8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion

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1 8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8. Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: w lim + = k = 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3 z z z z exp( z) : = lim + = = + z k = 0 k! 2! 3!

2 Satz: 2 z 0 Die Expoetialfuktio hat die Eigeschafte E ud E : E exp( z+ w) = exp( z) exp( w) für alle z, w, exp E lim = Satz: c ( 2 ) 2 z Das Bild ka icht agezeigt werde. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu weig Arbeitsspeicher, um das Bild zu öffe, oder das Bild ist beschädigt. Starte Sie de Computer eu, ud öffe Sie da ereut die Datei. We weiterhi das rote x agezeigt wird, müsse Sie das Bild möglicherweise lösche ud da ereut eifüge.. z Zu jedem c gibt es geau eie Fuktio f : mit E f( z+ w) = f( z) f( w) für alle z, w, f( z) E lim = c. z 0 z Diese ist gegebe durch f( z) = exp( cz). Folgeruge aus dem Additiostheorem ( E ) a) exp( z) = exp( z) ud exp( z) 0 für alle z r b) exp( r) = e für komplexes r. Dabei verwede wir e : = exp() = lim + =. k = 0 k! : die Bezeichug

3 8.2 Die Expoetialfuktio für reelle Argumete Satz: x a) Für x ist e reell ud >0. b) exp : wächst streg mooto. c) exp : ist bijektiv. Satz vom Wachstum: + Für jede (och so grosse) atürliche Zahl gilt: x e i) lim =. x x x ξ ii) lim xe = lim = 0. x Satz: e ist irratio al. ξ e ξ

4 8.3 Der atürliche Logarithmus Die Expoetialfuktio bildet bijektiv auf ab. Die dazugehörige Umkehrfuktio heisst l : + atürlicher Logarithmus. Defiitiosgemäß sid äquivalete Gleichuge. Satz: Der atürliche Logarithmus hat die Eigeschafte (L ) l( x y) = l( x) + l( y) ( x, y ) l( + x) (L 2 ) lim =. x 0 x Satz vom Wachstum: Der atürliche Logarithmus wächst für d.h., für jede atürliche Zahl gilt + x + l( x) lim = 0. x x y also x= e ud y = l x schwächer als jede Wurzel;

5 8.4 Expoetialfuktio zu allgemeie Base. Allgemeie Potez. Defiitio: z z l( a) Es sei a : = e für a +, z. z Die Fuktio z a, z heißt Expoetialfuktio zur Basis a. Sie hat folgede charakteristische Eigeschafte: (E (E ) z+ w z w ) a = a a für alle z, w, l a 2 z a lim = l( a) z z Weitere Eigeschafte dieser Fuktio: a) Sie ist stetig wachsed a> b) Sie ist auf streg mooto, falls ist. falled a< c) Im Fall a immt sie auf jede Wert aus geau ei- mal a. +

6 Wichtige Grezwerte: a lim x x 0 x a für a > 0, = 0 für a < 0; a 0 für a > 0, a' lim x = x 0 für a < 0; l x b lim = 0 für a> 0; x a x a b' lim x l x= 0 für a > 0. Defiitio: a Ist a> 0, so ka die Fuktio x x ach a' stetig i de a Nullpukt fortgesetzt werde; ma defiiert daher: 0 : = 0 für a > 0.

7 8.5 Biomialreihe ud Logarithmusreihe Defiitioe: Die Reihe s Bs x : = x, x ( ;); s. = 0 heisst die Biomialreihe zum Parameter s. Die Reihe ( ) L x : = x, x ( ;) = heisst die Logarithmusreihe.

8 Satz: Für jedes s ud x ( ;) gilt: s 2 3 ( + x) = Bs x = x = + sx + x + x +..., = ( ) l( ) x x x x + x = L x = x = x = s s s Isbesodere ist k = k ( ) l(2) = = , k x x x x x l = 2 = 2 x x =

9 8.6 Defiitio der trigoometrische Fuktioe Für beliebiges z setze wir iz iz iz iz e + e e e cos z: =, si z: =. 2 2i Für alle z gilt: iz i) e = cos z+ isi z (Eulersche Formel) 2 2 ii) cos z+ si z =.

10 Additiostheoreme: Für alle zw, gilt: i) cos( z+ w) = cos zcos w si zsi w, ii) si( z+ w) = si zcos w+ cos zsi w. Potezreihedarstelluge: 2k k z z z z cos z = ( ) = (2 k)! 2! 4! 6! k = 0 2k k z z z z si z = ( ) = z (2k + )! 3! 5! 7! k = 0

11 Tages ud Cotages: Außerhalb der Nullstelle des Cosius bzw. Sius defiiert ma weiter die Fuktioe Tages ud Cotages: si z cos z ta z: =, cot z: =. cos z si z Es gilt: ta z+ ta w ta( z+ w) =. ta zta w

12 8.7 Nullstelle ud Periodizität. Eischließugslemma: Für x (0;2] gilt: x x x i) < cos x < +, x ii) x < si x< x. 6 Isbesodere ist si x > 0 i (0; 2].

13 Folgerug: Der Cosius fällt i [0;2] streg mooto. Satz ud Defiitio der Zahl : π Der Cosius hat im Itervall [0;2] geau eie Nullstelle. Diese bezeichet ma mit π. Damit gilt 2 π π cos = 0 ud si =. 2 2

14 Satz: Für alle z gilt: πi z+ 2 z i) e = ie, z+ πi z ii) e = e, z+ 2πi z iii) e = e. Korollar: Für alle z gilt: π cos z+ = si z, cos( z+ π) = cos z, cos( z+ 2π) = cos z, 2 π si z+ = cos z, si ( z+ π) = si z, si ( z+ 2π) = si z. 2

15 Satz: π Der Cosius hat auf geau die Nullstelle + kπ mit k ; 2 der Sius geau die Nullstelle kπ mit k. Folgerug : 2 π ist die kleiste positive Periode der Fuktioe Cosius ud Sius. Folgerug 2: z Geau da gilt e =, we z ei gazes Vielfaches vo 2 πi ist Korollar: Cosius ud Sius habe i reelle Nullstelle. ur die im letzte Satz agegebee

16 8.9 Polatkoordiate komplexer Zahle Satz: Jede komplexe Zahl z 0 besitzt eie Darstellug iφ z = re mit r = z ud φ R; ; dabei ist φ bis auf die Additio eier gaze Vielfache vo 2 π bestimmt. Korollar: Die Abbildug iφ e: R S, : e φ = e = cosφ+ isiφ = e ist surjektiv, ud e φ φ gilt geau da, we sich φ ud φ 2 2 um ei gazes vielfaches vo 2 π uterscheide.

17 k 8.9 Polatkoordiate komplexer Zahle Satz: Die Gleichug z =, N, besitzt geau die Lösuge ζ i k 2π 2π 2π : = e = cos k + isi k, k=,...,. Korollar: Die Gleichug z = c mit c C hat eie Lösug. Mit eier Lösug w sid ς w,..., ς wihre sämtliche Lösuge.

18 8.0 die Geometrie der Expoetialabbildug

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21 Diese Bilder köe wir verüftig lese. Das verdake wir de Polarkoordiate i de Potezreihe über C! C ud

22 Eigeschafte des Hauptzweiges:. w, w seie i der rechte Halbebee r 2 { z z } H : = : Re > 0 :. w Da liege wg w ud i, ud es gilt. 2 w l wgw = l w +l w, l w w = l w l w

23 Eigeschafte des Hauptzweiges: 2. Sei w <, so gilt + w ud es gilt = ( ) l + w = w = L w. 3. Für w < gilt die Potezreihedarstellug = w w l = 2. w 2+

24 Tages ud Arcustages ta z iz iz 2iz e e e = = iz iz 2iz i e + e i e + arcta 2+ w w w = w w = = + L wege arcta =π 4 gilt: π ( ) = = + ± L. 4 2k k= 0 k

25 8.2 Die hyperbolische Fuktioe I viele Aweduge kommt die Expoetialfuktio ( z z) i de Kombiatioe ud ( z z e e + e e ) vor. 2 2 Ma defiiert: z z e + e cosh ( z ): = (Cosius hyperbolicus), 2 z z. e e sih ( z ): = (Sius hyperbolicus), 2 sih ( z) tah ( z ) : = (Tages hyperbolicus), cosh z ( z) ( z) cosh coth ( z ): = (Cotages hyperbolicus). sih

26 Es gilt: cosh z = cos iz, sih z = si iz. i Additiostheoreme: ( z+ w) = ( z) ( w) + ( z) ( w) ( z+ w) = ( z) ( w) + ( z) ( w) cosh cosh cosh sih sih, sih sih cosh cosh sih. Spezi ll ll w z: cosh z sih z 2 2 e gilt im Fa = = Potezreihedarstelluge: 2k z cosh ( z) =, 2 k! k = 0 k = 0 2k + z sih ( z) =. 2! ( k + )

27 Die Beschräkug auf reelle Argumete: a) cosh wächst streg mooto auf 0, ); b) sih wächst streg mooto auf!; c) tah wächst streg mooto auf!.