4) Automaten auf unendlichen Wörtern

Transkript

1 4) Automaten auf unendlichen Wörtern

2 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Büchi-Automaten 169 Unendliche Wörter zur Erinnerung: Linearzeit-Eigenschaft = Menge unendlicher Traces bisher kein Spezifikationsformalismus for solche Eigenschaften Möglichkeiten: Automaten Logiken algebraische Spezifikationen... zur Erinnerung: Σ endliches Alphabet Σ ω Menge aller unendlichen Wörter über Σ hier wieder Spezialfall Σ=2 AP

3 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Büchi-Automaten 170 Büchi-Automata Def. 14 Nichtdeterministischer Büchi-Automat (NBA) ist A =(Q, AP, I,δ,F ) wie ein NFA mit symbolischen Transitionsbeschriftungen. (hier Menge I Q von Initialzuständen) Lauf auf unendlichem Wort σ = A 0 A 1... ist unendliche Sequenz ρ = q 0, A 0, q 1, A 1, q 2,... mit q 0 I q i A i q i+1 für alle i N Lauf ist akzeptierend falls es unendlich viele i gibt, so dass q i F L(A) (2 AP ) ω wie üblich Sprache des Automaten

4 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Büchi-Automaten 171 Beispiele lassen sich die folgenden Sprachen mithilfe von NBA erkennen? L 1 = unendlich oft gilt q L 2 = q gilt in jedem dritten Schritt L 3 = q gilt genau in jedem dritten Schritt L 4 = q gilt nur endlich oft L 5 = wenn unendlich oft q gilt dann gilt auch unendlich oft p

5 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Büchi-Automaten 172 NBA für Klassen von LZE Invarianten und Fairness-Eigenschaften sowie reguläre Safety- und entsprechende Liveness-Eigenschaften lassen sich durch NBA spezifizieren wie sehen i.a. NBA aus für Invariante P mit Invariantenbedingung ϕ? Liveness-Eigenschaft P? Safety-Eigenschaft P mit BadPref (P) gegeben durch NFA A? Fairness-Eigenschaft mit Fairness-Constraints (P 1,...,P n )?

6 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Büchi-Automaten 173 ω-reguläre Sprachen Def. 15 Sprache L (2 AP ) ω heißt ω-regulär, fallsesnbaa gibt, so dass L = L(A). Zusammenhang zur Theorie regulärer Sprachen (endlicher Wörter) Thm. 15 (Büchi, 1962) L ω-regulär gdw. n N. reguläre Sprachen U 1, V 1,...,U n, V n mit i =1,...,n : V i und L = n i=1 U i V ω i

7 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Büchi-Automaten 174 Deterministische Büchi-Automaten Def. 16 NBA A =(Q, AP, I,δ,F) ist deterministisch (DBA), falls I =1und (q 1,ϕ 1, p 1 ), (q 2,ϕ 2, p 2 ) δ: wenn q 1 = q 2 und ϕ 1 ϕ 2 false dann p 1 = p 2 klar: jede von einem DBA erkannte Sprache ist ω-regulär. Umkehrung? Prop. 16 Die Sprache L 4 aus obigem Beispiel kann nicht von einem DBA erkannt werden.

8 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Büchi-Automaten 175 Komplementabschluss Def.: Klasse K von Mengen ist unter Komplementen abgeschlossen, falls M K: M K Bsp.: Klasse REG der regulären Sprachen Komplementabschluss wichtig für Spezifikationsformalismen: inkorrektes Programmverhalten wird somit spezifizierbar Kor. 17 Die Klasse der von DBAs erkannten Sprachen ist nicht unter Komplementen abgeschlossen. Beweis: L 1 wird von einem DBA erkannt, und L 4 =(2 AP ) ω \ L 1

9 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Büchi-Automaten 176 Komplement-Abschluss für NBA Thm. 18 (Büchi 62,Safra 88,Klarlund 91,Muller/Schupp 95,Kupferman/Vardi 01,... ) Die Klasse der ω-regulären Sprachen ist abgeschlossen unter Komplementen. alle Konstruktionen nicht einfach Techniken für NFA DFA-Umwandlung (Potenzmengenkonstruktion) schlagen fehl NBA für Komplement einer Sprache kann Größe 2 Ω(n log n) haben

10 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Büchi-Automaten 177 Das Leerheitsproblem für NBA Notation: q q,fallsesϕ gibt, so dass (q,ϕ,q ) δ und ϕ false Thm. 19 Sei A =(Q, AP, I,δ,F ) NBA. L(A) = gdw. q 0 I. q F mit q 0 q und q + q somit: Leerheitsproblem für NBA durch zweifache Graphensuche lösbar Leerheitstest in Zeit O( δ ) (ohne Erfüllbarkeitstests der Wächter an den Transitionen)

11 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Verifikation von ω-regulären LZE 178 Transitionssysteme als NBA Def.: sei A 2 AP,definiereχ A := ( Lemma 20 x A x) ( y A y) Sei T =(S,, I, L) endliches, totales LTS. Definiere A T := (S {q 0 }, AP, {q 0 },δ,s {q 0 }), wobei δ = {(q 0,χ L(q), q) q I } {(q,χ L(p), p) q p} Dann gilt L(A T )=Tr (T ). solch NBA (mit Zustände = Endzustände) heißen trivial

12 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Verifikation von ω-regulären LZE 179 Produkt aus NBA und trivialem NBA Def. 17 Sei A 1 =(Q 1, AP, I 1,δ 1, F ) NBA und A 2 =(Q 2, AP, I 2,δ 2, Q 2 ) trivialer NBA. DefiniereProdukt A 1 A 2 := (Q 1 Q 2, AP, I 1 I 2,δ,F Q 2 ), wobei δ = { (q 1, q 2 ),ϕ 1 ϕ 2, (p 1, p 2 ) (q i,ϕ i, p i ) δ i, i {1, 2}} Lemma 21 L(A 1 A 2 )=L(A 1 ) L(A 2 ) Konstruktion funktioniert i.a. nicht für zwei NBA!

13 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Verifikation von ω-regulären LZE 180 ω-reguläre Linearzeit-Eigenschaften überprüfen Thm. 22 Sei T endliches, totales LTS, P LZE, so dass (2 AP ) ω \ P = L(A P ) für einen NBA A P. T = P gdw. L(A P A T )= Beweis: T = P gdw. ρ (2 AP ) ω.ρ Tr (T )undρ P gdw. ρ (2 AP ) ω.ρ Tr (T )undρ L(A P ) gdw. Tr (T ) L(A P ) = gdw. L(A P A T ) =

14 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Verifikation von ω-regulären LZE 181 Komplexität Ist Verifikation ω-regulärer LZE schwer oder leicht? 1 Thm. 22: Reduktion von LTE-Verifikation auf Erreichbarkeit in Graphen Größe des Graphen = T A P 2 Erreichbarkeit in Graphen ist in P sogar noch leichter: NLOGSPACE 3 LTE-Verifikation ist NP-hart (Beweis?) für ω-reguläre Eigenschaften (und sogar noch weniger) sogar noch schwieriger: PSPACE-hart wo liegt hier das Problem?

15 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Generalisierte Büchi-Automaten 182 Generalisierte Büchi-Automaten Def. 18 Generalisierter NBA (GNBA) ist A =(Q, AP, I,δ,F) wie NBA, jedoch mit F 2 Q. Lauf q 0, A 0, q 1, A 1, q 2,... ist akzeptierend, falls F F q Fmitq= q i für unendlich viele i intuitiv: mehrere Akzeptanzmengen; jede muss im Büchi-Sinne erfüllt werden klar: jeder NBA kann leicht als GNBA aufgefasst werden mit F = {F }

16 GPS: Automaten auf unendlichen Wörtern Generalisierte Büchi-Automaten 183 GNBA erkennen nicht mehr als NBA Thm. 23 Für jeden GNBA A gibt es NBA A,sodassL(A )=L(A). Beweisidee: Sei A =(Q, AP, I,δ,{F 0,...,F k 1 }). Definiere A := (Q {0,...,k 1}, AP, I {0},δ, F 0 {0}), wobei ((q, i),ϕ,(p, j)) δ gdw. (q,ϕ,p) δ und j =(i + 1) mod k j = i falls q F i sonst beachte: n Zustände, k Akzeptanzmengen A = O(n k)