Grundbegriffe der Informatik Tutorium 2

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1 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 2 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 9. November 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Outline/Gliederung 1 Nachtrag 2 Wörter 3 Vollständige Induktion 4 Binäre Operationen 5 Formale Sprachen 6 Aufgaben Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

3 Raumänderung Tutorium nächste Woche (12.11.) verlegt nach SR 148! Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

4 Nachtrag G n heißt dieses Semester Z n Z n = {i N 0 0 i i < n} Menge der ganzen Zahlen von 0 bis n 1 Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} Z 0 = {} Mengendifferenz M 1 \ M 2 = {x x M 1 x / M 2 } Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

5 Alphabete Definition Ein Alphabet ist eine endliche, nichtleere Menge von Zeichen. Beispiele A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} Y = {,,, } Keine Alphabete N 0, Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

6 Wörter Definition Ein Wort ist eine surjektive Abbildung w : Z n A. Beispiel Das wort w = hallo ist die Abbildung w : Z 5 {a, h, l, o} mit w(0) = h, w(1) = a, w(2) = l, w(3) = l, w(4) = o Länge von w: w = 5 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

7 Das leere Wort Definition ε : {} {} (von Z 0 in das leere Alphabet) ε hat Länge 0 (ist aber trotzdem etwas) M = {ε} ist keine leere Menge und {ε} = 1 ε ist eindeutig Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

8 Konkatenation von Wörtern Feuerwehr Auto = FeuerwehrAuto h a l l o = hallo ε ε w ε = w Potenz Zahlen x k = x x x x = xxx x (k-mal) Wörter w k = w w w w = www w (k-mal) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

9 Potenzen von Wörtern Wörter mit Länge n Die Menge aller Wörter der Länge n über dem Alphabet A ist A n. Beispiel A = {a, b} A 2 = {aa, ab, ba, bb} A 1 = {a, b} = A A 0 = {ε} Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

10 Potenzen von Wörtern Wörter mit Länge n Die Menge aller Wörter der Länge n über dem Alphabet A ist A n. Menge aller Wörter Die Menge aller Wörter über einem Alphabet A ist A = A i. A = A 0 A 1 A 2 Achtung Wenn A = {}, dann ist A 0 = {ε} {} = {ε} i=0 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

11 Induktive Definition der Potenz Definition w 0 = ε k N 0 : w k+1 = w k w Beispiel w 2 = w 1+1 = w 1 w = w 0+1 w = ε w w = w w Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

12 Vollständige Induktion Prinzip Wenn man für eine Aussage A(n) (n N 0 ) weiß: es gilt A(0) und es gilt n N 0 : (A(n) A(n + 1)) dann gilt auch: n N 0 : A(n) Beweise 1 Induktionsanfang (IA): Zeigen, dass A(0) gilt. 2 Induktionsvoraussetzung (IV): Für beliebiges aber festes n N 0 gilt A(n). 3 Induktionsschritt (IS): Zeigen dass auch A(n + 1) gilt, wenn A(n) gilt. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

13 Aufgabe Zeige durch vollständige Induktion: n N + : n 3 + 5n ist durch 6 teilbar. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

14 Binäre Operationen Definition Eine binäre Operation auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M. statt +(3, 8) = 11 schreibt man = 11 ist kommutativ x, y M : x y = y x ist assoziativ x, y, z M : (x y) z = x (y z) Beipiel Die Operation : { N 0 N 0 (x, y) x + y ist kommutativ und assoziativ. Die Konkatenation von Wörtern ist assoziativ, aber nicht kommutativ. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

15 Formale Sprachen Definition Eine formale Sprache über einem Alphabet A ist eine Teilmenge L A. Beispiel L = {class, if, int,... } = Sprache der Java Schlüsselwörter L = {a, b} \ {w 1 abw 2 w 1, w 2 {a, b} } = Sprache der Wörter ohne Teilwort ab = {w 1 w 2 w 1 {b} w 2 {a} } Achtung abc ist ein Wort {abc} ist eine Sprache Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

16 Produkt von Sprachen Definition L 1 L 2 = {w 1 w 2 w 1 L 1 w 2 L 2 } heißt das Produkt der formalen Sprachen L 1 und L 2. Beispiel A = {a, b}, L 1 = {aa, b}, L 2 = {bb, bbb} L 1 L 2 = {aabb, aabbb, bbb, bbbb} L {ε} = L = {ε} L L 1 = {b n n N 0 }, L 2 = {a n n N 0 } L 1 L 2 = {b n a m n, m N 0 } = {b} {a} Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

17 Potenzen von Sprachen Definition (induktiv) Beispiel L 0 = {ε} k N 0 : L k+1 = L L k L = {a n b n n N + } L 0 = {ε} L 1 = L = {ab, aabb, aaabbb, aaaabbbb,... } L 2 = L L = {a n 1 b n 1 a n 2 b n 2 n 1, n 2 N + } = {ab ab, ab aabb, ab aaabbb,... } {aabb ab, aabb aabb, aabb aaabbb,... } {aaabbb ab, aaabbb aabb, aaabbb aaabbb,... } Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

18 Konkatenationsabschluss Definition L = L i und L + = L i i=0 i=1 ( ε-frei ) Achtung ε L = {} = {ε} Es kann auch ε L + sein, nämlich wenn ε L. Beispiel L = {a} {b} L = {a, b} L + = {a, b} Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

19 Aufgabe 1 Beweise: L L = L + Lösung : Wenn w L L, dann ist w = w x mit w L und x L. Also existiert ein i N 0 mit w L i. Also w = w x L i L = L i+1. Da i + 1 N +, ist L i+1 L +, also w L +. : Wenn w L +, dann existiert ein i N + mit w L i. Da i N + ist i = j + 1 für ein j N 0, also ist für ein j N 0 : w L j+1 = L j L. also w = w x mit w L j und x L. Wegen L j L ist w = w x L L. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

20 Aufgabe 2 Es sei A = {a, b} und L = {aa, aaa, b}. Geben Sie (wenn möglich) für folgende Sprachen je 2 Wörter über A an, die in der Sprache liegen, und je 2 Wörter über A, die nicht in der Sprache liegen. 1 L 1 = { w w L 2 w L 3} 2 L 2 = {w A u A : v L : w = uv} 3 L 3 = { w L u A : uw = w 2 u } Lösung 1 aaaaaa ist einziges Wort L und z.b. a, b / L 2 z.b. aa, ab L und z.b. ε, a, ba / L 3 ε ist einziges Wort L und z.b. a, b / L Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

21 Aufgabe 3 L 1 = {ε} {a} L 1 {b} L 1 L 1 {c} L 2 = {ε} {a} L 2 {a} {b} L 2 {b} L 2 L 2 1 Zu welcher/n Sprachen gehören die folgenden Wörter? w 1 = abbabb, w 2 = abaccb, w 3 = aabaa, w 4 = baabaabb 2 Welche Wörter der Länge 4 gehören zu L 2? 3 Schreibe L 1 als nicht rekursive Konkatenation von Sprachen. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

22 Aufgabe 3 Lösung 1 w 1 L 1 w 1 L 2 w 2 / L 1 w 2 / L 2 w 3 L 1 w 3 / L 2 w 4 L 1 w 4 L 2 2 aaaa, bbbb, aabb, bbaa, abba, baab 3 {a, b} {c} Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22