Zeitdiskrete Signalverarbeitung

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1 Zeitdiskrete Signalverarbeitung Ideale digitale Filter Dr.-Ing. Jörg Schmalenströer Fachgebiet Nachrichtentechnik - Universität Paderborn Prof. Dr.-Ing. Reinhold Haeb-Umbach 7. September 217

2 Übersicht I 1 Entwurf digitaler Filter Idealisierte Filter FIR Filter FIR Filterentwurf nach der Fenstermethode 2 Ausblick

3 Idealisierte Filter Idealisiertes Filter: 1. Rechteckförmiger Amplitudenfrequenzgang 2. Linearer Phasenverlauf oder Nullphase 3. Eingangsspektrum wird im Durchlassbereich nicht verändert, im Sperrbereich vollständig unterdrückt 4. Nicht kausal, stabil H TP (e jθ ) H HP (e jθ ) θ g θ g θ π θ g θ g π θ Approximation idealisierter Filter Finite Impulse Response (FIR) Filter: Approximation des Frequenzgangs durch Polynom Infinite Impulse Response (IIR) Filter: Approximation von H(z) durch rationale Funktion

4 Ideales Tiefpassfilter { H(e jθ e jθn θ θ g ) = θ g < θ π h(n) = sinθg(n N ) π(n N ) (linearer Phasenterm: zeitliche Verzögerung der Impulsantwort) Dauer der Impulsantwort: Dauer einer rechteckförmigen Impulsantwort mit gleicher Signalenergie: t h h 2 max = n= h 2 (n) h 2 (n) n= t h = hmax 2 = = θg/π (θ g/π) 2 = π θ g θ g 1 H(e 2π jθ ) 2 dθ θ g h 2 max t h : Übergangszeit der Sprungantwort vom niedrigen zum höheren stationären Signalwert.

5 Impuls- und Sprungantwort eines idealen TP (θ g = π/4).25 Impulsantwort a(n) h(n) Sprungantwort t h n

6 FIR Filter + Impulsantwort endlicher Dauer + Stets stabil! (warum?) + FIR Filter können exakt linearphasig sein + Einfache Implementierung (FFT und Overlap/Add oder Overlap/Save) Benötigen i.d.r. mehr Koeffizienten für steile Übergänge zwischen Durchlass- und Sperrbereich als IIR-Filter Transversalfilter: x(n) x(n 1) x(n N +1) T T T b b 1 b N 2 b N 1 y(n) Differenzengl. ohne Rückkopplung: y(n) = N 1 k= b kx(n k) Impulsantwort: Filterkoeff b k sind die Koeff. der Impulsantwort h(k)

7 Pole/ Nullstellen von FIR Filtern Übertragungsfunktion H(z) = k= N 1 h(k)z k = b k z k = 1 N 1 z N 1 b k z N 1 k k= k= Pole: Alle Pole liegen bei z = (daher immer stabil!) Filterdesign also nur durch Wahl der Nullstellen Nullstellenlagen bei linearphasigen FIR Filtern Linearphasig wg Symmetrie der Impulsantwort Sperrbereich: Nullstellen liegen auf dem Einheitskreis Durchlassbereich: Nullstellen liegen spiegelbildlich zum EK (sog. konjugiert reziproke Lage) Imaginary Part Real Part Abbildung: Pol/Nullstellenplot des idealen TP. Warum ist das so? Bei linearphasigem FIR Filter mit gerader Symmetrie (h(k) = h(n 1 k)) gilt: Wenn H(z) Nullstelle bei z = z hat, dann auch bei z = 1/z. 6

8 Symmetriebeziehungen linearphasiger FIR Filter (1/2) N 1 H(z) = k= N 1 h(k)z k = k= b k z k = 1 N 1 z N 1 k= b k z N 1 k Bei linearphasigen FIR Filtern lassen sich je nach Filterlänge N und Symmetrie der Impulsantwort h(n) folgende Fälle unterscheiden 1. N gerade und h(n) gerade symmetrisch, d.h. h(n) = h(n 1 n): H(z) z=e jθ = = = 1 N 1 N 1 jθ jθ e 2 e 2 1 N 1 jθ e 2 N 2 1 k= mit M = N 1 2 N 1 1 e jθ(n 1) h(k)e jθ(n 1 k) k= h(k) N 2 1 k= (h(k)e jθ(n 1 k) +h(n 1 k)e jθ(n 1 (N 1 k))) (e jθ(n 1 2 k) +e jθ(n 1 2 ) N 2 1 k) = e jθm 2h(k)cosθ(k M) k= }{{} A(θ): Nullphasenkomp.

9 Symmetriebeziehungen linearphasiger FIR Filter (2/2) 2) N ungerade und h(n) gerade symmetrisch: ) M 1 H(e jθ ) = e (h(m)+ jθm 2h(k)cosθ(k M) } k= {{ } A(θ) 3) N gerade und h(n) ungerade symmetrisch, d.h. h(n) = h(n 1 n) H(e jθ ) = e jθm e j π 2 N 2 1 4) N ungerade und h(n) ungerade symmetrisch H(e jθ ) = e jθm e j π 2 2h(k)sinθ(k M) k= } {{ } A(θ) M 1 2h(k)sinθ(k M) k= } {{ } A(θ) Diese Darstellungen werden beim Filterentwurf verwendet Nur die Hälfte der Filterkoeff. müssen berechnet werden A(θ) (sog. Nullphasenkomponente) reell, daher linearphasige FIR Filter A(θ) lässt sich einfacher approximieren als H(e jθ )

10 FIR Filterentwurf nach der Fenstermethode Ausgangspunkt: Impulsantwort des idealen Filters Zeitliche Begrenzung der Impulsantwort und Zeitverzögerung, um Kausalität zu erreichen: h(n) = h id (n N )w(n); n N 1 Zeitverzögerung: { N 1 N 1 N gerade N = = 2 N 1 2 N ungerade 2 Fensterfunktion: Im F-Bereich Faltung: FT {h id (n)} FT {w(n)}: Verbreiterung der Übergangszonen zwischen Durchlass- und Sperrbereich Verallgemeinerte Cosinusfenster: { a bcos 2πn 4πn +c cos n N 1 w(n) = N 1 N 1 sonst Name MATLAB-Fu a b c Bandbreite Sperrdämpfg main lobe 5π/N Rechteck boxcar() 1 2π/N 17.9 db Hann hann(),5,5 2 2π/N 32.9 db Hamming hamming(),54,46 2 2π/N 52.4 db Blackman blackman(),42,5,8

11 Bilder zu Cosinusfensterfunktionen rect Hann Hamm ) ( W(e jθ ) 2log 1 W(e j ) rect Zeit n 1 π/2 θ = ωt π ) ( W(e jθ ) 2log 1 W(e j ) Hann ) ( W(e jθ ) 2log 1 W(e j ) Hamm 1 π/2 θ = ωt π 1 π/2 θ = ωt π

12 Vor-/Nachteile verschiedener Fensterfunktionen Eigenschaften eines idealen Fensters: sollte gewünschte Übertragungsfunktion H id (e jθ ) möglichst wenig verzerren: Sehr schmaler Durchlassbereich Sehr hohe Sperrdämpfung Rechteckfenster + Durchlassbereich ( Main lobe ) besonders schmal (2π/N) Schlechte Sperrdämpfung (nur ca. 2 db) Gibbsches Phänomen bei Approx. rechteckförmiger Frequenzgänge: unabhängig von der Filterlänge N immer max. Welligkeit im Durchlassbereich von 9% Andere Fenster Breiterer Druchlassbereich + Bessere Sperrdämpfung + Vermeidung des Gibb schen Phänomens Grundsätzlich: je größer N, desto besser die Approximation des idealen Filters.

13 Beispiel: Approximation eines idealen Tiefpasses (1/2) Parameter: Grenzfrequenz θ g = π/4 Filterlänge: N = 31 Verzögerung: N = N 1 2 = 15.3 Rechteck Fenster Hann Fenster Hamming Fenster

14 Beispiel: Approximation eines idealen Tiefpasses (2/2) Parameter: Grenzfrequenz θ g = π/4 Filterlänge: N = 61 Verzögerung: N = N 1 2 = 3 2 hamming hann blackman kaiser 2 H(e jθ ) in db θ/π Nachteile der Fenstermethode Keine konstante Welligkeit im Durchlass- und Sperrbereich bei Approx. eines rechteckförmigen Amplitudenspektrums In der Nähe der Sperrfrequenz ist Dämpfung am kleinsten

15 Ausblick Ausblick Nächstes Thema: Remez-Algorithmus zum Filterentwurf Anyone who has never made a mistake has never tried anything new. Albert Einstein