Lineare Codes. Dipl.-Inform. Wolfgang Globke. Institut für Algebra und Geometrie Arbeitsgruppe Differentialgeometrie Universität Karlsruhe 1 / 19

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1 Lineare Codes Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Institut für Algebra und Geometrie Arbeitsgruppe Differentialgeometrie Universität Karlsruhe 1 / 19

2 Codes Ein Code ist eine eindeutige Zuordnung von Zeichen aus einem gegebenen Zeichenvorrat zu einem Codewort aus einem anderen Zeichenvorrat. Matrikelnummern codieren Studenten. ASCII-Zeichen codieren das lateinische Alphabet (und etliche weitere Zeichen). Bitfolgen codieren im Rechner natürliche Zahlen und mit etwas Geschick auch einige rationale Zahlen. 2 / 19

3 Achtung Code Chiffre 3 / 19

4 Binäre Codes Wir konzentrieren uns nun auf die Codierung durch endliche Bitfolgen fester Länge k: 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0 } {{ } k In diesem Fall sprechen wir von einem binären Code. 4 / 19

5 Binäre Arithmetik Die Bits gehorchen bestimmten Regeln: AND XOR Was hat das mit dem Körper F2 = Z/2Z zu tun? / 19

6 Binäre Codes Und wenn wir gerade dabei sind... 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, c = ( ) F n 2 Wir können eine Bitfolge c der Länge n als Vektor im Vektorraum F n 2 auffassen. 6 / 19

7 Lineare Codes Ein linearer Code C ist ein Untervektorraum von F n 2. C enthält 2 k Codeworte für dim C = k n. 7 / 19

8 Nachrichtenübertragung Rauschen Nachricht x c v Codierer Kanal Decodierer e decodierte Nachricht 8 / 19

9 Effizienz vs. Fehlerkorrektur Bei der Konstruktion von Codes hat man zwei Ziele im Auge: 1 Effizienz der Darstellung. 2 Möglichkeiten zur Fehlerkorrektur. Dies sind zwei gegensätzliche Ziele: Korrekturfähigkeit wird verbessert, wenn man zusätzliche Bits zur Darstellung hinzufügt (also die Redundanz erhöht). Dadurch wird die Darstellung weniger effizient. 9 / 19

10 Fehlerkorrektur Wir betrachten die Fehlerkorrektur. Hinzufügen redundanter Bits geschieht durch Einbetten des Codes C der Dimension k in F n 2 mit n > k. Der Hamming-Abstand zweier Codeworte c = (c 1... c n ), c = (c 1... c n) ist die Anzahl der Stellen, an denen sich die beiden unterscheiden: dist(c, c ) = #{j c j c j }. Die Minimaldistanz d ist der minimale Abstand zwischen zwei Codeworten aus C, d = min{dist(c, c ) c, c C}. Sie ist entscheidend für die Fehlerkorrekturfähigkeit des Codes. 10 / 19

11 Fehlerkorrektur Die Minimaldistanz d bestimmt, wieviele Fehler erkannt bzw. korrigiert werden können. dd 1 cccc d 1 2 d 1 2 d 1 d 2 dist(c, dcc c )=5 vc C c ccc Es können bis zu d 1 Fehler erkannt oder d 1 2 Fehler korrigiert werden (hängt vom Übertragungskanal ab). 11 / 19

12 Lineare Codes vs. beliebige Codes Nutze die Vektorraumstruktur des linearen Codes: Ein beliebiger Code B ist eine Teilmenge von F n 2. Ein linearer Code C ist ein Untervektorraum von F n 2. Ein beliebiger Code B hat keine Struktur, es müssen alle Codeworte separat gespeichert werden. linearer Speicheraufwand. Ist C ein k-dimensionaler Unterraum, so reichen k Basisvektoren, um alle 2 k Codeworte darzustellen. logarithmischer Speicheraufwand. 12 / 19

13 Codierungsabbildung Nutze die Vektorraumstruktur des linearen Codes: Wir haben 2 k Informationsworte x F k 2, die wir durch Bitfolgen c der Länge n > k codieren wollen. Codierung erfolgt durch die lineare Codierungsabbildung Γ : F k 2 F n 2, x c = x G. Sie ist durch die Erzeugermatrix G definiert, deren Zeilen eine Basis unseres Codes C sind. Es ist also C = Bild Γ F n / 19

14 Fehlererkennung Nutze die Vektorraumstruktur des linearen Codes: Problem: Sender schickt ein Codewort c F n 2 Empfänger erhält v F n 2. Ein Fehler liegt vor, wenn v c gilt. Wie kann man Fehler erkennen? Prüfe, ob v ein Codewort aus C ist: Löse das LGS v = x G nach x F k 2. über den Kanal, 14 / 19

15 Fehlererkennung Der Code C ist als Untervektorraum die Lösungsmenge eines homogenen LGS. Es gibt also eine Prüfmatrix H mit G H = O. Mit H kann man ein empfangenes v auf Fehler prüfen: v C v H = / 19

16 Fehlerkorrektur Das Fehlersyndrom s von v ist s = v H F n k 2. Es hängt nur von einem additiven Fehler e ab, nicht von c: v = c + e v H = c } {{ H } +e H = e H = s. =0 Aus v kann man also das ursprüngliche Codewort c rekonstruieren, wenn man eine Lösung e des LGS findet. e H = s Zur Fehlerkorrektur finde Vektor e mit möglichst kleinem Hamming-Gewicht. Dieses Problem ist NP-schwer. 16 / 19

17 Weitere Eigenschaften und Problemstellungen Systematische Codierung: Durch geeigneten Basiswechsel S die Erzeugermatrix G auf eine einfachere Form S G bringen. Zyklische Codes: Periodische Struktur der Erzeugermatrix liefert Abschätzungen für Minimaldistanz d. Bestimmung der Minimaldistanz d bei gegebener Erzeugermatrix G. Bestimmung der maximalen Anzahl der Codeworte bei gegebener Minimaldistanz. Aufzählen aller Codeworte. 17 / 19

18 Codierungstheorie in Karlsruhe IKS (vormals IAKS Beth) Institut für Kryptographie und Sicherheit (Leitung Dr. Jörn Müller-Quade) Vorlesung: Signale, Codes und Chiffren I - II Vorlesung: Grundlagen der Computersicherheit Vorlesung: Public Key Kryptographie Vorlesung: Embedded Security diverse Praktika zur Computersicherheit 18 / 19

19 G. Goos Vorlesungen über Informatik, Band 1 (Springer) M. Grassl, W. Globke Algorithmen für Gruppen und Codes K. Jacobs, D. Jungnickel Einführung in die Kombinatorik (de Gruyter) F.J. MacWilliams, N.J.A. Sloane The Theory of Error-Correcting Codes (North-Holland) 19 / 19