Technisches Lemma aus der Linearen Algebra

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1 echnisches Lemma aus er Linearen Algebra Lemma. Sei t A(t) Mat(n, n) eine glatte, matrixwertige Funktion auf em Intervall ( ε,ε), welche A(t) = I erfülle. Dann gilt: t et(a(t)) t=0 = trace(ȧ(0)). Beispiel. Sei A(t) in oberer Dreiecksform. Dann ist et(a) = a 1 a 2...a n un t et(a(t)) = ȧ 1a 2...a n +a 1 ȧ 2...a n +...+a 1 a 2...ȧ n. Wenn in t = 0 ie Beingung A(0) = I gilt, ann ist a 1 (0) =... = a n (0) = 1 un t et(a(t)) t=0 = ȧ 1 +ȧ ȧ n = trace(ȧ(0)). Bemerkung. Das Lemma folgt aus er Bemerkung, a nach em Joran-Satz jee Matrix ähnlich zur einen Matrix in oberer Dreiecksform ist un Ähnlichkeitestransformationen weer et noch trace änern. In iesem Beweis muss man aber noch mit er Glattheit kämpfen. Eine Methoe afür ist auf er nächsten Folie in er Zwischenbemerkung erklärt.

2 Lemma. Sei t A(t) Mat(n,n) eine glatte, matrixwertige Funktion auf em Intervall ( ε,ε), welche A(t) = I erfülle. Dann gilt: t et(a(t)) t=0 = trace(ȧ(0)). Beweis. Die aylor-entwicklung von A(t) in t = 0 lautet A(t) = I+tȦ(0)+O(t2 ). Da ie Determinante urch eine algebraische Formel, polynomial in en Komponenten von A(t), gegeben ist, spielt er Beitrag O(t 2 ) in t et(a(t)) t=0 keine Rolle, un eswegen können wir oba annehmen, ass A(t) = I+tȦ(0) gilt. Zwischenbemerkung. OBA können wir aher annehmen, ass A(t) in oberer Dreiecksform ist, a ie Matrix Ȧ(0) mittels einer Ähnlichkeitstransformation trigonalisierbar ist (über C). Dann ist et(a(t)) = et(i+tȧ(0)) = tn et ( A(0)+ 1 t I). Also ist et(a(t)) = t n ( χ A(0) 1 t), wobei χc := et(c ti) as charakterische Polynom von C bezeichnet. Aus LA wissen wir, ass χ C = ( 1) n t n +( 1) n 1 t n 1 trace(c)+...+et(c). Wenn C = Ȧ(0) ist un wir 1 statt t einsetzen, bekommen wir t et(a(t)) = 1 + trace(ȧ(0))t + höhere erme. Daher gilt t et(a(t)) t=0 = trace(ȧ(0))

3 Beweis es Satzes von Liouville in er Richtung = Satz 10. Der Fluss von V ist genau ann volumenerhalten, wenn seine Divergenz V 1 x Vn xn ientisch Null ist. Wir untersuchen zuerst, wie sich ie Formel für as Volumen, Vol() = 1x 1...x n, unter Diffeomorphismen verhält. Sei also φ ein Diffeomorphismus. In Koorinaten ist φ eine R n -wertige Funktion auf U R n,.h. φ(x) = y 1 (x 1,...,x n ). y n (x 1,...,x n ). Aus ANA II (oer III) kennen Sie ie Formel für Koorinatenwechsel im Integral: f(y(x))y 1...y n = f(x)et( yi )x 1...x n. φ() In unserem Fall ist f 1, also Vol(φ()) = 1y 1...y n = φ() et( yi )x 1...x n. ( )

4 Wir betrachen nun en Fluss Φ von V, also eine 1-Parameter-Familie von Diffeomorphismen Φ t. Wir nehmen an, ass y 1 (t,x 1,...,x n ) Φ t (x) =.. y n (t,x 1,...,x n ) Zuerst weren wir zeigen, ass (für jees ) ( Vol(Φ t ()) ( ) = et yi (t,x 1,...,x n) )x 1...x n = const Es ist klar, ass ie Funktion Vol(Φ t ()) eine glatte Funktion von t ist. Wir zeigen nun, ass t Vol(Φ t()) t=0 = 0. Nach er Stanarregel für as Differenzieren unter em Integral erhalten wir: ( t Vol(Φ t()) = t et yi (t,x 1,...,x n) )x 1...x n ( = t et yi (t,x 1,...,x n) )x 1...x n

5 t Volume(Φt()) = ( t et yi (t,x 1,...,xn) )x x 1...x n j ( Wir ifferenzieren also ie Determinte er Matrix yi (t,x 1,...,x n) ). In t = 0 erhalten wir wegen es Lemmas ( un wegen er Beingung y i (0,x 1,...,x n ) = x i (aher ist yi (t,x 1,...,x n) = I): ) t=0 ( ( ) t Vol(Φ t()) t=0 = trace yi (t,x 1,...,x n) t x 1...x n ) t=0 = 2 y 1(t,x 1,...,x n) t x 1 t= y n(t,x 1,...,x n) t x n t=0 x 1...x n ( ) = iv(v)x 1...x n = 0. Erklärung für ( ): Wir benutzen, ass y i(t,x 1,...,x n) t t=0 = V i. Also ist t Vol(Φ t()) = 0 für t = 0. Wegen er Eigenschaft Φ t0+t = Φ t Φ t0 erhalten wir, ass t Vol(Φ t()) = 0 in allen t = t 0 gilt.

6 Beweis es Satzes von Liouville in er Richtung = Satz 10. Der Fluss von V ist genau ann volumenerhalten, wenn seine Divergenz V 1 x Vn xn ientisch Null ist. Wir betrachten einen Punkt p mit iv(v) 0, o.b..a. iv(v) > 0. Wir nehmen einen kleinen Ball = B δ (p). Wenn δ klein genug ist, haben wir wegen Stetigkeit ie Beingung iv(v) 0 in allen Punkten es Balls. Dann, wie im Beweis in er aneren Richtung gezeigt wure, hat ie (offensichtlich glatte ) Funktion t Vol(φ()) eine positive Ableitung, für ie iv(v)x 1...x n = 0 in t = 0, was er Definition wierspricht.

7 Folgerung (bereits bewiesen). Der Hamiltonsche Fluss (auf R 2n mit Koorinaten (x 1,...,x n,p 1,...,p n )) ist volumenerhalten. Bemerkung. Dies ist nicht ie letzte Erhaltungseigenschaft es Hamiltonischen Flusses. Allerings sin in Dimension n=1 ie volumenerhaltenen Flüsse lokal-hamiltonisch: Für jees Vektorfel V(x,p) mit iv(v) = 0 gibt es eine Funktion H(x,p), soass (lokal) V = ( H ) p H x Beweis er Bemerkung. Die Beingung iv(v) = 0 lautet für n = 1 V 1 x = V2 p. Es ist aus Analysis II (oer III, oer aus er Funktionentheorie) bekannt, ass ann eine Funktion H existiert, für ie H p = V 1 un H x = V 2 (falls iese Aussage unbekannt ist, weren wir sie später, im Abschnitt Differentialformen besprechen).

8 Wieerkehrsatz von Poincaré Satz 11 (Wieerkehrsatz). U habe ein enliches Volumen un φ : U U sei ein volumenerhaltener Diffeomorphismus. Dann gilt: Für jees offene, nicht-leere W U existiert ein p W un ein k N, soass φ k (p) := φ φ(p) W. }{{} k mal In Worten: Egal wie klein ie Menge W ist, es gibt immer ein p W für as φ wieer nach W zurückkehrt. Bemerkung. Glattheit von φ un Offenheit von W sin nicht wichtig. Man braucht leiglich eine sinnvolle Definition es Volumens. In en meisten Büchern finen Sie en Satz in er allgemeinen Form Sei (Ω,σ,µ) ein ein enlicher Maßraum un φ : Ω Ω eine messbare maßerhaltene Abbilung. Dann gilt: Für jee messbare Menge W Ω mit µ(u) > 0 bilen ie Punkte x W, eren Iterierte φ n (x) nicht beliebig oft nach W zurückkehren, eine µ-nullmenge, as heißt µ{p W N soass n N : φ n (x) W} = 0. Mit aneren Worten: Fast jeer Punkt x W, kehrt vermöge φ n, n N, (unenlich oft) wieer nach W zurück. Der inverser Diffeomorphismus

9 Bemerkung. Den Beweis unserer Version es Wieerkehrsatzes kann man für en Satz in er allgemeinen Form verwenen. Auf er afel wir erklärt, ass ie Annahmen enlichen Volumens für U wichtig ist un warum nicht alle Punkte wieerkehren. Beweis es Satzes wir auf er afel besprochen.

10 Anwenungen in Mechanik un Paraoxon

11 Anwenungen es Wieerkehrsatzes in er Zahlentheorie Bsp. Betrachte ie Folge 1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,... er ersten Ziffern er Potenzen von 2,.h. 2 0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,... Kommt irgenwann ie Ziffer 7 vor? Welche Ziffer, 7 oer 8, kommt öfter vor? Antwort. Ja, 7 kommt irgenwann vor. Ferner gilt: #{m n erste Ziffer von 2 m ist 7} lim n #{m n erste Ziffer von 2 m ist 8} = log 108 log 10 7 log 10 9 log Beweis wir auf afel besprochen (un steht bei Arnol).

12 Ist 1 eine besonere Zahl? Wie viele Läner gibt es auf er Welt? Antwort: 193 Wie viele Seen hat Kanaa? Antwort: Etwa 1900 Wie viele irekte Flüsse hat Frankreich? Antwort: 119 Ist immer 1 ie erste Ziffer er Antwort? Antwort: Natürlich gibt es Gegenbeispiele. Z.B. hat Deutschlan etwa 894 Flüsse. Die vorher bewiesene Aussage zeigt aber, ass ie Wahrscheinlichkeit, ass ie erste Ziffer er Antwort gleich 1 ist, größer ist, weil ie Anzahl er kleineren Läner (Seen, Flüsse) exponential größer als ie Anzahl er größeren ist.

13 Rektifizierungssätze für Flüsse. Satz 12. Sei V ein Vektorfel mit V(p) 0. Dann gilt: Es gibt einen (lokalen) Diffeomorphismus φ mit 1 0 φ V =. 0. Beweis wir auf er afel besprochen. Schritte es Beweises: (1) Wir betrachten eine transversale Hyperebene H n 1 zu V(p). Die Koorinaten auf er Hyperebene bezeichnen wir mit y 2,...,y n. Wir betrachten einen kleinen Ball B(p) H n 1 auf er Hyperebene. (2) Wir betrachten ie Abbilung φ : ( ε,ε) B R n, φ(t,y 2,...,y n ) := Φ t (y 1,...,y n ). (3) Mit Hilfe es Satzes über ie Umkehrfunktion beweisen wir, ass ie 1 0 Abbilung ein Diffeomorphismus ist un ass φ. = V.

14 Kommutator von Vektorfeler Seien V, U zwei Vektorfeler. Wir efinieren ihren Kommutator (Bezeichnung [V, U]) urch ie Formel [V,U] i = j V j U i U j V i. Bemerkung. Diese Definition sieht stark koorinatenabhängig aus. Wir zeigen jeoch, ass sie nicht von Koorinaten abhängt:

15 Satz 13. Seien V,U zwei Vektorfeler un φ ein Diffeomorphismus. Dann gilt: φ [V,U] = [φ V,φ U]. Die erste Beobachtung, ie wir im Beweis benutzen weren, ist wie folgt: Gegeben ein Vektorfel V, betrachten wir ie Abbilung V : C (U) C (U), efiniert urch V(f) = i V i f x i (Richtungsableitung von f in Richtung V) ( ). Beobachtung 1. Diese Abbilung hängt nicht von en Koorinaten ab,.h. φ (V(f)) = φ V ( f φ 1). Beweis. Dies folgt aus er atsache, ass es eine koorinatenfreie Definition gibt, nämlich V(f) = t f(φ t(x)). Beobachtung 2. Die Abbilung V : C (U) C (U) bestimmt as Vektorfel eineutig. Beweis. Wir betrachten ie i-te Koorinatenfunktion x i, Die Formel ( ) impliziert, ass V(x i ) = V i. x 1.. x n x i.

16 [V,U] i = j V j U i U j V i. ( ) Beobachtung 3. Man kann en Kommutator er Vektorfeler V, U koorinatenfrei efinieren urch as Vektorfel W, W(f) = V(U(f)) U(V(f)). ( ) Beweis. Die Formel ( ) impliziert, ass W := [V,U] ie Eigenschaft ( ) hat: Wir zeigen zunächst, ass auf Koorinatenfunktionen: [V,U] i = [V,U](x i ) = ( ) U V i V j U i j = V(U(x i )) U(V(x i )). j Für Konstanten gilt ie Formel ebenfalls. Da in er Formel ( ) nur zweite Ableitungen vorkommen un auf Grun er aylorreihenentwicklung, reicht es aus, ie Formel zusätzlich für quaratische Funktionen er Koorinaten zu beweisen. Rechnerisch ist as einfach: [V,U](x i x k ) = j V j x k U i + j V j x i U k j U j x k V i j U j x i V k = 0.

17 Def. Wir sagen, ass zwei (oer mehr) Vektorfeler V, U kommutieren, wenn [V,U] = 0 gilt. Satz 14. Zwei Vektorfeler kommutieren genau ann, wenn ihre (lokalen) Flüsse kommutieren: Φ V t Φ U s = Φ U s Φ V t (für s,t genügen klein). Beweis wir an er afel besprochen.