Potenzen. mit negativen ganzzahligen Exponenten. Vereinfache und fasse zusammen: 3. ( ) m m. a b c 2 a. 3b b 2 b. a c c. y 4 y. 64a b 9.

Transkript

1 Gymnsium Potenzen mit negtiven gnzzhligen Eponenten Vereinfche und fsse zusmmen: 8. ( ) :( ) =. 7k k+ 8 : = 6 0. ( ) m m ( ) m =. ( b) = b. ( ) ( bc) m b c : m = b c 6. k+ k b b b = k+ k b b 7. ( ) ( b) m m c c : mn nm = b 8. k k k y y : = k+ k ( b) 6 b 9. ( ) k 6 b = 0. + ( ) = GM_AU007 **** Lösungen Seiten (GM_LU007) ()

2 Potenzen mit negtiven gnzzhligen Eponenten Lösungen ohne Lösungsweg. 7. k k +, =. m. ( b ). b c 8 b b 6. ( ) k 7. c b 8nm 8. b y k+ k + + b 9. ( ) (k ) 6(k ) 0. - GM_AU007 **** Lösungen Seiten (GM_LU007) ()

3 Gymnsium Potenzen Potenzen mit rtionlen Eponenten Vereinfche und fsse zusmmen:. ( ) 6 6 b =. + =. ( ) + =. ( ) 6 6 =. ( + ) ( 8 + ) = w = v, 6. : ( v w ) =, 7. ( ) ( ) ( y ) 8. 8 y y y y = 9. b b + b + = GM_AU008 **** Lösungen Seiten (GM_LU008) ()

4 0. b 6 6 b =. 6 y 8 z 6 0 y z =. y y =. 8 9 y y 6 =. y y + y = y y+ y +. : = GM_AU008 **** Lösungen Seiten (GM_LU008) ()

5 Potenzen mit rtionlen Eponenten Lösungen ohne Lösungsweg b. ( ) , 6. w 6 v 7. y 8., y b 0, 0, ( + b ) b. 00 0,. + y. y 0, GM_AU008 **** Lösungen Seiten (GM_LU008) ()

6 Gymnsium Potenzen - Gemischte Aufgben Vereinfchen Sie unter der Vorussetzung, dss lle Vriblen us R + sind:. b b =. ( ) 0 : : = m+ m m m 0. bc c. : = 6 bc b. z y y y : = y z 6 z n+ n n n n+ : n+ n+ n+ b b b = b 6 b = n m n 0 n n+ b y c y : : n m n n m = y c c b p m p m+ p+ m p+ d d + d + d d d m+ + = 8. ( )( ) 9. y y + y n+ n y y n+ n n = 0. = n+ n n+ b c c + = b b m 0. ( ) : m ( c b + ) GM_AU009 **** Lösungen Seiten (GM_LU009) ()

7 Potenzen - Gemischte Aufgben Lösungen ohne Lösungsweg.. - 0,6 6 c b. ( ) = z. ( ) = c b z b 7. b y n 6n m 7n6 8. ( - d) n y y y+ n +. c 0 GM_AU009 **** Lösungen Seiten (GM_LU009) ()

8 Gymnsium Potenzgleichungen Bestimme jeweils die Lösungsmenge:.. =, = , 0 = ( 0 +, ). 7 = 0,. ( ) = 8( ) 6. ( ) ( ) 6 = = 0, 8. ( ) = 7, 9. = ( ) 6 0. ( ) ( ) 0 = = ( ) ( ) + 7 =. + 6 = 0 8 GM_AU00 **** Lösungen Seiten (GM_LU00) ()

9 Potenzgleichungen Lösungen ohne Lösungsweg { 6 }. { 6 }.. { } 6. { 7 } 7. { } 8. { } 9. { } 0. { 67 }. { 8 }. { }. { 0 } GM_AU00 **** Lösungen Seiten (GM_LU00) ()

10 Gymnsium / Relschule Eponenzilgleichungen - Teil Klsse 0 Bestimme jeweils die Lösungsmenge: G = R.... = = 8 9 = 9 + = ( ) = = 8 8 = = = 6 0. ( ) 9 = = + = 0 + = 0 = + = = + = = 0, 0, +, GM_AU0 **** Lösungen 9 Seiten (GM_LU0) ()

11 Gymnsium / Relschule Eponenzilgleichungen - Teil Klsse = ( ) ( ) 7 = 0, 7,7. ( ), + + = ( 0 ) = ( ) = + 9 = 7 + 0, = + ( ) = : ( ) = ( ) = = = 6 ( ) + 6 = 8 lg + lg + lg ( ) ( ) = GM_AU0 **** Lösungen 9 Seiten (GM_LU0) ()

12 Gymnsium / Relschule Eponenzilgleichungen - Teil Klsse 0 Ergebnisse (usführliche Lösungen in GM_LU0).. {,08... }. { 0,60... }. { 0,09... }. { 0,} 6. { } {, } {,06... } ; 6. { }. {,7... }. {, }. { 0,... }. {,78... } 6. { ; } 7. { 0, } 8. { } 9. { } 0. { 0,; }. { ; }. {, }. 6. { 0, }. { } 6. { 0,86... } 7. { 0;,... } 8. { ;,07... } 9. {,... } 0. { ; 0,8... }. { 6,... }. {, } GM_AU0 **** Lösungen 9 Seiten (GM_LU0) ()

13 Gymnsium Eponentilgleichungen - Ungleichungen Ermittle jeweils die Lösungsmenge: G = R. n < log log >.. < < 0 6. ( + ) > 0 GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

14 Eponentilgleichungen - Ungleichungen Lösungen ohne Lösungsweg. ] 7,77...; [. ] 0; [. ] ;, [. ] 0,96...; [. ] 0,068...; 0, [ 6. ],998...; [ 7. R GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

15 Gymnsium Logrithmusgleichungen - mit Unbeknnten Bestimme jeweils die Lösungsmenge: G = R Gib gegebenenflls die Definitionsmenge n! ( Bechte: log (T()) nicht def. für T() 0 ). log = 6. lg( ) =. lg 6 + =,. ( ) lg =. lg = lg 6. lglg( ) = , = lg lg 8. ( ) log + log 9 + = log 9. lg = 0. ( ) log + log = 0. ( lg ) lg 6 = 0. ( lg) lg = 0.. = 0 lg + lg = 0 +. lg 0 = + lg 6. lg( ) = 9 GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

16 7. ( 00) lg = lg = 0 9. ( lg ) lg = 0,7 log + log log + = 0. ( ). log( + ) + log log = 0 lg + lg = + lg. ( ). + = 6 log log lg + lg + = lg + lg 8. ( ) ( ). log + + log ( + ) = + log ( ) 6. lg( + ) lg = lg6 7. log + log = log 8. log log + = 0 9. ( ) ( ) log + + log = + log 0. log + log =. ( ) ( ) = ( 0,) lg. ( ) ln 0, ln ln ( ) = 0,. 0 lg 00 = log + log =. ( ) 9( ). 0, lg( 7) + lg = lg 6. 0,log ( + ) = log ( ) log ( + ) GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

17 7. 8. ( ) ( ) lg = 000 lg lg( ) lg( ) ( ) ( ) = lg = 9. ( ) lg lg 0. ( ) ( ) lg lg lg + lg =, GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

18 Gymnsium Logrithmusgleichungen - Ungleichungen Ermittle jeweils die Lösungsmenge: G = R. log >. ( ) log >., lg. 0, < lg( ) <,. log8 > log ( ) log + log 8 > 7. + lg lg 8. lg 9. lg 0, 0. lg 0, GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

19 Gymnsium / Relschule Definitionsmenge bestimmen Klssen 9 - Bestimme die mimle Definitionsmenge D m für folgende Funktionen:. 7. n mit n Z ll ( ) ll n mit n Z + 9. l l 0. ll. + ll oder. ll 6. Allgemeines: Die mimle Definitionsmenge ist immer R. Nur dort, wo der Nenner eines Bruches Null werden könnte, oder wo der Rdiknd einer Wurzel negtiv werden könnte, müssen die entsprechenden Zhlenbereiche bestimmt und von R usgeklmmert werden. GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

20 Gymnsium / Relschule Ungleichungen mit Beträgen Klssen 7 - Gib die Lösungsmenge in der Grundmenge R n:. <. > < < > GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

21 Gymnsium / Relschule Bruchgleichungen mit Vriblen Klsse 7-9 Ermittle jeweils die Lösungsmenge für mit D =. Führe wo notwendig eine Fllunterscheidung durch um den Gültigkeitsbereich der Vriblen zu bestimmen.. q + = p p 9. b = b. b = c 0. p q p = p q p+ q. c c = b. + = b. p - q = q + p. b - = - b 6. p - pq = pr - p 7. c - d = 8. - b = c 9. r + s = s - r 0. r = q p. b =. = m n m n. ( - ) = (b - ). ( - b) = (b - ). pq - r( + s) = ( - r)s 6. (p + )(q + ) = (p - )(q - ) = + b m n m+ n = m+ n m n p p = m + mp m + mp m mp + p b b + + b b b b b + = = = = b + = b + c (b c) + b = bc b b c GM_AU0 **** Lösungen 6 Seiten (GM_LU0) ()

22 Gymnsium / Relschule Ungleichungen Klssen 7 - Bestimme die Lösungsmenge (Grundmenge ist jeweils ).. - < > < b > < + + > 7. - > < > ( + ) + < > <. + <.. > <.. + > + < GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

23 Gymnsium / Relschule Gleichungen mit Beträgen Klssen 7-9 Bestimme die Lösungsmengen (Grundmenge ist jeweils ).. II = +. II = - -. II = ( + ). (II-) = -. (II-) = - 6. II - = 0 7. II - = 6 8. (II + ) = (II + ) 9. II ( + ) = ( + I I) + 0. I - I = -. I - I = -. I - I = - +. I + I = 0, +,. I - I = 0, +,. I + I = + 6. I - I = - 7. I + I = = I + I GM_AU0 **** Lösungen Seiten (GM_LU0) ()

24 Gymnsium / Relschule Ungleichungen mit Beträgen Klssen 7 - Bestimme die Lösungsmengen (Grundmenge ist jeweils ).. II -. II > -. I - I < -. I - I > -. I + I + 6. I + I + 7. I + I > ( + ) 8. I + I < ( + ) 9. I - I - 0. I - I -. I+I < I+I I - I > - - I - I. I + I < + - I + I. I + I - ( + ) ( - I + I) 6. I + I - ( + ) < + - I + I GM_AU0 **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU0) ()

25 Gymnsium / Relschule Potenzen und Wurzeln - Übungsufgben Klsse 0. Vereinfche die folgenden Terme ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) 8 6 f) ( ) 0,7 p :p 0,6 g) r s r s h) ( g ) 8g h (( h) ) i) ( b ) 6 j) ( z ) k) y 8 b b 9 y m) ( ) 9 ( ) 0 ( ) l) 6 y 0b b y o) ( ) ( ) n) ( ) 8 8 : Berechne die folgenden Terme ) ( b b + 6 b ) b b) ( ) y y + y y p q p q c) ( + y ) ( y ) d) ( n + b m ) ( n b m ) e) g) ( b ) ( + b) ( + b) ( + b) n n + h) ( + y) ( + y) m m f) + 7 i) ( ) ( ) j) 6 9 ( b ) :b + ( b) 6 8 k) ( + )( + ) + ( + ) m m Berechne die folgenden Terme ) b b c b) m m m n n n c) m n m n b c b c 8d 8 d n n m m e) ( ) :( ) : ( ) b c n m, d) ( y ) ( y) ( ) f) p + p q q q : GM_AU0 **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU0) ()

26 Gymnsium / Relschule Potenzen und Wurzeln - Übungsufgben Klsse 0 Berechne die folgenden Terme nch der verllgemeinerten binomischen Formel ) ( y z ) b) ( b c ) Vereinfche die folgenden Terme ) y 6 y : b 8b 6 b) 6 b b : y 8 y 6 8 c) 8 d) 8 e) f) g) 6 : h) 9: 7 i) 6 j) k) l) y y m) b 6 b n) 6 6 o) p) q) z z r) 8 s) t) r s r + rs+ s u) ( r+ s) 6 Bestimme die Lösung (Definitionsmenge bechten) G = ) c) e) g) = b) = 7 d) 7 = 0, f) 0,7, = 8 h) 0 = 8 = 9+ z = 8z = + + GM_AU0 **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU0) ()

27 Gymnsium / Relschule Eponenzielle Wchstums- und Abnhmevorgänge Klsse 0 Ws versteht der Mthemtiker unter Wchstum oder Abnhme (Zerfll oder negtives Wchstum) mit eponenziellem Chrkter? Wchstum oder Abnhme wird ls eponenziell betrchtet, wenn sich der Vorgng durch eine Eponenzilfunktion beschreiben lässt. Chrkteristisch drn ist, dß sich eine Größe pro Zeiteinheit um einen festen Prozentstz ändert (z.b. pro Stunde um % zunimmt). Oder etws llgemeiner formuliert: Die in Betrcht kommende Größe ändert sich in gleich lngen Zeitintervllen um den gleichen Fktor. Der reltive Zuwchs, uch Wchstumsrte gennnt, ist immer konstnt. Genu genommen geht es nicht immer nur um zeitliche Abläufe sondern gnz llgemein um ds Verhlten einer Größe in Abhängigkeit von einer nderen (wie z.b. die Lichtdurchlässigkeit ls Funktion der Dicke einer Glsscheibe). Beispiele für dieses Wchstumsverhlten finden sich in Physik, Chemie, Biologie, ber uch in der Medizin oder im Finnzwesen: + Rdioktiver Zerfll von Atomen + Wchstum einer Bkterienkultur oder einer ntürlichen Popultion während eines begrenzten Zeitrums + Auflden eines Kondenstors im Gleichstromkreis + Luftdruckveränderung mit der Höhe + Verzinsung eines Kpitls Neben kontinuierlichen Wchstumsvorgängen bezeichne ich ds Wchstum, ds nur in bestimmten Schritten erfolgt, ls schrittweises eponenzielles Wchstum. Ein Beispiel hierfür wäre die Berechnung von Zinseszinsen. Im Allgemeinen werden Zinsen nicht sofort und ständig, sondern nur zu bestimmten Terminen (z.b. Montsende) gut geschrieben. Dzwischen weist ds Konto keine Veränderung uf. Auf unserer Erde wird jedes ntürliche Wchstum durch äußere Einflüsse begrenzt. Irgendwnn stößt ds Wchstum n Grenzen, die den Prozeß verlngsmen und die Grenzen des Wchstums bestimmen. Dmit gelten lle Wchstumsmodellrechnungen nur für einen bestimmten Zeitrum. Ds Wchstum der Weltbevölkerung wr zwischen dem Jhre 700 und 960 konstnt. Es verdoppelte sich etw lle Jhre. Würde dieses Wchstum ber bis zum Jhre 00 ebenso fortduern, wäre eine Bevölkerungszhl von c Millirden Menschen zu erwrten. Ds ist vollkommen unmöglich. Dennoch sind die mthemtischen Modelle eine fundierte Grundlge um Vorhersgen oder uch die Grenzen des Gültigkeitsbereiches zu ermitteln. Die Eponenzilfunktion läßt sich mit beliebiger Bsis oder mit der Bsis e drstellen. In den Lösungen zur nchfolgenden Aufgbensmmlung wird die Bsis e nicht verwendet (bis uf eine Ausnhme). In einer Prllel-Dtei möchte ich, wenn es die Zeit erlubt, lterntiv uch die Bsis e einsetzen. Die nchfolgend ngegebenen Formeln bzw. Formelzeichen sind in den vielen Mthebüchern durchus unterschiedlich drgestellt. Ich hbe mich nun für die folgenden Formelbuchstben entschieden: GM_AU06 **** Lösungen Seiten (GM_LU06) (6)

28 Gymnsium / Relschule Eponenzielle Wchstums- und Abnhmevorgänge Klsse 0 Wchstumsgesetz: y < b = Wchstumsfktor b = Strtwert bzw. Ausgngswert zum Zeitpunkt = 0 = Zeitwert y = Endwert Ein Wchstum mit konstntem Wchstumsfktor in gleichen Zeitspnnen nennt mn eponenzielles Wchstum. Ist der Wchstumsfktor > so hndelt es sich um eine Zunhme (Wchstum) Ist der Wchstumsfktor 0 < < so hndelt es sich um eine Abnhme (Zerfll) Zinseszinsrechnung: Kn < K0 00 K < K q n 0 n p n K 0 = Strtkpitl vor der Verzinsung K n = Kpitl nch n Jhren q = Zinsfktor n = Anzhl der Zinsjhre p = Zinsstz in % Die Formeln gelten wenn ein festes Kpitl uf einem Anlgekonto mehrere Jhre verzinst wird ohne dß mn m Ende jeden Jhres die Zinsen bhebt. Die jeweils ngefllenen Zinsen werden uch mit verzinst. Zerfllsgesetz für die Hlbwertszeit rdioktiver Elemente: N(t) < N0 0, t T N(t) = restliche (nicht zerfllene) Msse zum Zeitpunkt t N 0 = Msse zu Beginn des Zerflls t = Zerfllszeitrum T = Hlbwertszeit des Isotops GM_AU06 **** Lösungen Seiten (GM_LU06) (6)

29 Gymnsium / Relschule Eponenzielle Wchstums- und Abnhmevorgänge Klsse 0 Aufgben. Ein Wldbestnd von c fm (Festmeter) wächst mit einer jährlichen Zuwchsrte von % (lso eponenziell). ) Um wieviel fm wird der Bestnd in, Jhren gewchsen sein, wenn inzwischen kein Holz geschlgen wird und die Bedingungen sich nicht wesentlich ändern? b) Um wieviel fm Holz ist der Wld in den vergngenen Jhren gewchsen (vorusgesetzt die Wchstumsbedingungen wren nnähernd konstnt gewesen)?. Im Jhre 99 lebten in Meiko etw 9 Mio. Menschen. Die Bevölkerung dort nhm jährlich um c.,7% zu. Wie viele Menschen werden im Jhre 0 in Meiko leben, wenn mn nnimmt, dß ds Wchstum konstnt bleibt?. Der Kninchenbestnd in einem Streichelzoo wuchs in Jhren eponenziell von 0 uf Kninchen n. ) Wie groß wr der jährliche Wchstumsfktor? b) Berechne den Prozentstz der jährlichen Zunhme.. Die Einwohnerzhl Afriks im Jhre 99 betrug etw 7 Mio. Im Jhre 00 rechnete mn dort mit einer Bevölkerung von 98 Mio. Um wie viel Prozent ht die Bevölkerung jährlich zugenommen?. Die Weltbevölkerung wurde im Jhre 996 uf,9 Millirden Menschen geschätzt bei einem jährlichen Wchstum von c.,%. In welchem Jhr würde die Menschheit bei gleichem Wchstum die 0-Millirden-Grenze erreichen? 6. In Äthiopien lebten 99 etw Menschen bei einer Wchstumsrte von,%. ) Berechne für diese Wchstumsrte die Bevölkerungszhl im Jhre 00. b) In welchem Jhr hätte sich bei gleich bleibendem Wchstum die Bevölkerungszhl verdoppelt? 7. In einer Bkterienkultur werden Stunden nch dem Ansetzen rund 600, nch weiteren Stunden rund.000 Bkterien gezählt. ) Wie viele Bkterien wren (bei eponenziellem Wchstum) Stunden nch dem Ansetzen der Kultur entstnden? b) Wie groß ist die stündliche Zuwchsrte der Bkterienkultur in Prozent? Stelle ds Wchstum für die ersten 60 Minuten nch dem Ansetzen grfisch dr. 8. Wir nehmen n, dß sich die Seerosen in einem Teich wöchentlich verdoppeln. ) Wie viel Prozent wchsen die Seerosen täglich? b) Nch wie viel Tgen ht sich die Seerosenpopultion versechsfcht? GM_AU06 **** Lösungen Seiten (GM_LU06) (6)

30 Gymnsium / Relschule Eponenzielle Wchstums- und Abnhmevorgänge Klsse 0 9. Die Anzhl der Bkterien uf einer Nährlösung wächst nnähernd eponenziell. Um 0 Uhr werden 600 Bkterien gezählt. Es ist beknnt, dß die Kultur stündlich um,% wächst. ) Wie viel Bkterien wren um 6 Uhr in der Kultur? b) Berechne die Anzhl Bkterien die um Uhr des nächsten Tges uf der Nährlösung gezählt werden können. c) Wie groß ist die Genertionszeit der Bkterien? 0. Ein PKW kostet ls Neufhrzeug.00 EUR. Der jährliche Wertverlust des Autos kommt uf 0% des jeweiligen Zeitwertes. Hndelt es sich um einen lineren oder eponenziellen Vorgng? Bestimme die Zuordnungsvorschrift.. Unter Infltion versteht mn einen Kufkrftverlust oder uch Geldentwertung. Nch welcher Formel knn mn die Kufkrft von EUR in Jhren berechnen, wenn die konstnte jährliche Infltionsrte p % ist?. Der uf die Erdoberfläche wirkende sttische Druck der Atmosphäre wird ls Luftdruck bezeichnet. Der Luftdruck der Erdtmosphäre nimmt mit der Höhe ngenähert eponenziell b. Die Abnhmerte beträgt c. % pro 000 m. ) Wie lutet die Vorschrift, die der Höhe H (in m) den Luftdruck p zuordnet? Ausgngswert ist ein Luftdruck von 000 hp (Hektopscl) m Boden. b) Welcher Luftdruck herrscht in 00 m Höhe?. Je tiefer ein Tucher in einen See hinbtucht, um so stärker verringert sich die Beleuchtungsstärke des Sonnenlichtes. Mit jedem Meter Wssertiefe nimmt die Beleuchtungsstärke um etw 9% b, ) Gib die Formel für die Beleuchtungsstärke in Abhängigkeit von der Wssertiefe n. Die Beleuchtungsstärke n der Wsseroberfläche soll mit ngenommen werden. b) Um wie viel Prozent ht sich die Beleuchtungsstärke in 0 m Wssertiefe gegenüber dem Wert n der Wsseroberfläche verringert?. Ein Kpitl von EUR wird bei einer Bnk zu einem festen Zinsstz von. % für cht Jhre ngelegt. Die Zinsen verbleiben uf dem Konto und werden jeweils m Jhresende dem Kpitl zugeschlgen und mitverzinst. ) Auf wieviel EUR ist ds Kpitl nch Abluf der cht Jhre ngewchsen? b) Nch wie viel Jhren ht sich ds Kpitl verdoppelt, unter der Vorussetzung, dß sich der Zinsstz nicht ändert?. Ein Kpitl von 0.000,- wächst in Jhren mit llen Zinsen uf.70,69. Dbei wurden die Zinsen jährlich gutgeschrieben. Wie hoch ist der Zinsstz? GM_AU06 **** Lösungen Seiten (GM_LU06) (6)

31 Gymnsium / Relschule Eponenzielle Wchstums- und Abnhmevorgänge Klsse 0 6. Ein Kpitl uf einer meriknischen Bnk wurde mit,% jährlich verzinst und ist in 0 Jhren mit Zins und Zinseszins uf.6.7 Dollr ngewchsen. Wie hoch wr ds Anfngskpitl? 7. Fru Meier ht vor fünf Jhren für.000 EUR ein Hus gekuft. Sie knn es heute für EUR wieder verkufen. Wie hoch wr die durchschnittliche Verzinsung pro Jhr? 8. Ein beliebiges Kpitl soll sich in Jhren verfünffcht hben. Welcher Zinsstz muß vereinbrt werden, wenn dieser die fünf Jhre konstnt sein soll und die Zinsen stets dem Kpitl zugeschlgen werden? 9. Der Preisnstieg betrug 98 in der Bundesrepublik,9 %. Wieviel kostet demnch Liter Milch (Preis im Jhr 007: 0,79 EUR) in und in 0 Jhren, wenn mn diesen Preisnstieg uch für die kommenden Jhre zugrunde legt? 0. Die Glstür eines Mikrowellenherdes soll die Strhlung (elektromgnetische Wellen) us dem Inneren dämpfen. Je nch Glsdicke ergeben sich unterschiedliche Dämpfungswerte S in % (siehe folgende Tbelle). ) Stelle den Zusmmenhng zwischen Glsdicke d und Dämpfungsfktor S in einer Formel dr. b) Miml % der Strhlung drf durch die Tür ustreten (lt. Gesetzgeber). Welche Glsdicke ist mindestens einzubuen? c) Wie hoch ist die Strhlungsemission wenn ds Gls 6 mm dick wäre? d in mm S in % 0 9,7. Durch mehrere Zerfllsprozesse entsteht us dem ntürlich vorkommenden Isotop Urn U ds rdioktive Wismut 0 Bi. Von Wismut 0 Bi zerfllen wiederum jeden Tg etw % und wndeln sich in zwei weitere Isotope um. Bestimme die Menge n Wismut Wismut 0 Bi die von ursprünglich 0 g nch Tgen noch übrig sind.. Rdioktive Stoffe wie z. B. Rdium 6 R oder Cesium 7 Cs senden Strhlen us und zerfllen dbei. Von den jeweiligen Isotopen sind nch der Zeit t nur noch die Hälfte vorhnden; diese Zeit t heißt "Rdioktive Hlbwertszeit". ) Bei der Umwndlung des Rdiumisotops 6 R beträgt die Hlbwertszeit 60 Jhre. Nch wie viel Jhren ht mn von ursprünglich 0 Grmm nur noch 9 Grmm des Isotops zur Verfügung? b) Nch wie viel Jhren ist die rdioktive Substnz uf % ihrer Ausgngsmenge (0 g) zerfllen? GM_AU06 **** Lösungen Seiten (GM_LU06) (6)

32 Gymnsium / Relschule Eponenzielle Wchstums- und Abnhmevorgänge Klsse 0. Von einem Isotop zerfllen in Jhren 9,%. Berechne die Hlbwertszeit dieses Stoffes.. Ds rdioktive Nuklid Rdon Rn zerfällt mit einer Hlbwertszeit von,8 Tgen. Berechne, wie viel Prozent der Ausgngsmenge von Grmm nch Tgen noch vorhnden sind.. Bei einer Schilddrüsenuntersuchung wird einem Ptienten rdioktives Jod mit einer Hlbwertszeit von 8 Tgen verbreicht. Wieviel Prozent des verbreichten Jodisotops knn der Ptient nch Wochen höchstens noch in seinem Körper hben? 6. Urn U ist rdioktiv. Von Kernen zerfllen pro Tg c. 9 Kerne. Wie viel Urn U ist nch 8 Tgen noch vorhnden, wenn die Ursprungsmenge bei 00 Grmm lg? Wie lng ist die Hlbwertszeit? 7. Mit der C - oder Rdiokrbonmethode ist es möglich, ds bsolute Alter von orgnischen Stoffen z.b. Pflnzenresten zu bestimmen. Jedes Lebewesen nimmt lufend den ntürlich in der Atmosphäre vorkommenden, rdioktiven Kohlenstoff C uf, und gibt einen Teil dvon ls Stoffwechselprodukt uch wieder b. Auf diese Weise besteht im lebenden Orgnismus ein Gleichgewicht mit dem nicht rdioktiven Kohlenstoff C. Dieses Verhältnis beginnt sich erst b Eintreten des Todes zu verschieben, d nun kein C mehr ufgenommen werden knn. Mit Hilfte der Hlbwertszeit des rdioktiven Kohlenstoffes knn so der Zeitpunkt des Todes berechnet werden. Jedes Grmm Kohlenstoff, ds us einer Probe einer lebenden Pflnze gewonnen wurde, 0 enthält N < 6,0 0 C - Atome. Nch dem Tod der Pflnze wird kein C mehr 0 ufgenommen und die Zhl der C - Atome nimmt b. Nch Jhren sind noch 0,8 0 C - Kerne vorhnden. ) Stelle den Zerfllsprozeß in einem Digrmm dr. Die Ordinte (Hochchse) ist hierbei mit einer logrithmischen Skl zu versehen. Abszisse: Zeitchse mit cm 000 Jhren Ordinte: Anzhl 0 0 C - Atome mit 0 N 0 0 b) Berechne die Hlbwertszeit T c) Aus lten Hirsekörnern die mn in einem Phronengrb fnd, wurde Grmm 0 reiner Kohlenstoff etrhiert. Ds Mteril enthielt,78 0 C - Atome. Wnn ungefähr könnte der Phro im Grb beigesetzt worden sein? GM_AU06 **** Lösungen Seiten (GM_LU06) 6 (6)

33 Eine Gleichung höheren Grdes wie z. B. Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0 I. Allgemeines = knn nch ufgelöst werden, indem mn die Wurzel zieht. = = Tritt die Unbeknnte jedoch im Eponenten einer Potenz uf, spricht mn von einer Eponenzilgleichung, wie z. B. bei =. Jede Eponenzilgleichung = R besitzt genu eine Lösung. + b mit, b und Für die Lösung dieser Eponenzilgleichungen, d. h. für den Wert ht mn den Nmen: Logrithmus von b zur Bsis eingeführt (Die Buchstben bzw. b sind beliebig wählbr). Logrithmusdefinition: Der Logrithmus sttt + = = für, b R ; b logb ist der Logrithmus von b zur Bsis. log b ist lso nichts nderes ls der Eponent in einer Eponenzilgleichung, = b könnte mn uch log b = b schreiben. ( log b ist diejenige Zhl, mit der mn potenzieren muss, um b zu erhlten) b ist die Zhl die zu logrithmieren ist, sie wird Numerus gennnt. ist die Bsis (der Potenz ). Eine Anmerkung zur Schreibweise: log b schreiben. Mn knn die Klmmer weglssen, wenn keine Eigentlich müsste mn ( ) Missverständnisse ufkommen. z. B. log b c ist missverständlich, lso muss hier log ( b c) Hinweise für ds Rechnen mit Logrithmen: Ist die Bsis größer ls, dnn gilt: geschrieben werden - für einen Numerus b größer ls ist der Logrithmus positiv; z. B. log ( 8 = = 8) - für einen Numerus zwischen 0 und ist der Logrithmus negtiv; z. B. log ( 0, = = 0,) Ist die Bsis kleiner ls, dnn gilt: - für einen Numerus b größer ls ist der Logrithmus negtiv; z. B. log0, = ( 0, = ) - für einen Numerus b zw. 0 und ist der Logrithmus positiv; z. B. log0, 0, = ( 0, = 0,) GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) ()

34 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0 Formelsmmlung Rechengesetze für ds Logrithmieren Die Rechengesetze hben für jedes Logrithmensystem Geltung; d. h. sie können immer d ngewendet werden, wo Logrithmen uf die gleiche Bsis bezogen werden. Multiplizieren ( ) ( ) log b c = log b + log c b, c R log b b... b = log b + log b log b n n Dividieren b ( ) log logb logc c = + Der Logrithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logrithmen der einzelnen Fktoren. Der Logrithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logrithmen von Zähler und Nenner. Potenzieren c ( ) log b = c log b Der Logrithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt us dem Logrithmus der Bsis und dem Eponenten. Rdizieren m n n m log b = logb Der Logrithmus einer Wurzel ist gleich dem Produkt us dem Logrithmus des Rdiknden und dem Wurzeleponenten. Rdizieren ist kein eigenes Logrithmengesetz. Es hndelt sich um Potenzieren mit rtionlem Eponenten. (Rtionle Zhlen sind die Menge ller Brüche der Form m/n) Sonderfälle und besondere Logrithmen log = log 0 lg 0 = lg 0 ln e = ln 0 lb = lb 0 logb = logc b logc log b n = ( ) log n n = lg( 0 ) n = ln( e ) n = lb( ) log b = = n = b lg b 0 = b = n log n = n = n log ( ) = log = log b c b = log c log b = log b b GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) ()

35 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0 Vorzeichen und Logrithmensymbole log: - in deutschen Büchern Logrithmen zu einer beliebigen Bsis - uf merik. Tschenrechnern und Litertur Logrithmus zur Bsis 0 lg: Logrithmus zur Bsis 0 (dekdischer, Briggscher oder Zehnerlogrithmus) ln: Logrithmus zur Bsis e =,788 (ntürlicher Logrithmus) lb: Logrithmus zur Bsis (binärer oder duler Logrithmus) Umrechnung von einem System in ein nderes Berechnung beliebiger Logrithmen (mit Tschenrechner) log b lg b ln b log b = = = log lg ln mit ls beliebige Bsis; insbesondere = 0 oder = e lg ln log = = =,87... lg ln Ntürliche Logrithmen n h n h 0 = + = + e =, (Eulersche Zhl) n Bsis e lim ( ) lim( h) loge ln ln = = e ln lg = = ln lg e ln 0 lg e = ln 0 Beim Rechnen mit Logrithmen sei uf folgende Fehler hingewiesen: ( + ) + ( + ) ( ) n ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) log b c log b log c log b c ist nicht weiter uflösbr log b c log b log c log b + c log b + c log b log b log b log c log b c GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) ()

36 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0 Musterlösungen Achtung: Bei llen Logrithmenrechnungen muß die Probe gemcht werden um Scheinlösungen zu erkennen. Die nchfolgenden Rechnungen wurden dhingehend überprüft, die Probe selbst wurde jedoch nicht mit dzugeschrieben.. Lösungsverfhren: Logrithmusdefinition verwenden Vorussetzungen: Gleichung mit nur einem Logrithmus. Formel: logb = = b Beispiele: Grundform: Qudrtischer Numerus: log = = = 8 IL = { 8} log = = II = { } = ±,8... IL = ±,8... Numerus ls Bruch: 9 log = ( ) 9 = 9 = = 9 7 = 7 = IL = { } Fktor vor dem Logrithmus: log 7 = : log log 7 7 = = = 7 = 7 = IL = { } GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) ()

37 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0. Lösungsverfhren: Vergleich der Numeri Vorussetzungen: Logrithmusgleichung mit zwei Logrithmen Formel: logb = logc b = c Wenn zwei Logrithmen gleiche Bsis besitzen, sind uch ihre Numeri gleich. Die Formel ist uf Logrithmusgleichungen nwendbr die us zwei Logrithmen bestehen, ber kein Absolutteil hben. Beispiele: Aufgbe ohne Scheinlösung: ( ) = ( + ) log log = + = 8 IL = { 8 } Aufgbe mit Scheinlösung: ( + ) = ( ) log log = = IL = { } Fktor vor dem Logrithmus (mit Scheinlösung): ( ) ( ) log + = log ( + ) = ( + ) log log 6 0 ( ) + = = = = II = = ± IL = { } Weil nch der Probe beide Numeri negtiv sind, ist die Gleichung nicht definiert. - ist dmit keine Lösung. Die Probe zeigt, dß nur + eine Lösung ist, denn = - führt zu einem negtiven Numerus und dmit zu einem undefinierten Logrithmus. GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) ()

38 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0. Lösungsverfhren: Vergleich der Eponenten Vorussetzungen: Logrithmus so umformbr dß gleiche Bsen entstehen Beispiele: Einfche Aufgbe: log 9 = 7 7 = 9 7 = 7 gleiche Bsis, dnn Eponentenvergleich möglich = log7 9 = Schwierigere Aufgbe: log = ( ) = = log = = gleiche Bsis, dnn Eponentenvergleich möglich = =. Lösungsverfhren: Logrithmengesetze nwenden Vorussetzungen: mehr ls zwei Logrithmen oder ein zusätzlicher Absolutteil Formeln: ( ) log b c = log b + log c b ( ) log logb logc c = ( ) log b = log b GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) 6 ()

39 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0 Beispiele: Aufgbe mit Scheinlösung: ( ) ( ) log + + log 7 = 0 ( ) ( ) log + 7 = 0 ( ) log = 7 = 7 8 = 0 6 = 0 Die Probe ergibt, dß nur - eine Lösung ist, denn = 6 führt zu einem negtiven Numerus und dmit zu einem undefinierten Logrithmus. / / = ( 6) ± 0 = = 6, = IL = { } ± Aufgbe ohne Scheinlösung: ( ) ( ) log 8 + log 7 + = ( + ) 8 log = 7 + ( + ) = ( + ) = ( + ) = 7 + = = IL = { } GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) 7 ()

40 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0. Lösungsverfhren: Logrithmenbsis wechseln Vorussetzungen: Logrithmen mit verschiedenen Bsen Formeln: log b lg b ln b log b = = = log lg ln Beispiele: Aufgbe: log 8 = Umformen in eine Potenzgleichung,, = 8 logrithmieren lg, = lg8. Logrithmengesetz lg, = lg8 lg8 = lg, lg8 log, 8 = lg, Wie knn eine Wurzel in eine Potenz umgewndelt werden? Gnz einfch! Der Rdiknd (der Term unter der Wurzel) ist die Bsis der Potenz. Der Eponent der Potenz ist ein Bruch und setzt sich zusmmen us dem Wurzeleponenten (= Nenner) und dem Eponenten des Rdiknden (= Zähler). Wenn der Rdiknd keinen Eponenten ufweist, dnn ist der Wert.. Beispiel: = =. Beispiel: 6 = 6. Beispiel: = ( ) = ( ) z z z. Beispiel: 7y z 7y z 7y z 7 y z = = = 8b 8b 8b 8 b GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) 8 ()

41 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0 II. Aufgben. Bestimme die Lösung der Eponenzilgleichung ohne Tschenrechner ) c) = b) 0, = 0,0 = d) ( ). Berechne die Logrithmen ohne Tschenrechner =, ) log 8 b) log c) log d) log ( ) e) log 0 ( ) g) 0 f) ( ) log log 0, h) log 8 i) log Berechne die Logrithmen ohne Tschenrechner ) 9 log b) ( ) d) log e) log c) log log0, 0 f) log8 7 9 g) log h) log 6 i) log 0, 8. Berechne die Logrithmen ohne Tschenrechner ) log b) log c) d) ( ) log e) g) log 7 h) log f) log i) log log log n. Zerlege soweit wie möglich in Summnden ) ( ) d) g) log b c b) b c log d e log y y 8 c log b e) log ( r ) h) k) log y + y l) c) ( + ) p q log + y π f) log u v w m m n log 6 m n log b c b c i) log m) log log b c d GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) 9 ()

42 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0 6. Fsse zusmmen ) log log 6 + log0, 0,0 + log 0, 6 b) log 0, + log 0,008 6 log0,0 000 c) log 7 + log 8 8, ( ) + log log ( ) Fsse zusmmen und vereinfche weitgehendst ) log + log 9 b) log, log 0, c) log + log 6 d) log ( b c ) log ( b + c) e) ( ) log r r log + log r log s s f) log log log 9 8 g) lg 6 lg h) lg( + ) + lg( ) lg( ) i) log ( ) ( u v log u v) k) lg lg l) lg lg + lg m) lg( + ) lg n) lg( ) ( lg + lg ) log 6 o) lg( + ) 0, lg( ) lg( + ) 0,8 lg( ) GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) 0 ()

43 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0 8. Fsse zusmmen ) lg + 0, lg b + lg c b) lg + lg( b) ( lg b + lg ) lg lg lg c) ( ) ( + ) d) z log z log y log u u u v log v e) ( ) q 0, log p q log p f) ( ) g) log ( b ) h) log + 9. Berechne - ohne Tschenrechner - und fsse zusmmen log + log ) b) log + log c) log ( ) log 8 7 d) ( ) 9 8 e) log 9 f) g) log 7 log 8 h) log GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) ()

44 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0 0. Löse nch uf; mche ggf. die Probe! log + 8 log = ) ( ) ( ) b) log ( + ) + log ( + ) = log 7( ) c) log = log 6 log d) log = log 7 + e) f) g) log log + = 0 log log = log lg = 6 h) lg = i) lg = k) lg = log + log + = 0 l) ( ) log,7 + = 0 m) ( ) n) log ( log ) = o) ( ) log log log = 0 p) log 0, 0 + =. Berechne mit dem Tschenrechner ) log 6 c) log b) ( ) log 8 d) 6 log. Forme um in Logrithmen ) zur Bsis 8 ) log b) log c) log6 b) zur Bsis 0 b) log0 bb) log0, 7 bc) log c) zur Bsis c) log8 cb) log 7 cc) lg 00 GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) ()

45 Gymnsium / Relschule Logrithmus - Übungsufgben Klsse 0. Löse folgende Gleichungen ohne Tschenrechner ) log 9 c) log 8 ( ) = b) log = = d) log 6 = e) log 6 = f) log = 7 g) log 6 = 8 h) log = i) log = k) log = 8 l) log ( ) = m) ( ) n) log ( ) = 6 o) ( ) log = 8 log + = p) log ( 7, ) = q) ( ) ( ) log + log + = r) lg( + ) + lg = lg s) ( ) log + + log =. Löse folgende Gleichungen nch uf (wenn möglich ohne Tschenrechner) ) log log8 7 = 0 b) log + log = 0 6 c) log0, = log6, d) log = log 6 6 e) ( ) ( ) f) log + log + = 0 log log 6 = 0 mit > 0,, log + log log = 0 g) ( ) h) 9 lg + lg = i) lg( ) + lg( ) + lg( ) = k) l) lg = log () = 6 GM_AU07 **** Lösungen Seiten (GM_LU07) ()

46 Gymnsium / Relschule Eponenzilgleichungen - Teil Klsse 0 Bestimme jeweils die Lösungsmenge: G =R. = 0. ( ) =.. 8 = +, = 6. ( ) = 6. = 0, 7. ( ) = ( ) 8. + = 9. ( )( ) ( )( 7) 8 = ( 7 ) = 7 ( 7 ) = = + = + + = = = = = ( 8 ) = 6( 8) 0. 8 = = = = 0 GM_AU08 **** Lösungen Seiten (GM_LU08) ()

47 Gymnsium / Relschule Eponenzilgleichungen - Teil Klsse = 0 0 = 6 + = = ( ) = 9. = = 8 +. ( ) 9 + = = = = = = + 7 = = = + 0. ( ) ( ) + = 9. + lg = + lg log log. =.. ln() ln() = e + e =. e e =, 6. e e = e + e GM_AU08 **** Lösungen Seiten (GM_LU08) ()

48 Ergebnisse (usführliche Lösungen in GM_LU08) Gymnsium / Relschule Eponenzilgleichungen - Teil Klsse 0. {, }. { 0, }. {, }. {,8 } { } 6. { } 8. 6 { } 9. { } 0. { }. { ;, }. { ; 9 }. { }. { }. { 0 } 6. { 0, } 7. { 0 } 8. {, } 9. { } 0. { }. { 0 }. { }. {, }. { }. {,0... } 6. { 0;, } 7. { 0; 0,86... } 8. { } 9. { 0,9... } 0. { ; }. { 0, }. {, }. { 0, }. { 0,69... }. { 0,76... } 6. {, } 7. {, } 8. { 0,... } 9. { ; 0, } 0. { 8,0... },. { 0 }. { }. { }. { 0,887...; 0, }. {,67... } 6. {,99... } GM_AU08 **** Lösungen Seiten (GM_LU08) ()

49 Relschule Vektoren, Sklrprodukt, Ortslinien Klsse 0 I.0 Gegeben sind die Punkte A(0/-), C(0/), sowie die Pfeile mit α [ 90 ; 90 ]. cosα AB = sinα+. Zeichne die drei Punkte B, B und B mit α { 0;0;0 } in ein KOS.. Zeige: cosα CB =. sinα. Zeige, dss für α [ 90 ; 90 ] gilt: [AB] [CB]. Auf welcher Linie liegen lso lle Punkte B?. Bestimme die Koordinten von B und den Flächeninhlt A des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von α.. Für welches Winkelmß α 0 wird die Dreiecksfläche m größten? Gib diesen mimlen Inhlt n. Wie knn dieses Ergebnis uch durch geometrische Überlegungen gefunden werden? 6sinα cosα.0 Gegeben sind die Pfeile OP = 6sin α mit O ( 0/0) und 0 <α< 90.. Zeichne die Pfeile für α { 0 ; ; 60 } in ein Koordintensystem.. Im Punkt P wird jeweils die Senkrechte zu [OP] gezeichnet. Diese Senkrechte schneidet die positive -Achse in T. Stelle die Koordinten von T in Abhängigkeit von α dr. [Ergebnis: T(6 tn α / 0) ]. Für welches Winkelmß α ist OP = cm?. Berechne den Flächeninhlt A des Dreiecks OTP in Abhängigkeit von α. [Ergebnis: A( α ) = 8tnα sin α cm ]. Tbellrisiere A( α ) mit α = 0 und zeichne den Grphen. cosα.0 Gegeben sind die Pfeile AB = und sinα und 0 α 90.. Zeichne die Pfeile für { 0;0;60;90} cos( α + 90 ) AD = mit A(/-) sin( α + 90 ) α in ein Koordintensystem.. Zeige, dss AB und AD für lle Winkelmße α orthogonl sind.. Zeige, dss ABD für lle Werte von α gleichschenklig ist mit [BD] ls Bsis. Ergänze die Dreiecke ABD zu Qudrten ABCD und bestimme die Koordinten von C in Abhängigkeit von α. [Ergebnis: C( + cosα sin α/ + cosα+ sin α ) ]. Für welchen Wert α gilt D =?. Für welchen Wert α liegt D uf der Gerden mit y =? RM_AU07 **** Lösungen Seiten (RM_LU07) (0)

50 Relschule Vektoren, Sklrprodukt, Ortslinien Klsse 0 I 6cosα.0 In einem krtesischen Koordintensystem sind die Pfeile AB = und 6sinα cosα AD = mit A(0/0) und α [ 0 ; 90 ] gegeben. sinα Ds Dreieck ABD wird zum Prllelogrmm ABCD ergänzt.. Zeichne die Pfeile und die Prllelogrmme für α { 0 ; ; 60 }. Auf welcher Ortslinie bewegen sich lle Punkte B bzw. D?. Bestimme die krtesischen Koordinten von C in Abhängigkeit von α.. Bestimme den Flächeninhlt A des Prllelogrmms ABCD in Abhängigkeit von α.. Bestimme ds Winkelmß α, für ds der Flächeninhlt des Prllelogrmms AB C D miml wird. Zeige rechnerisch, dss ds Prllelogrmm mit α = ein Rechteck ist. Formuliere ds Ergebnis ls Stz. sinα8.0 Gegeben sind die Punkte A(0/0), B(8/0) und der Pfeil BC = mit sinα+ 90 α 90.. Zeichne die Dreiecke ABC für α { 90; 0;0;60;90 } in ein Koordintensystem.. Berechne die Koordinten von C in Abhängigkeit von α. [Ergebnis: C(sin α/ sin α+ ) ]. Berechne die Gleichung des Trägergrphen ller Punkte C. Bechte dbei die Definitionsmenge!. Stelle den Flächeninhlt A des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von α dr. Bestimme ds Winkelmß, für ds der Flächeninhlt des Dreiecks etrem wird und gib den Inhlt n. [Ergebnis: A( α ) = (sinα+ ) FE]. Für welche Winkelmße wird der Flächeninhlt höchstens 8 cm?.6 Für welche Winkelmße wird ds Dreieck ABC rechtwinklig? 6.0 Gegeben ist ds Dreieck ABC (bzw. ACB) mit A(0/0), B(6/) und mit α [90 ;70 ]. C( sin α / 9cos α ) 6. Zeichne die Dreiecke ABC mit α { 90 ;0 ;60 } in ein Koordintensystem. 6. Berechne die Koordinten des Punktes C mit BAC = Es gibt zwei gleichschenklige Dreiecke ABC mit [AB] ls Bsis. Berechne die Koordinten der Eckpunkte C und C Bestimme die Gleichung des Trägergrphen ller Punkte C und zeichne den Grphen ein. Bechte dbei α [90 ; 70 ]. RM_AU07 **** Lösungen Seiten (RM_LU07) (0)

51 Relschule Vektoren, Sklrprodukt, Ortslinien Klsse 0 I 6. Berechne den Flächeninhlt A des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von α. [Ergebnis: A( α ) = (9cos αsin α ) FE] 6.6 Bestimme ds Mß α 7, für ds A = 7 cm ist. Berechne die Koordinten von C 7. 8tnα 7.0 Gegeben sind die Pfeile OA = und OB =. tnα O ist der Koordintenursprung; α [ 0 ; 90 ]. und OB in ein Koordintensystem. 7. Zeichne für α { 0 ; 0 ; 60 } die Pfeile OA Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; ; y 0 7. Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Ortslinie für lle Punkte A! 7. Für welche Werte für α stehen Pfeile OA senkrecht zu dem Pfeil OB? 7. Die Pfeile OA und OB spnnen Prllelogrmme OACB uf. Bestimme die Koordinten vom Eckpunkt C in Abhängigkeit von α! Ermittle durch Rechnung die Gleichung der Ortslinie für lle Punkte C! 7. Berechne den Flächeninhlt A der Prllelogrmme OACB in Abhängigkeit von α! 7.6 Für welche Werte für α wird der Flächeninhlt FE groß? 7.7 Berechne ds Mß des Winkels zwischen den Pfeilen OA und OB für α= 0! sinα 8.0 Gegeben sind die Pfeile AB = und AD = mit O( 0/0) und α [0 ;80 ]. cos α und AD in ein Koordintensystem. 8. Zeichne für α { ; 90 ;0 ;0 } Pfeile AB Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; ; y 9 8. Bestimme die Gleichung der Ortslinie für lle Punkte B! 8. Für welchen Wert für α gibt es Pfeile AB, die senkrecht zu AD stehen? 8. Die Pfeile AB und AD spnnen Prllelogrmme ABCD uf. Bestimme die Ortslinie für lle Punkte C! 8. Berechne die Länge der Pfeile AB in Abhängigkeit von α! Berechne sodnn für α= 0 die zugehörige Pfeillänge! 8.6 Für welche Werte von α gibt es gleichlnge Pfeile AB und AD? 8.7 Berechne ds Mß des Winkels zwischen den Pfeilen AB und AD für α=! RM_AU07 **** Lösungen Seiten (RM_LU07) (0)

52 Relschule Vektoren, Sklrprodukt, Ortslinien Klsse 0 I 9.0 Die Pfeile OP = cosα cosα und OR = mit α [ 0 ; 90 ] und O ( 0/0) sind sinα gegeben. 9. Gib die Gleichung der Ortslinie für die Punkte P n! 9. Berechne die Länge der Pfeile OP in Abhängigkeit von α! Berechne die Länge der Pfeile OR ; mche sodnn eine Aussge über die Ortslinie der Punkte R! 9. Zeichne Pfeile OP und OR für α { 0;;60 } und zeichne die Ortslinien für die Punkte P und R in ein Koordintensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 7; y 7 9. Für welchen Wert für α gilt IOP I = IOR I? 9. Die Pfeile OP und OR spnnen Prllelogrmme OPQR uf. Berechne die Koordinten von Q in Abhängigkeit von α! 9.6 Unter dem Prllelogrmmen gibt es ein Rechteck OP 0 Q 0 R 0. Für welchen Wert für α ist dies der Fll? Bestimme sodnn die Koordinten der Punkte P 0, Q 0 und R 0, und zeichne ds Rechteck OP 0 Q 0 R 0 in die Zeichnung zu 9. ein! 9.7 Unter den Prllelogrmmen OPQR gibt es eine Rute OP*Q*R*. Bestimme die Koordinten von P*, Q* und R*! cosα Gegeben sind die Pfeile OA = und OC = mit O( 0/0) und sinα+ α [0 ;60 [. 0. Zeichne Pfeile OC für α { 0 ; 0 ; 60 ; 90 ;0 ;80 ; 70 ; 0 } und OA in ein Koordintensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 0; y 0 0. Die Pfeile OA und OC spnnen Prllelogrmme OABC uf. Unter diesen Prllelogrmmen gibt es zwei Rechtecke OAB 0 C 0 und OAB*C*. Für welche Werte für α eistieren diese Rechtecke? Gib die Koordinten von C 0 und C* n! 0. Berechne die Koordinten der Punkte B in Abhängigkeit von α und berechne die Koordinten von B 0 und B*! 0. Berechne den Flächeninhlt A der Prllelogrmme OABC in Abhängigkeit von α! 0. Berechne die Länge der Pfeile OC in Abhängigkeit von α! Für welche Werte für α gilt IOC I = IOA I? 0.6 Der Punkt P(/) bildet mit den Punkten C Pfeile PC. Berechne die Koordinten der Pfeile PC, bestimme die Länge dieser Pfeile und nenne die Ortslinie für lle Punkte C! RM_AU07 **** Lösungen Seiten (RM_LU07) (0)

53 Relschule Vektoren, Sklrprodukt, Ortslinien Klsse 0 I 0.7 Berechne ds Mß ϕ des Winkels zwischen den Pfeilen OA und OC für α= 0! 6cosα cosα.0 Gegeben sind die Pfeile OA = und OC = mit α ]0 ; 90 [ 6sinα sinα und O( 0/0).. Zeichne Pfeile OA und OC für α { 0 ; 60 ; 7 } in ein Koordintensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 7; y 0. Die Pfeile OA und OC spnnen Prllelogrmme OABC uf. Zeichne für die Werte von α us. diese Prllelogrmme in ds KOS zu. ein, und berechne die Koordinten des Eckpunktes B in Abhängigkeit von α!. Für welchen Wert für α stehen die Pfeile OA und OC senkrecht zueinnder?. Berechne den Flächeninhlt der Prllelogrmme OABC in Abhängigkeit von α! Bestimme α für ds flächengrößte Prllelogrmm! [Ergebnis: A = 8sinα FE]. Für welchen Wert von α wird der Flächeninhlt der Prllelogrmme gleich FE?.6 Gibt es im ngegebenen Intervll für α gleichlnge Pfeile OA und OC? Begründe die Antwort durch Rechnung! cosα cosα +.0 Gegeben sind die Pfeile AB = und AC = mit sinα sinα+ α [0 ;80 ] und O(0/0).. Zeichne die Pfeile AB und AC für α { 0;0;90;80 } in ein Koordintensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 9; 7 y 7. Berechne ds Mß β des Winkels zwischen den Pfeilen AB und AC für α= 90!. Entscheide durch Rechnung, ob es Werte für α gibt, so dss AB AC gilt!. Berechne die Beträge der Pfeile AB und AC in Abhängigkeit von α! Berechne die Beträge für α { 0;60;90 }!. Die Punkte P(0/-) und Q(/) bilden mit den Punkten B und C Pfeile PB und QC. Gib die Koordinten dieser Pfeile in Abhängigkeit von α n! Berechne die zugehörigen Pfeillängen! Auf welchen Ortslinien bewegen sich die Punkte B und C? Zeichne die Ortslinien in ds Koordintensystem zu. ein!.6 Berechne den Flächeninhlt des Dreiecks AB0C 0 für α = 6! RM_AU07 **** Lösungen Seiten (RM_LU07) (0)

54 Relschule Vektoren, Sklrprodukt, Ortslinien Klsse 0 I.0 In einem rechtwinkligen Koordintensystem mit O(0/0) ls Ursprung sind Pfeile 6cosϕ + sinϕ OP = gegeben, die mit der positiven -Achse Winkel mit dem Winkelmß ϕ 6sinϕ + sinϕ und ϕ [0 ;80 ] einschließen.. Bestimme die Länge der Pfeile OP in Abhängigkeit von ϕ. [Ergebnis: OP = 6 LE] + sinϕ. Ermittle mit Hilfe des Ergebnisses us. die Winkelmße ϕ so, dss OP möglichst groß bzw. möglichst klein wird. 6cosϕ 6sinϕ. Die Punkte P(/y) mit den Koordinten = und y = liegen uf dem + sin ϕ + sin ϕ Grphen p. Tbellrisiere und y in Abhängigkeit von ϕ [0 ;80 ] in Schritten von ϕ = 0. Zeichne sodnn den Grphen p für ds ngegebene Intervll in ein Koordintensystem. Für die Zeichnung: cm LE.. Der Fußpunkt des Lotes von einem Punkt P p uf die -Achse ist Q. Rotiert ds Dreieck OQP um die -Achse, so entsteht ls Rottionskörper ein gerder Kreiskegel. Trge ds Dreieck OQP für ϕ = 0 in ds Koordintensystem zu. ein.. Stelle die Mntelfläche M des Rottionskörpers in Abhängigkeit von ϕ dr. [Ergebnis: M( ϕ ) = π 6sinϕ FE] ( + sinϕ).6 Für welche Belegungen von ϕ nimmt die Mntelfläche M den Wert 8π FE n? sinα.0 Die Pfeile OP = und sinα 0,8 OQ = spnnen Prllelogrmme OPRQ uf. 0,. Stelle eine Wertetbelle für α { 0 ; 0 ; ; 60 } uf, und zeichne die Prllelogrmme OPRQ in ein Koordintensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; ; 0 y,. Gib den Flächeninhlt A( α ) der Prllelogrmme OPRQ in Abhängigkeit von α n. [Ergebnis: A( α ) = 0,(+ sin α ) FE]. Für welches Winkelmß α erhält mn ein Prllelogrmm mit, FE Inhlt?. Ermittle ds Winkelmß α *, für ds sich ds flächengrößte Prllelogrmm OPRQ ergibt. Gib A m n.. Zeige, dss die Pfeilspitzen P eine Gerde beschreiben, indem du ihre Gleichung ermittelst. Anleitung: Für P(/y) gilt = sinα y = sinα. Eliminiere nun sinα..6 Begründe, dss uch die Punkte R uf einer Gerden liegen. Welche Gleichung ht diese Gerde? RM_AU07 **** Lösungen Seiten (RM_LU07) 6 (0)

55 Relschule Vektoren, Sklrprodukt, Ortslinien Klsse 0 I.0 Gegeben sind die Pfeile OP = sinα. sinα. Erstelle eine Wertetbelle für α [ ; 7 ] mit α =, und zeichne die Pfeile im Koordintensystem. Längeneinheit ist cm. Pltzbedrf: + ; y +.. Begründe, dss mn nhnd der Wertetbelle in. uch die Koordinten der Pfeile für α ]90 ; 60 [ ngeben knn. Zeichne sie in ds Koordintensystem zu. ein.. Zeige, dss die Pfeilspitzen P uf einer Hyperbel liegen, und ermittle ihre Gleichung in krtesischen Koordinten. cosϕ 6. Führe die Aufgbe mit den Pfeilen OP = sin ϕ + cosϕ Pfeilspitzen P uf einer Prbel liegen. durch, und zeige, dss die + sinϕ 7.0 Gegeben sind die Pfeile OP = cos ϕ cosϕ und OQ = cos. ϕ 7. Berechne die Koordinten der Pfeile OP und OQ für ϕ 0 ; 0 ; 0 ; 60 ; 70 ; 00 ; 0 ; 0, und trge die Punkte in ein { } Koordintensystem mit cm ls Längeneinheit ein. Pltzbedrf: 0 ; 0 y + sinϕ 7. Begründe, dss die Pfeile mit den Koordinten, die jeweils dieselben - ( + sinϕ) Koordinten wie die Pfeile OP hben, zu den Pfeilen OQ gehören. + sinϕ 7. Gemäß Aufgbe 7. gilt OQ =. Die Differenz y der y-koordinten der ( + sinϕ) Pfeile OQ und OP gibt somit die Mßzhl der Entfernung QP n. Stelle diese Differenz y in Abhängigkeit von ϕ dr, und zeige durch Umformung, dss sich die beiden Grphen berühren. Berechne die krtesischen Koordinten des Berührpunktes sowie ds zugehörige Winkelmß ϕ. 7. Stelle die Pfeile OP und OQ durch krtesische Koordinten dr, und zeige dmit, dss beide Grphen Prbeln sind. Lösungshinweis: Bechte die Anleitung bei Aufgbe.. [Ergebnis: p :y =( ) + ; p :y = ] 7. Zeige erneut mit Hilfe des Ergebnisses von Aufgbe 7., dss sich die beiden Prbeln p und p berühren, und berechne die krtesischen Koordinten des Berührpunktes. RM_AU07 **** Lösungen Seiten (RM_LU07) 7 (0)

56 Relschule Vektoren, Sklrprodukt, Ortslinien Klsse 0 I 8.0 In einem rechtwinkligen Koordintensystem mit O(0/0) ls Ursprung sind Pfeile 6cosϕ + sinϕ OP = gegeben mit ϕ [0 ;80 ]. siehe uch Aufgbe! 6sinϕ + sinϕ Dbei ist ϕ ds Mß des Winkels zwischen der positiven -Achse und den Pfeilen OP. 8. Bestimme die Länge der Pfeile OP in Abhängigkeit von ϕ, und ermittle die Winkelmße für ϕ, so dss OP möglichst groß bzw. möglichst klein wird. 8. Die Endpunkte P der Pfeile OP liegen uf dem Grphen p. Gib für ϕ [0 ;80 ] mit ϕ = 0 die Koordinten der Punkte P n, und zeichne den Grphen p für ds ngegebene Intervll in ein Koordintensystem (Längeneinheit cm). 8. Bestätige durch Rechnung, dss die Spitzen P der Pfeile OP uf dem Grphen zu y = + liegen. 8. Fällt mn von P p ds Lot uf die -Achse, so erhält mn ls Lotfußpunkt Q. Rotieren sodnn die Dreiecke mit den Eckpunkten O, Q und P um die -Achse, so entstehen Kegel. Stelle die Mntelfläche A M der Kegel in Abhängigkeit von ϕ dr. [Ergebnis: A 6 π sinϕ = FE] M ( + sinϕ) 8. Für welche Belegungen von ϕ nimmt die Mntelfläche A M den Wert 8π FE n? 9.0 In einem rechtwinkligen Koordintensystem mit O(0/0) ls Ursprung sind Pfeile 8cosϕ cosϕ OB = und OD = mt ϕ [0 ; 90 ] gegeben. 8sinϕ sinϕ Die Prllelen zu OB und OD durch D bzw. B schneiden sich im Punkt C. 9. Ermittle für ϕ= 0 die Koordinten der Punkte B und D, und zeichne ds Prllelogrmm OBCD in ein Koordintensystem ein. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm. Pltzbedrf: 7 ; y 6 9. Bestimme die Koordinten des Eckpunktes C der Prllelogrmme in Abhängigkeit von ϕ. 9. Berechne den Flächeninhlt der Prllelogrmme OBCD in Abhängigkeit von ϕ. [Ergebnis: A( ϕ ) = sinϕ FE] 9. Tbellrisiere A( ϕ ) für ϕ [0 ;90 ] mit ϕ=, und zeichne den Grphen von A in ein Koordintensystem. Für die Zeichnung: ϕ Achse : cm entspricht 0 ; A Achse : cm entspricht 0 FE. 9. Bestimme ds Mß ϕ *, für ds die Fläche des zugehörigen Prllelogrmms den größten Wert nnimmt. Gib A m n. RM_AU07 **** Lösungen Seiten (RM_LU07) 8 (0)

57 Relschule Vektoren, Sklrprodukt, Ortslinien Klsse 0 I 0. Der Punkt B(8/-) ist ein Eckpunkt einer Rute ABCD, deren Digonlenschnittpunkt M(/) ist und bei der DCB = 60 gilt. Zeichne die Rute ABCD in ein Koordintensystem mit cm ls Längeneinheit, und berechne die fehlenden Eckpunktkoordinten.. In einem Drchenviereck ABCD mit B(/8), C(/7) und D(0/) ist AC die Symmetriechse, und es gilt CBA = ADC = 90. Zeichne ds Drchenviereck ABCD in ein Koordintensystem, und berechne die fehlende Koordinte des Punktes C sowie die Koordinten des Punktes A.. Zeichne die Rute ABCD mit A(-0,/y), B(6,/,) und D(-,/,) in ein Koordintensystem mit cm ls Längeneinheit. Berechne die fehlende Koordinte des Punktes A, die Koordinten des Punktes C, die Innenwinkel und den Flächeninhlt der Rute.. Der Eckpunkte D einer Rute ABCD mit A(0/,) und C(6/,) liegt uf der Gerden g mit der Gleichung y = + 6. Zeichne die Rute ABCD, und berechne die Koordinten der Eckpunkte D und B.. Die Eckpunkte D von Ruten ABCD mit A(/-) und C(7/) liegen uf der Prbel p mit der Gleichung y = +. Zeichne die möglichen Ruten ABCD in ein Koordintensystem mit cm ls Längeneinheit, und berechne die Koordinten der Punkte D und B.. Die Punkte A(-/ y A ) und B(/y B ) liegen uf der Prbel p mit der Gleichung y = +. Zeichne Punkte C uf der Prbel p, so dss die Punkte A, B und C Dreiecke bilden, die bei A oder bei B rechtwinklig sind. Berechne die Koordinten der Punkte C. 6. Die Punkte A(7/-0,) und B(9/,) bilden zusmmen mit Punkten C der Prbel p mit der Gleichung y = + Dreiecke ABC, die bei A oder bei B rechtwinklig sind. Zeichne die möglichen Dreiecke ABC, und berechne die Koordinten der Punkte C. 7.0 Die Punkte A(0/0), B(/-) und C(k/ k n + 8) mit k R bilden Dreiecke ABC n. 7. Zeichne ds Dreieck ABC für k = 0 in ein Koordintensystem mit cm ls Längeneinheit, und berechne die Mße der Innenwinkel des Dreiecks ABC. 7. Unter den Dreiecken ABC n gibt es zwei rechtwinklige Dreiecke ABC und ABC. Zeichne diese beiden rechtwinkligen Dreicke ein, und berechne die Koordinten der Punkte C und C sowie die Innenwinkelmße der Dreiecke. 7. Zeichne die Dreiecke ABC mit BAC = 60 und ABC mit BAC = 0 ein, und berechne die Koordinten der Punkte C und C. 7. Zeige rechnerisch, dss die Eckpunkte C n der Dreiecke ABC n uf der Gerden g mit der Gleichung y = + 8 liegen. RM_AU07 **** Lösungen Seiten (RM_LU07) 9 (0)