(2) i = 0) in Abhängigkeit des Zeitunterschieds x ZeitBus ZeitAuto für seinen Arbeitsweg.) i = 1) oder Bus ( y

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1 5. Probt-Modelle Ökonometre II - Peter Stalder "Bnar Choce"-Modelle - Der Probt-Ansatz Ene ncht drekt beobachtbare stochastsche Varable hängt von x ab: x u 2 u ~ N(0, ( Beobachtet wrd ene bnäre Varable nach folgender Regel: falls 0 sonst 0 (2 Zum Bespel: Pendler wählt Auto ( = oder Bus ( = 0 n Abhänggket des Zetunterscheds x ZetBus ZetAuto für senen Arbetsweg. In der grafsch dargestellten Stuaton stegt de Wahrschenlchket Prob ( 0 mt wachsendem x (blau schrafferte Flächen: x x Multplkaton von, und mt ener belebgen Konstanten st n desem Modell beobachtungsäquvalent. Deshalb wrd auf normert: u ~ N(0,.

2 5. Probt-Modelle Ökonometre II - Peter Stalder 2 Gemäss ( glt: Folglch: 0 u ( x und 0 u ( x Prob( Prob( 0 Prob ( u ( x Bezechnet f(u de Dchtefunkton der Standardnormalvertelung, so glt: Prob( u a a f( udu F( a f(u f(u: Dchtefunkton F(a 0 a u 0.5 F(a F(a: Kumulatve Vertelungsfunkton 0 a Folglch kann man schreben: Prob( Prob ( u ( x Prob( u x F( x Schätzung der Modellparameter und nach dem "Maxmum Lkelhood"- Verfahren.

3 5. Probt-Modelle Ökonometre II - Peter Stalder 3 Exkurs: "Maxmum Lkelhood"-Schätzung Allgemen formulert werden n ener ML-Schätzung de Modellparameter so bestmmt, dass der vorlegenden Stchprobe maxmale Wahrschenlchket zukommt (Maxmerung der Lkelhood-Funkton. Unter der Annahme enes normalvertelten Störterms lässt sch praktsch jedes Modell mt desem Verfahren schätzen. Häufg läuft ene ML-Schätzung auf ene enfache Klenstquadrateschätzung hnaus (z.b. Regresson. In bestmmten Fällen st jedoch de Klenstquadrateschätzung ncht anwendbar, so dass man explzt de Lkelhood-Funkton des Modells maxmeren muss (z.b. m Probt-Modell. Zur Verdeutlchung des ML-Verfahrens zwe smple Bespele:. Für ene Varable x legt de folgende Stchprobe vor x = 5, 6, 9, 3, 4, 2, 6. Unter welcher der folgenden ver Vertelungsannahmen N(, 2 kommt der gemachten Beobachtungsrehe de grösste Wahrschenlchket zu? a x ~ N(0, b x ~ N(0,8 c x ~ N(5, d x ~ N(5,4 Unter a wäre es extrem unwahrschenlch, ene Stchprobe we de vorlegende zu zehen; de Beobachtungswerte snd fast alle sgnfkant klener als 0. Unter b erschent de vorlegende Stchprobe etwas wenger unwahrschenlch, wel de grössere Varanz mehr Spelraum für Abwechungen nach unten lässt. Unter c legt der Mttelwert der Normalvertelung bem Stchprobenmttel, de klene Varanz macht jedoch de Beobachtungen 9 und 2 unwahrschenlch. Somt entsprcht d am ehesten ener "Maxmum Lkelhood"-Schätzung. De Parameter und 2 snd her so festgelegt, dass das Zehen ener Stchprobe we der vorlegenden durchaus möglch erschent. De Lkelhood-Funkton entsprcht dem Produkt der Dchtefunktonen für de 7 Beobachtungen, d.h. L = f(5f(6f(9f(3f(4f(2f(6, und und 2 werden so festgelegt, dass L für de gegebene Stchprobe maxmert wrd. 2. Ene Münze wrd 4 mal geworfen. Se fällt 3 mal auf Kopf und mal auf Zahl. We gross st de Wahrschenlchket für deses Ergebns unter der Annahme, dass de Münze regulär st (p = Prob(Kopf = 0.5? p ( p (Bnomal-Vertelung 3 3 We müssen wr p festlegen, damt der Stchprobe (3 mal Kopf, mal Zahl de grösstmöglche Wahrschenlchket zukommt? De Lkelhood-Funkton lautet: 4 L p 3 3 ( p Maxmerung von L (erste Abletung = 0 setzen führt zur Lösung p = Der maxmerte Wert der Lkelhood-Funkton st:

4 5. Probt-Modelle Ökonometre II - Peter Stalder 4 De Lkelhood-Funkton des Probt-Modells lautet: L F( x 0 F( x L(, (3 De Lkelhood-Funkton entsprcht dem Produkt der Wahrschenlchketen über alle Beobachtungen. Für de Beobachtungen mt = (Wahl Auto bzw. = 0 (Wahl Bus erschenen de entsprechenden Wahrschenlchketen Prob( F( x bzw. Prob( 0 F( x. Maxmerung von L bezüglch und ergbt de Schätzwerte ˆ und ˆ. Interpretaton der Schätzergebnsse Anhand der Schätzung lässt sch der Enfluss ener margnalen Erhöhung von x auf de Wahrschenlchket für Prob( = berechnen. Im Untersched zu ener lnearen Regresson st deser Enfluss ncht enfach durch gegeben, wel der Term x nnerhalb der kumulatven Normalvertelungsfunkton F(. erschent: Prob( F( x Der margnale Enfluss von x auf Prob( st durch F( x f ( x x gegeben (de Abletung der kumulatven Vertelungsfunkton F entsprcht der Dchtefunkton f. Der Effekt ener klenen Änderung von x auf Prob( hängt somt vom Nveau von x ab. Er st be x 0 am grössten, wel f(. an der Stelle 0 en Maxmum errecht bzw. F(. an der Stelle 0 maxmale Stegung aufwest. F( + x x Be mehreren erklärenden Varablen x x, x,... hängt der margnale, 2 3 Enfluss von x auch vom Nveau aller anderen erklärenden Varablen ab. j

5 5. Probt-Modelle Ökonometre II - Peter Stalder 5 Ft-Masse. Prozentualer Antel rchtg klassfzerter Realsatonen von nach der Regel: F( x 0.5 F( x Relatv guter Ft: Relatv schlechter Ft: 3 Fehlklassfzerungen 7 Fehlklassfzerungen F( + x F( + x x 0 + x 2. McFaddenR 2 : Basert auf enem Lkelhood-Rato Test. De Schätzwerte für und maxmeren de Lkelhood-Funkton (unrestrngert: L UR. Unter der Restrkton = 0 (ken Enfluss von x st F( konstant, wobe so festgelegt wrd, dass F( dem Mttelwert der entsprcht (= /n. In der Grafk entsprcht des ener horzontalen Lne, de nach dem ML-Krterum umso weter unten legt, je grösser der Antel der auf der Null-Lne st. Der unter deser Restrkton erhaltene Wert der Lkelhood-Funkton st klener (L R < L UR. Er st deutlch klener, wenn x vel erklärt. En ntutves Ft-Mass - analog zum üblchen R 2 - st: McFaddenR 2 log( LUR = log( L R Das McFaddenR 2 legt zwschen 0 und. Falls x überhaupt nchts erklärt, st L UR = L R und somt McFaddenR 2 = 0. Falls x de Realsatonen von I perfekt erklärt, st L UR =, log(l UR = 0 und folglch McFaddenR 2 =. Warum st L UR st n desem Fall glech? Wel n der Lkelhood-Funkton (3 alle Terme glech snd. Numersch brcht n desem Grenzfall de Maxmerung der Lkelhood-Funkton allerdngs zusammen.

6 5. Probt-Modelle Ökonometre II - Peter Stalder 6 Bespel Verkehrsmttelwahl ZetAuto ZetBus x ZetBus-ZetAuto =Auto, 0=Bus Dependent Varable: Y Method: ML - Bnar Probt Sample: 2 Included observatons: 2 Convergence acheved after 5 teratons Covarance matrx computed usng second dervatves Varable Coeffcent Std. Error z-statstc Prob. C alfa = X beta = Mean dependent var S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood Hannan-Qunn crter Restr. log lkelhood Avg. log lkelhood LR statstc ( df McFadden R-squared Probablt(LR stat 4.30E-05 Obs wth Dep=0 Total obs 2 Obs wth Dep= 0

7 5. Probt-Modelle Ökonometre II - Peter Stalder 7 Dependent Varable: Y Method: ML - Bnar Probt Sample: 2 Included observatons: 2 Predcton Evaluaton (success cutoff C = 0.5 Estmated Equaton Constant Probablt Dep=0 Dep= Total Dep=0 Dep= Total P(Dep=<=C P(Dep=>C Total Correct % Correct % Incorrect Total Gan Percent Gan NA Von den 2 Beobachtungen snd 2 fehlklassfzert. Für ene Beobachtung st Prob( = > 0.5, das Indvduum nmmt aber trotzdem den Bus. Für ene Beobachtung st Prob( = < 0.5, das Indvduum fährt aber trotzdem mt dem Auto zur Arbet. De zwe Fehlklassfkatonen können auch grafsch gezegt werden:.0 Prob(Y = Y alfa+beta X Wahrschenlchketen der 2 Pendler, mt dem Auto zu fahren

8 5. Probt-Modelle Ökonometre II - Peter Stalder 8.0 Geschätzte Wahrschenlchketen Effekt ener Erhöhung von x um ( Mn. zusätzlcher Zetnachtel Bus Prob(Y = d(prob(y=/dx De Pendler Nr. 2 und 3 snd fehlklassfzert: Prob(Y= Y Wetere möglche Fragestellungen: Warum st der Effekt enes zusätzlchen -mnütgen Zetnachtels des Busses be Pendler Nr. 4 am grössten und be den Pendlern Nr. 6 und 8 klen? Schätzen Se ab, we vele Pendler auf den Bus umstegen würden, falls sch de Bus-Fahrzeten halberen!