Einführung in die Kodierungstheorie

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1 Einführung in die Kodierungstheorie Einführung Vorgehen Beispiele Definitionen (Code, Codewort, Alphabet, Länge) Hamming-Distanz Definitionen (Äquivalenz, Coderate, ) Singleton-Schranke Lineare Codes Hamming-Gewicht Generator/Kontrollmatrix Syndrom-Decodierung Hamming-Codes

2 Einführung

3 Vorgehen bei FEC Kanal mit Störungen Sender Encoder Decoder Empfänger Kapselung von Nutzdaten mit Redundanzen zu Codewörtern Übermittlung der Codewörter zum Empfänger Decodieren der Codewörter zu Nutzdaten + Erkennen/Beseitigen von Fehlern

4 parity check Zu senden ist ein Wort w mit der Länge von n Bits. Codierung: hänge noch ein Bit p zu den Nutzdaten so, dass folgendes gilt: n i= 0 b 0 (mod 2) wobei bb b = wp i 0 1 z.b. wird die Nachricht zu codiert. Decodierung: Ist die Summe der übertragenen Bits ungerade, deutet das auf einen Fehler hin. Eine Korrektur des Fehlers ist nicht möglich. n

5 Wiederholungscode Alphabet {A,B,C,D} Codierung: Um einen Buchstaben zu übertragen, senden wir diesen dreimal. Also für D senden wir DDD. Decodierung: Bei der Übertragung passiert ein Fehler, wir empfangen DDC. Wir decodieren nach den am öftesten auftretenden Buchstaben: D. Empfangen wir stattdessen DBC, ist die Korrektur nicht mehr möglich.

6 Hamming [7,4] code Die zu sendende Nachricht wird in Blöcke aus 4 Bits unterteilt Codierung: Jedem Block wird durch G= = Multiplikation (mod 2) mit der Matrix G ein Codewort mit 7 Bits zugewiesen. ( ) ( ) [ I P] z.b. das zu b= 1, 0, 0, 1 zugehörige Codewort wäre c: = b G 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1 (mod 2) 4

7 Hamming [7,4] code Decodierung: Bilde die Matrix H aus P und der Einheitsmatrix I 3 wie folgt: P H : = I = Angenommen, es wird statt dem gesendeten b= ein ( ) ( ) b ' = empfangen. Multipliziert man nun b mit H, so ergibt das: ( ) b' H (mod 2) Das ist die 4-te Zeile von H, also ist der Fehler an der 4-ten Stelle.

8 Definitionen Ein Code wird identifiziert mit der Menge seiner Codewörter. Symbole aus denen die Codewörter bestehen bilden ein Alphabet. Hat das Alphabet q Symbole, nennt man den Code q-när. Ein Code hat die Länge n genau dann, wenn seine Codewörter die Länge n haben. Elemente eines Codes nennt man Codewörter.

9 Hamming-Distanz Hamming-Distanz: d(u,v) ist die Anzahl der Stellen, an denen sich die Vektoren u und v unterscheiden. Minimaldistanz: d(c) ist die kleinste Hamming-Distanz zwischen den Vektoren aus C. Formal: dc ( ): = min duv (, ) uv, Cu ; v { } Minimal-Distanz-Decodierung: Korrektur der Fehler im Vektor durch das Finden eines Codeworts mit der kleinsten Hamming-Distanz zu diesem

10 Hamming-Distanz 1. Ein Code C erkennt bis zu s Fehler, wenn dc ( ) s Ein Code C korrigiert bis zu t Fehler, wenn dc ( ) 2t+ 1 Zu 1: Angenommen, ein Codewort c wird gesendet und kommt als v beim Empfänger mit bis zu d(c)-1 Fehlern an. Dann ist es kein anderes Codewort, da dcv (, ) = dc ( ) 1 < dc ( ) d C c 1 r r = c 2 r dc ( ) 1 2

11 Definitionen Einen Code C der Länge n, mit M:= C Codewörtern und minimaler Distanz d:=d(c), nennt man (n,m,d) Code. parity check ist ein (n+1,2 n,2) Code Wiederholungscode ist ein (3,4,3) Code Hamming [7,4] Code ist ein (7,2 4,3) Code Zwei Codes C und C sind äquivalent, wenn man durch Permutationen von Stellen und Symbolen aus den Codewörtern des einen die Codewörter des anderen Codes erhält. Stellenpermutation c= ( c,, c ) c' = ( c,, c ) 1 n σ(1) σ( n) Symbolpermutation c= ( c,, c ) c' = ( σ( c),, σ( c )) 1 n 1 2

12 Definitionen Haben wir einen q-nären (n,m,d) Code, so definieren wir die Coderate/Informationsrate wie folgt: log q M R = n Coderate von Wiederholungscode: Coderate von Hamming [7,4] Code: log R = = log R = = Für einen (n,m,d) Code C definieren wir den relativen Minimalabstand: d δ ( C): = n

13 Singleton-Schranke Für einen q-nären (n,m,d) Code C gilt: n d 1 M q + Beweis: Entfernt man aus jedem Codewort die letzten d-1 Symbole, erhält man M verschiedene Vektoren aus A n-(d-1). n d 1 Die Anzahl solcher Vektoren ist höchstens. q + Codes, deren Distanz die Singleton-Schranke erreicht, nennt man MDS Codes (maximum distance separable).

14 Lineare Codes Ein Linearer Code mit der Länge n und Dimension k über einem endlichen Körper K ist ein k-dimensionaler Unterraum von K n. Solchen Code nennt man [n,k] Code. Ist d :=d(c), dann nennt man den Code [n,k,d] Code. Hamming [7,4] Code ist Linear. Parity check ist Linear

15 Hamming-Gewicht Wir Definieren Hamming-Gewicht w(u) des Vektors u als die Anzahl an Stellen ungleich Null. Formal: wu ( ) = du (,0); 0 ist der Nullvektor Es sei C ein linearer Code. Dann ist d(c) gleich dem kleinsten Hamming-Gewicht aus allen Codewörtern ungleich Null. dc ( ) = min wu ( ) 0 u C { } Beweis: Es existieren zwei Codewörter v und w, so dass d(v,w)=d(c). Dann gilt dvw (, ) = wv ( w) = dc ( )

16 Generatormatrix Zur Konstruktion eines beliebigen linearen [n,k] Codes erzeugt man einen k-dimensionalen Unterraum von K n. Die (k n)-matrix G,bestehend aus k Basisvektoren, nennt man Generatormatrix (generating matrix). Die durch Permutation der Spaltenvektoren 1 0 erhaltene Matrix G= Ik P = P heißt von 0 1 reduzierter Form (systematic).

17 Kontrollmatrix Es sei C ein linearer [n,k] Code. Die Matrix H heißt Kontrollmatrix für C wenn: T v C vh = 0 Haben wir für einen Code die Generatormatrix G=[I k,p], dann ist H=[-P T,I n-k ] die Kontrollmatrix für diesen Code. 1 0 T T H = P I n k = P 0 1

18 Syndrom-Decodierung n Es sei C ein linearer [n,k] Code und Vektor u K. Die Menge u+ C = { u+ cc C} heißt Nebenklasse (coset) von C. Vektor mit dem kleinsten Hamming-Gewicht in seiner Nebenklasse heißt Nebenklassenführer (coset leader). Der Vektor S(u)=uH T heißt Syndrom von u. Zwei Vektoren u, v gehören zur selben Nebenklasse genau dann, wenn sie den gleichen Syndrom haben. Formal: u v C T ( u v) H = 0 T T Su ( ) = uh = vh = Sv ( )

19 Syndrom-Decodierung Syndrom-Decodierungs-Algorithmus: 0. Initialisierung: Erstelle Tabelle mit Nebenklassenführern und den dazugehörigen Syndromen 1. Berechne Syndrom S(r)=rH T für den empfangenen Vektor r. 2. Finde in der Tabelle den Nebenklassenführer c 0 mit dem gleichen Syndrom S(c 0 )=S(r) 3. Decodiere r als r-c 0

20 Hamming-Codes Binäre Hamming-Codes haben folgende Parameter: 1. Code-Länge: n=2 m Dimension: k=2 m -m-1 3. Minimal-Distanz: d=3 Für einen binären Hamming-Code der Länge n: 1. erstelle (m n)-matrix deren Spalten allen binären m-tupeln ungleich Null entsprechen. 2. durch Überführung der Matrix in reduzierte Form (systematic) erhalten wir die Kontrollmatrix H für den Hamming [n,k] Code 3. dann bildet man aus H=[-P T,I n-k ] die Generatormatrix G=[I k,p]

21 Hamming-Codes Hamming-Decodierungs-Algoritmus: 1. Berechne Syndrom S(y)=yH T für den empfangenen Vektor y. Wenn S(y)=0, dann gibt es keine Fehler. 2. Sonst, suche die Position j der Spalte von H die gleich dem transponierten Syndrom ist. 3. Ändere das j-te Bit von y und gebe das Ergebnis zurück.

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