Mathematik I für MB und ME

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1 Übungsaufgaben Aufgaben zur Wiederholung Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 06/07 a) Stellen Sie die Gleichung a b 3+c = a +c, a, b > 0, nach a bzw nach c um b) Stellen Sie die Gleichung E = rq qn q, q, nach n um Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) lg(x ) + lg 3 = lg(x ), b) ln x + ln(3x 3 ) = ln(x ) +, c) x + (5 i)x + 5( i) = 0, d) x + ( i)x i = 0 3 Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen: a) 3x + x + 5, b) x + x + < 4, c) x 6 x 4 Fassen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich zusammen und vereinfachen Sie sie: (n + )! a), b) n (n )! (n )! + n! + (n)!, c) (n + )! ((n + ))! 5 Es seien u = + i und v = 4 + 3i Geben Sie u in trigonometrischer Darstellungsform an Berechnen Sie u v, u v und u0! 6 Vereinfachen Sie z = ( + i)( i) + ( i) + i und z = i 5 + i 7 7 Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen: a) z 4 = i, b) z 3 = 3 + 4i Skizzieren Sie die Lösungen in der Gauÿschen Zahlenebene 8 Von einer komplexen Zahl z seinen ϕ = π 6 und Re(z) = 3 bekannt Geben Sie z in trigonometrischer und kartesischer Form an 9 Bestimmen Sie den Punkt P auf der x-achse, der von den Punkten A = (, 4, 5) und B = ( 3,, 7) den gleichen Abstand besitzt 0 Untersuchen Sie, ob die vier Punkte A = (,, ), B = (, 3, 4), C = (0, 5, 7) und D = (, 4, 4) in einer Ebene liegen Die Gerade g geht durch die Punkte P = (,, ) und P = (, 3, 5), die Gerade g durch die Punkte Q = (, 5, ) und Q = (0,, 5) In welchem Punkt und mit welchem spitzen Winkel schneiden sich g und g? Von einem Eckpunkt eines Quadrates werden Geraden zu den Mittelpunkten der Gegenseiten gezogen Wie groÿ ist der Winkel zwischen diesen beiden Geraden?

2 3 Bestimmen Sie für die Ebene E jeweils eine Gleichung in Parameterform und eine parameterfreie Gleichung: a) E enthält die Punkte A = (, 0, ), B = (,, ) und C = (,, ), b) E enthält den Punkt A = (,, ) und der Vektor OA ist senkrecht zu E 4 Die Punkte P = (0, 0, ), P = (,, 0) und P 3 = (,, ) spannen eine Ebene auf Geben Sie die Gleichung dieser Ebene in der Form ax + by + cz = d an Bestimmen Sie den Abstand des Punktes Q = (4, 5, 3) von dieser Ebene 5 Sind die Vektoren a = (,, 3) T, b = (,, ) T, c = (,, 3) T linear abhängig oder nicht? Geben Sie im Fall linearer Abhängigkeit wenigstens eine nicht-triviale Linearkombination dieser Vektoren an, die den Nullvektor ergibt 6 a) Für welches reelle a ist die Determinante von A negativ? 0 0 A = 5 a b) Bestimmen Sie DetA und RgA für A = Ermitteln Sie die Werte a, b R, für die das lineare Gleichungssystem x y + 3z = 4 3x + y 5z = 5 x ay + 4z = b keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder eine Parameterlösung hat Geben Sie die Parameterlösung an! 8 Es sei A eine (3, 3)-Matrix mit Det A = 3 Welchen Wert hat die Determinante von 4A? 9 Berechnen( Sie alle ) reellen symmetrischen (, )-Matrizen A, die Lösung der Gleichung 4 0 A A T = sind Bestimmen Sie die inverse Matrix von A = Bestimmen Sie die Eigenwerte und alle zugehörigen Eigenvektoren für die folgenden Matrizen: a) A = 6, b) B =

3 Alle Punkte (x, y, z), die der Gleichung x x + y + 4y + z 6z = 55 genügen, liegen auf der Oberäche einer Kugel Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius dieser Kugel 0 3 Bestimmen Sie alle Schnittpunkte der Geraden r(t) = + t 4 mit der Kugel (x ) + (y ) + (z 3) = 9 4 Berechnen Sie die Grenzwerte der Zahlenfolgen a n mit (n ) 3 a) a n = (4n ) ( 5n), b) a n = ( ) n ( c) a n = ( ) n + ) n n +,, d) a n = 3 n 0 n, e) a n = 5 Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Polynome: a) P 4 (x) = x 4 + 3x 3 + 4x + x, b) P 4 (x) = x 4 6x 3 + x + 6x 3! Geben Sie die Polynome in Produktdarstellung der Linearfaktoren an! 6 Ermitteln Sie Nullstellen und Denitionsbereich der folgenden Funktionen: ( ) 5 n n 7 a) f(x) = ln(4x x ), b) f(x) = x + 5 x + 3 x +, c) f(x) = ln cos x 7 Berechnen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen: a) f(x) = x ln(x + e x ), b) f(x) = x sin x, x c) f(x) = e x sin x, d) f(x) = x e x + e x cos x, e) f(x) = sin (x 4), f) f(x) = x x x, g) f(x) = sin (x x ) + cos (x x ), h) f(x) = cos (ax) + cos(ax), i) f(x) = e 3 ln 3 sin x, j) f(x) = (cos x) x +4, k) f(x) = x x ln x, l) f(x) = e x, m) f(x) = x + x 35 8 Bestimmen Sie die n-te Ableitung der Funktion f(x) = x e x, n N 9 In welchen Punkten der Kurve y = 3 x3 x verlaufen die Tangenten parallel zur Geraden y = 4 x? 30 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve y(x) = 6 x im Punkt (x 0, y 0 ) mit x 0 =, 3 An welcher Stelle x 0 haben die Graphen von f(x) = x +x und g(x) = ln(x +) parallele Tangenten? Stellen Sie die Gleichungen dieser Tangenten auf ( ) n n + 4 n 7 3

4 3 Führen Sie Kurvendiskussionen durch für folgende Funktionen: a) y(x) = (x ) x +, b) y(x) = ln x x 33 Für die Funktion f(x) = x sind zu bestimmen: x +4 (a) alle Extremwerte und deren Art (Maximum oder Minimum), (b) Bereiche, in denen f(x) monton fallend ist und (c) Bereiche, in denen f(x) konkav ist 34 Es sei die Funktion f(x) = ln + x x gegeben (a) Geben Sie den maximalen Denitionsbereich D(f) der Funktion f(x) an (b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f(x) im gesamten Denitionsbereich D(f) 35 Geben Sie für die Funktion f(x) = e x + an (a) den Denitionsbereich D(f), (b) die Menge aller x D(f), so daÿ f(x) streng monoton wachsend ist und (c) die Menge aller x D(f), so daÿ f(x) konvex ist 36 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim x x sin x x + cos x d) lim ln x e 3x, e) lim x ( g) lim x 0 ln( + x) ) x sin x x, b) lim x 0 x(cos x ) ( x 0 x cos x x ( cos x, c) lim x 0 x 5 sin x ), x 4 ) e at e at, f) lim, t 0 t 37 Welcher von allen Kreiszylindern mit Volumen V hat die kleinste Oberäche? 38 Ein Fahrzeug soll in möglichst kurzer Zeit vom Punkt (0; 0) km zum Punkt (30; 0) km gelangen Auf der Straÿe (x-achse) kann es 50 km/h fahren, im Gelände (auÿerhalb der x-achse) dagegen nur 0 km/h An welcher Stelle der Straÿe muÿ das Fahrzeug abbiegen? 39 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden Funktionen: a) f(x, y, z)= xy e z z y z xy, b) f(x, y) = sin(x ) cos 3 y + 3x, c) f(x, y) = ln xy + ln(xy) 3 + x + y 40 Ermitteln Sie die lokalen Extremwerte der folgenden Funktionen: a) f(x, y) = (x 3 3x)(y + 3) + y(y + 6), b) f(x, y) = x y + 6x y 4y 4y 4 Für die Funktion f(x, y) = x + 3xy + y ist im Punkt P 0 = (, ) die Gleichung der Tangentialebene an die Bildäche f(x, y) in parameterfreier Form anzugeben 4

5 4 Bestimmen Sie das totale Dierential der folgenden Funktionen: a) f(x, y) = x y x y 3, b) f(x, y) = x y (x cos y) 3 43 Berechnen Sie für folgende Funktionen an den gegebenen Stellen (x 0, y 0 ) bzw (x 0, y 0, z 0 ) den Wert der Richtungsableitung in Richtung r : ( ) a) f(x, y) = y 4 (x x + y 0, y 0 ) = (, ) r = 3 ( ) y + b) f(x, y, z) = x e yz + ln (x 0, y 0, z 0 ) = (, 0, ) r = z 5