bleibt (π > ), kann da Regelytem nicht tabiliiert werden. b) Falch. Der Frequenzgang eine PI-Regler it k p kp T i j. Bei Vergröerung von T i wird der Im-Teil de Frequenzgang de PI-Regeler kleiner. Da der Re-Teil dabei gleich bleibt, wird die Phaenverchiebung der Kreivertärkung kleiner und omit die Phaenreerve gröer. c) Richtig. Bei der minimalen Realiierung eine Sytem ind die nichteuerbaren und die nicht nichbeobachtbaren Modi de Sytem in Form von Pol-Nulltellen-Kürzung aufgehoben. Dehalb it eine minimale Realiierung immer owohl volltändig teuerbar al auch volltändig beobachtbar. d) Richtig. Mit Hilfe der Eintellregeln nach Ziegler-Nichol können die kritiche Vertärkung kp = kp.45 =.9.45 = und die kritiche Schwingungperiode T = T i.85 = =.4 betimmt werden. Darau kann der kriticher Punkt (Schnittpunkt von P(j ω) mit der Real-Ache!) betimmt werden: ω = π T = π.4 = 5πrad/ und Re(P(j ω )) = k = p =.5. e) Falch. Die Senorplatzierung beeinflut die Augangmatrix de Sytem und omit hat ie nur einen Einflu auf die Beobachtbarkeit und nicht auf die Steuerbarkeit. f) Richtig, die nicht minimalphaige Nulltelle von Sytem B führt dazu, da die Phaenverchiebung von B immer gröer it al diejenige von A. g) Falch. S max = bedeutet da der Krei mit dem Radiu um den Nyquitpunkt nicht betreten wird. Da heit da Regelytem hat eine unendliche Vertärkungreerve. h) Falch. Sie beitzen zwar die gleiche Phaenreerve, haben aber ungleiche Durchtrittfrequenzen.