Digitale Signalverarbeitung. Prof. Dr. Sigmar Ries Fachhochschule Südwestfalen Abteilung Meschede

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2 Digitale Signalverarbeitung Prof. Dr. Sigmar Ries Fachhochschule Südwestfalen Abteilung Meschede September 23

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4 Inhaltsverzeichnis Einleitung 7 2 Diskrete Signale und Systeme 2. Zeitdiskrete Elementarsignale Eigenschaften diskreter Systeme Differenzengleichungen Eigenschaften diskreter Signale und Systeme im Frequenzbereich Die z-transformation Existenz der z-transformation Eigenschaften der z-transformation Inverse z-transformation, Pol-Nullstellen Diagramm und Stabilität Berechnung der inversen z-transformation Stabilität von LTI-Systemen Beschreibung von Systemen durch Systemfunktionen und Differenzengleichungen Differenzengleichungen Übertragungsfunktion der Differenzengleichung Diskrete Netzwerke und Strukturen Einleitung Signalflußgraphen Kanonische Strukturen Parallelform Kaskadenform FIR-Filter und lineare Phase Nullstellenverteilung linearphasiger Systeme Eine spezielle Direktstruktur für linearphasige Systeme Der Allpaß Konstruktion von Allpässen Kammfilter

5 6 Entwurf rekursiver Digitalfilter (IIR - Filter) Frequenzverschiebung Tiefpaß - Bandpaß: (Einschränkung auf Tiefpaßentwurf) Übertragungsfunktionen von Analogfiltern Entwurf von Analogfiltern Butterworth-Filter Chebyscheff - Filter Elliptische (Cauer) Filter Herleitung diskreter Digitalfilter aus Analogfiltern Impulsinvariante Transformation Bilineare Transformation Abtastung kontinuierlicher Signale; A/D und D/A Wandlung 9 7. Abtastung Ideale Abtastung Shannonscher Abtastsatz für Tiefpasssignale Die Shannonsche Formel als Interpolationsformel Digitale Simulation analoger Systeme - Satz über die diskrete Faltung Die Bandpassunterabtastung Nichtideale Abtastung Endliche Durchschaltzeit Analoge Vorfilter (Anti-Aliasing-Filter) D/A-Wandlung, Glättungsfilter Quantisierungsrauschen S/N q Gewinn durch Überabtastung (Oversampling) Entwurf von FIR-Filtern Einleitung Entwurf von Filtern mit vorgeschriebener Wunsch-Übertragungsfunktion H W (f) Die Übertragungsfunktion als Fourierreihe Direkter Entwurf eines Tiefpaßfilters Verständnis & Gegenmaßnahmen Entwurfsschema für FIR-Filter vom Typ a),b),c) und andere Wichtige Fensterfunktionen zum Filterentwurf Entwurf durch Tschebyscheff-Approximation (Equiripple-Design) Koeffizientenquantisierung Dezimierung und Interpolation mit FIR-Filtern Dezimierung Digitale Interpolation

6 9 Die diskrete Fourier-Transformation Grundlagen und Einführung der diskreten Fourier-Transformation Eigenschaften der DFT Beschreibung und Diskussion der bei der DFT auftretenden Effekte Berechnung der diskreten Faltung mit der DFT/FFT Die periodische Faltung Segmentierte Faltung, overlap-add Verfahren Frequenzanalyse mit DFT/FFT Fortlaufende FFT-Analyse, Spectrogramm Interpolation im Spektrum mit der FFT

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8 Kapitel Einleitung Digitale Signalverarbeitung, oft abgekürzt durch DSV bedeutet die Umformung oder Verarbeitung von Zahlenfolgen durch digitale Operationen (Rechnen mit Zahlenfolgen auf binären Rechenwerken). DSV ist oft nur eine von drei Stufen eines informationsverarbeitenden Systems: Der Anwendungsbereich der DSV erweitert sich laufend durch Fortschritte der Abbildung.: Verarbeitungskette Hardware bezüglich der Geschwindigkeit und Genauigkeit und wegen sinkender Preise der Komponenten. Einige Klassische Anwendungsbereiche in der Kommunikationstechnik: Nachrichtenübertragung Entzerrung von Datenkanälen, Synchronisation von Digitalempfängern, Bearbeitung von Sprach- und Bildsignalen zur Datenreduktion für Speicherung und Übertragung. Seismik Unterdrückung von Streuungen und Dämpfungen des Empfangssignal, um genauere Aussagen über die Erdstruktur zu geben (z.b. Ölvorkommen erkennen). 7

9 Radartechnik (Radiowellen) Entdeckung von Objekten, Entfernungs-, Winkel- und Geschwindigkeitsmessung. Sonartechnik (Wasserschall) Entdeckung von U-Booten, Minen, Verunreinigungen am Meeresboden. Gründe für die Bedeutung der DSV sind technische Vorteile (siehe weiter unten Tabelle ) sowie, daß manche Sprach- und Bildverarbeitungsoperationen in Analogtechnik unmöglich oder viel zu teuer zu realisieren sind. Als Beispiel hierfür wäre die einfache Verzögerung eines Signals um sec zu nennen. Tabelle Analoges System Eigenschaften digitales System begrenzt, große Kosten Genauigkeit unbegrenzt vorhanden Toleranzen keine problematisch Temperatur, Alterung unproblematisch unbegrenzt (passive Elemente) Aussteuerung begrenzt (Aufwand) Bauelemente Rauschen Rundung nach unten: begrenzt nach oben: unbegrenzt Frequenzbereich nach unten: unbegrenzt nach oben: ca. GHz (im Jahre 2) Andere Anwendungen (DSV): Mechatronik, Meß- und Regeltechnik, Medizintechnik (CT, Ultraschall, Kernspintomografie), Materialprüfung, Unterhaltungselektronik (CD, JPEG, MPEG, HDTV... ) Zum Literaturverzeichnis: [2], [4] und [6] können zum Nachschlagen der mathematischen Grundlagen dienen; speziell [4] enthält fast alles, was man hier braucht. Für den Einstieg in die Digitale Signalverarbeitung sind [4], [8], [] und [5] zu emp- 8

10 fehlen. Die restliche Literatur ist eine Auswahl von für Fortgeschrittene geeigneten Werken; sehr empfehlenswert sind [] und der Klassiker [2]. 9

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12 Kapitel 2 Diskrete Signale und Systeme Diskrete Signale x(n) sind Folgen von Zahlenwerten mit ganzahligem Index n. Sie können von Natur aus diskret sein, das heisst einfach als Zahlenfolgen definiert sein, oder durch Abtastung kontinuierlicher Signale gewonnen werden. Im letzteren Fall gilt folgender grundlegender Zusammenhang: Ist das zugrunde liegende Analogsignal x a (t) bandbegrenzt mit der Grenzfrequenz f g, und ist die Abtastfrequenz f a > 2f g, so kann das Analogsignal x a (t) aus dem diskreten Signal x(n), definiert durch x a (t) t=nta = x a (nt a ) := x(n), < n < (2.) (T a = f a : Abtastabstand) fehlerfrei wiedergewonnen werden. Das ist eine der Aussagen des Shannonschen Abtasttheorems. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit der Theorie diskreter Signale und Systeme. Diese wird vorerst ohne Kenntnisse aus der Theorie kontinuierlicher Systeme aufgebaut. Die Beziehungen zwischen beiden werden später (bei A/D, D/A-Wandlung, DFT) behandelt. Man kann sich das auch so vorstellen, dass mit normierter Abtastfrequenz f a = gearbeitet wird. Dadurch werden die Formeln kürzer und leichter verständlich.

13 Bemerkung: Da ein diskretes Signal eine Zahlenfolge darstellt, wäre (x(n)) n Z oder {x(n)} die bessere Bezeichnungsweise, da x(n) ja auch den Wert x(n) bezeichnen kann. Wir verwenden trotzdem meist x(n), wenn keine Verwechselung möglich ist. Falls die Amplitudenwerte von x(n) ebenfalls diskret sind, so nennt man x(n) digitales Signal, es kann durch eine endliche Binärzahl dargestellt werden und auf einen Digitalrechner verarbeitet werden. Falls man mit hoher Wortlänge arbeiten kann, also mit mindestens 6 Bit, genügt die Theorie diskreter Systeme (das ist heutzutage oft der Fall). Auf Probleme, die durch Quantisierung auftreten, wird nur wo nötig eingegangen. Die genaue Behandlung findet im Abschnitt über Quantisierungsrauschen statt. 2. Zeitdiskrete Elementarsignale Diskrete Signale können reell oder komplex sein. Es werden nun die wichtigsten Elementarsignale mit einigen Eigenschaften kurz vorgestellt. Einheitsimpuls δ(n), n = x(n) = δ(n) =, n (2.2) δ(n) entspricht dem Dirac-Impuls δ(t) bei zeitkontinuierlichen Signalen ohne dessen mathematischen Schwierigkeiten ( große Amplitude, kurze Dauer, Fläche = ). δ(n) ist ein ganz normales diskretes Signal. Das um k Abtastwerte verzögerte diskrete Signal schreibt sich als x(n k) (2.3) Das kann man sehr schön am Beispiel des verzögerten Einheitsimpulses demonstrieren: 2

14 Abbildung 2.: Einheitsimpuls bzw. Delta-Impuls δ(n) Abbildung 2.2: Um 3 verzögerter Delta-Impuls δ(n 3) Ganz wichtig ist die Ausblendeigenschaft: x(n) = + k= x(k)δ(n k) n IN (2.4) Die Ausblendeigenschaft kann auch so interpretiert werden, dass ein diskretes Signal x(n) als Summe aller Signalwerte jeweils gewichtet mit den an den entsprechenden Index verschobenen Deltaimpulsen dargestellt werden kann. Das ist eine für bestimmte Rechnungen günstige Darstellung. 3

15 Sprungfolge ε(n) :, n ε(n) =, n < (2.5) Abbildung 2.3: Einheitssprungfolge ε(n) Zwischen dem Einheitsimpuls und der Einheitssprungfolge gelten folgende Zusammenhänge: δ(n) = ε(n) ε(n ) (2.6) ε(n) = δ(n k) (2.7) k= Das ist die Ausblendeigenschaft, wo x(n) = ε(n) gesetzt wird. Rechteck(impuls) rect M (n) : (Dauer 2M + ) Der Rechteckimpuls der Dauer 2M + kann auch geschrieben werden als rect M (n) = ε(n + M) ε(n M ) (2.8) 4

16 Abbildung 2.4: Rechteckimpuls der Dauer 5 Bemerkung: Als Dauer eines diskreten Signals wird der (Abstand vom letzten nichtverschwindenden zum. nichtverschwindenden Term +) genommen oder einfach die Anzahl der Werte vom ersten bis zum letzten. Das unterscheidet sich vom kontinuierlichen Fall, hier muss man aufpassen! Also: x(n) für n M = Dauer M Abbildung 2.5: Diskretes Signal der Dauer 4 Reelle oder komplexe kausale Exponentialfolge: a n, n x(n) =, n < a CI (2.9) Die kausale Exponentialfolge lässt sich eleganter mit dem Einheitssprung schreiben: x(n) = a n ε(n) 5

17 Abbildung 2.6: Kausale Exponentialfolge mit a =.7 Wichtige Formeln zur Behandlung solcher Folgen werden hier wiederholt: M x(n) = + a + a a M = n= M n= a n = am+ a, (a ) (2.) Das ist die Summenformel der endlichen geometrischen Reihe. Für die unendliche geometrische Reihe gilt: Ist a < = S = n= a n = a a < (2.) für a ist die Reihe divergent Ein weiteres wichtiges Elementarsignal ist die komplexe, diskrete Schwingung mit Frequenz f x(n) = exp(j2πf n) = cos(2πf n) + j sin(2πf n) (2.2) Diese Schwingung setzt sich zusammen aus den reellen diskreten Schwingungen cos(2πf n) und sin(2πf n), die natürlich auch sehr wichtig sind. Man beachte, dass f <.5 sein muss, da die normierte Abtastfrequenz ist. 6

18 Abbildung 2.7: Real- und Imaginärteil der komplexen diskreten Schwingung mit Frequenz Eigenschaften diskreter Systeme Definition Ein zeitdiskretes System ist eine eindeutige Zuordnung eines zeitdiskreten Ausgangssignals y(n) zu einem zeitdiskreten Eingangssignals x(n) durch eine Transformation T. y(n) = T {x(n)} (2.3) Grundlegende Eigenschaften von Systemen sind: Linearität, Zeitinvarianz, Stabilität, Kausalität und Reellwertigkeit. Diese werden im folgenden eingeführt. 7

19 x(n) T y(n) Abbildung 2.8: Zeitdiskretes System mit Transformation T Definition Ein zeitdiskretes System heißt linear, wenn { } T a i x i (n) = i i a i T {x i (n)} = i a i y i (n) (2.4) gilt. Die Transformation einer gewichteten Summe von Eingangssignalen ist die gewichtete Summe der Transformationen der Eingangssignale. Insbesondere gilt: T {ax (n) + bx 2 (n)} = at {x (n)} + bt {x 2 (n)} (2.5) Definition Ein zeitdiskretes System heißt zeitinvariant (verschiebungsinvariant), wenn für beliebige m ZZ gilt: T (x(n)) = y(n) = T (x(n m)) = y(n m) (2.6) Das System reagiert auf ein um m zeitverschobenes Eingangssignal mit einem um m zeitverschobenen Ausgangssignal. Lineare und zeitinvariante (LTI) Systeme sind besonders einfache Systeme. Nun wird noch ein weiterer wichtiger Begriff eingeführt:: 8

20 x(n-m) T y(n-m) Abbildung 2.9: Verschiebungsinvariantes zeitdiskretes System mit Transformation T Definition Die Antwort h(n) eines Systems auf den Einheitsimpuls δ(n) h(n) = T {δ(n)} (2.7) heißt Impulsantwort. δ(n) T h(n) Abbildung 2.: Impulsantwort h(n) Man kann nun die Transformationsgleichung diskreter LTI-Systeme herleiten. Mit der Ausblendeigenschaft von δ(n) folgt { + } y(n) = T {x(n)} = T x(k)δ(n k) k= = + k= x(k)t {δ(n k)} = } {{ } wegen der Linearität + k= x(k)h(n k) }{{} wegen der Verschiebungsinvarianz (2.8) 9

21 Die Summe, die als letztes auftaucht, hat in der Signalverarbeitung eine ganz besondere Wichtigkeit. Man definiert: Definition Die diskrete Faltung von x(n) und h(n) ist definiert durch (x h)(n) := + x(k)h(n k) = + k= k= h(k)x(n k) (2.9) Wenn man sich die Summe als Integral vorstellt, sieht das ganz ähnlich aus wie die bekannte kontinuierliche Faltung. Insgesamt hat man nun den fundamentalen Satz Ein zeitdiskretes LTI-System wird durch die diskrete Faltung des Eingangsignals x(n) mit der Impulsantwort h(n) des Systems vollständig beschrieben. δ(n) T h(n) x(n) h(n) (x h)(n)=g(n) Abbildung 2.: Impulsantwort und Faltung mit Impulsantwort h(n) Bemerkung Die Ausblendeigenschaft bedeutet: δ(n) ist das Einselement der diskreten Faltung. Die Faltung von h(n) mit einem verschobenen δ(n k) erzeugt ein verschobenes h(n k) h(n) δ(n) = h(n) 2

22 h(n) δ(n k) = h(n k) Beweis zum ersten Punkt ist die Ausblendeigenschaft: x(n) := + k= x(k)δ(n k) = (x δ)(n) x(n) δ(n) x(n) x(n) δ(n-k) x(n-k) Abbildung 2.2: Identität und Verschiebung mit δ -Systemen h(n) Zusammenfassung Jedes LTI-System wird durch eine Faltung mit einem h(n)=impulsantwort beschrieben und umgekehrt. Die diskrete Faltung hat nun einige sehr angenehme Eigenschaften, die das Rechnen sehr erleichtern, und die natürlich sich in LTI-Systemen wiederspiegeln: Eigenschaften der diskreten Faltung Linearität: (αx(n)) (βh(n)) = αβ(h(n) x(n)) (2.2) Kommutativität: x(n) h(n) = h(n) x(n) (2.2) 2

23 Assoziativität: x(n) (y(n) z(n)) = (x(n) y(n)) z(n) (2.22) Distributivität: [x(n) + y(n)] z(n) = [x(n) z(n)] + [y(n) z(n)] (2.23) Daraus folgen sofort wichtige Eigenschaften der Zusammenschaltung von LTI-Systemen (diese sei durch die Impulsantworten h (n), h 2 (n) beschrieben) Kaskadierung: x(n) h (n) h 2 (n) y(n) x(n) h (n) h 2 (n) y(n) x(n) h 2 (n) h (n) y(n) Abbildung 2.3: Alle 3 Systeme sind äquivalent 22

24 Parallelschaltung: h (n) x(n) + y(n) h 2 (n) x(n) h (n)+h 2 (n) y(n) Abbildung 2.4: Beide Systeme sind äquivalent 23

25 Man kann sich vorstellen, daß die Realisierung des unteren Systems weniger Aufwand bedeutet. Besonders einfach und wichtig ist die diskrete Faltung zweier Folgen endlicher Dauer: s(m) m N (Dauer N) h(m) m M (Dauer M) g(n) = M m= h(m)s(n m) n N 2 + M; DauerN + M (2.24) Diese ist auf diskreten Rechenwerken exakt durchführbar (es braucht nur eine endliche Anzahl von Additionen, Multiplikationen und Verschiebungen). Bemerkung Im Gegensatz zum kontinuierlichen Fall ist die Dauer des Ergebnisses nicht die Summe der Dauer der Eingangssignale! Beispiel Berechnung der diskreten Faltung: Lösung Papierstreifenmethode (Folienmethode). Man skizziert s( m) (gespiegelt!) und verschiebt es unterhalb von h(m). Die übereinanderliegenden Werte werden multipliziert und die Ergebnisse addiert. 24

26 .5 h(m) s(m) Spiegelung s(-m) Abbildung 2.5: h(m), s(m) und das gespiegelte Signal s(-m) 25

27 .5 h(m) s(--m) s(2-m) s(5-m) Abbildung 2.6: h(m), s(m) und einige gespiegelte und verschobene Signale s(n-m) 26

28 .5 h(m) zusammen mit gespiegelten und verschobenen s(m) Ergebnis Faltung (h s) (n) Abbildung 2.7: h(m), s(m) und einige gespiegelte und verschobene Signale s(n-m) in einem Bild und Ergebnis g(n) der Berechnung 27

29 Natürlich ist das Erstellen einer Skizze (zu) aufwendig und fehlerträchtig, speziell für Menschen, die nicht gut Zeichnen können. Eine einfachere Lösung ist, sich auf die Werte der Signale zu beschränken. Man schreibt dann die Werte untereinander. Dann spiegelt als nächstes die Werte des zweiten Signals. Für den Ergebnisindex liegen Anfangspunkt des ersten und Endpunkt des gespiegelten Signals untereinander. Dann multipliziert man korrespondierende Werte und addiert die Ergebnisse. Dann wird da untere Signal um nach rechts verschoben, wieder werden korrespondierende Werte miteinander multipliziert und die Ergebnisse addiert. Man wiederholt das Ganze, bis keine Werte mehr übereinander liegen. Beispiel ( ) Das Signal soll mit sich selbst gefalten werden.. Schritt: Spiegelung und untereinanderschreiben: ( ) ( ) ( ) 2.Schritt: Gespiegeltes Signal immer wieder um nach rechts verschieben, multiplizieren und addieren: = + = 2 2 = + + = + = 2 2 = Zum Schluss schreibt man das Ergebnis nochmal ordentlich hin: ( ) ( ) ( ) = 2 2 Für einfache kurze Signale der Länge 2 kann man das sogar im Kopf rechnen... 28

30 Eine weitere wichtige Eigenschaft diskreter System ist die Stabilität. Wir beschränken uns hier auf den gängigsten Fall der BIBO (Bounded Input-Bounded Output)-Stabilität. Definition Ein System heißt (BIBO) stabil, wenn es auf ein beschränktes Eingangssignal x(n) x(n) < M = konst n (2.25) mit einem beschränkten Ausgangssignal y(n) y(n) < M 2 = konst n (2.26) reagiert. Die Stabilität lässt sich bei LTI-Systemen direkt mit der Impulsantwort in Verbindung bringen: Satz Notwendige und Hinreichende Bedingung für die Stabilität eines durch h(n) beschriebenen LTI-Systems ist + n= h(n) < (2.27) Bemerkung Ein instabiles System kann ein unbeschränkt wachsendes Ausgangssignal erzeugen. Dies führt zu Fehlern wg. Überschreitung des Zahlenbereiches im Digitalrechner (Analog kann es zu Zerstörungen führen). Ein weiterer wichtiger Begriff ist die Kausalität Definition Ein System heißt kausal, wenn das Ausgangssignal y(n) zu einem Zeitpunkt n = n unabhängig von zukünftigen Werten des Eingangssignals x(n) ist, also von x(n + ), x(n + 2),... d.h. die Antwort des Systems erscheint nicht vor der Anregung. 29

31 Für LTI-Systeme bedeutet dies: Man schreibt y(n ) = + k= h(k)x(n k) = k= h(k) x(n +),x(n +2),... {}}{ x(n k) + + k= h(k)x(n k) (2.28) Damit (2.28) unabhängig von x(n +), x(n +2),... ist, muß die erste Summe verschwinden, d.h. h(k) = für k < (2.29) muß gelten. Satz Die Impulsantwort h(n) eines kausalen Systems existiert nicht für Werte n < Abbildung 2.8: Impulsantwort eines kausalen Systems Es gibt also wieder ein sehr einfaches Kriterium anhand der Impulsantwort. Es ist sehr oft wünschenswert, dass ein System kausal sei. So soll das Licht erst angehen, nachdem der Lichtschalter betätigt wurde. 3

32 Zuletzt noch eine ziemlich triviale Definition Ein System heißt reellwertig, wenn ein reellwertiges Eingangssignal x(n) ein reellwertiges Ausgangssignal y(n) zur Folge hat. Für LTI-Systeme ist dies äquivalent dazu, daß die Impulsantwort h(n) reell ist. Beispiel Ein LTI-System habe folgende Impulsantwort h(n) h(n) = ( 2 )n ε(n) Aus der Impulsantwort erkennt man sofort die Reellwertigkeit und die Kausalität. Da h(n) = ( 2 )n = 2 < ist das System auch stabil- alles aus der Impulsantwort abzulesen. Bemerkung Bei diskreten LTI-Systemen kann auch ohne jede math. Schwierigkeit (im Gegensatz zu kontinuierlichen Systemen) die Impulsantwort aus der Sprungantwort berechnet werden: Aus folgt δ(n) = ε(n) ε(n ) h(n) = (h δ)(n) = (h (ε(.) ε(. ))(n)) = (h ε)(n) (h ε)(n ) (2.3) = Differenz von Sprungantworten 3

33 2.3 Differenzengleichungen In diesem Abschnitt werden nur die elementarsten Aspekte behandelt. Zeitkontinuierliche lineare Systeme können durch lineare Differentialgleichungen beschrieben werden. Diskrete LTI-Systeme können durch Differenzengleichungen der Form N a l y(n l) = l= Ausgang M b r x(n r) (2.3) r= Eingang beschrieben werden (y Ausgangssignal, x Eingangssignal). Solche Systeme sind linear und zeitinvariant sowie reellwertig, fall alle Koeffizienten a l, b r reellwertig sind. Kausal ist ein solches System unter geeigneten Anfangsbedingungen x(n) =, n < und y(n) =, n < (2.32) Dann erscheint y(n) nicht, bevor ein Eingangsignal anliegt Technisch gesehen bedeutet das, dass beim Einschalten alle Speicher für die Signalwerte auf gesetzt werden müssen. Die Stabilität: hängt nur von den Koeffizienten a l ab; dazu sind Kenntnis der z-transformation erforderlich, die hier noch nicht vorliegen. Beispiel y(n) ay(n ) = x(n) Differenzengl. a reell zur einfacheren Berechnung umstellen (das macht man auch allgemein so) y(n) = x(n) + ay(n ) rekursives bzw. rückgekoppeltes System Hierzu das Blockschaltbild: 32

34 x(n) y(n) D a Abbildung 2.9: Blockschaltbild des einfachen rekursiven Systems mit einem Koeffizienten a Dabei werden folgende Symbole benutzt: Verzögerung um Addierer a Multiplikation mit a a a D Verzögerung um D a Abbildung 2.2: Übliche graphische Darstellung von Addition, Multiplikation und Verzögerung Setzt man voraus, daß x(n) = für n < und y(n) = für n <, so erhält man schrittweise (rekursiv) n = : y() = x() + a = x() n = : y() = x() + a y() = x() + ax() n = 2 : y(2) = x(2) + a y() = x(2) + ax() + a 2 x() n = 3 : y(3) = x(3) + a y(2) = x(3) + ax(2) + a 2 x() + a 3 x() usw. 33 a a

35 y(n) läßt sich also immer aus x(n) und y(n ) berechnen. Für die Impulsantwort erhält man mit x(n) = δ(n) y(n) = a n δ() = a n (2.33) Die Impulsantwort ist unendlich lang. Das System ist offensichtlich stabil, wenn a < und unstabil, wenn a ist. 2.4 Eigenschaften diskreter Signale und Systeme im Frequenzbereich Viele Eigenschaften diskreter System kann man nur durch den Umweg über den Frequenzbereich verstehen. Wir nehmen hier den klassischen instruktiven Weg: man wähle als Eingangssignal des Systems die komplexe Exponentialfolge der Frequenz f und berechne dazu das Ausgangssignal: x(n) := e j2πfn = e jωn (Ω : Kreisfreq. Ω = 2πf) (2.34) = y(n) = (h x)(n) = + k= h(k)e j2πf(n k) Also gilt: = e j2πfn + k= h(k)e j2πfk }{{} * hängt nicht von n ab! Die Antwort y(n) ist wieder eine komplexe Exponentialfolge mit derselben Frequenz wie das Eingangssignal. Nur Amplitude und Phase werden durch das LTI-System beeinflußt, und zwar durch den komplexen Faktor *. Dieser bekommt daher einen eigenen Namen. Definition Sei h(n) die Impulsantwort eines LTI-Systems. H(e j2πf ) := H (f) := + k= h(k)e j2πfk (2.35) 34

36 heißt Übertragungsfunktion des Systems [ H (f) = + h(t)e j2πft dt für kontinuierliche Systeme ] Speziell gibt es noch die Bezeichnungen H (f) Amplitude der Übertragungsfunktion (2.36) φ(f) = arctan ( Im{H ) (f)} Re{H ± k(f)π (f)} mit k(f) =, Re{H (f)}, Re{H (f)} < (2.37) Phase der Übertragungsfunktion (Beide sind frequenzabhängig) Der Phasenwinkel ist hier so definiert, dass er zwischen +π und π liegt. Der nächste Satz beschreibt eine wesentliche Eigenschaft diskreter LTI-Systeme. Satz Die Übertragungsfunktion eines diskreten LTI-Systems ist periodisch in f mit Periode. Beweis H (f + ) = = + k= + k= h(k)e j2πk(f+) h(k)e j2πkf e j2πk }{{} = = H (f) 35

37 Bemerkung Wird anstatt des normierten Abtastabstandes mit Abstand T a = f a gearbeitet, also h(n) h(nt a ), n nt a so lautet die Übertragungsfunktion H (f) = + k= h(kt a )e j2πktaf (2.38) und sie ist periodisch in f mit Periode T a Beispiel = f a (Abtastfrequenz!). Für das einfache rekursive System mit h(k) = a k ε(k), k gilt H (f) = a k e j2πfk = k= k= (ae j2πf ) k } {{ } q = q = ae j2πf (2.39) = Betrag: H (f) = + a 2 2a cos(2πf) (2.4) Phase: φ(f) = arctan a sin(2πf) a cos(2πf) (2.4) Man sieht: der Betrag H (f) ist gerade, φ(f) ist ungerade. Dies folgt allgemein aus h(k) reell, wenn man H (f) als Fourier-Transformation der Folge h(k) auffaßt. Dieser Zusammenhang wird jetzt eingeführt: 36

38 Amplitude und Phase des rekursiven Systems mit a=.5 Magnitude (db) Frequency (Hz) 4 Phase (degrees) Frequency (Hz) Abbildung 2.2: Amplituden- und Phasenverlauf über eine Periode Definition Man kann jeder diskreten Folge x(k) über X(e j2πf ) := X (f) = Symbolische Schreibweise: x(k) X (f) + k= eine Fouriertransformierte zuordnen. x(k)e j2πfk (2.42) Man kann zeigen, und das wird in der Vorlesung Angewandte Mathematik auch gemacht, dass die Formel oben entsteht, wenn man die klassische Fouriertransformation auf eine Folge von Abtastwerten anwendet, d.h. oben steht genau die Fouriertransformation von h(k). Somit erhält man sofort: 37

39 Satz Ist h(k) reell, so ist H (f) gerade und φ(f) ungerade in f. Beweis Aus allgemeinen Eigenschaften der Fouriertransformation. Einen weiteren wichtigen Zusammenhang erhält man durch Kenntnisse über komplexe Fourierreihen aus der Angewandten Mathematik (man muss in den Formeln dort nur Zeit und Frequenz vertauschen und +j durch j ersetzen): X (f) ist -periodisch = X (f) hat die Darstellung als Fourierreihe X (f) = + k= C k e j2πfk (2.43) mit den Fourierkoeffizienten C k gegeben durch C k = X (f)e +j2πkf df (2.44) Da die Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion eindeutig sind, ergibt sich daraus mit (2.44) C k = x(k) und es gilt: X (f) = + k= x(k)e j2πfk (2.45) x(k) = X (f)e j2πkf df (2.46) Das diskrete Signal x(k) besteht aus den Fourierkoeffizienten der periodischen Transformierten X (f). Die Fouriertransformierte von x(k) ist die Fourierreihe mit Koeffizienten x(k). 38

40 Man kann also das ganze Wissen über Fourierreihen bei der Behandlung diskreter Signale ausnutzen (Das ist besonders wichtig beim Filterentwurf, d.h wenn man eine bestimmte Übertragungsfunktion realisieren möchte!). Weiterhin gilt natürlich auch der Faltungssatz; man kann ihn allerdings auch für diskrete Signale direkt aus der Definition ihrer Fouriertransformierten beweisen: z(k) := x(k) y(k) Z (f) = = = = = + k= + k= + n= + n= + n= z(k)e j2πfk = ( + n= x(n) x(n) + k= + k= x(n)e j2πfn } {{ } X (f) + k= x(n)y(k n) (x y)(k)e j2πfk ) e j2πfk y(k n)e j2πf(k n+n) y(k n)e j2π(k n) e j2πfn + k= y(k n)e j2πf(k n) }{{} + y(k )e j2πfk k= } {{ } Y (f), (k = k n) = X (f) Y (f) Das bedeutet also: 39

41 Satz (Faltungssatz für diskrete Signale) Die Fouriertransformation der Faltung zweier diskreter Signale ist das Produkt ihrer Fouriertransformationen. x(k) X (f) y(k) Y (f) z(k) Z (f) (2.47) Es ist also möglich, für diskrete Signale die Faltung im Spektrum durchzuführen, und zwar mittels Multiplikation. [ Das ist wichtig zum Verständnis vieler Effekte, z.b. der Wirkung von Filtern ] 4

42 Zusatz Berechnung der Faltung von diskreten Signalen mit Hilfe der Distributivität und der Verschiebungseigenschaft der diskreten Deltafunktion Am Besten am Beispiel: g(n) = δ(n ) + 2δ(n 2) Berechne s(n) = g(n) g(n): g(n) g(n) = (δ(n ) + 2δ(n 2)) (δ(n ) + 2δ(n 2)) = δ(n ) δ(n ) + δ(n ) 2δ(n 2) + 2δ(n 2) δ(n ) + 2δ(n 2) 2δ(n 2) = δ(n 2) + 2 δ(n 3) + 2 δ(n 3) + 4 δ(n 4) = δ(n 2) + 4 δ(n 3) + 4 δ(n 4) 4

43 42

44 Kapitel 3 Die z-transformation Definition Sei x(k) ein diskretes Signal. Die (zweiseitige) z-transformierte von x(k) ist gegeben durch: X(z) = Z{x(k)} = + k= x(k)z k, z CI (3.) Für kausale Signale mit x(k) =, k < wird sie zur einseitigen z-transformierten. X(z) = Z{x(k)} = Bezeichnung wieder: x(k)z k, z CI (3.2) k= x(n) X(z) Setzt man für die komplexe Variable z z = re jω = re j2πf mit Ω = 2πf (3.3) dann folgt X ( re j2πf ) = + k= x(k)r k e j2πfk (3.4) 43

45 Die Summe ist die FT des mit r k multiplizierten diskreten Signals. Für r =, d.h. auf dem Einheitskreis z =, sind die FT und die z-transformierte identisch. Die z-transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation diskreter Signale. 3. Existenz der z-transformation Die z-transformierte existiert, wenn die Summe konvergiert, d.h. + x(k)z k = + k= k= Allgemein wird dies für x(k) r k < (3.5) R x+ < r = z < R x (3.6) der Fall sein (ohne Beweis), d.h. in einem durch einen unteren und oberen Konvergenzradius begrenzten ringförmigen Gebiet: Die Ausdehnung des Konvergenzgebietes hängt vom x(k) ab und kann von z = bis z = gehen. 44

46 Beispiel (a) z-transformation d. Einheitsimpulses δ(n) X(z) = Z{δ(n)} =, z (3.7) (b) Einheitssprung ε(n) Z(ε(n)) = + ε(n)z n = + z n = + n= n= n= z nicht konvergent, ansteigende geometrische Reihe (z ) n (3.8) z > konvergent, mit geom. Summe (... ) folgt Z(ε(n)) = z = z z, z > Z(ε(n)) besitzt eine Polstelle bei z = (c) reelle kausale Exponentialfolge a k, k X(z) = a k z k = (a z ) k k= k= = az = z z a, a < z < (3.9) (d) komplexe Exponentialfolge e j2πkf 45

47 X(z) = + k= e j2πkf z k = X + (z) + X (z) }{{} k= mit X + (z) = k= ( e j2πf z ) k = z z e j2πf, < z X (z) = k= ( ) k e j2πf z = ze j2πf, z < Die Konvergenzgebiete Äußeres des Einheitskreises (X + ) und Inneres des Einheitskreises (X ) überlappen nicht, = es existiert keine z-transf. für die komplexe Dauerschwingung, wohl aber für die auf k beschränkte Schwingung mit z-transf. X + (z) sowie für die auf k beschränkte Schwingung mit z-transf X (z). Bemerkung Für ein kausales System endlicher Dauer x(k) = x(), x(),..., x(n) gilt: N X(z) = x(k)z k (3.) k= konvergiert für alle z außer z = (Pol im Ursprung). Derartige Signale sind also besonders robust bezüglich der Konvergenz. Definition Ist h(n) die Impulsantwort eines diskreten Systems, so nennt man ihre z-transformierte H(z) = + k= h(n)z n (3.) ebenfalls Übertragungsfunktion des Systems. 46

48 Satz Ein System ist stabil, wenn seine Übertragungsfunktion für z = (auf dem Einheitskreis) konvergiert. Beweis + k= + h(k) < h(k) = + k= h(k)z k für z = z-tr. konvergiert auf Einheitskreis Folgerung Systeme mit Impulsantworten endlicher Länge sind immer stabil (daher: FIR- Filter sehr populär; auch keine Gefahr durch Koeffizientenquantisierung.) 3.2 Eigenschaften der z-transformation Hier findet man natürlich viele Eigenschaften der Fourier- und Laplace- Transformation wieder. Satz für x (n), x 2 (n) gilt Linearität Verschiebung Z{ax (n) + bx 2 (n)} = az(x (n)) + bz(x 2 (n)) nach rechts (i > ) Verzögerung: Z{x(k i)} = z i X(z) 47

49 nach links (i > ): Z{x(k + i)} = z i X(z) (zweiseitige Tr.) i = z i X(z) z i n x(n) (einseitige Tr.) n= Bemerkung Verzögerung um bedeutet im Transformierten Bereich Multiplikation mit z. Faltungssatz ( ) Z x(i)y(k i) = X(z) Y (z) i= Die Faltung zweier (kausaler) Signale wird durch die Multiplikation ihrer (einseitigen) z-transformation beschrieben (Beweis: Wie bei Fourier-Transformation) Lineare Gewichtung Z{k x(k)} = z d dz X(z) Ableitung der Transf.! Bemerkung Die z-transformation eignet sich also besonders zur Beschreibung kausaler Systeme, die durch kausale Signale angeregt werden. x(n) =, g(n) =, n < x(n) g(n) y(n) = n x(i)g(n i) i= X(z) G(z) X(z) G(z) Beispiel 48

50 3.3 Inverse z-transformation, Pol-Nullstellen Diagramm und Stabilität Eine komplette Behandlung setzt die Kenntnis der Differential- und Integralrechnung komplexer Funktionen voraus. Wir beschränken uns daher auf rationale z-transformierte. Diese entstehen bei der Behandlung von LTI-Systemen, die aus einer endlichen Anzahl von Addierern, Multiplizierern und Verzögerungselementen bestehen. Da damit alle technisch realisierbaren LTI-Systeme beschrieben werden können, ist die Behandlung völlig ausreichend. Man betrachtet also z-transformierte der Form X(z) = P (z) Q(z) = b + b z + b M z M a + a z + + a N z N mit (reellen) Koeffizienten b n, a m. P (z), Q(z) sind Polynome in z, die durch z-transformation endlicher kausaler diskreter Signale entstehen können. Natürlich kann man die Transformierte auch durch Polynome in z ausdrücken durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit einer geeigneten Potenz von z; aber die Form mit z wird hier benutzt, weil MATLAB und viele Bücher diese Darstellung bevorzugen. Vollständige Linearfaktorzerlegung von P (z) und Q(z) ergibt wie üblich die Pol-Nullstellen Form X(z) = b ( z z )( z 2 z ) ( z M z ) a ( p z )( p 2 z ) ( p N z ) = b M m= ( z mz ) a N n= ( p nz ) wo z m die Nullstellen und p n die Polstellen von X(z) sind. Mit MATLAB helfen roots und poly 49

51 Zur Wiederholung den bekannten Satz Sind die Koeffizienten von X(z) reell, dann sind Pole und Nulstellen entweder reell oder konjugiert komplexe Paare in der z-ebene. Zeichnet man Pole und Nullstellen in die komplexe z-ebene ein, so erhält man das Pol-Nullstellen -Diagramm von X(z), kurz PN-Diagramm genannt. Viele wichtige Eigenschaften von LTI-Systemen mit Übertragungsfunktion X(z) können aus dem Pol-Nullstellen -Diagramm abgeleitet werden. Mit MATLAB: zplane ist hilfreich 3.3. Berechnung der inversen z-transformation Generell führt man zuerst eine vollständige Partialbruchzerlegung (vielleicht mit MATLAB) der rationalen Funktion X(z) durch, einschließlich Polynomdivision wenn X(z) unecht gebrochen rational sein sollte. Danach werden die einzelnen Partialbrüche und Polynome mit Hilfe einer z-transformationstabelle zurücktransformiert. So wird vorgegangen: Falls M N, erzeugt man durch Polynomdivision die Summe aus einem Polynom und einer echt gebrochen rationalen Funktion: X(z) = M N k= C k z k }{{} P olynomanteil + b + b z + b M N z (M N) } a + a z + + a N z {{ N } echt rationaler Anteil Dann wird die komplexe Partialbruchzerlegung für den gebrochen rationalen Anteil durchgeführt. Das ergibt eine Summe von Ausdrücken der Form A k ( p k z ) für einfache Polstellen p k und von Termen der Sorte B l ( p l z ) + B lr ( p l z ) r für Pole p l mit Vielfachheit r. Die A und B s heissen (komplexe) Residuen. MATLABs residuez macht alles auf einmal. Formeln für traditionelle Berechnung der Residuen findet man in jedem guten Buch über die z-transformation. Die inverse z-transformation für die Polynome findet man schnell durch M N k= C k δ(n k) M N k= C k z k 5

52 Für einfache Pole wissen wir schon Ap n A ( pz ) und für mehrfache Pole gilt ( ) n + l B l p n B l l ( pz ) l für jeden der r Terme entsprechend der Vielfachheit. Aufgrund der Linearität der z-transformation ergibt die Summe aller rücktransformierten Terme dann die komplette inverse Transformation Stabilität von LTI-Systemen Wenn H(z) die rationale Übertragungsfunktion eines LTI-Systems mit Impulsantwort h(n) ist, dann setzt sich die Impulsantwort zusammen aus einem Signal endlicher Dauer, entsprechen dem Polynomanteil von H(z), und aus exponentiell steigenden oder fallenden Signalen entsprechen den Polstellen. Der Lage der Polstellen in der z-ebene kommt dabei folgende Bedeutung zu: Die Betrachtung der inversen z-transformation einer Polstelle bei p zeigt: Für p = ist die inverse Transformation betragsmäßig konstant n Für p > wächst die inverse Transform exponentiell Für p < fällt die inverse Transformation exponentiell Damit ein LTI-System stabil ist, müssen daher alle Polstellen einen Betrag < haben, also im Innern des Einheitskreises in der z-ebene liegen. Satz Ein diskretes LTI-System mit Übertragungsfunktion H(z) ist genau dann stabil, wenn alle seine Polstellen im Innern des Einheitskreises in der z-ebene liegen. Also kann man Stabilität aus dem PN-Diagramm ablesen! 5

53 Bemerkungen Da die Frequenzen in der z-ebene auf dem Einheitskreis liegen, hat das Spektrum eines stabilen Systems keine Polstellen. Andererseits kann ein System ein normal anzusehendes Spektrum aufweisen, und trotzdem unstabil sein! Daher ist die Fourier-Transformation wirklich nicht ausreichend für die Behandlung diskreter Systeme. Das Spektrum H(f) = H(e j2πf ) liegt auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene. Polstellen in der Nähe des Einheitskreises führen zu großen Werten des Spektrums dort, Nullstellen in der Nähe des Einheitskreises führen zu kleinen Werten. Liegen Nullstellen und Polstellen nahe zusammen, so wird sich ihre Wirkung kompensieren. (Das kann man auch anders einsehen) 52

54 Kapitel 4 Beschreibung von Systemen durch Systemfunktionen und Differenzengleichungen Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Beziehung zwischen Eingangs- und Ausgangssignalen diskreter LTI-Systeme zu beschreiben. Wir kennen bereits die Impulsantwort h(n) und Übertragungsfunktion H(z): y(n) = + k= x(n k)h(k) (4.) Y (z) = X(z) H(z) (4.2) Die Übertragungsfunktion H(z) = + k= h(n)z n läßt sich also schreiben als H(z) = Y (z) X(z) (4.3) das heißt als Quotient der z-transformierten des Ausgangssignals y(n) und des Eingangssignals x(n). Vollständig beherrschen lassen sich nur solche Systeme, bei denen Y (z) X(z) eine rationale Funktion in z ist (z.b. wegen Rück- transformierbarkeit). 53

55 4. Differenzengleichungen Für eine große Klasse von LTI-Systemen wird die Beziehung zwischen x(n) und y(n) durch die folgende Differenzengleichung mit den Koeffizienten a k, b m beschrieben: N M a k y(n k) = b m x(n m) (4.4) k= m= Alleine ist diese Gleichung nicht ausreichend; zusätzliche Informationen über Kausalität und Anfangsbedingungen sind erforderlich. Falls das System kausal ist, erhält man nach Skalierung durch Division mit a y(n) = M m= b m a x(n m) N k= oder im Normalform (neue Koeff. : /a ) a k a y(n k) (4.5) M N y(n) = b m x(n m) a k y(n k) (4.6) m= k= Der Ausgangswert zum Zeitpunkt n, y(n), wird aus dem momentanen und den vergangenen M + Eingangswerten und den N vergangenen Ausgangswerten berechnet. Definition Werden vergangene Ausgangswerte zur Berechnung des aktuellen Ausgangswertes eines Systems benutzt, heißt das System rekursiv 54

56 Beispiel Setzt man für Kausalität y( n) = voraus und x( n) =, n, so erhält man Schrittweise für die Lösung y() = b x() y() = b x() + b x() a y() y(2) = b x(2) + b x() + b 2 x() a y() a 2 y() y(3) = b x(3) + b x(2) + b 2 x() + b 3 x() a y(2) a 2 y() a 3 y() Die Differenzengleichung ist somit also schrittweise lösbar (Gegensatz DGL), und kann leicht in Hard- oder Software realisiert werden. Aus der Differenzengleichung (6) kann direkt eine mögliche Realisierung des Systems abgeleitet werden. Symbole: Ein diskretes System setzt sich aus drei Grundelementen zusammen: - Addierer - Multiplizierer - Verzögerungselemente 55

57 Direktstruktur (Eine Realisierungsmöglichkeit). Zum Einschaltzeitpunkt steht überall (Kausalität). 4.2 Übertragungsfunktion der Differenzengleichung Die Übertragungsfunktion von (6) ergibt sich durch z-transformation auf beiden Seiten zu N M a k Z{y(n k)} = b m Z{x(n m)} k= m= Der Verschiebungssatz Z{y(n k)} = z k Z{y(n)} ergibt N a k z k Y (z) = k= M b m z m X(z) (4.7) m= H(z) = Y (z) X(z) = M m= b m z m (4.8) N a k z k k= 56

58 Satz Die Übertragungsfunktion eines durch die Differenzengleichung (6) beschriebenen Systems ist eine rationale Funktion in z bzw. z Bemerkung Wir wissen sofort: Solche Systeme sind stabil, wenn alle Pole von H(z) im Einheitskreis liegen. Also ist das Nennerpolynom für Stabilität verantwortlich. H(z) kann sowohl als rationale Fkt. in z als auch in z dargestellt werden. Hier wird in z bevorzugt. Beispiel Mittelungsfilter Verbreitete Methode um Daten zu glätten oder zu filtern: Man nehme den gewichteten Mittelwert von M + aufeinanderfolgenden Eingangswerten als Ausgangswert. Als kausales System: M y(n) = b m x(n m) (4.9) m= Nicht rekursive Realisierung: Andere Bezeichnung: Transversal- bzw. FIR-Filter 57

59 Systemfunktion Impulsantwort M H(z) = b m z m Polynom in z bzw. z (4.) m= h(m) = { b m, sonst, m M (4.) Die Impulsantwort h(m) dieses Systems ist nur für endlich viele Werte. Man nennt solche Systeme Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter). Definition Für Systeme mit rationaler Übertragungsfunktion H(z) werden die Nullstellen und Pole von H(z) als Nullstellen und Pole des Systems bezeichnet. Aus der Produktdarstellung H(z) = b M m= ( z mz ) a N k= ( p kz ) Poly. in z (4.2) oder nach Erweiterung mit zm z N zn z M H(z) = b a z N M M m= (z z m) N k= (z p k) (4.3) z m Nullstellen, p k Pole kann man Werte von H(z) aus der Geometrie des Pol-Nullstellendiagramms ermitteln: (z z m ) := B m e jωm Zeiger von z m nach z (z p k ) := A k e jϕ k Zeiger von p k nach z B m und A k sind die Längen dieser Zeiger, Ω m und ϕ k die Winkel der Zeiger (gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse gemessen). 58

60 Mit H(z) = z N M b ( m B m)exp j Ω m m a ( k A k)exp j (4.4) φ k k kann das Produkt der Zeigerlängen und die Summe der Winkel zur Berechnung von H(z) benutzt werden. Besonders nützlich: Frequenzgang H(e j2πf ) = H (f) (H(z) auf Einheitskreis). H (f) = b m B m a k A k (4.5) M N ϕ(f) = Ω m ϕ k + (N M)2πf (4.6) m= k= wobei aus z N M e j(2πf)(n M) Der letzte Term ist ein linearer Phasenterm und bedeutet eine reine Verzögerung. 59

61 Beispiel: 2 Pole p, p 2 ; 2 Nullstellen z, z 2 6

62 Wichtig Nullstelle auf (nahe) Einheitskreis bei j2πf H (f) wird (nähert) Null bei f = Frequenzsperre Bei f : Phase springt um 8, da der Zeiger von e j2πf nach e 2πf beim Durchgang (Vorbeigang) die Richtung umkehrt. Polstelle nahe Einheitskreis: H (f) wird sehr groß beim Vorbeigang und die Phase ändert sich schnell um fast 8 = Man kann dem Frequenz- und Phasengang die ungefähre Lage von Nullstellen und Polstellen nahe des Einheitskreises ansehen. Ausnahme Benachbarte NST und PST können sich in ihrer Wirkung kompensieren. Dies wird beim Allpaß ausgenutzt ( später) Beispiel Das einfachste Filter ist der lineare Mittelwert y(n) = M + Systemfunktion M x(n m) (4.7) m= H(z) = M + M m= z m = z (M+) M + z (4.8) 6

63 NST sind die Lösungen von = z (M+) und sind daher gegeben durch die (M + )-ten Einheitswurzeln. z m = e j2πm/(m+), m =,..., M (4.9) Die Wurzeln für m = (NST bei z = ) wird durch den Faktor ( z ) im Nenner aufgehoben. = H(z) hat M NST auf dem Einheitskreis und keine Pole: = Nullstellen des Frequenzgangs direkt ablesbar. Aus Definition (8) folgt H() = Skizze Es gilt: { } H sin (M + ) 2πf 2 (f) = ) (M + ) sin ( 2πf 2 (4.2) Beweis durch Ausrechnen von (9) mit z = e j2πf 62

64 Kapitel 5 Diskrete Netzwerke und Strukturen 5. Einleitung Die Wahl der Koeffizienten einer Differenzengleichung steuert die Eigenschaften von H(z), z.b. im Frequenzbereich. Auf diese Art können unter anderem frequenzselektive Systeme (Filter) realisiert werden. Aber es gibt noch einen anderen wichtigen Aspekt. Dasselbe System kann auf viele verschiedene Arten realisiert werden. Die verschiedenen Realisierungen werden als Strukturen bezeichnet und üblicherweise durch Signalflußgraphen dargestellt. Unterschiede zwischen verschiedenen Strukturen eines Systems sind Empfindlichkeit gegen Koeffizientenquantisierung oder Überlauf und die Kosten für die Implementierung sowie Übersichtlichkeit. Bereits vorgestellt wurde die direkte Realisierung der Differenzengleichung in allgemeiner und in nichtrekursiver Form. Ein System, daß durch die Differenzengleichung M N y(n) = b m x(n m) a k y(n k) (5.) m= k= beschrieben wird, besteht aus Addierern, Multiplizierern und Verzögerungsgliedern. 5.2 Signalflußgraphen Die Elemente einer Realisierung einer Differenzengleichung werden wie folgt dargestellt: - Addierer - Multiplizierer - Verzögerungselement 63

65 Eine spezielle Realisierung der Differenzengleichung mit diesen Elementen ist eine Struktur, dargestellt durch einen Signalflußgraphen Die einfachste Direktstruktur (wurde schon im letzten Kapitel behandelt) ist eine direkte Implementierung der Differenzengleichung mit Übertragungsfunktion H(z) = N(z) D(z) = N(z) D(z) = H (z)h 2 (z) Diese Form kann man als Kaskadierung zweier Übertragungsfunktionen auffassen. Bemerkung Im folgenden Abschnitt setzen wir zur Vereinfachung N = M für den Grad der Zähler- und Nennerpolynome von H(z) Die einfache Direktstruktur hat offensichtlich 2N Verzögerungsglieder. Nun wird die Kommutativität der Faltung benutzt: H(z) = H (z)h 2 (z) = H 2 (z)h (z) = D(z) N(z) Das Ergebnis kann auf folgende Weise gezeichnet werden: Die zwei parallelen Ketten von Verzögerungselementen können zu einer Kette zusammengefaßt werden, da dasselbe interne Zustandssignal s(n) in beiden verzögert wird; Diese Struktur benötigt nur N Verzögerungselemente und wird kanonische Direktstruktur 2 genannt. 64

66 Wenn man ehrlich ist, kann man hier kaum noch die ursprüngliche Differenzengleichung erkennen. Beispielhaft soll erwähnt werden, mit welchem Ansatz man versuchen kann, aus einer Struktur die Übertragungsfunktion zurückzugewinnen: Man führt ein zusätzliches Statussignal w(n) ein, und kann damit die folgenden Differenzengleichungen hinschreiben : N y(n) = b k w(n k) (5.2) k= w(n) = x(n) N a k w(n k) (5.3) k= Auf diese Gleichungen wird die z-transformation angewandt; dann kann W (z) daraus eliminiert werden, und man erhält die gleiche Übertragungsfunktion wie bei der ursprünglichen Direktstruktur mit zwei Verzögerungsketten. 5.3 Kanonische Strukturen Definition Eine Struktur wird direkt genannt, wenn sie die Koeffizienten der Originaldifferenzengleichung direkt benutzt. Diese Strukturen weisen bestimmte Nachteile auf, wie wir noch sehen werden. Definition Eine Struktur heißt kanonisch, wenn sie die kleinstmögliche Anzahl von Verzögerungselemementen aufweist. Diesen Begriff gibt es auch für die Anzahl der Multiplizierer oder Addierer, deren Minimalisierung ist aber nicht so erfolgreich. Es gibt 4 kanonische Strukturen, 2 davon sind auch Direktstrukturen. Es gibt eine ganz wichtige Methode, um neue Signalflußgraphen für dasselbe System zu erzeugen. Die Methode besteht imtransponieren oder Umkehren des Signalflußgraphen. Definition Wenn alle Signalflußrichtungen in einem Signalflußgraphen umgekehrt werden, 65

67 entsteht der transponierte Signalflußgraph. Im Einzelnen passiert folgendes: Eingangssignal = Ausgangssignal (5.4) Verzweigung = Addierer (5.5) Addierer = Verzweigung (5.6) Eingangssignal = Ausgangssignal (5.7) (5.8) Beispiel 66

68 Es gibt nun den folgenden grundlegenden Zusammenhang: Satz Das durch den transponierten Signalflußgraphen definierte System hat dieselbe Übertragungsfunktion wie das durch den ursprünglichen Signalflußgraphen gegebene System. Aus der kanonischen Direktstruktur 2 wird so durch Transposition die sehr populäre kanonische Direktstruktur Die MATLAB- Funktion filter ist eine Software-Implementierung dieser Struktur. Nachteile von Direktstrukturen Diese Strukturen implementieren die Differenzengleichung direkt, Zähler- und Nennerpolynom der Übertragungsfunktion bleiben mit ihren Koeffizienten sichtbar. Wenn nun (z. B durch Quantisierung) auch nur ein einziger Koeffizient geändert wird, so sind alle Nullstellen (oder Polstellen) der Übertragungsfunktion betroffen. Bekanntlich sind die Nullstellen von Polynomen hoher Ordnung i.a. sehr empfindlich gegenüber Koeffizientenänderungen. Für Systeme hoher Ordnung ist daher die Gefahr sehr groß, daß eine Polstelle außerhalb des Einheitskreises wandert. Aus diesem Grund werden sehr häufig, insbesondere bei rekursiven Systemen, andere Strukturen benutzt, bei denen die Gefahr durch Quantisierung sehr gering ist und auch die Fehler besser kontrolliert werden können. Im Grunde teilt man große Strukturen in kleinere auf; diese entstehen ganz natürlich bei der Faktorisierung oder bei der Partialbruchzerlegung der rationalen Übertragungsfunktion eines Systems. 67

69 5.4 Parallelform Die Übertragungsfunktion H(z) wird als Summe von einfacheren Übertragungsfunktionen H k (z) realisiert: m H(z) = H k (z) k= Dies entspricht einer Struktur in Parallelform Wenn die Koeffizienten eines H k (z) geändert werden, so ändern sich nur die Polstellen, die zu diesem H k (z) gehören (aber immer noch alle Nullstellen!) Die Koeffizienten der einzelnen H k (z) erhält man durch Partialbruchzerlegung von H(z): H(z) = k terpartialbruch Damit die Koeffizienten der einzelnen Teilsysteme reell werden, kombiniert man die Anteile, die zu konjugiert komplexen Polstellen gehören, zu Systemen 2. Ordnung, sogenannten Second Order Sections (SOS) mit reellen Koeffizienten: c k p k z + c k p = c k( p k z ) + c k ( p kz ) k z ( p k z )( p k z ) b k b k {}}{{}}{ 2Re(c k ) 2Re(c k p k = ) z 2Re(p k ) z }{{} + p k 2 }{{} a k a k2 z 2 Meist werden auch je 2 reelle Polstellen zu SOS zusammengefaßt, um so viele SOS zu erhalten wie möglich. Das hat den großen Vorteil, daß nur (identisch strukturierte) Systeme 2. Ordnung in Hard- oder Software realisiert werden müssen, was sehr wirtschaftlich ist. Die SOS werden in der. oder 2. kanonischen Direktstruktur aufgebaut. Die Parallelstruktur findet ihre Anwendung auch in natürlicher Weise als Filterbank, z. B. in der Audiotechnik (Equalizer) oder in der Sonar- und Radartechnik als Dopplerfilterbank. 68

70 5.5 Kaskadenform Die Kaskadierung von LTI-Systemen kann als Faltung von Teilsystemen beschrieben werden. Mit Impulsantworten: h(n) = h ( n) h 2 (n) h l (n) oder im z-transformierten Bereich als Multiplikation der Übertragungsfunktionen der einzelnen Teilsysteme: H(z) = H (z)h 2 (z) H l (z) Üblicherweise wird die Kaskadenform eines Systems durch Zerlegung der Übertragungsfunktion in ein Produkt von natürlich wieder Second Order Sections berechnet. Um die Koeffizienten dieser SOS zu berechnen, geht man von der vollständigen Faktorisierung der rationalen Übertragungsfunktion H(z) aus: H(z) = ( b N k= ) ( z kz ) a N k= ( p kz ) So viele reelle Null- und Polsstellen wie möglich werden zu SOS zusammengefaßt (ein Teilsystem. Ordnung kann dabei übrigbleiben). Die konjugiert komplexen Nullstellen und Pole werden zu SOS mit reellen Koeffizienten zusammengefaßt, dies nach der Formel: b k {}}{{}}{ ( z k z )( zk z ) ( p k z )( p k z ) = 2Re(z k ) z + z k 2 z 2 2Re(p k ) z }{{} + p k 2 z }{{} 2 a k Die entstandenen SOS werden wieder als kanonische Direktstrukturen implementiert, damit übersichtliche Hard-oder Softwarelösungen entstehen. b k2 a k2 Vorteile der Kaskadenform Die Koeffizienten einer SOS beeinflußen nur die Nullstellen und Pole, die zu dieser einen SOS gehören. Damit ist eine sehr gute Fehlerkontrolle möglich. Bei frequenzselektiven Systemen liegen oft Nullstellen auf dem Einheitskreis. Dies bedeutet b k2 =, was die zusätzliche Einsparung einer Multiplikation bedeutet. 69

71 5.6 FIR-Filter und lineare Phase Ein bekannter Nachteil analoger Filter ist ihre nichtlineare Phase, die zu Signalverzerrungen führt. Ebenso haben die klassischen rekursiven diskreten Filter einen nichtlinearen Phasenverlauf. Echte rekursive Systeme können eine lineare Phase nur näherungsweise erreichen, dazu benötigt man spezielle Entwurfsmethoden. Dies ist ein aktuelles Forschungsthema. Im Gegensatz dazu haben viele FIR Systeme, zusätzlich zur Stabilität, eine lineare Phase, und diese Eigenschaft kann sofort aus den Koeffizienten der Direktstruktur abgelesen werden. Diese Phasenlinearität ist ein weiterer Vorteil von FIR Systemen und ein Hauptgrund für ihre Popularität. Satz Ein FIR - System hat lineare Phase, wenn seine Impulsantwort (= seine Koeffizienten in der Direktstruktur) h(n) = b n, n N, konjugiert symmetrisch ist, das heißt b n = b N n Wenn das System reell ist, reduziert sich dies auf normale Symmetrie. Es gibt nun 2 Fälle für die Symmetrie:. N ist gerade (Anzahl der Koeffizienten ist ungerade), dann ist b N/2 reell und Mittelpunkt der Koeffizientenfolge 2. N ist ungerade (Anzahl der Koeffizienten ist gerade), dann gibt es keinen Koeffizienten als Mittelpunkt der Koeffizientenfolge. 7

72 Der Satz ist sehr wichtig und wird bewiesen, da das Ergebnis im folgenden noch gebraucht wird. Der Beweis wird für N gerade geführt, der andere Fall ist ähnlich. Beweis des Satzes Die Übertragungsfunktion des Systems ist gegeben durch N H(z) = b n z n, mit b n = b n N = b n e jφn n= Da N gerade ist, kann man H(z) schreiben als N H(z) = z N/2 [ b n z n+n/2 ] n= N/2 = z N/2 [b N/2 + {b n z n+n/2 + b N n z n N/2 }] n= Mit z = e j2πf und b N n = b n folgt dann N/2 H(e j2πf ) = e j2πf( N/2) [b N/2 + { b n e jφn e j2πf( n+n/2) + b n e jφn e j2πf(n N/2 }] n= Mit der bekannten Identität cos(x) = ejx +e jx 2 ergibt sich oder N/2 H (f) = e jπfn [b N/2 + 2 { b n cos{2πf(n/2 n) + Φ n )}] n= H (f) = e jπfn R(f) mit einer reellen Funktion R(f). Das hat die folgenden Konsequenzen: Falls R(f) ungleich ist, dann R(f) = H (f) 7

73 und die Phase von H (f) ist eine lineare Funktion in f: arg H (f) = πfn Falls R(f) sein Vorzeichen bei einem Nulldurchgang wechselt, dann springt die Phase bei diesen Frequenzen um ±8, und arg H (f) ist nur stückweise linear 72

74 Trotzdem spricht man üblicherweise von linearer Phase, und zwar aus folgenden Gründen: Die Frequenzen wo R(f) = und die Phase springt liefern keinen Beitrag, da ja die Übertragungsfunktion dort wird! Worauf es wirklich ankommt, ist die konstante Gruppenlaufzeit. Gruppenlaufzeit D(f) ist definiert durch D(f) = d 2π df arg H (f) und für FIR Systeme mit linearer Phase und N gerade oder ungerade gilt D(f) = N 2 außer an den Sprungstellen der Phase, wo ohnehin keine Signalanteile durchkommen. Diese Formel für die Gruppenlaufzeit liefert ein Erklärung dafür, warum in Datenübertragungssystemen Filter mit geradem N (ungerader Koeffizientenzahl) bevorzugt werden. Falls nämlich N ungerade ist, wird der Mittelpunkt eines Datenimpulses so verzögert, daß er zwischen zwei Abtastpunkten zu liegen kommt. Da aber Datenimpulse zur Entscheidung im Mittelpunkt (=Maximalstelle) abgetastet werden sollen (siehe Augendiagramm), ist dies sehr ungünstig und erfordert zusätzlichen Aufwand. Daher werden gerade N bevorzugt. 73

75 5.6. Nullstellenverteilung linearphasiger Systeme Als erstes wird eine grundlegende Formel für linearphasige Systeme entwickelt: z N H(z) = N n= b nz N n = = N m= b mz m = ( N n= b N nz N n N b m z m ) m= = ( N m= b m( z ) m ) = H ( z ) Bei linearphasigen Systeme folgt also aus der konjugierten Symmetrie der Koeffizienten z N H(z) = H ( z ) woraus folgender wichtiger Schluß gezogen werden kann Satz Jede Nullstelle von H(z) ist ebenso eine Nullstelle von H ( z ) und daher von H( z ). Das bedeutet daß wenn z k eine Nullstelle von H(z) ist, zk ebenfalls eine Nullstelle von H(z) ist. Für die Lage der Nullstellen in der komplexen z-ebene gilt daher: Die Nullstellen linearphasiger Systeme liegen entweder auf dem Einheitskreis oder treten als Paare mit gleichem Winkel und inversem Radius auf. Das kann man leicht einsehen, denn. z k auf dem Einheitskreis: z k = z k = z k z k z k = z k z k 2 = z k 2. z k nicht auf dem Einheitskreis: z k = re jφ z k = re jφ = r ejφ Da bei Systemen mit reellen Koeffizienten die Nullstellen zudem auch konjugiert komplexe Paare bilden, treten sie bei solchen Systemen immer als Vierlinge innerhalb und außerhalb des Einheitskreises auf! 74

76 5.6.2 Eine spezielle Direktstruktur für linearphasige Systeme Für reelle linearphasige FIR-Systeme gibt es eine einfache spezielle Direktstruktur, die ungefähr 5% der Multiplikationen einspart; sie beruht auf der Identität: H(z) = b + b z + b 2 z b 2 z (N 2) + b z (N ) + b N z N = b ( + z N ) + b (z + z (N ) ) + b 2 (z 2 + z (N 2) ) Der Signalflußgraph ist sofort aus der Formel hinzuzeichnen. Das ist ein weiteres Argument für den Einsatz linearphasiger Systeme! 75

77 5.7 Der Allpaß Definition Ein System heißt Allpaß, wenn für alle f gilt H (f) = d.h. das Betragsspektrum ist konstant = für alle Frequenzen. Insbesondere heißen diskrete Systeme mit H (f) = const diskrete Allpässe. Sie werden zur Korrektur von Phasenverzerrungen durch analoge Filter und für theoretische Zwecke benötigt. Gegensatz: analoge Allpässe: nicht exakt realisierbar digitale Allpässe: exakt realisierbar 5.7. Konstruktion von Allpässen Ausgangspunkt ist ein Paar(Pol, NST) gegeben durch: NST z, z >, z = r e jθ PST p = z, p <, p = r e jθ NST und PST gehen durch Spiegelung am Einheitskreis auseinander hervor: Bilde nun das stabile System mit Übertragungsfunktion H(z) = z z z ( p z ) (37) NST : z PST : p 76

78 (Dies ist ein sogenannter Allpaßfaktor) Für z = e j2πf, d.h. auf dem Einheitskreis, ist H (f) = H(e j2πf ) = H (f) = r e jθ e j2πf r e jθ ( r e jθ e j2πf ) = r e jθ e j2πf r e jθ e j2πf r e jθ e j2πf e j2πf r }{{} e jθ e j2πf = = r e jθ e j2πf r e jθ e j2πf = x x = (37) ist also ein Allpaß. Aus Allpaßfaktoren mit NST z, z 2 ;... z n, z n > PST z,, z2,... z, n läßt sich ein Allpaß N-ter Ordnung HN(z) durch HN(z) = N k= z k z z k ( z k z ) (38) zusammensetzen. Realisierung: Kaskadenform! HN(z) = H (z)h 2 z... H N (z) H k (z) = z k z zk ( zk z ) Reelle Allpässe Ein reeller Allpaß muß zu Pol- und NST jeweils die konjugiert komplexen enthalten, hat also mindestens die Ordnung 4. Formel: H(z) = N ( z k z )( zk z ) z k 2 ( zk z )( z k z ) k= 77

79 Kaskadenform: Besteht aus lauter reellen Filter 2-ter Ordnung (SOS)! Ausnahme: rein reelle NST, PST r, r H(z) = rz r( r z ) führen auf ein reelles Filter. Ordnung Anwendungen. Kompensation von Phasenverzerrungen Da H (f) =, beeinflußt der Allpaß das Amplitudenspektrum nicht, wohl aber das Phasenspektrum. Er kann einem Filter nachgeschaltet werden, ohne das Amplitudenspektrum zu verändern: G (f) H (f) = G (f) }{{} Leider ist die Realisierung eines beliebig vorgegebenen Phasenverlaufs ϕ(f) mit einem Allpaß nicht einfach; dies ist ein aktuelles Forschungsthema! Daher werden, falls man genügend Rechenleistung zur Verfügung hat, FIR-Systeme zur Phasenkompensation benutzt. (Der Entwurf solcher Filter ist im Prinzip nicht schwierig ) 2. Stabilisierung digitaler Systeme (Systemtheoretische Verwendung des Allpaß) Ausgangspunkt Man hat System mit vorgeschriebenem Amplitudenspektrum G (f) entworfen. Leider liegt (mind.) eine Polstelle p k außerhalb des Einheitskreises instabil unbrauchbar Es hilft der Allpaß! Satz Stabilisierung 78

80 Sei G(z) eine Übertragungsfunktion mit PST p k, p k > d.h. es ist G(z) = G(z) p k z Wird p k durch die am Einheitskreis reflektierte Polstelle ersetzt, so ist das System (mit Skalierung) p k, p < k stabil, und G s (z) = G(z) p k p z k G s (z) = G(z), z = e j2πf (39) 79

81 Bemerkung (39) gilt auch für Reflektion von NST: Reflektion von NST und PST am Einheitskreis ändern das Betragspektrum nicht, bis auf eine Skalierung. Beweis G(z) wird formal mit dem Allpaß aus NST P ST p k p k kaskadiert: p k z G s (z) = G(z) p k ( p z ) k }{{} Da ein Allpaß ist, gilt G s (e j2πf ) = G(e j2πf ) Weiterhin ist G s (z) = G(z) {}}{ ( G(z) p k z ) = G(z) p k p z k { Allpaß }} { p k z p k ( p z ) stabil! Die PST außerhalb des Einheitskreises ist verschwunden und durch die reflektierte Polstelle innerhalb ersetzt worden. Bemerkung Bei rellen Systemen müssen natürlich 2 PST reflektiert werden. Bei n PST außerhalb des Einheitskreises werden einfach n PST reflektiert. 8

82 5.8 Kammfilter Sei H(z) ein beliebiges stabiles System. Betrachte nun das System H(z k ) da H (f) periodisch ist mit Periode, ist H (kf) periodisch mit Periode k, d.h. das Amplitudenspektrum H(e j2πfk ) ist periodisch mit Periode k von bis, also wiederholt es sich k-mal. Solche Filter nennt man Kammfilter. Insbesondere wiederholen sich die Nullstellen gleichmäßig im Abstand k. Daher kann man solche Filter zur Unterdrückung von periodisch auftretenden Frequenzanteilen benutzen, wie sie von periodischen Störungen hervorgerufen werden. Beispiel NST bei f = (und ) H(z) = z αz Hochpass wird durch Einführen von H(z k ) in ein Filter mit k+ NST bei k n, n k verwandelt. Die Übertragungsfunktion ist H k (z) = H(z k ) = z k αz k Nullstellen und Pole liegen schön regelmäßig. Alle Frequenzen n k werden gesperrt: Realisierung 8

83 82

84 Kapitel 6 Entwurf rekursiver Digitalfilter (IIR - Filter) Die klassischen Methoden gehen von als bekannt vorausgesetzten kontinuierlichen Filtern (Analogfiltern) aus, deren Frequenzgänge für viele Koeffizientenwerte tabelliert sind. Der Entwurf wird heutzutage durch Computerprogramme stark vereinfacht. Viele Programme arbeiten 2-stufig. Ein solches Programmsystem wird im Labor benutzt (zur Vereinfachung ohne Strukturteil). 83

85 6. Frequenzverschiebung Tiefpaß - Bandpaß: (Einschränkung auf Tiefpaßentwurf) Das ist nicht gravierend. Es gibt mindestens folgende zwei Möglichkeiten, z.b. Bandpaßfilter aus Tiefpaßfiltern zu konstruieren: A) Ausgehend von Tiefpaßfiltern mit der Impulsantwort h(n) und Übertragungsfunktion H (f): Multiplikation von h(n) mit cos(2πf n), (f <.5) erzeugt nach dem Modulationssatz einen Bandpaßfilter mit Mittenfrequenz f : 84

86 Tiefpaß - Bandpaß - Transformation h(n) H (f) h(n) cos(2πf n) 2 {H (f f ) + H (f + f )} 85

87 B) Mit komplexen Signalen: Das reelle Bandpaßsignal mit der Mittenfrequenz f wird um f ins komplexe Basisband geschoben, tiefpaßgefiltert und um f zurück in die ursprüngliche Frequenzlage geschoben. Dabei entstehen nebenbei die komplexe Hüllkurve und das analytische Signal: 86

88 Bilde { Shp (f) + S hp ( f) } 2 (reelles BPsignal) Obwohl diese Vorgehensweise sehr kompliziert erscheint, wird sie zunehmend benutzt, da die Umsetzung ins komplexe Basisband (komplexe Demodulation) zum Standard geworden ist. Da man nur den Realteil benutzt, muß auch nur dieser berechnet werden Einsparung: Re( s h (n) e j2πf n }{{} ) = s I (n) cos(2πf n) s q (n) sin(2πf n) cos 2πf +j sin 2πf n wobei s I ; s q : Quadraturkomponenten Insgesamt erhält man den folgenden Ablauf: 87

89 Das analytische Signal muß also nicht vollständig berechnet werden. Bemerkung Es gibt natürlich auch die Möglichkeit, Bandpaßfilter direkt zu entwerfen. Das wird von MATLAB gut unterstützt. 88

90 6.2 Übertragungsfunktionen von Analogfiltern Die Übertragungsfunktion (= Laplace-Transformation der Impulsantwort) eines analogen Filters ist H c (s) = M m= C m s m s CI (6.) N d k s k k= mit M < N, also eine echt gebrochen rationale Funktion. Es gibt nun viele Möglichkeiten, die s-ebene in die ZZ -Ebene abzubilden. Um den Frequenzgang der kontinuierlichen Filter H(jω) auszunutzen, sollte aber auf jeden Fall die jω- Achse in den Einheitskreis der ZZ -Ebene e jωt abgebildet werden. Weiterhin muß die linke s-halbebene, wo die Pole stabiler Analogfilter liegen, ins Innere des Einheitskreises der ZZ -Ebene (wo die Pole stabiler diskreter Systeme liegen) abgebildet werden: (um stabile diskrete Systeme zu erzeugen!) 89

91 6.3 Entwurf von Analogfiltern Es interessieren vor allem die klassischen TP-Filter ( Butterworth, Chebyscheff und Elliptisch ), die als Tiefpässe bestimmte Bedingungen im Frequenzbereich erfüllen, d.h. H c (j2πf) erfüllt folgende Bedingungen: Durchlaßbereich H c (jω) δ, ω ω c (6.2) Sperrbereich H c (jω) δ 2, ω ω s (6.3) Bemerkung Im Übergangsbereich ω c < ω < ω s ist H c (jω) nicht spezifiziert, aber monotones Abfallen ist erwünscht! Ähnliche Bedingungen kann man natürlich für Hochpaß, Bandpaß und Bandsperre aufstellen. 9

92 6.3. Butterworth-Filter Bedingungen: H c (jω) 2 soll maximal flach im Durchlaßbereich und im Sperrbereich sein. d n dω n H c (jω) 2 =, n 2N (6.4) für ω = und ω = (Grenzwert) Die Ordnung N ergibt sich aus den Werten δ, δ 2, ω c, ω s. Man wählt speziell für Butterworth-Filter meist ω c als 3dB-Punkt von H c (jω) = δ = / 2 3dB Aus der Bedingung (5.4) folgt nach längerer Rechnung H c (jω) 2 = + ( ω ω c ) 2N H c () =, H c (jω c ) = 2 H c (jω) ist monoton fallend für ω, also monoton im Durchlass- und Sperrbereich. Typisch für Butterworth-Filter (keine NST!) Bestimmung von H c (s): Es gilt: H c (jω) 2 = H c (jω) H c (jω) }{{} = H c (jω) H c ( jω) Reelles Filter 9

93 Dehnt man diese Beziehung auf s aus, so erhält man für H c (s) H c (s) H c ( s) = + ( s jω c ) 2N jω s ω s j Pole von H c (s) H c ( s) bei s k = ( ) /2N (jω c ) 2N Pole, gleichmäßig auf Kreis mit Radius ω c in der s-ebene Hierbei sind nur die Pole von H c (s) interessant. Stabiles Filter = wähle die N Pole in der linken Halbebene (für H c ( s) bleiben N in der rechten Halbebene). Durch diese Pole ist dann H c (s) bestimmt. Bemerkung Beispiel Computerprogramme machen das automatisch und ohne Schwierigkeiten N = 2; ω c = s k = 4 (jω c ) = 4 j = 2 Pole mit Re(s k ) < sind gegeben durch s 2,3 = 2 ( ± j) = H c (s) = = H c (s) = (s + ( j) 2 )(s + (+j) 2 ) s s + 92

94 6.3.2 Chebyscheff - Filter Schnellerer Abfall bei ω c (steilere Flanke) auf Kosten der Monotonie in Durchlaßoder Sperrbereich. A) Chebyscheff - Typ I (monoton im Sperrbereich) H c (jω) 2 = + ε 2 T 2 N ( ω ω c ) (6.5) Definition T N (x) Chebyscheff-Polynom N-ter Ordnung. cos(n arccos x) x T N (x) = cosh(n arccosh x) x Rekursionsformel T N+ (x) = 2xT N (x) T N (x), T =, T = x... Da T N () = N = H c (jω c ) = = δ +ε 2, und daher ε = ( δ ) 2 (kann aus δ berechnet werden!) Das benötigte N um δ 2 bei ω s zu errechnen, erhält man aus der Näherungsformel 93

95 N arccosh (/δ 2ε) arccosh (ω s /ω c ) (6.6) Man kann also aus vorgegebenen δ, δ 2, ω c, ω s das benötigte N berechnen, mit dem das analoge Chebyscheff-Filter diese Anforderungen erfüllt. Die Polstellen von H c (s) können wieder aus denen von H(s) H( s) ausgesucht werden (auf einer Ellipse in der s-ebene). Zur Berechnung hilft T 2 N (x) = T 2N (x)+ 2 Zur NST-Suche ist bei N > 2 numerische Rechenhilfe nötig. Es gibt auch geschlossene Formeln (z.b im Buch von Jackson). Chebyscheff - Typ II (monoton im Durchlaßbereich) H c (jω) 2 = + ε 2 [ T 2 N (ω s/ω c) T 2 N (ωs/ω) ] (6.7) Wieder ist: ε 2 = ( δ ) 2 N arccosh (/δ 2ε) arccosh (ω s /ω c ) Beispiele (siehe Übungen) 94

96 6.3.3 Elliptische (Cauer) Filter Optimalfilter: Liefert die steilste Flanke zwischen Durchlaßbereich und Sperrbereich bei gegebenen δ, δ 2 und N. H c (jω) 2 = + ε 2 U 2 N (ω/ω c) (6.8) U N (ω): Jacobi - (elliptische) Funktion Jacobi Funktionen können hier nicht behandelt werden, sind aber kein Problem für Computerprogramme. Elliptische Filter erfüllen ein vorgegebenes Toleranzschema ω c, ω s, δ, δ 2 mit der niedrigsten Ordnung N. Warum nicht immer elliptisch : - Nicht monoton im Durchlaß- und Sperrbereich - Phase ist nichtlinearer als bei den anderen Filtertypen 95

97 6.4 Herleitung diskreter Digitalfilter aus Analogfiltern 6.4. Impulsinvariante Transformation Prinzip Die Impulsantwort h(n) des Digitalfilters soll der mit T abgetasteten Impulsantwort h c (nt ) des Analogfilters entsprechen: h(n) = h c (nt ) (6.9) Konsequenz Die Transformation eines kontinuierlichen in ein diskretes Filter durch Abtastung ergibt h c (nt ) = + n= h c (nt ) δ (t nt ) (6.) H(e j2πft ) = T H(e jωt ) = T + n= + n= { H c (j 2πf k 2π }) T [ H c jω j k2π ] T (6.) (6.2) Die Übertragungsfunktion des diskreten Filters ist die Summe der jeweils um j2π/t verschobenen Übertragungsfunktion des Analogfilters. Die jω-achse wird um den Einheitskreis gewickelt. 96

98 Die Abtastung erzeugt also eine Abbildung jω e jωt durch die die jω-achse der s-ebene (dort liegen die Frequenzen von Analogfiltern) auf den Rand des Einheitskreises e jωt (dort liegen die Frequenzen diskreter Filter) abgebildet wird. Erweiterung auf ganze s bzw. ZZ -Ebene: jω e jωt s z = e st Diese Abbildung liefert jω-achse auf Rand des EKR (klar) linke Halbebene des s-ebene wird in das Innere des EKR der ZZ -Ebene abgebildet, denn: falls s = σ + jω mit σ < (linke Halbebene!), dann liegt e st = e σ+jω = }{{} e σ < im Innern des EKR; das bedeutet, das Pole stabiler analoger Filter in das Innere des EKR abgebildet werden und damit stabile diskrete Filter entstehen. e jω Draus folgt insgesamt: H(z) z=e st = T + k= ( H c s jk 2π ) T (6.3) Vorteil dieser Transformation: - Impulsantwort bleibt erhalten 97

99 Nachteil dieser Transformation: - H (f) wird durch die Überlagerungen der periodischen Wdhl. u.u. stark verzerrt (Aliasing) (wie bei Abtastung) Insbesondere der Sperrbereich, wo H (f) sehr klein sein soll, wird stark gestört. Weiterhin bleibt keine Filtereigenschaft exakt erhalten. Daher wird diese Transformation zum Filterentwurf nicht mehr angewandt. Aber zur digitalen Simulation analoger Systeme, wo nur die Impulsantwort wichtig ist, gut geeignet. Bei bekanntem rationalen H c (s) lässen sich H(z) und h(n) auch direkt aus den Polstellen von H c (s) berechnen. 98

100 Partialbruchzerlegung: H c (s) = N k= A k s s k (6.4) mit inverser Laplace-Transformation folgt sofort: N h c (t) = A k e skt ε(t) (6.5) k= Damit folgt nach (.9) direkt: (Abtastung! ) N h(t n) = A k e s kt n ε(t n) (6.6) k= und nach z-transformation: (Tabelle) H(z) = N k= A k e s kt z (6.7) Benötigt wird also nur A k, s k des kontinuierlichen Filters. 99

101 6.4.2 Bilineare Transformation Um die störenden periodischen Wiederholungen der impulsinvarianten Transformation zu vermeiden, gibt es folgende Vorgehensweise: Bekannt ist die Transformation z = e st = e (G+jω)T = e GT e jωt bildet jeweils ganze Streifen der Höhe 2π/T der s-ebene in den Einheitskreis ab:

102 Daher kommen die Störungen durch Überlagerung der Streifen auf dem Einheitskreis. Daher sollte zuerst die s-ebene auf eine s -Ebene abgebildet werden, sodaß die ganze s-ebene in den einen Streifen jπ/t Im(s ) jπ/t abgebildet wird. Dieser Streifen kann dann mit z = e s T ohne periodische Wiederholung in den Einheitskreis abgebildet werden:

103 Eine solche mögliche Transformation von s nach s ist: s = 2 T arctanh ( st 2 ) (6.8) Zum Verständnis: Was passiert mit der jω-achse? Man setzt s = jω, s = jω und mit der sicherlich wohlbekannten Identität arctanh(jω) = jarctan(ω) folgt ω = 2 T arctan ( ω 2 T ) (6.9) Also wird die ganze ω-achse eineindeutig in das Intervall π/t ω π/t abgebildet für kleine ω gilt sogar ω ω angenähert (Linearität!) Wir rechnen nun die gesamte Transformation von s nach z aus: 2

104 Mit s = 2 ( s ) T tanh T 2 z = e s T = s = (/T ) ln z s = 2 ( ) ln z T tanh 2 tanh(z) = ez e z e 2z e z = + e z + e 2z ( ) z s = 2 T + z D.h. die Transformationsvorschrift ist H(z) = H c (s) s=(2/t ){( z )/(+z )} (6.2) Die Transformation ist umkehrbar; es gilt z = + T 2 s T 2 s bilineare Abb. (6.2) Da die Abbildung nicht linear ist, muß zwischen der analogen Frequenz ω und der diskreten Frequenz ω unterschieden werden: Die Beziehung ist (z = e jω T ): s = 2 T ( e jω T + e jωt ) also s = jω, wie verlangt. = 2j sin ω T 2 T cos ω T 2 = 2 T j tan ω T 2 = jω Die nicht lineare Beziehung zwischen ω und ω, 3

105 ω = 2 T arctan ωt 2 (6.22) heißt Verzerrung. Man erhält H (ω ) = H c (jω) ω=(2/t ) tan(ω T/2) Beim Übergang zum diskreten Filter wird die analoge Übertragungsfunktion nur gestaucht; Die Abweichungen δ, δ 2 im Durchlaßbereich- und Sperrbereich bleiben erhalten. Aus diesem Grund ist die Bilineare Transformation sehr beliebt. Analog Um nun ein diskretes Filter mit gewünschtem ω s, ω c zu erhalten, muß daher mit 4

106 ω = 2 T tan ω T 2 (6.23) die Frequenzachse vorverzerrt werden. Mit diesen daraus erhaltenen ω s, ω c wird das analoge Filter entworfen und dann mit der Bilinearen Transformation in ein diskretes mit gewünschtem δ, ω c, δ 2, ω s umgesetzt 5

107 Schema Entwurf rekursiver Digitalfilter 6

108 Bemerkung Die bilineare Transformation ist eine Substitution in H c (s). Da dies meist großen Rechenaufwand bedeutet, geht man anders vor. Da PST, NST von H c (s) diejenigen H(z) eindeutig festlegen man bildet NST, PST von H c (s) mit der bilinearen Transformation ab und erhält das gewünschte Ergebnis. Die Bilder der Pole und NST von H c (s) + Verstärkungsfaktor reichen zur Berechnung von H(z). Mc m= H c (s) = K (s G m) N k= (s s k), G m : NST ; s k : P ole Die bilineare Transformation muß ergeben H(z) = b ( + z ) N Mc Mc m= ( z mz ) N k= ( p kz ) mit z m = + T 2 G m T 2 G ; p k = + T 2 s k m T 2 s k Die N M c NST von H c (s) im werden nach z = abgebildet (oben enthalten) b erhält man durch die Bedingung H() = H c (), (dc) Dadurch ist H(z) eindeutig festgelegt. 7

109 8

110 Kapitel 7 Abtastung kontinuierlicher Signale; A/D und D/A Wandlung Bisher haben wir die Theorie diskreter Systeme ohne richtigen Bezug zur Analogwelt 9

111 behandelt. Meistens möchte man aber Analoge Signale digital verarbeiten Das Ergebnis der Verarbeitung wieder als Analogsignal erhalten Diese Vorgehensweise ist üblich in der Signalübertragung, Bildverarbeitung, Sprachverarbeitung und vielen anderen Anwendungen. Beispielhaft sei hier die CD (Compact Disc) genannt. Die Musik wird in Zahlen umgewandelt und auf der CD gespeichert. Die Zahlen müssen dann wieder in (analoge) Wellenformen umgewandelt werden, damit man die Musik wieder hören kann. Ganz allgemein sieht es so aus, dass analoge Signale in einem A/D-Wandler (Digital/Analog- Wandler) in binäre Abtastwerte umgesetzt werden. Nach der Verarbeitung dieser Zahlen werden sie in einem D/A-Wandler (Digital/Analog-Wandler) wieder in analoge Signale umgesetzt. s(t) A/D Wandler Digitale Signalverarbeitung D/A Wandler g(t) Abbildung 7.: Digitale Signalverarbeitungskette mit A/D und D/A Wandler A/D-Wandler enthalten ein analoges Vorfilter, auch anti-aliasing Filter genannt; D/A Wandler enthalten ein analoges Glättungsfilter. Da sich die Technologie der A/D und D/A-Wandler ständig weiterentwickelt, sei für technische Details auf die oft sehr guten Beschreibungen der Hersteller solcher Bausteine verwiesen. Im nächsten Abschnitt wird nun die Abtastung ausführlich behandelt. 7. Abtastung Digitale Signalverarbeitung setzt voraus, daß das zeitlich und wertmäßig kontinuierliche (analoge) Signal in eine Folge von Zahlen (Digits) umgewandelt wird. Die dazu notwendige, regelmäßige Ablesung der Augenblickswerte des Originalsignals wird als Abtastung (englisch. Sampling) bezeichnet. Elektronische Abtastbausteine schaffen mittlerweile viele Millionen Ablesungen pro Sekunde, mit ständig zunehmender Tendenz. Bezeichnung: A/D Wandler (Analog/Digital Wandler)

112 Die Umwandlung der kontinuierlichen Abtastwerte in (Binär)Zahlen wird ebenfalls im A/D- Wandler vorgenommen. Die Umwandlung der kontinuierlichen Signalwerte in Zahlen heißt Quantisierung und wird später separat behandeln; zum Verständnis muss zuerst die Abtastung behandelt werden. Analoges Signal A/D Wandler Binärzahlen A/D Wandler Abbildung 7.2: A/D-Wandler

113 Beispiel: CD = 2 Kanäle mit 44, khz abgetastet (nach DIN), entspricht 2 44 Ablesungen pro Sekunde. Jeder Zahlenwert wird mit 6 Bit (2Byte) dargestellt = 764 Byte pro Sekunde = 76 kbyte pro Sekunde = MByte in der Stunde = enorme Datenmengen = Signalverarbeitung zur Datenkompression von Sprache und Musik gefordert! Analoges A/D Signal Binärzahlen Wandler 7.. Ideale Abtastung Die Frage ist: Wie oft pro Sekunde muß man abtasten? Grundlegend zum Verständnis ist der ideale Abtaster mit folgenden Eigenschaften: A/D Wandler Die Ablesezeit ist unendlich klein. Die Werte sind exakt. Der Abtastabstand T ist immer exakt. In der Praxis sind alle 3 Bedingungen nicht erfüllt, aber es funktioniert trotzdem mit für viele Anwendungen hinreichender Genauigkeit. s(t) s a (t) t T T T T T Abbildung 7.3: Ideale Abtastung 2

114 Die wichtigsten Begriffe sind hier aufgeführt: T f a = T s a (t) Abtastabstand Abtastfrequenz Abgetastetes Signal Die Abtastung im Zeitbereich wird oft durch einen Schalter dargestellt, der mit der Abtastfrequenz f a das Signal für einen winzigen (theoretisch unendlich kurzen) Zeitraum durchschaltet: s(t) f a s a (t) Abbildung 7.4: Idealer Abtaster Für die systemtheoretische Beschreibung benötigt man noch die Kammfunktion: + n= δ(t nt ) 3

115 die aus unendlich vielen Delta-Funktionen im Abstand T besteht, und wie ein (umgedrehter) Kamm mit Zacken im Abstand T aussieht. Die ideale Abtastung ist die Multiplikation -T T 2T 3T 4T t Abbildung 7.5: Kammfunktion von s(t) mit der Kammfunktion, einem Kamm mit Zacken im Abstand T (Abtastabstand): s a (t) = s(t) + n= δ(t nt ) = + n= s(nt )δ(t nt ) Fundamental zum Verständnis der digitalen Signalverarbeitung ist die Fourier-Transformation abgetasteter Signale. Daran führt kein Weg vorbei. Ohnehin ist ohne ausreichende Kenntnisse der Fourier-Transformation eine ernsthafte Beschäftigung mit Digitaler (und analoger) Signalverarbeitung nicht möglich. Hier kurz zur Erinnerung die Formeln für die Fourier-Transformation und das Fourier-Integral: 4

116 s(t) -T T 2T 3T 4T t mal Kammfunktion -T T 2T 3T 4T t = s a (t) -T T 2T 3T 4T t Abbildung 7.6: Ideale Abtastung Fourier-Transformation: s(t) S(f) = s(t) = + + S(f)e j2πft df s(t)e j2πft dt Die Eigenschaften der Fourier-Transformation werden als bekannt wie im Studienbuch Angewandte Mathematik vorausgesetzt. 5

117 Dort war auch die Fourier-Transformation der Kammfunktion eingeführt worden: Satz + n= δ(t nt ) T + n= δ(f n T ) Man bezeichnet diesen Zusammenhang auch als Selbstähnlichkeit der Kammfunktion bei der Fourier-Transformation: 6

118 Die Transformierte des Kammes mit Zacken im Abstand T ist ein Kamm mit Zacken im Abstand T, skaliert mit T -2T -T T 2T 3T 4T 5T t Kammfunktion /T -/T /T=f a 2/T f 3/T Fourier-Transformierte der Kammfunktion Abbildung 7.7: Selbstähnlichkeit der Kammfunktion Damit berechnet man mit dem Faltungssatz die Fourier-Transformation abgetasteter Signale: 7

119 s a (t) = s(t) + n= δ(t nt ) S a (f) = S(f) T S(f) T + n= + n= δ(f n T ) δ(f n T ) = T = T + n= + n= S(f) δ(f n T ) S(f n T ) Damit ist bewiesen: Satz Fourier-Transformation abgetasteter Signale: Für das Fourier-Transformationspaar s(t) S(f) gilt: Abtastung von s(t) führt zu s a (t) T + n= S(f n T ) = S a(f) 8

120 Nochmal als Merkregel formuliert: Die FT des mit Abstand T (Abtastfrequenz f a = T ) abgetasteten Signals s a (t) ist die im Abstand /T = f a periodisch wiederholte FT S(f) des kontinuierlichen Signals s(t). (Skaliert mit /T ) Merke: (periodische) Abtastung führt immer zu periodischer Wiederholung der Spektren. Beispiel: Hier für ein Tiefpaßsignal, höchste Frequenz f g, f a = T Abtastfrequenz S(f) -f g f g f S a (f) f -2f a -f a f a 2f a 3f a f g Abbildung 7.8: Abtastung mit Abtastfrequenz f a und Aliasing In diesem Beispiel sieht man: Die periodischen Wiederholungen überlappen und stören sich Diese Störungen werden Aliasing genannt (Alias= Das Fremde) und verzerren das Spektrum. Sie können in der Regel nicht mehr rückgängig gemacht werden. 9

121 Die entscheidende Frage ist nun: Wann stören die Spektren sich nicht? Wann kann S(f) und damit s(t) aus S a (f) fehlerfrei zurückgewonnen werden? Die Antwort folgt in den nächsten beiden Kapiteln (vorweggenommen: wenn f a so gewählt ist, daß keine Überlappung der periodischen Anteile auftritt) Shannonscher Abtastsatz für Tiefpasssignale Zuerst definieren wir, was ein Tiefpasssignal ist (das ist natürlich auch wieder eine Idealisierung): 2

122 Definition Ein Signal s(t) heißt Tiefpassignal mit Grenzfrequenz f g, wenn S(f) =, f > f g d.h. das Spektrum von s enthält keine Anteile mit Frequenzen größer als f g. f g ist die größte vorkommende Frequenz. S(f) -f g f g f B Abbildung 7.9: Tiefpasssignal mit Grenzfrequenz f g Bemerkungen S a (f)... Die Bezeichnung bandbegrenztes Signal ist ebenfalls üblich. -2f a -f a f a 2f a... 3f a f Oft benutzt man die Bandbreite B; es ist bei Tiefpasssignalen B = 2f g. f g Aus der Abbbildung des Tiefpassignals ist nun klar, dass keine Überlappungen der Spektren auftreten, wenn die nächste periodische Wiederholung mindestens B = 2f g weit weg liegt. Damit gilt: 2

123 Satz: Shannonscher Abtastsatz für Tiefpasssignale Wird ein Tiefpasssignal s(t) mit Grenzfrequenz f g mit der Abtastfrequenz f a > 2f g abgetastet, so überlappen sich die periodisch wiederholenden Spektren nicht. Die gesamte Information von s(t) bleibt unverfälscht erhalten. Bemerkung Sonderfall: Die Abtastfrequenz darf genau gleich 2mal der Grenzfrequenz sein, d.h. f a = 2f g, wenn das Spektrum S(f) keine δ-anteile bei der Grenzfrequenz f g aufweist. Das bedeutet, das s(t) keine Sinus- oder Kosinusschwingungen mit Frequenz f g enthält. Beispiel: Abtastung von sin(2πt) (Frequenz = Grenzfrequenz = ) mit f a = 2 : In diesem Beispiel Abbildung 7.: Abtastung des Sinus wird der Sinus genau in den Nullstellen abgetastet, das ist sicher nicht brauchbar. 22

124 B H tp (f) S a (f) f -2f a -f a f a 2f a 3f a -f g f g f a =2f g Abbildung 7.: Tiefpassanteil aus den periodisch wiederholten Spektren ausschneiden Aus Abbildung 2. entnimmt man, wie man das Zurückgewinnen von S(f) aus S a (f) realisiert : Multiplikation von S a (f) mit dem idealem Tiefpaß der Breite 2f g = T und Höhe T schneidet alles außerhalb von [ f g, f g ] weg: ( ) f H T P (f) = T rect 2f g ( ) f S(f) = S a (f) H T P (f) = S a (f)t rect 2f g s(t) = s a (t) T 2f g }{{} = si(π2f g t) Daraus folgt wieder mit der Siebeigenschaft der δ-funktion: s(t) = = [ + n= + n= s(nt ) δ(t nt ) ] ( s(nt ) si π t nt ) T ( si π t ) T Das ist eine Darstellung von s(t) durch seine Abtastwerte. Damit ist der folgende Satz bewiesen: 23

125 Satz: Shannonsches Abtasttheorem Jedes Tiefpasssignal mit Grenzfrequenz f g darf mit Abtastfrequenz f a > 2f g abgetastet werden und kann aus den Abtastwerten s(nt ) fehlerfrei zurückgewonnen werden. s(t) = sin(x) x + n= s(nt ) si ( π ( t T n)), T < /(2f g ), si(x) = Dieser Satz liefert die Grundlage der Informationstheorie und der Digitalen Signalverarbeitung: Einerseits ist sämtliche Information eines bandbegrenzten Signals in seinen Abtastwerten enthalten, andererseits kann das analoge Signal wieder aus den Abtastwerten zurückgewonnen werden mittels einer konkreten Formel. s(t) f a s a (t) TP s(t) Abbildung 7.2: Fehlerfreie Rekonstruktion eines Tiefpasssignal aus seinen Abtastwerten durch (ideale) Tiefpassfilterung Es folgen nun einige übliche Bemerkungen und Bezeichnungen Abtastrate = Abtastfrequenz f a = 2f g : Nyquist-Rate Abtastung mit f a > 2f g : Überabtastung 24

126 Abgetasteter Gaußimpuls, Abtastfrequenz fa = Zeitachse Spektrum abgetasteter Gaußimpuls, Abtastfrequenz fa = Frequenzachse Shannon Formel für Gaußimpuls, fa = Zeitachse Abbildung 7.3: Abtastung, Spektrum und Rekonstruktion für Gaussimpuls i.a. zulässig, die wiederholten Spektren rücken weiter auseinander Abtastung mit f a < 2f g : Unterabtastung i.a. nicht zulässig, die wiederholten Spektren überlappen = führt zu Verzerrungen (Aliasing) Dies wird in den folgenden Abbildungen am Beispiel eines Gaussimpulses mit Grenzfrequenz f g = dargestellt. 25

127 Abgetasteter Gaußimpuls, Abtastfrequenz fa = Zeitachse Spektrum abgetasteter Gaußimpuls, Abtastfrequenz fa = Frequenzachse Shannon Formel für Gaußimpuls, fa = Zeitachse Abbildung 7.4: Abtastung, Spektrum und Rekonstruktion für Gaussimpuls 26

128 Abgetasteter Gaußimpuls, Abtastfrequenz fa = Zeitachse Spektrum abgetasteter Gaußimpuls, Abtastfrequenz fa = Frequenzachse Shannon Formel für Gaußimpuls, fa = Zeitachse Abbildung 7.5: Abtastung, Spektrum und Rekonstruktion für Gaussimpuls 27

129 Abgetasteter Gaußimpuls, Abtastfrequenz fa = Zeitachse Spektrum abgetasteter Gaußimpuls, Abtastfrequenz fa = Frequenzachse Shannon Formel für Gaußimpuls, fa = Zeitachse Abbildung 7.6: Abtastung, Spektrum und Rekonstruktion für Gaussimpuls 28

130 Beispiele für übliche Abtastfrequenzen: Telefon: Sprachsignale von 4kHz bandbegrenzt sind noch verständlich. f g = 4kHz = f a = 8kHz ( 8bit = 64kBit/sec) CD: Hifi-Qualität entspricht einem Frequenzbereich von 2kHz, dieser muß exakt wiedergegeben werden: f g = 2kHz f a = 4kHz Hifi-Norm: f a = 44.kHz; leichte Überabtastung (Oversampling), da ja realisierbare Filter eingesetzt werden. Oft auch viel mehr ( 4-fach, 8-fach... Oversampling), dazu später mehr Die Shannonsche Formel als Interpolationsformel Die Formel s(t) = + n= s(nt ) si ( π ( )) t nt T, (Shannonsche Reihe **) berechnet das kontinuierliche Signal s(t) aus den Abtastwerten s(nt ) im Abstand T. Wegen si() = si(πn) =, n IN gilt auch für mt, m IN 29

131 + n= s(nt ) si ( π ( )) T m nt T = s(mt ) Das rekonstruierte Signal geht durch die Abtastwerte, das bedeutet dass eine echte Interpolationsformel vorliegt Abbildung 7.7: Shannonsche Interpolationsformel, Ergebnis ist Addition der verschobenen si-funktionen Theoretisch Bedeutsam: Existenz dieser Formel Fehlerfreie Rückgewinnung des Signals möglich. Praktisch: Grund: Abhilfe: Formel (**) zur Berechnung von s(t) nicht günstig. sin(π(... )) (π(... )) Numerisch: si ( π ( t T n)) = fällt wie n, man muß sehr viele Glieder der Reihe summieren, um genaue Ergebnisse zu erhalten. z.b. Fehler < 3 Summanden! Die Reihe konvergiert schlecht. Und Summanden für jeden zu berechnenden Wert erreichen gerade mal -6dB, das reicht für viele Anwendungen nicht aus. Das schlechte Konvergenzverhalten der Shannonschen Reihe wird in einigen Abbildungen nochmal verdeutlicht. Höher als 2f g abtasten und andere Rekonstruktionsfilter als Ersatz für si(πx) benutzen, die schneller gegen gehen (genaueres später). 3

132 .5 Interpolation nach Shannon, 4 Summenterme Zeitachse.4 Fehler d. Interpol. n. Shannon, 4 Summenterme Absoluter Fehler Zeitachse Abbildung 7.8: Rekonstruktion eines Signals mit der Shannonschen Interpolationsformel 3

133 .5 Interpolation nach Shannon, 8 Summenterme Zeitachse.5 Fehler d. Interpol. n. Shannon, 8 Summenterme.4 Absoluter Fehler Zeitachse Abbildung 7.9: Rekonstruktion eines Signals mit der Shannonschen Interpolationsformel 32

134 .5 Interpolation nach Shannon, 6 Summenterme Zeitachse.5 Fehler d. Interpol. n. Shannon, 6 Summenterme.4 Absoluter Fehler Zeitachse Abbildung 7.2: Rekonstruktion eines Signals mit der Shannonschen Interpolationsformel 33

135 7.2 Digitale Simulation analoger Systeme - Satz über die diskrete Faltung Ein bandbegrenztes Signal läßt sich vollständig durch seine Abtastwerte beschreiben. Verallgemeinerung: Übertragung bandbegrenzter Signale über bandbegrenzte LTI-Systeme Die Beziehung zwischen kontinuierlichem Faltungsintegral und der Faltung diskreter (abgetasteter) Signale, Grundlage der DSV, liefert der Satz über die diskrete Faltung Das Eingangssignal s(t) und die Impulsantwort h(t) eines LTI- Systeme seien bandbegrenzt mit Grenzfrequenz f g. Dann gilt für die mit f a = T > 2f g abgetasteten Signale s(nt ), g (nt ), h(nt ) g (nt ) = (s h) (nt ) = = T + n= + s(mt ) h ([n m]t ) s(u)h(nt u)du Die Abtastwerte g (nt ) der kontinuierlichen Faltung g(t) = s(t) h(t) können durch diskrete Faltung der Abtastfolgen s(mt ) und h(mt ), nämlich s(mt ) h(mt ) = T berechnet werden. + n= s(mt ) h ([n m]t ) Da g (t) ebenfalls TP-Signal mit Grenzfrequenz f g ist, kann g (t) aus g (nt ) fehlerfrei wiedergewonnen werden 34

136 Analog: s(t) h(t) g(t)=(s h)(t) Diskret: nt s(t) s(nt) h(nt) TP g(t) f g nt h(t) Abbildung 7.2: Äquivalenz von analoger und diskreter Faltung für bandbegrenzte Signale Die kontinuierliche Faltung von bandbegrenzten Signalen kann durch die diskrete Faltung der Abtastwertfolgen mit nachfolgendem idealen Tiefpaßfilter fehlerfrei berechnet werden. Daher können bandbegrenzte analoge Systeme durch Digitale Signalverarbeitung (theoretisch) fehlerfrei ersetzt werden. Mit zunehmender Verbilligung der DSV geschieht dies auch; zusätzlich kann man aber mit Abtastwerten viele Dinge realisieren, die man mit analogen Signalen nicht machen kann. 35

137 7.3 Die Bandpassunterabtastung Das ist eine Direkte Methode für reelle (und analytische) Bandpaßsignale. Sie ist gut zur preiswerten Bandpassverschiebung (Demodulation) geeignet. Zuerst nochmal zur komplexen Demodulation S(f) -f g -f f f g f ~ S(f) B f -f -f g f g f... B Unten: S(f) Spektrum der komplexen Hüllkurve (=äquivalentes Tiefpasssignal), kann mit f a > B abgetastet werden f -f g -2f a -f a f a 2f a 3f a... S a (f) Abbildung 7.22: Oben: Spektrum S(f) eines reellen Bandpasssignals mit Mittenfrequenz f und Bandbreite B; f g 36

138 s(t) f a s a (t) TP s(t) Schaltung: cos(2πf t) f g =B/2 TP f a >B s(t) f g =B/2 ~ s(t) ~ s(k/f a ) f a >B TP -sin(2πf t) Abbildung 7.23: Komplexe Demodulation, Analogmultiplizierer und 2 gleiche Tiefpässe erforderlich 37

139 Benutze nun die eigentliche Abtastbedingung: Beim Abtasten entsteht kein Informationsverlust, wenn sich die periodischen Wiederholungen nicht überlappen. Das sieht man zuerst am einfachsten beim Analytischen Bandpaßsignal s p (t): S p (f) f f g f B f a s p (t) s p (k/f a ) S pa (f) B f f Abbildung 7.24: Abtastung eines analytischen Bandpasssignals s p (t) Bandbreite B Abtastung mit f a > B keine Überlappung! 38

140 Dabei ist f a << 2(f + B 2 ) = 2f g, d.h die Abtastfrequenz kann viel niedriger als 2f g gewählt werden. Genauso kann man bei reellen Bandpasssignalen vorgehen, wenn man das linksseitige Spektrum mitberücksichtigt, das sich ja auch periodisch wiederholt. Die genaue Bedingung, wann sich die Wiederholungen nicht überlappen, liefert Satz: Bandpassunterabtastung Sei s(t) reelles Bandpasssignal mit Bandbreite B Mittenfrequenz f Falls es eine natürliche Zahl q gibt, so daß für die Abtastfrequenz f a die Ungleichung qf a 2f B < 2f + B (q + )f a (4 ) gilt, so tritt keine Überlappung der Spektren auf, d.h. s(t) darf mit f a abgetastet werden. Man muß allerdings die Lage der Spektren im tieffrequenten Band überprüfen (auf Spiegellage). Eine eventuelle Spiegellage ist durch Frequenzverschiebung korrigierbar. Vorsicht:. Man kennt bei Abtastung von Tiefpasssignalen: Erhöhung der Abtastfrequenz ist möglich, oft sogar erwünscht (Überabtastung) Hingegen bei Bandpass-Unterabtastung kann Erhöhung von f a fatal sein: Es gibt verbotene Bereiche, in denen (4 ) verletzt wird! Abhilfe: (Einfach!) Immer (4 ) prüfen! 2. Bei Bandpass-Unterabtastung wird ein Teil des Aufwandes in den Analogteil verschoben. s(t) muß ja sauber bandbegrenzt auf {±f ± B 2 } sein, damit die Abtastung funktioniert. Dies erfordert in der Regel analoge Bandpass- Filter hoher Güte. 39

141 S(f) f -f g -f f f g B f a s(t) s(k/f a ) S a (f) f f f 2B Abbildung 7.25: Spektren bei Bandpassunterabtastung Analoger Bandpass S(f) f -f f Abbildung 7.26: Analogfilter vor Bandpassunterabtastung meist notwendig! S a (f) f 4 f f 2B

142 Bemerkung Falls man durch Systemdesign erreichen kann, daß f = B(n + 2 ), n IN, n (Magische Beziehung) so kann man f a = 2B wählen. f a entspricht der minimal möglichen Abtastfrequenz; sie liefert 2B reelle Abtastwerte pro Sekunde. Beispiel: B = khz; lege f o bei 5, 25, 35,... khz f a = 2kHz ist gültige Abtastfrequenz für alle f Anwendungen: z.b. Sonar, Radar, KW-Empfänger 4

143 7.4 Nichtideale Abtastung Hier werden einige Abweichungen von der idealen Abtastung behandelt, wie sie in der Praxis benötigt werden Endliche Durchschaltzeit Dieses technisch wichtig Verfahren ist schon sehr alt, weil es leicht zu realisieren ist, sogar ohne Elektronik. Ein echter Schalter als Abtaster schaltet das Signal T a -periodisch für eine bestimmte Zeit T < T a = f a durch: s(t) und Rechteckimpulsfolge.5.5 T a T s(t) s T (t).5 s T (t) Abbildung 7.27: Endliche Durchschaltung Ergebnis: s T (t) = s(t) + k= ( ) rect t kta T Das Signal s(t) wird mit einer unendlichen Folge von zeitverschobenen Rechteckimpulsen multipliziert. Frage: Ist die Wiedergewinnung von s(t) möglich? Dazu berechnet man das Spektrum von s T (t) : 42

144 Mit der Darstellung + k= ( ) ( ) rect t kta T = rect t T + δ(t kt a ) k= erhält man wieder mit den Rechenregeln der Fourier-Transformation ( ( t s T (t) = s(t) rect T ) + k= δ(t kt a ) = S T (f) = S(f) = S(f) ( T si (πt f) T a ( T T a + k= + k= ) ) δ (f ) kta ( ) ) k si πt δ (f ) kta T a S T (f) = T T a + k= ( si π T ) k T a }{{} Gewichtung ) S (f kta }{{} Wiederholte Spektren Die Formel ist wie ( bei idealer ) Abtastung, nur mit zusätzlicher Gewichtung der Spektren mit T si π T. Falls s(t) bandbegrenzt ist, Grenzfrequenz f g mit T a k f a 2f g, kann S(f) aus S T (f) durch Tiefpassfilterung und Gewichtung mit T a T (si() =, d.h. Fall k = ) wiedergewonnen werden. Anwendungen: Ist T klein gegen T a = mehrere bandbegrenzte Signale können nacheinander auf eine Leitung durchgeschaltet werden und nach der Übertragung wieder zurückgewonnen werden, das nennt man Zeitmultiplex-Verfahren. 43

145 Periodisch wiederholte S(f) und si(π T f) Spektrum insgesamt.5 /T a Analoger Bandpass Abbildung 7.28: Spektrum des durchgeschalteten Signals S(f) f -f f a(t) b(t) c(t) a To (nt s )+b To (nt s )+c To (nt s ) a To (nt s ) b To (nt s ) c To (nt s ) TP TP TP a(t) b(t) c(t) Abbildung 7.29: Zeitmultiplex-Übertragung 44

146 7.4.2 Analoge Vorfilter (Anti-Aliasing-Filter) Physikalische Signale sind nie bandbegrenzt. Außerhalb der Nutzbandbreite B gibt es Störsignale und immer Rauschen. Störsignal S(f) Rauschen f B a(t) Abbildung 7.3: Nutzspektrum mit Störsignal a To (nt und s ) Rauschena(t) TP a To (nt s )+b To (nt s )+c To (nt s ) b(t) b To (nt s ) TP b(t) Diese Störungen müssen vor dem Abtasten beseitigt werden, weil sie sonst mit dem Nutzsignal überlappen. Daher c(t) benötigt man stets ein analoges Vorfilter, c To (nt auch s ) Anti-Aliasing c(t) Filter TP genannt. Natürlich haben diese Analogfilter keine unendlich steilen Flanken. Man muß daher prüfen, ob die gedämpften Anteile bei der periodischen Wiederholung stören: S(f) H c (f) f nutz f a /2 f a -f nutz H c (f a -f nutz ) f a f B Abbildung 7.3: Anti-Aliasing Filter H c (f) 45

147 Wie man sieht, ist nicht die Dämpfung bei fa 2, sondern bei f a f nutz entscheidend, und durch H c (f) (Übertragungsfkt. des analogen Filters ) bei f a f nutz gegeben. Wenn ein bestimmtes Analogfilter mit gegebenem H c (f) zur Verfügung steht, so muß man in der Praxis f a angepaßt werden. Da H c (f) mit f fällt, muß f a einfach groß genug gewählt werden, damit H c (f a f nutz ) klein genug wird. Beispiel () Abtastung von Telefonsignalen mit f a = 8kHz Forderung: Die Störungen durch die Überlappungen sollen 3dB unter den Signalkomponenten liegen für Frequenzen unterhalb von 3kHz. D.h. das Analogfilter muß bei 8kHz 3kHz = 5kHz mindestens 3dB Dämpfung aufweisen. H c (f) S(f) -3dB f Abbildung 7.32: Vorfilter für Abtastung von Telefonsignalen Bemerkung Um dem Anti-Aliasing Filter Platz zum Abfallen zu geben, ist in der Praxis f a >.25 4 mal Nutzbandbreite B. 46

148 Beispiel (2) Eine khz Rechteckschwingung wird mit khz abgetastet. Forderung: Störungen durch Überlappungen 4dB von 3kHz Bekannt: Rechteckschwingung hat ungerade harmonische Komponenten, diese fallen mit n = Harmonische bei 3, 7, 9,... khz mit Amplituden /3, /7, /9.... Die. periodische Wiederholung der 7kHz Komponente fällt bei khz Abtastfrequenz auf 3kHz. Die Amplitude /7 entspricht -7 db Dämpfung. Daraus folgt: Zusätzliche Dämpfung um 23dB bei 7kHz und höher durch Analogfilter vor dem Abtasten D/A-Wandlung, Glättungsfilter Am Ausgang der DSV-Kette möchte man oft aus den Zahlenwerten im Abstand T a wieder ein Analogsignal erzeugen (Bild, Ton, Sprache, Sendesignal etc.). Die periodischen Wiederholungen müssen also beseitigt werden. Technisch am einfachsten ist es, ein stückweise konstantes Treppensignal zu erzeugen: s D/A (t) = s a (T a n), nt a < t < (n + )T a (6.2) 47

149 s D/A (t) s a (nt a ) t T a Abbildung 7.33: D/A Wandlung mit Treppensignal Die Impulsantwort des so beschriebenen D/A Wandlers ist einfach h D/A (t) = rect( t T a ) mit H D/A (f) = (T a )si(π(t a f)) Berechne nun das Spektrum von s D/A (t): ( + ) s D/A (t) = h D/A (t) s a (T a n)δ(t nt a ) n= = S D/A (f) = H D/A (f) T a + = si(πft a ) + n= n= ) S (f nta S(f nf a ) Die periodisch wiederholten Spektren werden mit der si-funktion bedämpft. Diese hat insbesondere Nullstellen bei nf a, n, das ist wieder eine glückliche Fügung. 48

150 si(πf T a ) S a (f ).5 f g f a 2f a 3f a f si(πf T a )S a (f ).5 f a 2f a f Abbildung 7.34: Spektrum nach D/A Wandlung Welche Effekte sind zu beachten? ) Amplitudengewichtung im Nutzband durch die si-funktion 2) Störende Anteile bei höheren Frequenzen, diese sind nicht sehr stark gedämpft. Folgende Massnahmen sind nun üblich: Gegen 2) hilft ein Analoges Tiefpassfilter (Glättungsfilter) mit genügender Dämpfung für f > f g. Zusätzlich wird oft Abtastratenerhöhung (Oversampling) vor der D/A-Wandlung eingesetzt, dies wird im Kapitel über FIR-Filter behandelt. Der Effekt einer Abtastfrequenzerhöhung auf das doppelte wird in der Abbildung unten sehr deutlich. 4,8-fache Abrastratenerhöhung gibt gute Ergebnisse. Nur ein relativ einfaches analoges Glättungsfilter wird noch benötigt, bei genügender Abtastratenerhöhung reicht irgendwann auch ein einfacher RC-Tiefpass! 49

151 si(πf T a ) S a (f ).5 f g f a 2fa f si(πf T a )S a (f ).5 f a 2f a f Abbildung 7.35: Verbesserte D/A Wandlung durch doppelte Abtastfrequenz Gegen ) Der Abfall der Amplitude bedingt durch Multiplikation mit Folgerung si(πft a ) im Nutzband, kann durch ein Digitales Vorfilter kompensiert werden, mit H vor (f) = si(πft a ), f < f g (hebt Abfall wieder an) Gute Kompensation bis fa 4 liefern [f a = normiert] H (z) = z 6 z 2 (F IR) H 2 (z) = z (IIR) Sogar bis fa 3 nur ±.5dB Abweichung hiermit möglich! Ein guter D/A-Wandler sieht daher so aus: 5

152 s(nt a ) Abtastratenerhöhung Kompensationsfilter D/A-Wandlung Analoges Glättungsfilter s(t) Abbildung 7.36: Ablauf hochwertige D/A-Wandlung s D/A (t) s a (nt a ) t T a 5

153 7.4.4 Quantisierungsrauschen Bisher hatten wir meist folgende Situation: Das abgetastete Signal liegt als Folge {s(n)} von kontinuierlichen Zahlenwerten vor. Falls f a > 2f g (Shannon) = fehlerfreie Rückgewinnung des Ausgangssignals ist möglich. Damit Signale digital (d.h. vom Computer) verarbeitet werden können, müssen sie in Binärzahlen endlicher Wortlänge, d.h. mit einer begrenzten Anzahl von Bits, umgewandelt werden. Dieser Schritt heißt Quantisierung. Dabei entsteht immer ein Fehler. Der Quantisierungsfehler wird a s(nt ) Quantisierungsrauschen Abtastratenerhöhung rückgängig gemacht werden. filter genannt, Kompensations- da er nicht deterministisch erfaßbar ist. Er kann nicht wieder Stehen l Bits zur Verfügung, dann sind 2 l Amplitudenwerte möglich. z.b. 8 Bit 256 Werte. Je größer l, umso genauer ist die Darstellung Analoges von {s(n)} s(t) D/A-Wandlung Glättungsfilter Prinzip: s() s(2) s(3) s(4) s(t) s(nt a ) Quantisierer Abbildung 7.37: Abtastung und Quantisierung Abtastung und Quantisierung erfolgen üblicherweise zusammen in einem A/D-Wandler. Es folgt nun die Signaltheoretische Beschreibung des Quantisierens: l Bits möglich = das Signal wird so ausgesteuert (skaliert), daß seine Werte zwischen ±2 l liegen. 52

154 Quantisierungskennlinie Q(x): Q(x) = floor (x), 2 l x 2 l Quantisiertes Signal s q (t): s q (t) = Q(s(t)) = floor (s(t)), 2 l s(t) 2 l Bemerkungen: f loor (x) : größte ganze Zahl x (Abrunden nach unten), auch Treppenfunktion genannt Auch Runden, Abrunden nach oben möglich Durch die Quantisierung werden die Werte von s(t) auf die ganzen Zahlen von 2 l bis 2 l abgebildet, diese können durch l Bits dargestellt werden, z. B.: 8 Bit Werte von 28 bis + 27 Wichtig ist der Quantisierungsfehler: q(t) = s(t) s q (t) q(t) ist i.a. ein Zufallssignal, daher auch die Bezeichnung Quantisierungsrauschen Für die hier gewählte Kennlinie gilt q(t) Bemerkung: Quantisierungsrauschen ist sog. weißes Rauschen, d.h. es tritt bei jeder Frequenz etwa mit gleicher Intensität auf. (Es handelt sich dabei natürlich um eine Modellvorstellung.) Statistische Betrachtungen 53

155 4 Diskretes Zeitsignal s(n) Amplitude linear 2 2 Quantisierte Zeitwerte von s q (n) Zeitachse Quantisierungskennlinie 3 Bit Kontinuierliche Zeitwerte von s(n) Abbildung 7.38: Zeitsignal mit Quantisierungskennlinie Annahme: (üblich) Betrachte Abtastwerte s q (n), s(n), q(n). Alle Signalamplitudenwerte in [ 2 l, 2 l ] sind gleichhäufig = q(n) ist in [, ] gleichverteilt (alle Werte in [, ] werden gleich häufig angenommen) Bei vielen Signalen, z.b. Sprachsignalen, ist dies erfüllt = q(n) ist eine in [,] gleichverteilte Zufallsvariable mit Dichte p(x). Das bedeutet: p(x) = { für x [, ] sonst Die Wahrscheinlichkeit, daß a < q(n) < b ist, berechnet sich mit der Dichte als P (a < q(n) < b) = b a p(x)dx Für den Erwartungswert (mittlerer Wert) gilt: 54

156 Quantisierte Amplitudenwerte s q (n) Quantisiertes Signal s q (n) mit 3 Bit Zeitachse 4 Vergleich quantisiertes/kontinuierliches Signal mit 3 Bit Amplitudenwerte Zeitachse Abbildung 7.39: Quantisierung µ = E(q(n)) = + x p(x)dx = } {{ } allg. Def. xdx = 2 (Gilt für Quantisierungsrauschen (gleichverteilt in [, ])) Für die Varianz gilt: σ 2 = V ar(q(n)) := + (x µ) 2 p(x)dx = Maß für die mittlere Leistung eines Zufallssignals ist N = V ar(q(n)) = E [ {q(n) E(q(n))} 2] = Erwartungswert der quadratischen Abweichung vom Mittelwert. (x 2 )2 dx = E [ {q(n) E(q(n))} 2] = 2 55

157 Quantisierungsfehler 3 Bit Amplitudenwerte Zeitachse Abbildung 7.4: Quantisierungsfehler Quantization noise spectrum Level [db] Frequency [Hz] Abbildung 7.4: Beispiel Spektrum Quantisierungsrauschen Bemerkung: Für die Berechnung von Mittelwert und Varianz aus gemessenen Signalen gelten folgende Näherungsformeln: Mittelwert: Mittlere Leistung: m q = n S q = n n q(k), n (=.5) n (q(k) m q ) 2, n (= 2 ) Bei deterministischen Signalen gilt für die mittlere Leistung T S = lim s(t) 2 dt T T Die mittlere Leistung des Quantisierungsrauschens ist also 2 (konstant!) 56

158 p(x) p(x) x x Abbildung 7.42: Dichte der Gleichverteilung P(a<q(n)<b) s() s(2) s(3) s(4) p(x) s(t) s(nt ) x a Quantisierer b Abbildung 7.43: Berechnung der Wahrscheinlichkeit als Integral über die Dichte Die bestimmende Größe für die Wahl von l (Anzahl der Bits) ist das erforderliche S/N (gesprochen S zu N) das Verhältnis von Signalleistung S zu Rauschleistung N. Die Anforderungen an das S/N hängt von der jeweiligen Anwendung ab; bei Sonar, Radar, Telephon und Datenkommunikation ist oft ein S/N von 48dB ausreichend, während im Audiobereich 9dB und mehr gefordert wird. Die klassische Betrachtungsweise ist nun: Die Signalleistung wird als Leistung eines auf [ 2 l, 2 l ] voll ausgesteuerten Sinussignals gewählt, also S = lim T T T (2 l ) 2 sin 2 (t)dt = 2 2l 3 Damit erhält man die Formeln, die in der Praxis meist verwendet werden: 57

159 58

160 Satz Das Verhältnis zwischen Signalleistung S und Quantisierungsrauschleistung N q bei Quantisierung mit l Bits ist gegeben durch S/N q = 22l 3 2 = l (l Bits) in db : ( (S/N q ) db = log l) = l log (2) Näherung: (S/N q ) db = l Merkregel für die Praxis: Satz Jedes zusätzliche Bit bei der Quantisierung bringt einen Gewinn von 6 db gegenüber dem Quantisierungsrauschen. Tabelle: l (Bit) (S/N q ) db Diese Zahlen sind wichtig für die Qualität der gesamten DSV-Kette; was man hier verliert, lässt sich nicht wieder gutmachen. Oft lässt man die.77 db weg, da die idealen Randbedingungen meistens nicht so erfüllt sind. Dann kommt man z.b. bei 6 Bit Quantisierung auf 96 db (S/N q ). 59

161 7.4.5 S/N q Gewinn durch Überabtastung (Oversampling) Da das Quantisierungsrauschen weiß ist, ist seine Leistung in [ fa 2, fa 2 ] gleichmäßig verteilt. H(f) S a (f) N q (f) -f a /2 -f d -f g f g f d fa /2 f B=2f d P(a<q(n)<b) Abbildung 7.44: Spektrum des Nutzsignals mit weissem Quantisierungsrauschen p(x) Wird die Bandbreite durch ein Tiefpaßfilter mit Durchlaßfrequenz f d x, Bandbreite B = 2f d a b eingeschränkt, so gilt: (S/N q ) db = l + log (f a /B) Je höher die Abtastfrequenz ist, umso mehr wird das Quantisierungsrauschen in [ fa 2, fa 2 ] verteilt. 6

162 f a >>2f g f a2 =2f d s(n/fa2 ) s(t) s(n/f a ) TP mit f d ~f g Abbildung 7.45: S/N q -Gewinn durch Oversampling Satz über (S/N q )-Gewinn durch Abtastratenerhöhung Verdopplung der Abtastfrequenz gibt 3 db Gewinn Aber nur, wenn zusätzlich das Quantisierungsrauschen außerhalb des Nutzbandes durch ein Digitalfilter unterdrückt wird (mit ausreichend großer Wortlänge der Koeffizienten). Anwendung ) Prinzip des Sigma-Delta-A/D-Wandlers a) Sehr hoch abtasten (mit kleinem l), f a 2f g b) Verbessern (S/N q ) durch Filter mit hoher Dämpfung, f d f g c) Reduktion der Abtastfrequenz auf f a2 2.5f g (Industriestandard) 2) Geklippte SV: Taste extrem hoch ab, benutze nur Vorzeicheninformation ( Bit Quantisierung!) Verarbeite diese Signale (einfache Rechenwerke!) Am Ende: Tiefpaß zur (S/N q )-Verbesserung und danach Abtastratenreduktion. Das Prinzip des S/N q Gewinns durch Überabtastung wird beim höherwertigen sog. Delta- Sigma-Wandler weiter verfeinert. Durch nichtlineare Rückkoppelung wird das Quantisierungsrauschen in den hochfrequenten Bereich verschoben (Noise-Shaping), so dass noch mehr weggefiltert werden kann. Anwendung: SACD, die Super-Audio-CD: Arbeitet mit Bit Quantisierung und 64-fach Oversampling bzw. letztlich mit 2.8 MHz Abtastfrequenz. Die Qualität ist dann besser als bei der normalen CD. Diese Erfindung von Philips hat sich (wieder einmal) am Markt wohl nicht duchgesetzt (Stand Ende 2). 6

163 H(f) S a (f) N q (f) -f a /2 -f d -f g f g f d fa /2 f B=2f d Abbildung 7.46: Noise-Shaping beim Sigma-Delta-Wandler s(t) f a >>2f g s(n/f a ) TP mit f d ~f g f a2 =2f d s(n/fa2 ) 62

164 Kapitel 8 Entwurf von FIR-Filtern 8. Einleitung Aus den vorigen Kapiteln bekannt sind die Vorteile von FIR-Filtern: Stabilität Lineare Phase z.b. bei Symmetrie der Koeffizienten, das ist ein sehr einfaches Kriterium Wir werden sehen: Der Entwurf ist relativ einfach, das liegt auch an der eingebauten Stabilität. Daher werden zunehmend in der Praxis FIR-Filter eingesetzt, außer dort wo es auf minimale Anzahl von Koeffizienten ankommt. Schon bekannt: Die Übertragungsfunktion eines kausalen FIR-Filters ist H (f) = M n= h(n)e j2πfn die eines nicht kausalen H (f) = M 2 n= M 2 h(n)e j2πfn 63

165 Beide lassen sich durch einfache Zeitverschiebung ineinander überführen. Daher wählt man manchmal die nicht kausale Form, z. B. wenn dann die Berechnung der Koeffizienten einfacher ist. Die Eigenschaften des Filters werden durch die geeignete Wahl der Koeffizienten bestimmt. Beispiel: Wir betrachten ein nichtkausales FIR-Filter mit linearer Phase und 3 Koeffizienten {h(n)} = {h( ), h(), h()} bzw. C, C, C als Koeffizienten; (C = C ) zur Sicherung der linearen Phase Abbildung 8.: 3 Koeffizienten An die Übertragungsfunktion werden jetzt Forderungen gestellt: Forderung Gleichanteil (f = ) unverändert durchlassen: Forderung 2 Sperren bei Grenzfrequenz: H () = f g = f a 2 =.5 (f a = normiert) H ( 2 ) = Das wird wohl ein Tiefpaß! 64

166 Rechnung: H (f) = n= C n e j2πfn = C e j2πf + C + C e j2πf Mit 2 cos(2πf) = e j2πf + e j2πf folgt H (f) = C + 2C cos(2πf) Bedingungen einsetzen: H () = = C + 2C = H ( 2 ) = = C 2C = = 2C = = C = 2 = C = 4 Daraus folgt: H (f) = cos(2πf) h(n) = { 4, 2, 4 }.2.8 Amplitude Frequenz Abbildung 8.2: H (f): Tiefpassfilter Für die Phase gilt ϕ(f) =, da H(f) reell,. Das Filter ist nicht kausal, da h( ) = 4 65

167 Ein kausales Filter erhält man einfach durch Verschiebung: h(); h(); h(2) h k (n) = 4 ; 2 ; 4 h k (n) = h(n ) Was bedeutet dies für H k (f): 2 H k (f) = C n e j2πfn = e j2πf + 4 e j4πf n= { = e j2πf e j2πf e j2πf + } 4 e j2πf(2) { = e j2πf 4 ej2πf } 4 e j2πf = e j2πf H (f) H k (f) = e j2πf H (f) H k (f) = H (f) Betragspekt. ϕ k (f) = 2πf Lineare Phase Der einzige Unterschied ist ein linearer Phasenterm durch die Verschiebung. Ab jetzt bis zum Ende des Kapitels: Wir betrachten prinzipiell nur noch Filter mit reellen Koeffizienten = H ( f) = H (f) Realteil sym., Imaginärteil antisym. H ( f) = H (f) Betragsspektrum symmetrisch 66

168 und Abtastfrequenz f a = H (f) ist f a - periodisch = Die Anforderungen an die sogenannte Wunschfunktion H W (f) sind durch Bedingungen im Intervall [, f a/2] vollständig beschrieben (Obwohl man oft eine Darstellung von [ fa 2, fa 2 ] oder von [, f a] wählt). Nun folgt eine Übersicht über die gängigsten Wunschfunktionen. a) Tiefpaßfilter H' w (f) f d f s f f a -f a /2 s f a -f d f a f Abbildung 8.3: Wunschfunktion Tiefpassfilter [, f d ] H W (f) = Durchlaßbereich [f d, f s ] < H W (f) < Übergangsbereich s(t) [f s, f a/2 ] H W (f) = Sperrbereich f a >>2f g f a2 =2f d s(n/f a ) TP mit f d ~f g s(n/fa2 ) 67

169 b) Hochpaßfilter f d f s f f a -f a /2 s f a -f d f a f H' w (f) f f s f d f a /2 Abbildung 8.4: Wunschfunktion Hochpassfilter [, f s ] H W (f) = Sperrbereich [f s, f d ] < H W (f) < Übergangsbereich [f d, f a/2 ] H W (f) = Durchlaßbereich 68

170 c) Bandpaßfilter H' w (f) f s f d f d2 f s2 f a /2 f Abbildung 8.5: Wunschfunktion Bandpassfilter H' w (f) [, f s ] und [f s2, f a/2 ] H W (f) = Sperrbereich f a [f s, f d ] und [f d2, f s2 ] < H W (f) < Übergangsbereich [f d, f d2 ] H W (f) = Durchlaßbereich f Bemerkungen: f s f d f a /2. Diese Forderungen werden oft auch an H W (f) gestellt: Forderung an H W (f) : Betrag und Phase festgelegt Forderung an H W (f) : Nur Betrag, Phase muß gesondert spezifiziert werden (z.b. linear) 2. Die Forderung an die Wunschfunktion a, b, c sind mit realisierbaren (FIR)- Filtern natürlich nicht exakt erfüllbar. 69

171 8.2 Entwurf von Filtern mit vorgeschriebener Wunsch-Übertragungsfunktion H W (f) 8.2. Die Übertragungsfunktion als Fourierreihe Schon bekannt ist: FIR-Filter mit gegebenen Koeffizienten {C m } = H (f) = +M m= M C m e j2πfm f H (f) ist also eine Fourierreihe mit Koeffizienten C m. Das ganze Wissen aus der Mathematik steht damit zur Verfügung. Beispielhaft soll nun noch eine allgemeine Eigenschaft von Fourierreihen ausgenutzt werden, hier also ein Einschub: Hilbert-Transformation Wir wissen: lineare Phase, falls {C m } reell und gerade. Wähle jetzt C m reell und ungerade = (mit Sätzen über Fourier) H(f) rein imaginär und ungerade. H (f) = j +M n= M C n sin(2πnf) reine Sinusreihe = H (f) = H (f) e jϕ(f) rein imaginär = e jϕ(f) = ±j = ϕ[f] = ± π 2 Ein solches Filter bewirkt eine frequenzunabhängige Phasenverschiebung um ± π 2 = ± 9 Zugehörige Zeitverschiebung t : z.b. 9 e j2πft = e j π 2 = t = 4f 7

172 Solche Filter sind ebenfalls von großer Bedeutung, denn cos(2πf(t 4f )) = cos(2πft π 2 ) = sin(2πf) sin(2πf(t 4f )) = sin(2πft π 2 ) = cos(2πf) Umwandlung von Sinus- in Kosinuskomponenten und umgekehrt für alle Frequenzen: Hilbert-Transformation, Quadraturnetzwerk. Wird zur Erzeugung analytischer Signale benutzt (Der Imaginärteil eines analytischen Signals ist die Hilbert-Transformierte seines Realteils) Ende des Einschubs. Jetzt folgt (der historisch gesehene) Erste und wichtigste Ansatz zum FIR-Filterentwurf: Entwickele die Wunschfunktion H W (f) oder eine Modifikation davon in eine Fourierreihe und erhalte H W (f) = + C m e j2πfm mit C(m) reell und gerade sogar (wenn lineare Phase durch Symmetrie vorliegt) H W (f) = a m= a m cos(2πfm) Die Filterkoeffizienten = Fourierkoeffizienten sind gegeben durch C m = H W (f)ej2πmf df =.5.5 H W (f)ej2πmf df oder 7

173 .5 a m = 2 2 H W (f) cos(2πmf)df c = a 2 ; C m = C m = am 2 (Das ist nur reine Fourier-Reihen Theorie, siehe Studienbuch Angewandte Mathematik) Damit das Filter H (f) ein FIR-System ist, können nur endlich viele Koeffizienten benutzt werden, d.h. man erreicht nur eine Annäherung von H W (f) durch H (f) H W (f) H (f) = +M m= M C m e j2πfm mit 2M + Koeffizienten (eine abgebrochene Fourierreihe) Dies ist aber ganz gut, denn es gilt: Satz Die endliche Fourierreihe von H W (f), H M(f) = +M m= M C m e j2πfm ist die beste Approximation im quadratischen Mittel an H W (f) im Intervall [, ] durch das trigonometrische Funktionssystem {e j2πfm } mit 2M + Koeffizienten. Das heisst der quadratische Fehler, gegeben durch: H W (f) H M(f) 2 = H M(f) H W (f) 2 df wird minimal, wenn die C m H W (f) sind. die Fourierkoeffizienten von 72

174 Vorsicht: Obwohl der mittlere Fehler (das ) minimal ist, kann in einzelnen Werten f die Abweichung sehr groß sein. Jetzt folgt dafür ein klassisches lehrreiches Beispiel Direkter Entwurf eines Tiefpaßfilters Wir nehmen optimistisch folgende Wunschfunktion:, < f <.2 H W (f) =,.2 < f <.5 Wir haben hier keinen Übergangsbereich vorgesehen (das wird sich rächen). 73

175 H' w (f) -.2 f d =f=.2 s.5 f Abbildung 8.6: Unsere (zu ideale) Wunschfunktion H' w (f) Berechnung der Fourierkoeffizienten: f a.5 a(m) = 2 2 H W (f) cos(2πfm) df f s f d.2 f a /2 = 4 cos(2πfm) df = 4 2πm sin(2π.2m) f = 2 πm sin(.4πm), m a() = 4.2 = a() 2 = 4 = H W (f) = oder in komplexer Form m= sin( 4 πm) cos(2πfm) πm C m = = H W (f)e j2πfm df e j2πfm df = πm sin(2π.2m), m C =.4 = 4 74 = H W (f) = 4 + m=,m -Wie man es macht, ist Geschmackssache. sin( 4 πm) e j2πfm πm

176 Man betrachte nun H M (f) des symmetrischen FIR-Filters mit N = 2M + Koeffizienten für verschiedene Werte von N. H M(f) = 4 M +2 }{{} m= C sin( 4 πm) πm } {{ } C m cos(2πfm).4 Ausschnitt aus der Koeffizientenfolge des Filters Ideale Wunschfunktion rect(2.5 f).8 Amplitude Frequenz Abbildung 8.7: Wunschfunktion und Koeffizienten 75

177 .2 Tiefpass Entwurf, Filterordnung 23 Amplitude (Lineare Skala) Frequenz Tiefpass Entwurf, Filterordnung 23 Amplitude (db) Frequenz Abbildung 8.8: Ergebnis mit 23 Koeffizienten 76

178 .2 Tiefpass Entwurf, Filterordnung 5 Amplitude (Lineare Skala) Frequenz Tiefpass Entwurf, Filterordnung 5 Amplitude (db) Frequenz Abbildung 8.9: Ergebnis mit 5 Koeffizienten, Dämpfung immer noch bei -2dB 77

179 Man erkennt hier das Gibbs sche Phänomen: Überschwingen von ±9% der Sprunghöhe unabhängig von der Anzahl der Koeffizienten! M hilft nicht! In db bedeutet das, dass die Dämpfung am Rande des Sperrbereichs immer konstant -2dB beträgt. Das ist natürlich viel zu wenig für viele Anwendungen Verständnis & Gegenmaßnahmen A) Signaltheoretisches Verständnis des Gibbs schen Phänomens: Endlich viele Koeffizienten bedeuten: Abbruch der Impulsantwort C(n) des Filters nach 2M + Werten = Multiplikation der unendlich langen Impulsantwort {C(n)} + mit Rechteck- Fenster der Dauer 2M + und 2M + Koeffizienten..2 Koeffizientenfolge des Filters mit Rechteckfenster Ideale Wunschfunktion rect(2.5 f) Abbildung 8.: Abgebrochene Impulsanwort.8 Amplitude Im Spektrum bedeutet dies die Faltung der Wunschfunktion H W (f) mit der Fouriertransformation des Rechtecks, (= sin(απx) απx ), einer sehr welligen Funktion; diese erzeugt die Überschwinger Frequenz Man sieht in den Abbildungen: Die Höhe der Nebenpegel bestimmt die Welligkeit im Durchlaßbereich und die Sperrdämpfung. Die Breite der Hauptkeule bestimmt die Breite des Übergangsbereichs. 78

180 Faltung Rechteck mit si Funktion Lineare Skala Frequenz Wunschfunktion und Ergebnis Tiefpass Entwurf, Filterordnung 23.8 Amplitude Frequenz Abbildung 8.: Faltung im Frequenzbereich B) Gegenmaßnahmen Ersatz des Rechteckfensters durch andere sogenannte Fensterfunktionen mit weniger welliger Fouriertransformation. Da die Welligkeit von hochfrequenten Anteilen auf Grund der scharfen Flanken des Rechteckes herrührt = Bessere Fenster sind dadurch gekennzeichnet, daß sie die Impulsantwort C(n) sanfter abschneiden als das Rechteckfenster: Hier speziell: Einschränkung auf gerade Fensterfunktionen (wegen Erhalt der Linearphasigkeit) mit 2M + Koeffizienten. Daher sind nur die Werte von m M zur Beschreibung der Fensterfunktion nötig. Beispiel: Bartlett-Fenster (Dreiecks-Fenster) Historisch gesehen das erste, aber es ist nicht besonders gut. Die Transformierte ist aber schon deutlich weniger wellig als das beim Rechteckfenster der Fall war! F B (m) = m M, m =... M 79

181 Rechteckfenster Besseres Fenster Abbildung 8.2: Rechteckfenster und Beispiel für besseres Fenster Dreieck Fenster, 23 Punkte.8 Lineare Skala Zeitachse Abbildung 8.3: Versuch damit! Damit folgt für unser Filter-Entwurfsbeispiel: H B (f) = 4 }{{} C + 2 M m= ( m M ) }{{} F B (m) sin( 4m π) } πm {{ } C(m) cos(2πf m) Satz Die Impulsantwort des gefensterten Filters = (Impulsantwort x Fensterfunktion) ist gegeben durch F (m) C(m), M m M Für unser Beispiel F B (m) C(m) H B (f) Das Ergebnis sieht schon besser aus! 8

182 25 Spektrum Rechteck Fenster, 23 Punkte 2 Lineare Skala Normierte Frequenz 2 Spektrum Dreieck Fenster, 23 Punkte Lineare Skala Normierte Frequenz Abbildung 8.4: Vergleich Rechteck- mit Dreiecksfenster, lineare Skala 8

183 Spektrum Rechteck Fenster, 23 Punkte 2*Log( W(f) ) (db) Normierte Frequenz Spektrum Dreieck Fenster, 23 Punkte 2*Log( W(f) ) (db) Normierte Frequenz Abbildung 8.5: Vergleich Rechteck- mit Dreiecksfenster, db-skala 82

184 Tiefpass Entwurf, Dreieck Fenster, Filterordnung 23.8 Lineare Skala Normierte Frequenz Tiefpass Entwurf, Dreieck Fenster, Filterordnung 23 5 db Skala Normierte Frequenz Abbildung 8.6: Verbesserter Tiefpass mit Dreieck-Fenster 83

185 Tiefpass Entwurf, Dreieck Fenster, Filterordnung 5.8 Lineare Skala Normierte Frequenz Tiefpass Entwurf, Dreieck Fenster, Filterordnung 5 db Skala Normierte Frequenz Abbildung 8.7: Verbesserter Tiefpass mit Dreieck-Fenster 84

186 26dB Dämpfung im Sperrbereich sowie Welligkeit im Durchlaßbereich entsprechend kleiner Aber Übergangsbereich breiter, da die Hauptkeule der Fourier-Transformation des Fensters breiter ist. Die fundamentalen Tatsachen werden jetzt zusammengefasst: Satz Grundlegende Entwurfsregel A) Die maximale Welligkeit im Durchlaßbereich bzw. die Sperrdämpfung (in linearer Darstellung sind beide gleich) hängt nur vom Fenstertyp ab, nicht von der Anzahl N der Koeffizienten. B) Die Breite des Übergangsbereiches hängt vom Fenstertyp bzw. seiner Hauptkeulenbreite und von M ab: je größer M, umso schmaler der Übergangsbereich. Folgerung: Filter mit steilen Flanken brauchen viele Koeffizienten. Nur folgt (vor der Einführung weiterer, besserer Fenster und ihrer Eigenschaften) ein Abschnitt über die allgemeine Vorgehensweise beim FIR-Filter-Entwurf nach der Fenstermethode Entwurfsschema für FIR-Filter vom Typ a),b),c) und andere ) Fourierentwicklung der Wunschfunktion bis fs+f d 2 (Mitte des Übergangsbereiches) C(m) als ideale Koeffizienten (unendlich viele) 2) Fensterung = Multiplikation von C(m) mit Fensterfunktion F (m) der Länge 2M +, erhalte neue Filterkoeffizienten F (m) C(m) M m M und im Spektrum einen glatten Übergangsbereich bestimmter Breite und 85

187 vom Fenster abhängige Dämpfung im Sperrbereich. 3) Kontrolle des Ergebnisses, d.h. Darstellung von H M (f) in f (normiert) bzw. f fa 2. Zur Systematik: Die Erkenntnis, daß ein fehlerfreies H W (f) nie erreicht werden kann, hat zur Entwicklung des hilfreichen Toleranzschemas geführt. Beispiel: Toleranzschema für Tiefpaß (typisch) H' w (f) δ d δ d H' M (f) f d (f d +f s )/2 f s f a /2 δ s f Abbildung 8.8: Übliches Toleranzschema für Tiefpassfilter Erlaubte Abweichung von H W (f) ±δ d im Durchlaßbereich δ s im Sperrbereich Definition Da δ s meist sehr klein sein soll, definiert man in db Welligkeit im Durchlaßbereich (Ripple) ( ) + δd R = 2 log δ d (db) 86

188 Dämpfung im Sperrbereich (Attenuation) A = 2 log (δ s ) (db) Bemerkung An A werden meist sehr hohe Ansprüche gestellt, A 4 db. Daher ist meist die graphische Darstellung von H(f) in db sinnvoll (Dann sieht man von R allerdings nicht mehr viel). Nun kommt ein wichtiges Thema für die Praxis, wieviele Koeffizienten braucht man? Kosten des Filterentwurfs:. Frage des Abteilungsleiters an den Filterbauer: Wieviele Koeffizienten C m sind notwendig, um die Anforderungen an R, A, f d, f s zu erfüllen? Das sind die Kosten! 2. Umgekehrte Frage: N steht fest. Was kann man für R, A, f d, f s verlangen? Antwort Es gibt mehrere hilfreiche Näherungsformeln. Hier ist eine davon, die anderen sind alle ähnlich: (N = Filterordnung = Koeffizientenzahl) Formel für die Kosten N log (δ d δ s ) 5 4[(f s f d )/f a ] + Diskussion N wächst, je kleiner δ d bzw. δ s ist, aber log (... ) steht davor: langsames wachsen, d.h. hohe Dämpfung ist nicht teuer. N umgekehrt proportional (f s f d )/f a, der auf Abtastfrequenz normierten Breite des Übergangsbereiches, d.h.: Halbierung des Übergangsbereiches verdoppelt N Steile Filterflanken sind teuer. 87

189 Beispiel Tiefpaßentwurf f a = 8kHz f d = khz f s = 2kHz /Sperrbereich δ d = δ s =.5 (linear) ( ) = R = 2 log =.8693dB A = 2 log (.5) = 26dB = -Fenster bietet sich an Filterordnung: N = log (.5.5) = Wichtige Fensterfunktionen zum Filterentwurf Gute Fensterfunktionen sind glockenförmig (Der DM--Schein enthielt ein Beispiel). Ihre Fouriertransformierte hat eine breitere Hauptkeule als die Fouriertransformierte des Rechteckfensters, aber eine höhere Dämpfung der Neben-[ keulen/pegel/maxima ], auf Englisch (Sidelobes). Das breitere Hauptmaximum führt zu einem breiteren Übergangsbereich als beim Rechteckfenster; die höhere Dämpfung der Nebenkeulen führt zu einer höheren Sperrdämpfung als beim Rechteck. Beispiele (dies sind die wichtigsten klassischen Fensterfunktionen, die überall auftauchen) [Alle Fenster gerade mit N = 2M + Koeffizienten, von bis M eindeutig festgelegt] Hanning-Fenster, auch von-hann-fenster oder cos 2 -Fenster: F Hn (k) = 2 ( cos( π M (M k))), k M Hamming-Fenster: F Hm (k) = cos( π M (M k)), k M 88

190 Blackman-Fenster: (besonders hohe Sperrdämpfung) F BL (k) =.42.5 cos( π M (M k)) +.8 cos( 2π M (M k)), k M Besonders wichtig, da flexibel: Parametrisiertes Kaiser-Fenster: F Kα (k) = ] I [α { M (M k)}2 I (α), k M [ (α/2) m I (α) = + m! m= ] 2 I : modifizierte Besselfunktion.Art durch obige Potenzreihe leicht zu berechnen. α: Parameter, der Sperrdämpfung und Übergangsbereich beeinflußt, d.h. das Kaiser-Fenster ist einstellbar. Beurteilung bzw. Auswahl der Fenster zum Filterentwurf mittels der folgenden Tabelle! Die Anzahl der Koeffizienten kann nach der mittleren Spalte berechnet werden und ist exakt, d.h. wesentlich genauer als die o.g. Naherungsformel. 89

191 Rechteckfenster, 5 Punkte Hanningfenster, 5 Punkte Hammingfenster, 5 Punkte Kaiserfenster, alpha=6, 5 Punkte db db db db Frequenz Frequenz Frequenz Frequenz Abbildung 8.9: Einige klassische Fensterfunktionen und ihre Fourier-Transformierten Fenster { Breite Übergangsber. x Filterordnung } { } = fs fd f a N Sperrdämpfung A/dB Rechteck.9 2 Hanning Hamming Blackman Kaiser: α = Das Kaiser-Fenster ist den anderen überlegen, es ist ein Optimalfenster, man muß nur das richtige α wählen. (Es gibt noch viele andere Fenster, das ist ein eigener Forschungszweig, es erscheinen immer noch wissenschaftliche Arbeiten dazu )

192 Bemerkung Beispiel Aus fs f d f a N als Kenngröße folgt, daß bei gegebener Koeffizientenzahl die Breite des Übergangbereiches und die Sperrdämpfung austauschbar sind: Es können nicht beide gleichzeitig optimiert werden. Mit solchen Tabellen und Fensterfunktionen ist der Filterentwurf von Hand (analytisch) möglich. Gute Übung, sollte man können Computerprogramme (z. B. Matlab) benutzen dieses Verfahren Mit der Tabelle kann man schnell sehen, ob eine Lösung überhaupt möglich ist Gefordert: Tiefpaß: Sperrdämpfung 7dB Breite Übergangsbereich f d f s f a =. ) Entwickele rect ( t f d +f s ) in Fourier-Reihe (z.b. in Bronstein nachsehen), erhalte ( ) t rect = f d + f s + k= C(k)e j2πfk C k 2) Fensterwahl: 74dB = Blackman-Fenster Aus Tabelle:. N = 5.5 = N = 55 Filterkoeffizienten: C(k) F BL (k), 27 k 27 Graphische Kontrolle (siehe Abbildung Blackman). Ergebnis erreicht mit 55 Koeffizienten. Mit 45 Koeffizienten hätte man das Ergebnis nicht erreicht. Ein Kaiser-Fenster wäre billiger gewesen (nämlich mit 45 Koeffizienten)! 9

193 .2 Tiefpass-Entwurf, Blackmann-Fenster, Filterordnung 55 Lineare Skala Normierte Frequenz 5 Tiefpass-Entwurf, Blackmann-Fenster, Filterordnung 55 db-skala Normierte Frequenz Abbildung 8.2: Tiefpass mit Blackman-Fenster 92

194 .2 Tiefpass-Entwurf, Kaiser-Fenster, alpha=7, Filterordnung 45 Lineare Skala Normierte Frequenz 5 Tiefpass-Entwurf, Kaiser-Fenster, alpha=9, Filterordnung 45 db-skala Normierte Frequenz Abbildung 8.2: Tiefpass mit Kaiser-Fenster 93

195 H' w (f) δentwurf durch Tschebyscheff-Approximation H' (Equiripple-Design) d M (f) δ d Populär und weit verbreitet (Matlab kann es natürlich auch). Liefert die beste Approximation (f d an +f s )2 das Toleranzschema inf a folgender /2 Weise: f d f s δ s f H' w (f) δ d H' M (f) δ d f d f s f a /2 δ s f Abbildung 8.22: Equiripple/gleiche Welligkeit-Design eines Tiefpassfilters Gleiche Welligkeit (Ripples). Der maximale Fehler wird minimal gemacht: Wähle die Koeffizienten so, daß zu gegebenen N δ d und δ s minimal werden oder daß zu gegebenen δ d und δ s N (Anzahl Koeffizienten) minimal wird (kürzestes Filter) Verfahren: numerisches Suchverfahren, genannt Remez-Algorithmus. Nur mit Computereinsatz möglich. Name: Parks-Mclellan Verfahren, Remez-Verfahren; Standard-Entwurfsverfahren für FIR- Filter mit linearer Phase 94

196 Formel (7.8) zur Abschätzung des Aufwandes bleibt gültig. Dieses Verfahren liefert i.a. bessere Ergebnisse als die Fenstermethoden. Aber: Das Remez-Verfahren versagt, wenn die Koeffizientenzahl zu groß wird, ab etwa Koeffizienten. Mit der Fenster-Methode sind Filter mit mehr als Koeffizienten problemlos berechenbar! Ebenso einfach: Mit Rechnerunterstützung Filter mit beliebigen Sperr-und Durchlaßbereichen zu entwerfen, sogenannte Multiband-Filter: H' w (f) f d f d2 f d3 f d4 f d5 f a /2 f Abbildung 8.23: Beispiel Wunschfunktion Multiband-Filter Notwendig: H' w (f) δ d Graphische δ Kontrolle von H (f) zur Überprüfung d H' M (f) der erzielten Ergebnisse, insbesondere der Breite des Durchlaßbereiches, da das Entwurfverfahren ein Suchverfahren ist. f d f s f a /2 δ s f 95

197 Tiefpass mit Remez Verfahren Level [db] Frequency [Hz] Bandpass mit Remez Verfahren Level [db] Frequency [Hz] Abbildung 8.24: Tiefpass und Bandpass 8.3 Koeffizientenquantisierung Die bisherigen Entwurfsverfahren liefern Filter mit reellwertigen Koeffizienten. Mikroprozessoren, Signalprozessoren haben aber immer nur endliche Wortlänge Darstellung mit n Bit = Auf - oder Abrunden der berechneten Koeffizienten erforderlich = Änderung der Übertragungsfunktion = Toleranzschema evtentuell nicht mehr erfüllt 96

198 Multiband Filter mit Remez Verfahren Level [db] Frequency [Hz] Abbildung 8.25: Multiband-Filter Vorgehensweise: A) Darstellung von H (f) mit auf n Bit quantisierten Koeffizienten B) Kontrolle, ob Toleranzschema erreicht ist C) Falls nicht, Filterentwurf mit engerem Toleranzschema (also mit mehr Koeffizienten) zurück zu A Dies wird von guten Spezialprogrammen zum Filterentwurf auch automatisch vorgenommen. Andere Methoden: Zusätzlich Übergang zu einer anderen Filterstruktur (Kaskade, Parallel), siehe [8] wo sich die Koeffizientenquantisierung weniger ungünstig auswirkt. Kritisch: Wortlängen n 8Bit Bei Wortlängen 6Bit i.a. unkritisch, das Thema wird daher in Zukunft an Wichtigkeit verlieren. 97

199 8.4 Dezimierung und Interpolation mit FIR-Filtern Das ist ein wichtiger Anwendungsbereich von FIR-Tiefpaßfiltern. Dezimierung: Erniedrigung der Abtastrate um den Faktor r (weniger Werte). Interpolation: H' w (f) Erhöhung der Abtastrate um den Faktor q. Kombination: Änderung der Abtastrate mit Faktor q r (rationales Verhältnis). Das wird gebraucht zur Datenübergabe zwischen Systemen, die mit unterschiedlicher Abtastrate arbeiten. Als Beispiel sei hier das Problem genannt, Audiodaten f mit der HIFI- Abtastfrequenz 44Hz f d f d2 in Daten f d3 mit f d4 der in der professionellen f d5 Audiotechnik üblichen Abtastfrequenz 48Hz (oder Vielfache davon) zu f a /2 konvertieren. Digital System System 2 Abtastabstand T Abtastabstand T g(nt ) g(nt 2 ) 2 Analog g(nt ) D/A g(t) A/D g(nt 2 ) Alte Lösung Schlechte Qualität Abbildung 8.26: 2 Moglichkeiten zur Abtastratenwandlung Die alte Lösung mit D/A und A/D Wandlung, wo zwischenzeitlich ein Analogsignal entsteht, ist natürlich qualitativ ziemlich schlecht. Zum Glück geht es auch anders, also rein digital. 98

200 99

201 8.4. Dezimierung Definition Dezimierung um den Faktor r der Abtastfolge {s(n)}: Wähle jeden r-ten Wert s(nr) aus. Entferne die anderen. Symbol: s(n) r s(nr) r Beispiel: r = 2 r Abbildung 8.27: Dezimierung um r.5 Digital System System 2.5 Abtastabstand T Abtastabstand T g(nt ) g(nt 2 ) Alte Lösung Analog g(nt ) D/A g(t) A/D g(nt 2 ) Schlechte Qualität Abbildung 8.28: Dezimierung um den Faktor r=2 Die Anzahl der Werte sinkt um Faktor r. Weniger Speicherplatz Weniger Rechenzeit bei nachfolgender 2 Verarbeitung Normiert: Abtastperiode r

202 Nicht-Normiert: Frequenz r Abtastperiode T rt 2

203 S a (f) H(f) Störungen f f g f s f a /2 f a r s(n) r Abbildung 8.3: Realistische Situation 2f a Frequenz f r a = T fa s(nr) r Was passiert dabei signaltheoretisch? s(nt ) s((rn)t ) = s(n(rt )) S a (f) Das bedeutet Wiederholung der Spektren im Abstand S a (f) T r, das ist keine Überraschung. Dezimierung um r ist erlaubt, wenn (T neuer Abtastabstand) T := T r = f a r 2f g Dann tritt keine Überlappung der Spektren auf. f a =f a /2 f a 2f a Fall : Idealfall r Beispiel: r = 2 r T T r + n= + n= S(f n T ) S(f n rt ) f S a (f) S a (f) f a =f a /2 f a 2f a f Abbildung 8.29: Dezimierung um r=2 Das ist nur möglich, da die ursprüngliche Abtastfrequenz f a zu hoch war. liegen unerwünsch- Fall 2 bzw. Standard-Fall, wie er in der Praxis meist auftritt: Das gewünschte Nutzsignalspektrum S(f) liegt in [ f g, f g ]. Von f g bis fa 2 te Signalanteile: 22 Rauschen (das ist bei echten Signalen immer da), Störungen Nicht interessierende Information

204 Danach kann die Abtastrate bis auf f g + f s reduziert werden, ohne daß S a (f) durch Überlappung verzerrt wird. S a (f) H(f) Störungen Zum Beispiel f g + f s = fa 2 f a = fa 2 bzw. Dezimierung Faktor 2: f g f s f a /2 f a f 2f a r r H(f) S a (f) Störungen f g f s f a =f g +f s Abbildung 8.3: Ergebnis nach sauberer Dezimierung; die restlichen Störungen können, falls notwendig, noch weggefiltert werden Die Information des Nutzsignals bleibt erhalten. 23

205 Aus Sicherheitsgründen erfolgt Dezimierung grundsätzlich als Reihenschaltung von FIR-Filter mit nachfolgender Abtastreduktion. s(n) TP f g,f s r s(nr) Abbildung 8.32: Dezimierung um r Praktische Gesichtspunkte: f a nicht zu knapp wählen, um den Übergangsbereich nicht zu schmal zu machen Filterordnung geringer. r 2f a H(f) Falls am Ausgang des FIR-Filters um r dezimiert wird, braucht nur jeder r te S a (f) Störungen Ausgangswert s(nr) berechnet zu werden Aufwandseinsparung; das FIR-Filter läuft mit der niedrigen Abtastfrequenz! Im Gegensatz zu IIR (rekursiven) Systemen), da geht das nicht! Matlab-Befehl: f g f s f a =f g +f s yr=decimate(y,r) (r-fach dezimieren) Beispiel Dezimierung aus Sachzwang: Sprachsignal -8kHz=f g mit 6kHz abgetastet, jeder Wert mit 8 bit = Byte quantisiert. Datenrate 6kByte/sec 96kByte/min 57.6 kbyte = 57 MByte/Stunde 24

206 Einsparung: Einschränkung des Frequenzbereiches auf -4kHz (noch gut verständliche Sprache), Dezimierung auf 8kHz Abtastfrequenz Halbe Datenrate! Digitale Interpolation Digitale Interpolation wird gebraucht für: Erhöhung der Abtastfrequenz zur Abtastratenwandlung. Mehr Abtastwerte bilden zur schöneren Darstellung (graphisch D, 2D), Bilder! Genauere Messung von Signalminimum, Maximum, Nulldurchgängen mittels Interpolation Bessere D/A Wandlung Als Beispiel hier ein korrekt abgetasteter Sinus; die Nullstellen sind eigentlich nicht zu bestimmen; nach Interpolation sieht das schon viel besser aus! 25

207 Sinus, korrekt abgetastet, aber sieht nicht wie Sinus aus Sinus 8-fach interpoliert, sieht jetzt wie Sinus aus Abbildung 8.33: Abgetasteter und interpolierter Sinus Definition Digitale Interpolation: Erhöhung der Abtastfrequenz um den Faktor q Abbildung 8.34: Die roten Werte werden aus den blauen berechnet (q=2 hier) Dezimieren: filtern, Werte wegwerfen oder nicht berechnen. Interpolieren: Zwischenwerte beschaffen, die Frage ist wie macht man das am Besten? 26

208 s(nt) q s(mt/q) Abbildung 8.35: Symbol für Interpolation 2f um Faktor q a H(f) S a (f) Störungen Systemtheoretische Lösung: Man benutzt die Shannonsche Formel um s(t) für den gewünschten f g f s f a =f g +f s T/q s(t) s(nt) Shannon-Formel s(mt/q) Abbildung 8.36: Theoretische Lösung für Interpolation um Faktor q s(nt) q s(mt/q) Zeitpunkt zu berechnen. 2f a Aber es ist ja bekannt: die Shannonsche Abtastformel ist für praktische Zwecke nicht geeignet (siehe Kapitel(6)) Störungen H(f) S a (f) Es gibt zum Glück das Verfahren der digitalen Interpolation, es wurde 97 entdeckt: f g f s f a =f g +f s 27

209 . Schritt: Nullpolsterung, zero padding Zwischen zwei Werten von s(nt ) werden q Nullen äquidistant im Abstand T q eingefügt: Zero-filling, q=3.5.5 T 3 2T 3 T 2T Abbildung 8.37: Vorbereitung der Interpolation um Faktor q Dadurch entsteht das Signal x(n T q ) mit x(n T q ) = { s(nt ), n =, ±q, ±2q..., sonst Spektrum von x: X a(f) = = + n= + x(n T q )e j2πfn T q x(rt )e j2πfrt = + r= n= s(nt )e j2πfnt = S a(f) (In der Summe alle mit x(n T q ) = weglassen. Es bleiben nur die übrig, wo n q ganze Zahl!) 28

210 x(n T q ) hat das gleiche Spektrum wie s(nt ) aber eine höhere Abtastfrequenz: S a' (f) H(f) f g f s f a alt 2f a 3f a =f a ' neu f Abbildung 8.38: Wegfiltern der 2. und 3. periodischen Wiederholung s(nt) q s(mt/q) 2f a Um S(f) mit f a abgetastet zu erhalten (Wiederholung im Abstand f a), muss einfach ein Tiefpaß mit Grenzfrequenz f a f g die störenden Spektren wegfiltern. 2. Schritt: Filtern der Folge x(n T q ) mit FIR-Tiefpaßfilter der Durchlassfrequenz f g und Sperrfrequenz f a f g Erhalte s(t) mit f a = qf a abgetastet, also {s(n T q )} mit Abtastrate T q, das gewünschte Ergebnis. 29

211 aus Ab- Symbolisch: Digitale Interpolation, Gewinnung von Abtastwerten mit Rate T q tastwerten mit Rate T : s(nt) zero-filling FIR-Filter s(mt/q) s(nt) q s(mt/q) Abbildung 8.39: Ablauf Interpolation um Faktor q Bemerkung: Lineare Phase im Durchlaßbereich keine Verzerrung von S(f). Die Multiplikation mit -en ist unnötig, durch geschickte Realisierung kann (muss)man sie einzusparen. Das nennt man dann Polyphasen-Filter; auch das geht nur mit FIR- Filtern. Durch die (bei richtiger Realisierung) Einsparungen bei Dezimation und Interpolation mit FIR-Filtern sind diese Operationen weit weniger rechenintensiv, als ein naiver Betrachter glaubt, und daher in der Digitalen Signalverarbeitung weit verbreitet. Matlab-Befehl: yq = interp(y,q) (q-fache Anzahl von Werten) Nun noch Abtastratenwandlung mit Faktor ( q r ) Zuerst: Erhöhung um Faktor q Dann: Reduktion um Faktor r i.a. nur ein FIR-Tiefpaß erforderlich (nach dem Nullpolstern und vor der Reduktion), daher auch sehr sparsam zu realisieren. 2

212 f g f s f a alt 2f a 3f a =f a ' neu s(nt) zero-filling FIR-Filter s(mt/q) s(nt) q s(mt/q) Nur ein Tiefpass s(n) q r s(mr/q) Abbildung 8.4: Abtastratenwandlung mit q/r 2

213 22

214 Kapitel 9 Die diskrete Fourier-Transformation 9. Grundlagen und Einführung der diskreten Fourier-Transformation Wir gehen von bekannten Tatsachen aus: Die Fourier-Transformation des diskreten Signals {s(n)} ergibt ein periodisches Spektrum S a (f). {s(n)} + n= s(n)e j2πfn = S a (f) Wir benutzen zur Vereinfachung wieder die normierte Abtastfrequenz [f a = ] hier und im folgenden. 23

215 Es gibt nun 2 Probleme bei numerischer Berechnung der Fourier-Transformation eines diskreten Signals. Die bemerkt man sofort, wenn man die obige Formel programmieren möchte:. + n=?? Eine unendliche Summe kann man nicht realisieren. Einzige Lösung: Man nimmt die endliche Summe M n= über M Werte: Signal auf s()... s(m ) beschränkt. 2. S a (f) mit f kontinuierlich??, an unendlich vielen Stellen kann man die Summe natürlich auch nicht berechnen! Lösung: f = f(k) k M Man nimmt endlich viele diskrete Frequenzwerte! Damit ist die Berechnung numerisch durchführbar! Wählt man zusätzlich die Werte im Spektrum äquidistant, d.h. f(k) = k M, M dan hat man eine periodische Abtastung im Spektrum! Mit diesen Festlegungen heißt diese realisierbare Transformation Diskrete Fourier Transformation = DF T k Definition: Die Diskrete Fourier Transformation Die M-Punkte DFT eines diskreten Signals s(n) der Länge M ist gegeben durch die M Werte DF T (s, k) = M n= s(n)e j2πn k M, k M Das ist die wichtigste Transformation der Signalverarbeitung, vor allem wegen der Durchführbarkeit mit einem schnellem Algorithmus F F T (Fast Fourier Transformation). Dabei gilt für Signallänge M: Aufwand DF T Länge M: M 2 Aufwand F F T Länge M: M log 2 M Zum Beispiel M = : DF T 6, F F T 4 Das ist ein Faktor in Geschwindigkeit. Für grössere M wird das noch extremer. 24

216 Hauptanwendungsbereiche der DFT/FFT und weitere Bemerkungen: Berechnung der diskreten Faltung nach Faltungssatz über F F T (schnelle Faltung) Frequenzdarstellung, -messung, Spektralanalyse deterministischer & stochastischer Signale. Historisch gesehen: Die DF T kannte Euler schon, die F F T Gauß und viele andere Mathematiker danach wurde die F F T von Cooley und Tukey im richtigen Moment für die Digitale Signalverarbeitung wiederentdeckt. Der klassische FFT-Algorithmus funktioniert nur für Signallängen, die 2-er Potenzen sind (Lösung: mit Nullen auf nächste 2-er Potenz auffüllen) Bitte die FFT nicht selbst programmieren, sondern von Experten programmierten Code benutzen, dieser ist oft frei verfügbar z. B. bei Daher wird hier der FFT- Algorithmus nicht behandelt. Wie für jede vernünftige Transformation gibt es natürlich eine Inverse DF T (IDF T ): 25

217 Definition Die DF T ist umkehrbar. Es gilt s(n) = IDF T (DF T (s, k), n) = M M k= kn +j2π DF T (s, k)e M, n M s(n) kann aus seiner DF T zurückgewonnen werden. Man benutzt gelegentlich eine vereinfachte Darstellung mit dem sog. Drehoperator: DF T T ransformationspaar W M = e j2π M X(n) = DF T (x) = Drehoperator M k= x(k) = IDF T (X) = M x(k)w kn M M n= X(n)W kn M (Gut zum Ableiten von Rechenregeln, aber Zusammenhang zur Fouriertransformation nicht gut erkennbar) 9.2 Eigenschaften der DFT Die DF T kombiniert Abtastung im Zeit- und Frequenzbereich Die Wahl f(k) = k M liefert eine äquidistante Abtastung im Frequenzbereich: Das (periodische) Spektrum S a (f) des zeitbegrenzten Signals s(n), n M wird im Abstand M abgetastet. Das Zeitsignal {s(n)}m wird zwangs periodisiert, d.h. im Abstand M periodisch fortgesetzt und daher durch s(n), n M, die Werte in einer Periodenlänge, eindeutig beschrieben. 26

218 Umgekehrt Satz Setze s(n), n M periodisch fort mit Periode M zu s per (n) Die F T des periodischen Signals s per liefert ein Linienspektrum mit Werten im Abstand M gerade und kann aus der (D)F T über eine Periode berechnet werden, also S pera ( k M M ) = n= nk j2π s(n)e M = DF T (s, k) Die DF T ist ein Spezialfall der F T für abgetastete, periodische Signale mit daher periodischem, diskretem Spektrum. Konsequenz Die Rechenregeln der F T unter Beachtung der Abtastung und der Periodizität bleiben gültig, z.b.: Verschiebungssatz s per (n m) S pera ( k M )e j2πm k M = DF T (s, k)e j2πm k M Aufpassen: s per (n) periodisch zyklische Verschiebung. Die Verschiebung muß als Verschiebung des periodischen Signals aufgefaßt werden! 27

219 .2 Periodisches Signal s p(n) Periodisches Signal s p (n) um nach rechts verschoben Abbildung 9.: Periodische Verschiebung Ebenso Modulationssatz s per (n)e j2πfn S per ( k M f ) }{{} Wenn kein Abtastwert vorhanden bei f, dann geht es nicht mit der DFT. Falls f = l M, dann ist s per (n)e j2π l M n DF T (s, k l) die passende periodische Verschiebung im Spektrum 9.3 Beschreibung und Diskussion der bei der DFT auftretenden Effekte Das ist mit den theoretischen Kenntnissen gut möglich! 28

220 Frage: Welche Abweichungen gegenüber der klassischen F T kontinuierlicher, bandbegrenzter Signale treten auf? Das sehen wir im Folgenden: Darstellung Signale links, Spektrum rechts, f a beliebig. ) Bandbegrenztes Signal s(t) Spektrum S(f) s(t) S(f ).5.5 f g f g Zeit Frequenz Abbildung 9.2: Bandbegrenztes Signal und sein Spektrum 2) Zeitfenster W (t) Länge T W (f) w(t) W(f ).2.2 T 2 Zeit T 2 T Frequenz T Abbildung 9.3: Zeitfenster und sein Spektrum 29

221 3) Zeitausschnitt s w (t) = s(t) w(t) Faltung S(f) W (f).5.5 T 2 Zeit T 2 Frequenz Abbildung 9.4: Zeitausschnitt und sein Spektrum 22

222 4) Periodisierung Abtastung.5.5 T Zeit Frequenz T Abbildung 9.5: Periodisierter Zeitausschnitt und sein Spektrum 5) Abtastung Periodisierung.8 T a Zeit T a Frequenz Abbildung 9.6: Abtastung und Periodisierung in Zeit- und Frequenzbereich 22

223 Die DF T/IDF T berechnet zu M Punkten links die M Punkte rechts. Die Punkte bei T bzw. f a werden nicht berechnet (das wäre unnötig) Zeit Frequenz Abbildung 9.7: Signal und DFT mit je 8 Punkten Satz Die DF T liefert das im Abstand f a periodisch wiederholte, durch Faltung mit der F T des Zeitfensters W (t) verfälschte Spektrum des Analogsignals s(t), abgetastet im Abstand T (T = Länge des Zeitfensters). Es werden die Frequenzpunkte innerhalb einer Periode f a im Spektrum geliefert. Wie erhält man eine gute Näherung an das Spektrum des Analogsignals? Hohe Abtastfrequenz f a period. Wiederholungen weit auseinander Zeitfenster mit großer Dauer T Verzerrung durch Faltung klein, Werte im Spektrum dichter Anzahl der Werte der Transformation M = T T a = T f a Man braucht viele Werte für eine gute Darstellung. 222

224 9.4 Berechnung der diskreten Faltung mit der DFT/FFT Zur Abkürzung führt man für dieses Kapitel folgende Bezeichnungen ein: Periodisch wiederholte diskrete Signale : s p (n), h p (n), g p (n) und die dazugehörigen zeitbegrenzten Signale (Dauer eine Periode) s(n), h(n), g(n).2 Periodisches Signal g p(n) Zeitbegrenztes Signal g(n) von bis 3 Abbildung 9.8: Zeitbegrenztes und zugehöriges periodisches Signal 9.4. Die periodische Faltung Satz: Periodische Faltung Faltet man zwei zeitbegrenzte Signale s(n), n M und g(n), n M miteinander und wiederholt g(n) = s(n) h(n) mit der Periode M, dann lässt sich g p (n) direkt aus s p (n) und h p (n) berechnen mittels g p (n) = M m= s p (m)h p (n m), n =,...M Die Summe erstreckt sich über eine Periode und wird periodische Faltung genannt. Die periodische Faltung ist die zur DFT passende Faltung. Es gilt: 223

225 Faltungssatz der DFT s p (n) h p (n) = g p (n) S p (k) H p (k) = G p (k) D. h. die periodische Faltung lässt sich mittels DFT/IDFT und Multiplikation im Spektrum berechnen s p (n) S p (k) h p (n) H p (k) g p (n) G p (k) Das lohnt sich natürlich nur bei Verwendung der FFT. Wenn die DFT direkt benutzt wird, ist der Aufwand beim Umweg über das Spektrum wesentlich größer als bei direkter Berechnung der Faltung im Zeitbereich. Aber: eigentlich möchte man die Faltung nichtperiodischer Signale berechnen, z.b. um eine FIR-Filterung eines Signals (durch Faltung mit der Impulsantwort) zu realisieren. Man muss also die Periodizität austricksen. Die dazu geeignete Methode beruht auf Verlängerung der Signale mit Nullen (zero-filling). Ausgangspunkt ist zuerst s(n) zeitbegrenzt mit N Werten n N h(n) zeitbegrenzt mit M Werten n M Das Ergebnis der normalen Faltung s(n) g(n) = h(n) besteht dann aus N+M- Werten: 224

226 g(n) s(n) g(n)*s(n) Abbildung 9.9: Periodische Faltung 225

227 g(n) s(n) g(n)*s(n) Abbildung 9.: Periodische Faltung, Verlängerung mit ausreichend Nullen Um g(n) mit der periodischen Faltung zu berechnen, darf das Ergebnis frühestens im Abstand L N + M periodisch wiederholt werden, um Überlagerungen zu vermeiden. Also dürfen die periodischen Wiederholungen von s(n) und h(n) ebenfalls erst im Abstand L erfolgen. 226

228 Lösung:. Fülle s(n) und h(n) mit Nullen auf Länge L auf: s(n) = [s(), s(),...s(n ),,,..., ] }{{} L Werte h(n) = [h(), h(),...h(n ),,,..., ] }{{} L Werte Die Faltung dieser verlängerten Folgen liefert das gleiche Ergebnis g(n) wie s(n) h(n) (Die Nullen liefern keinen Beitrag in der Faltungssumme). 2. Bilde periodische Faltung mit Hilfe der DFT/FFT: g p (n) = (s p (n) h p (n)) = IF F T (F F T (s) F F T (h)) 3. Erhalte damit g p (n) für n N + M 2, das sind (N+M-) Werte, die Werte innerhalb einer Periode, dort ist g p (n) = g(n), das gewünschte Ergebnis. Das ist der einfachste Weg. Für Analysezwecke, wenn genug Zeit vorhanden ist, wird dies auch mit sehr vielen Werten durchgeführt. Zum Beispiel: N=M=32, oder N=, M=32 (Faltung Impulsantwort mit Signal) 227

229 Ablaufdiagramm Faltung s(n) h(n) mit DFT/FFT: s(n), N Werte g(n), M Werte Zero-Filling 2 r Werte 2 r >= N+M- Zero-Filling 2 r Werte FFT FFT x IFFT g(n), N+M- Werte s(nt) Abbildung 9.: Faltung mittels DFT q s(mt/q) Nur ein Tiefpass s(n) q r s(mr/q) Bemerkung: Man füllt natürlich in der Regel bis zur nächsten 2-er Potenz auf wg. FFT- Einsatz. 228

230 IFFT Aber der eigentliche Normalfall ist: Faltung eines Eingangssignal s(n) sehr langer Dauer (theoretisch unendlich lang...) mit einer Impulsantwort h(n) eines FIR-Filters. g(n), N+M- Werte s(n) h(n) g(n) Abbildung 9.2: Laufende Faltung Im Echtzeitbetrieb kann man natürlich nicht abwarten, bis alle Werte von s(n) bekannt sind. (Außerdem wird die FFT irgendwann nicht mehr berechenbar sein). Die Lösung kommt sofort: Segmentierte Faltung, overlap-add Verfahren Prinzip: Das Eingangssignal s(n) wird in nicht überlappende Teilsignale (Segmente) s r (n) der Länge L aufgeteilt: s(n) = s r (n) r Aus der Distributivität der Faltung folgt s(n) h(n) = ( r s r (n)) h(n) = r (s r (n) h(n)) Das heisst segmentierte Faltung: die gesamte Faltung kann aus Faltungen mit den einzelnen Segmenten s r (n) zusammengesetzt werden. Die Einzelfaltungen s r (n) h(n) können dann wieder über die DFT/FFT wie oben gebildet werden. Das Gesamtergebnis ist die Summe der Teilfaltungen. Der Name des Verfahrens lautet overlap-add, weil die einzelnen Faltungsergebnisse zeitlich überlappen, und die überlappenden Teilstücke addiert werden müssen. Bemerkung: Die Durchführung der Faltung mittels FFT heißt schnelle Faltung. Sie lohnt sich allerdings erst ab einer bestimmten Länge der Impulsantwort = Filterordnung des FIR-Filters. Der ungefähre Gewinn an Rechenzeit wird in der folgenden Tabelle dargestellt: Filterlänge N Speed-Up Faktor

231 ... s r- (n) s r (n) h(n) s r+ (n) g r- (n) + g r (n) h(n) h(n) + g r+ (n)... Abbildung 9.3: Faltung mittels overlap-add Die exakten Werte hängen vom verwendetet FFT-Algorithmus, seiner Implementierung, vom Prozessortyp etc. ab und werden am besten experimentell ermittelt. Aber grundsätzlich gilt: Man sollte also für lange Filter eigentlich immer die schnelle Faltung benutzen, ausser wenn die Durchlaufzeit minimal sein soll. s(n) h(n) g(n) 23

232 9.5 Frequenzanalyse mit DFT/FFT (Hier wieder: normierte Abtastfrequenz ) Eine weitere wichtige Anwendung der FFT ist die Betrachtung eines Spektrums oder Betragsspektrums (Spektralanalyse). Allerdings sieht dieses doch etwas anders aus, als die kontinuierliche Fouriertransformation erwarten lässt. Die Effekte lassen sich sehr gut an den wichtigsten Signalformen erklären. Also: Analyse von Sinus, Cosinus und komplexen Exponentialschwingungen (braucht man z. B. zur Frequenzmessung). Wir nehmen hier einen Cosinus mit Frequenz f x. Beispiel: Kontinuierliche Fouriertransformation: x(t) = cos(2πf x t) = cos(2π t T x ) (Periode T x = f x ) X(f) = /2{δ(f f x ) + δ(f + f x )} x(t) T x f x fx Zeit Frequenz Abbildung 9.4: Cosinus mit Frequenzf x und sein Spektrum Ziehe jetzt endliche Beobachtungszeit T mit in Betracht: Multiplikation mit Rechteckfenster der Länge T, d.h. rect(t/t ) Faltung der Deltas mit T si(πt f): Verbreiterung der Deltas, Nebenpegel (Nebenkeulen, Sidelobes) entstehen. 23

233 Zeit.4.2 T.2 T Frequenz Abbildung 9.5: Rechteck und sein Spektrum x(t)rect(t/t ) X(f) si(πt f ).5 T T f x Zeit Frequenz Abbildung 9.6: Cosinus mal Rechteck und sein Spektrum 232

234 DFT liefert Abtastung im Frequenzbereich im Abstand /T Faltung mit k δ(t kt ), d.h. periodische Fortsetzung im Zeitbereich im Abstand T.5 Periodische Wiederholung.5 Abtastung mit T T.5 Zeit T Frequenz Abbildung 9.7: Ergebnis der DFT 233

235 Ergebnis: Aus zwei Spektrallinien sind viele geworden. Dieser Effekt wird als Leckeffekt (Englisch leakage) bezeichnet, die Spektrallinie fließt aus. Er hat zur Folge, dass benachbarte schwache echte Spektrallinien verdeckt werden können. Der Leckeffekt verschwindet, wenn die falschen Spektrallinien an den Stellen k T in die Nullstellen der si-funktion fallen. Diese hat ihr Maximum bei ±/T x, die Nullstellen an den Stellen ±/T x + k/t, dh es muss gelten bzw T x = m T T = mt x Die Beobachtungsdauer T muss ein ganzzahliges Vielfaches der Periodenlänge des Cosinus sein. Dann stimmt nämlich die periodische Wiederholung im Zeitbereich mit der idealen Originalfunktion überein, d.h. es entstehen keine Sprungstellen. Da aber i.a. T x nicht bekannt ist, muss man den Leckeffekt immer berücksichtigen. Klassische Maßnahme zur Bekämpfung des Leck-effekts: Der Effekt entsteht durch Faltung mit der Transformierten des Rechtecks, das führt zu hohen Nebenpegeln im Spektrum. Daher: Benutze andere Zeitfenster (Hamming, Hanning, Kaiser) mit niedrigeren Nebenpegeln. Dadurch ist eine starke Reduktion des Leckeffekts möglich, ein paar übliche Fensterfunktion sind in der Tabelle aufgeführt. Nachteil: Hauptkeule wird breiter als bei der si-funktion, dadurch entsteht ein Verlust an Genauigkeit. Dieser kann durch Verlängerung der Beobachtungszeit wieder kompensiert werden (aber dafür ist dann mehr Rechenzeit notwendig!). Aus der folgenden Tabelle kann man die Kennzahlen für die klassischen Fenster entnehmen: Fenster, Länge T Hauptkeulenbreite im Spektrum Höchster Nebenpegel bei Rechteck /T 3dB Hanning 2/T 32dB Hamming 2/T 42dB Blackman 3/T 58dB Kaiser: einstellbar einstellbar 234

236 Der Leckeffekt führt dazu, dass schwache Signale von den Nebenpegeln starker Signale überdeckt werden können, also gar nicht sichtbar werden. Dies ist am folgenden Beispiel eines starken und eines schwachen Sinussignals ohne und mit Hamming-Fensterung gut erkennbar. Starker und schwacher Sinus, Analyse mit Rechteckfenster Level [db] Frequency [Hz] Starker und schwacher Sinus, Analyse mit Hammingfenster Level [db] Frequency [Hz] Abbildung 9.8: Leckeffekt und Gegenmassnahme Hamming-Fenster 235

237 9.5. Fortlaufende FFT-Analyse, Spectrogramm Für viele Anwendungen (z.b. Sprachanalyse) möchte man einen Überblick der zeitlichen Entwicklung der Signalspektren gewinnen. Klar ist: Eine FFT über die gesamte Signaldauer gibt keine zeitliche Information. Folgende Methode ist üblich: Das Signal s(n) wird in (zeitlich überlappende) Segmente aufgeteilt: s k (n) = s(n + k L ), n L; k =,,... M In der Praxis meist M = 2 (5% Überlappung) oder M = 4 (75% Überlappung)... s r-2 (n) s r- (n) s r (n) s r+ (n)... Abbildung 9.9: Segmentierung s k (n) wird dann mit einem passenden Fenster F (n) der Länge L multipliziert und es wird S k (m) = DF T (s k (n) F (n))(m) gebildet. Das Ergebnis wird fortlaufend als 2 oder (meistens) in db dargestellt, als Wasserfall oder als Spektrogramm Beim Wasserfall wird die Zeit über der Frequenz, beim Spectrogramm die Frequenz über der Zeit dargestellt und oft farblich codiert. Diese Darstellungen werden auch als Zeit-Frequenzanalyse bezeichnet. Regel: Je länger die Segmentlänge L, umso höher die Frequenzgenauigkeit, aber weniger zeitliche Information. Kürzere Segmentlänge: mehr Zeitinformation, aber weniger Frequenzinformation. Am Spectrogramm eines Sprachsignals sieht man, dass in vielen Frequenzbereichen zeitweise nichts los ist; das wird zur Sprachkompression erfolgreich ausgenutzt. s(n) 236 h(n) g(n)

238 s r (n) s r+ (n)... s(n) Segmentierung s r (n) Mult. mit Fenster FFT S r (m) S 2 r (m) 2 Darstellung Abbildung 9.2: Ablauf Zeit-Frequenzdarstellung Spectrogram eines linear frequenzmodulierten Signals Frequency Time x 4 Abbildung 9.2: Typisches Spectrogramm 237

239 Spectrogram des Sprachsignals "Ja, sie haben richtig gewählt, sicher Frequency Time x 4 Abbildung 9.22: Typisches Spectrogramm 238