ABITURPRÜFUNG 2001 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK
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- Frida Biermann
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1 ABITURPRÜFUNG 2001 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: grafikfähig) Tafelwerk 270 Minuten Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht Der Prüfungsteilnehmer wählt von den Aufgaben 1.1 und 1.2 eine und von den Aufgaben 2.1 und 2.2 und 2.3 zwei zur Bearbeitung aus. Neben jeder Teilaufgabe steht die für diese Teilaufgabe maximal erreichbare Anzahl von Bewertungseinheiten (BE).
2 2 ÖFFNUNG AM 04. MAI 2001
3 3 Aufgabe 1.1 Für jede reelle Zahl t mit t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch y t x ft (x) = 3 x = ( x R, x 0). a) Untersuchen Sie den Graphen von f t auf Symmetrie, Schnittpunkte mit der x-achse, lokale Extrem- und mögliche Wendepunkte! Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten der Punkte an! (Auf den Nachweis der Wendepunkte wird verzichtet.) Geben Sie alle Asymptoten des Graphen von f t an! 1 b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f 10 im Intervall 8 x 8! Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f, der x-achse und von der Geraden mit 10 der Gleichung 2 x = e vollständig begrenzt wird! 4 BE c) Gegeben sind die Punkte W( 6;f ( 6 ) sowie die Punkteschar R(0; r) mit Für welche Werte von r ist der Winkel Winkel? und N( 1;0 ) 10 r R. WRN ein rechter d) Untersuchen Sie für jeden der nachfolgenden Fälle, ob es Punkte mit den jeweils geforderten Eigenschaften auf dem Graphen von f t gibt und geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an! 1 Fall 1: Für t = 3 ist der Punkt P1 ( x1;f3(x1) ) mit 0 < x1 < 10 3 von der x-achse und von der y-achse gleich weit entfernt. Fall 2: Für den Punkt P 3(2; f t (2)) sind sowohl t als auch f t (2) ganze Zahlen. e) Weisen Sie nach, dass für die n-te Ableitung der Funktion f t n (n) ( 1) 2 2 gilt: ft (x) = ( 5 ( n + 2)! t x n! ) n+ 3 x n N; n 1! ( ) 5 BE 5 BE
4 4 Aufgabe 1.2 Für jede reelle Zahl k (k > 0) ist eine Funktion f k gegeben durch 1 y = fk (x) = x x ln x. k a) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f k an! Untersuchen Sie den Graphen von f k auf Schnittpunkte mit der Abszissenachse, Extrem- und Wendepunkte! Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an! b) Die lokalen Extrempunkte der Graphen aller Funktionen f k liegen auf einer Kurve. Geben Sie deren Gleichung an! Skizzieren Sie die Graphen von f 2 / 3 und f 1/ 2 für 0 < x 8 in ein und dasselbe Koordinatensystem! Geben Sie den Wertebereich der Funktion f k an! 7 BE 4 BE c) Geben Sie alle reellen Zahlen c an, für die die Gleichung c = fk (x) genau zwei Lösungen x 1 und x2 hat! d) Weisen Sie nach, dass die Funktion Fk (x) = x + ln x, x > 0, 2 k 2 eine Stammfunktion der Funktion f k ist! Die Graphen von f 2 / 3, f 1/ 2, die x-achse und die Gerade mit der Gleichung x = 1 begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche! e) Für jedes k wird im Schnittpunkt des Graphen von f k mit der x-achse die Tangente angelegt. Weisen Sie nach, dass alle diese Tangenten zueinander parallel sind und geben Sie die Größe des Schnittwinkels dieser Tangenten mit der x-achse an! 4 BE Aufgabenteile f und g auf Seite 4
5 f) An den Graphen der Funktion k 1;f Tangente und Normale gelegt. Geben Sie die Gleichung der Tangente und der Normalen an! (Hinweis: Die Normale ist die Gerade, die auf der Tangente im Punkt P senkrecht steht.) 2 Zeichnen Sie für k = Tangente und Normale in das 3 Koordinatensystem aus Aufgabenteil b ein! 5 f, 0 < k < 1, seien im Punkt ( (1) ) P k 5 BE g) Tangente und Normale im Punkt ( 1;f (1) ) P k an den Graphen von f k, 0 < k < 1, bilden mit der y-achse ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von k an! Für welches k wird dieser Flächeninhalt minimal? 5 BE
6 6 Aufgabe 2.1 In einem kartesischen Koordinatensystem sind für alle r ( r R, r 0 ) die Punkte A r ( 2r;2r; 4r), B r ( r;r; 2r), ( r;r;6r) P 3;12; 3 gegeben. C r und ( ) a) Untersuchen Sie, ob es ein r gibt, sodass die Punkte A r, C r auf einer Geraden liegen! B r und b) Zeigen Sie, dass alle Punkte A r, B r und C r unabhängig von r genau eine Ebene ε aufspannen! Geben Sie eine parameterfreie Gleichung dieser Ebene ε an! c) Gegeben ist die Ebene ε durch 4 x 2y + z = 0. Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene ε! 1 BE d) Die Punkte A r, B r, C r und P bilden eine Pyramide Ar B r C r P. Für welche Werte von r beträgt das Volumen der Pyramide 10 VE? 4 BE e) Geben Sie eine Gleichung der Ebene η an, die parallel zur Ebene ε verläuft und die den Punkt P enthält. Zeigen Sie: Die Ebene ξ mit der Gleichung 4 x 2y + z + 7,5 = 0 hat von ε denselben Abstand wie von η! f) Die Pyramide Ar B r C r P wird von der Ebene ξ geschnitten, sodass ein Pyramidenstumpf entsteht. Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina von der Pyramide A B C P und dem Pyramidenstumpf! r r r
7 7 Aufgabe 2.2 Gegeben sind die Punkte P(2; 2; 3) und Q(0; 4; 2), die Geraden g a und h durch g a : x = 1 + r 2, h : x = 2 + s 1, ( a,r,s R ) 3 a 1 1 sowie die Ebene ε mit der Gleichung 2 x y + z 4 = 0. a) Untersuchen Sie, ob es einen Wert a gibt, für den die Gerade g a auf der Ebene ε senkrecht steht! Für welchen Wert a verläuft die Gerade g a parallel zur Ebene ε? b) Zeigen Sie, dass durch die Gerade h und den Punkt P genau eine Ebene η bestimmt wird! Geben Sie für diese Ebene η eine Parametergleichung und eine Gleichung in parameterfreier Form an! c) Die Ebenen ε und η schneiden einander in einer Geraden. Geben Sie eine Gleichung für diese Schnittgerade an und bestimmen Sie die Größe des Schnittwinkels der Ebenen ε und η! d) Eine Gerade k verläuft sowohl parallel zur Ebene ε als auch zur Ebene η und enthält den Punkt Q. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden k! e) Zwei Ebenen verlaufen im Abstand d = 6 LE parallel zur Ebene ε. Geben Sie je eine Gleichung für diese Ebenen an! f) Es gibt genau ein a, sodass sich die Geraden g a und h in einem Punkt S schneiden. Ermitteln Sie eine Gleichung der Winkelhalbierenden des Schnittwinkels dieser beiden Geraden! 1 BE
8 8 Aufgabe 2.3 a) Auf einem Tisch liegen gut gemischt 10 Schachfiguren. Schachfiguren sind entweder schwarz oder weiß. Zufällig werden mit einem Griff 2 Figuren entnommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau eine weiße und genau 16 eine schwarze Figur sind, beträgt. 45 Wie viele weiße Figuren lagen auf dem Tisch? b) Die Zusammensetzung der 10 Schachfiguren wird auf 3 weiße und 7 schwarze verändert. Zufällig werden 3 Figuren entnommen, wobei die entnommene Figur jedes mal wieder zurückgelegt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den entnommenen mindestens zwei weiße Figuren sind? Bei der Herstellung von Schachfiguren tritt bei 2% ein Formfehler beim Drechseln der Figuren auf. Unabhängig davon sind nicht alle Figuren fehlerfrei lackiert. Nur 90% der hergestellten Schachfiguren sind fehlerfrei, das heißt, sie haben weder einen Form- noch einen Lackfehler. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine Figur genau einen der beiden beschriebenen Fehler? d) Zwei Firmen A und B arbeiten bei der Herstellung von Schachfiguren zusammen. 10% der Figuren der Firma A sind fehlerhaft, von denen der Firma B sind 8% fehlerhaft. Ein Viertel aller fehlerhaften Figuren sind von der Firma A. Welchen Anteil Schachfiguren liefert diese Firma? e) Genau eine der beiden Firmen A oder B liefert 500 Schachfiguren. Leider fehlen die Lieferpapiere, sodass der Hersteller nicht mehr feststellbar ist. Deshalb wird folgende Entscheidung getroffen: Sind unter diesen Schachfiguren mindestens 50 fehlerhaft, dann wird die Lieferung der Firma A zugeordnet, sonst der Firma B. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird diese Lieferung irrtümlicherweise der Firma A zugeordnet? Aufgabenteil f auf Seite 8
9 9 f) An einem Schachwettkampf nehmen 3 Spieler teil. Dabei soll Spieler A abwechselnd gegen Spieler B und Spieler C antreten. Spieler A hat den Wettkampf gewonnen, wenn er von den 3 Spielen zwei hintereinander gewonnen hat. Mehr als 3 Spiele finden nicht statt. Spieler B ist stärker als Spieler C. Untersuchen Sie, ob A zuerst gegen B oder gegen C spielen sollte, um zu gewinnen!
10 10 Normalverteilung
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