Algebra. (R1) Die Summe zweier Endomorphismen ist punktweise definiert, daher ist es leicht einzusehen, daß End(A) eine abelsche Gruppe bildet.

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1 Fachbereich Mathemati Prof. Dr. Nils Scheithauer Walter Reußwig TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT WS 08/ Otober 2008 Algebra 1. Übug mit Lösugshiweise Aufgabe 1 Es seie R,S Rige ud ϕ : R S ei Righomomorphismus. Zeige, daß folgede Aussage äquivalet sid: 1) Der Righomomorphismus ϕ ist ijetiv. 2) Der Righomomorphismus ϕ besitzt triviale Ker. Lösug: Wir zeige beide Impliatioe. 1) 2) Sei x erϕ), da gilt ϕx) = 0 = ϕ0), also folgt x = 0. 2) 1) Sei ϕx) = ϕy), da gilt x y erϕ), also x y = 0, also x = y. Aufgabe 2 Es sei A eie abelsche Gruppe. Zeige, daß die Mege EdA) der Edomorphisme vo A mit putweiser Additio ud Verüpfug als Multipliatio eie Rig bildet. Ist dieser Rig ommutativ? Besitzt EdA) eie Eis? Lösug: Wir reche die Rigaxiome ach: R1) Die Summe zweier Edomorphisme ist putweise defiiert, daher ist es leicht eizusehe, daß EdA) eie abelsche Gruppe bildet. R2) Für zwei Edomorphisme ϕ, ψ EdA) ist auch die Verüpfug ϕ ψ EdA). Für drei Edomorphisme ϕ, ψ, ρ EdA) gilt: Somit ist die Multipliatio assoziativ. ϕ ψ ρ) = ϕ ψ ρ) = ϕ ψ) ρ = ϕ ψ) ρ. R3) Seie ϕ 1, ϕ 2, ψ 1, ψ 2 EdA), da gilt für jedes a A: ϕ1 + ϕ 2 ) ψ 1 + ψ 2 ) ) x) = ϕ 1 + ϕ 2 ) ψ1 + ψ 2 )x) ) Also gilt wie gefordert = ϕ 1 ψ1 x) + ψ 2 x) ) + ϕ 2 ψ1 x) + ψ 2 x) ) = ϕ 1 ψ 1 x)) + ϕ 1 ψ 2 x)) + ϕ 2 ψ 1 x)) + ϕ 2 ψ 2 x)) = ϕ 1 ψ 1 x) + ϕ 1 ψ 2 x) + ϕ 2 ψ 1 x) + ϕ 2 ψ 2 x) ϕ 1 + ϕ 2 ) ψ 1 + ψ 2 ) = ϕ 1 ψ 1 + ϕ 1 ψ 2 + ϕ 2 ψ 1 + ϕ 2 ψ 2. Dieser Rig besitzt eie Eis, der Idetitätsedomporphismus leistet das Gewüschte. I der Regel ist EdA) icht ommutativ. Ei Gegebeispiel liefert die Gruppe Z Z. Ihr Edomorphismerig ist icht ommutativ, da es Matrize i M 2 Z) gibt, die icht miteiader ommutiere. Beispiele dafür solltet Ihr leicht agebe öe. Aufgabe 3 Es sei R ei Rig. Zeige, daß uter sehr schwache Vorraussetzuge a R die -Matrize mit R-Eiträge M R) für > 1 eie icht ommutative Rig bilde.

2 Lösug: Wir ehme ur a, daß es Elemete a, b R gibt mit a b 0. Da folgt aus der Rechug 0 a 0 0 ab 0 =, 0 0 b a 0 0 =. b ba die Behauptug für de Fall = 2. Eie Verallgemeieruge auf großere Matrize sollte u ebefalls icht mehr schwer sei. Aufgabe 4 Es sei R ei Rig. Ei Elemet a R heißt ilpotet, falls es eie atürliche Zahl gibt mit a = 0. Zeige: Sid a ud b ilpotete Elemete eies ommutative Rigs R, da ist auch a + b) ilpotet. Ist obige Aussage auch wahr, we wir auf die Vorraussetzug, daß R ommutativ ist, verzichte? Lösug: Es sei a m = 0 ud b = 0 für zwei atürliche Zahle m, N. OBdA öe wir m = aehme warum?). Somit gilt ach dem Satz der Vorlesug a + b) 2 = 2 2 a b 2 = 2 a b =+1 2 a b 2. I dieser Zerlegug i zwei Summe sehe wir u, daß i der erste Summe alle Terme verschwide, da b l = 0 für l ud i der zweite Summe alle Terme verschwide, da a l = 0 für l. Somit ist a + b) ilpotet. I icht ommutative Rige a die Aussage falsch sei, wie wir i M 2 C) leicht sehe: A = ud B = sid ilpotete Matrize, aber ihre Summe ist icht ilpotet, da A + B) 2 = 1l. Aufgabe 5 Es sei R ei Rig ud es seie f,g : Q R zwei Righomomorphisme. Zeige, daß die folgede Aussage äquivalet sid: 1) Für jede gaze Zahl Q gilt f) = g). 2) Für alle x Q gilt fx) = gx). Lösug: Wir zeige beide Ilusioe. 1) 2) Ageomme, wir habe zwei Righomomorphisme f, g, welche die Bediguge für 1) erfülle. Da folgt f 1 g) = f 1 f) = f1) = g1) = g 1 ) g). Multipliziere wir beide Seite vo rechts mit g 1 ), so erhalte wir 1 1 f = g, woraus die Behauptug folgt warum?). 2) 1) Hier ist ichts zu zeige.

3 Aufgabe 6 Quaterioe) Wir betrachte die Mege H := {λ := λ 0 1l + λ 1 i + λ 2 j + λ 3 : λ 0,λ 1,λ 2,λ 3 R}, als R-Vetorraum mit Basis {1l,i,j,} ud folgeder Multipliatio: λ µ = λ 0 1l + λ 1 i + λ 2 j + λ 3 µ 0 1l + µ 1 i + µ 2 j + µ 3 := λ 0 µ 0 λ 1 µ 1 λ 2 µ 2 λ 3 µ 3 ) 1l + λ 0 µ 1 + λ 1 µ 0 + λ 2 µ 3 λ 3 µ 2 ) i + λ 0 µ 2 + λ 2 µ 0 + λ 3 µ 1 λ 1 µ 3 ) j + λ 0 µ 3 + λ 3 µ 0 + λ 1 µ 2 λ 2 µ 1 ). Wir wolle zeige, daß H, +, ) 1 ei Rig ist, welcherer Rig der Quaterioe heißt. a) Mache Dir lar, daß H, +) eie abelsche Gruppe ist. b) Zeige, daß folgede R-lieare Abbildug π : H M 2 C), welche wie folgt auf der Basis vo H defiiert ist, ijetiv ist, wobei wir M 2 C) als reelle Vetorraum auffasse. 1 0 i 0 E := π1l) =, I := πi) =, i J := πj) = c) Zeige, daß π multipliativ ist. 0 1, K := π = i. i 0 d) Zeige, daß die R-lieare Hülle Q vo {E,I,J,K} eie Uterrig vo M 2 C) bildet. e) Folgere u, daß H ei Rig ud damit eie R-Algebra) mit Eis ist. Ist H ommutativ? Bildet π die Eis vo H auf die Eis vo Q ab? f) Zeige die Relatioe i 2 = j 2 = 2 = ij = 1, ij = ji, j = j, i = i. Mit formaler Multipliatio, wird der R-Vetorraum, der durch die Basis {1l, i, j, } erzeugt wird, mit obige Relatioe ebefalls zum Rig der Quaterioe, we wir verlage, daß 1l mit alle adere Elemete ommutiert, vgl. z. B. [Jatze, Algebra] p. 300ff. g) Zeige, daß jedes Elemet vo H {0} ivertierbar ist. Überlege, wie das Iverse zu eiem Quaterio aussieht. h) Überlege, warum Du i dieser Aufgabe gezeigt hast, daß es eie Gruppestrutur auf der Eiheitsugel des R 4, 2 ) gibt. Lösug: a) Ei Vetorraum ist per Defiitio bezüglich der Additio eie abelsche Gruppe. b) Die Aussage ist äquivalet dazu, zu zeige, daß {E, I, J, K} i M 2 C) R-liear uabhägig ist. Dies zu zeige, ist leicht, da 1 ud i über R liear uabhägig sid. 1 Sir William Rowa Hamilto ), irischer Mathematier ud Physier) ostruierte 1843 obige Verallgemeierug der omplexe Zahle auf eie 4-dimesioale reelle Raum. Ihm zu Ehre werde die Quaterioe mit H bezeichet.

4 c) Dies folgt leicht, we wir us aschaue, wie das Produt der Bilder zweier Quaterioe λ, µ H i Q aussieht: λ0 + λ πλ) = πλ 0 1l + λ 1 i + λ 2 j + λ 3 = 1 i λ 2 + λ 3 i λ 2 + λ 3 i λ 0 λ 1 i µ0 + µ πµ) = πµ 0 1l + µ 1 i + µ 2 j + µ 3 = 1 i µ 2 + µ 3 i µ 2 + µ 3 i µ 0 µ 1 i a11 a πλ) πµ) =: 12 =: A, a 21 a 22 wobei die omplexe Zahle a 11, a 12, a 21, a 22 C via Matrixmultiplilatio zu bereche sid. Wir erhalte beispielsweise a 11 = λ 0 µ 0 λ 1 µ 1 λ 2 µ 2 λ 3 µ 3 ) + λ 1 µ 0 + λ 0 µ 1 + λ 2 µ 3 λ 3 µ 2 ) i. Reche wir alle diese Zahle aus, sehe wir, daß die Matrix A wieder i imπ) liegt, somit geau ei Urbild ν H hat. Die Koeffiziete dieses Quaterios bestimme sich eideutig aus de Eiträge vo A, z. B. gilt ν 0 = 1 2 a 11 + a 22 ). Reche wir das oret aus, stelle wir fest, daß ν = λ µ gilt, also gilt πλ µ) = πλ) πµ) für alle Quaterioe λ, µ H. d) Aus c) wird lar, daß das Produt zweier Matrize aus Q wieder i Q liegt, da das Produt ebefalls Bild eies Quaterios aus H ist. e) Da π : H Q bijetiv ist ud Produte erhält, ist π 1 ebefalls bijetiv ud erhält Produte. Damit ist H, +, ) aber ei Rig, da Q ei Rig ist, ud somit alle Rigaxiome, die i M 2 C) gelte, auch i H gelte müsse. Dieser ist icht ommutativ, wie aus Nachreche der Relatioe i f) sofort folgt. Weiter bildet π die Eis i H auf die Eis i Q ab. Also ist H ei ichtommutativer Rig mit Eis. f) Die Rechuge sid leicht. g) Die Ivertierbareit eies Quaterios λ H ist mit dem, was wir bereits bewiese habe, äquivalet zur Ivertierbareit vo πλ) Q. I M 2 C) öe wir aber leicht Ivertierbareit mit der Determiate etscheide: ) λ0 + λ detπλ)) = det 1 i λ 2 + λ 3 i = λ λ λ λ 2 λ 2 + λ 3 i λ 0 λ 1 i 3. Die Determiate ist also geau da 0, we das Quaterio 0 ist. Somit folgt die Behauptug. Weiter ist das Ivertiere vo 2 2-Matrize leicht. Wir erhalte ) λ 1 = π 1 πλ 1 )) = π 1 πλ) 1 ) = π 1 1 λ0 λ λ λ2 1 + λ i λ 2 λ 3 i. λ2 λ 3 2 λ 3 i λ 0 + λ 1 i h) Wir sehe, die Elemete aus H mit eulidischer Norm 1 werde geau auf die Matrize i Q mit Determiate 1 abgebildet. Die Matrize mit Determiate 1 bilde aber eie Utergruppe vo Q. Da diese Idetifiatio ijetiv ist, erhalte wir auf der Eiheitsugel eie Gruppestrutur. Ma a zeige, daß diese Gruppe isomorph ist zur SU 2 C). Hausübuge Aufgabe H1 Frobeius-Homomorphismus) Es sei p N eie Primzahl ud R ei ommutativer Rig mit Eis ud Charateristi p.

5 a) Zeige die Aussage aus der Vorlesug: Für a,b R mit ab = ba gilt a + b) = a b. b) Folgere, daß die Abbildug ei Righomomorphismus ist. ϕ : R R, ϕx) := x p Lösug: a) Dies sollte ei eifacher Idutiosbeweis sei, ih vorführe zu müsse, sollte jedoch icht ötig sei. Nachzulese ist dieser z. B. im [Forster, Aalysis I, 3. Ed.], p.6, we ma hier reelle Zahl durch Zahl aus dem Rig R ersetzt. Die Vorraussetzug ab = ba ist hier etscheided. b) Die Abbildug ϕ ist auf Grud der Kommuatativität vo R multipliativ, ur die Additivität ist och achzuweise. Es seie x, y R, da folgt p p ϕx + y) = x + y) p = x y p =1 p 1 p 1 p = x p + x y p + y p = ϕx) + =1 p x y p + ϕy) Da aber alle Biomialoeffiziete i der mittlere Summe atürliche durch p teilbare Zahle sid, verschwidet dieser Term, da R Charaterisi p hat. Somit folgt die Behauptug. Aufgabe H2 Es sei R ei edlicher Rig mit Eis, wobei 1 0 gelte. Zeige, das folgede Aussage äquivalet sid: 1) Der Rig R ist ei Divisiosrig. 2) Es gibt i R eie Nullteiler. Lösug: Hier sid beide Ilusioe zu zeige. 1) 2) Sid a, b R mit a 0 ud ab = 0, so folgt aus b = a 1 a)b = a 1 ab) = 0, daß b scho 0 ist, also ei Lisullteiler sei a. Damit existiere aber auch eie Rechtsullteiler, woraus die Behauptug folgt. 2) 1) Wir folger, daß es i eiem Divisiosrig eie Lisullteiler gibt. Daraus folgt bereits die Behauptug, da es geau da Lisullteiler gibt, we es Rechtsullteiler gibt. Wir ummeriere die Elemete vo R via R = {0, r 1,..., r } ud betrachte für ei 0 r i R die Mege R i := {r i 0, r i r 1,..., r i r }. Es gilt u R i = R, de sost wäre die Abbildug R r r i r R icht surjetiv, ud da R edlich ist, auch icht ijetiv. Es gäbe also etweder ei j {1,..., } mit r i r j = 0 oder zwei verschiedee Zahle j, {1,..., } mit r i r j = r i r. Im erste Fall existierte Nullteiler, was der Vorraussetzug widerspricht. Im zweite Fall erhielte wir r i r j r ) = 0, woraus r j = r folgt, was ebefalls der Vorraussetzug widerspricht. Also ist obige Abbildug surjetiv. Damit ist aber r i rechtsivertierbar, da 1 R i. Aalog ist zu zeige, daß r i auch lisivertierbar ist, also ist r i eie Eiheit, also ist R ei Divisiosrig.