Übung Theoretische Grundlagen

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1 Übung Theoretische Grundlagen Nico Döttling October 25, 22

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3 Automatenminimierung Konstruktion des Äquivalenzklassenautomaten Aus der Vorlesung bekannt Überflüssige Zustände lassen sich effizient erkennen und beseitigen (Tiefensuche durch Zustandsübergangsgraph) Äquivalenzrelation für Zustände: q q 2 gdw. w Σ : δ(q,w) F δ(q 2,w) F Äquivalenzklassenautomat M/ ist wohldefiniert und akzeptiert genau die selbe Sprache wie M Rechtsinvariante Relationen auf Σ : Für all x,y Σ gilt: Ist xry dann auch für alle z Σ : xzryz Die Nerode-Relation (xr L y gdw. z Σ : xz L yz L) ist eine rechtsinvariante Relation auf Σ.

4 Automatenminimierung Konstruktion des Äquivalenzklassenautomaten Der Minimierungsalgorithmus Gegeben: Deterministischer endlicher Automat M = (Q,Σ,δ,q,F) mit Q = {q,...,q n } ohne überlüssige Zustände. Gesucht: Der Äquivalenzklassenautomat M = ( Q,Σ, δ,[q ], F). Schritt: Erzeuge eine Liste L die alle Paare von Zuständen {q i,q j } mit i j enthält. Entferne alle solchen Paare {q i,q j } aus L für welche q i F und q j / F (oder umgekehrt). 2. Für alle Paare {q i,q j } L: Falls es ein s Σ gibt sodass {δ(q i,s),δ(q j,s)} / L und δ(q i,s) δ(q j,s), dann lösche dass Paar {q i,q j } aus L. Wiederhole Schritt 2 solange bis keine neuen Paare mehr aus L gelöscht werden.

5 Automatenminimierung Konstruktion des Äquivalenzklassenautomaten Der Minimierungsalgorithmus Nun setzen wir [q i ] = {q i } {q j {q i,q j } L} für alle i Q = {[q] q Q} F = {[q] q F} Für alle [q] Q und s Σ: δ([q],s) = [δ(q,s)] M = ( Q,Σ, δ,[q ], F) ist der Äquivalenzklassenautomat.

6 Automatenminimierung Korrektheit des Algorithmus Korrektheit Der Algorithmus löscht tatsächlich alle Paare von inäquivalenten Zuständen. Annahme: {q i,q j } L sei ein Paar von inäquivalenten Zuständen das einen kürzesten Zeugen w hat. w λ, ansonsten wäre {q i,q j } schon in Schritt gelöscht worden. Es gilt also w = aw, mit a Σ Dann ist aber auch das inäquivalente Paar {δ(q i,a),δ(q j,a)} L (ansonsten hätte der Algorithmus {q i,q j } in Schritt 2 entfernt) Dann hat aber {δ(q i,a),δ(q j,a)} einen kürzeren Zeugen für die Nichtäquivalenz als {q i,q j }, was ein Widerspruch zur Annahme ist.

7 Automatenminimierung Beispiel Automatenminimierung Beispiel: Minimalautomat Automat start q 2 q q Äquivalenzklassen q q q 2 q 3 q - q 2 - q 3 - q 4 q 4 q 3

8 Automatenminimierung Beispiel Automatenminimierung Beispiel: Minimalautomat, Schritt Automat start q 2 q q Äquivalenzklassen q q q 2 q 3 q - q 2 - q 3 - q 4 q 4 q 3

9 Automatenminimierung Beispiel Automatenminimierung Beispiel: Minimalautomat, Schritt 2 Automat start q 2 q q Äquivalenzklassen q q q 2 q 3 q 2 - q q 3 - q q 4 q 3

10 Automatenminimierung Beispiel Automatenminimierung Beispiel: Minimalautomat, Äquivalenzklassenautomat Minimalautomat start q,q 2 q,q 4 q 3

11 Automatenminimierung Satz von Nerode Satz von Nerode Theorem (Nerode) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: () L wird von einem deterministischen endlichen Automaten akzeptiert (2) L ist die Vereinigung von Äquivalenzklassen einer rechtsinvarianten Äquivalenzrelation von endlichem Index (3) Die Neroderelation R L hat endlichen Index

12 Automatenminimierung Satz von Nerode Beweis () (2) gilt, da die Äquivalenzrelation auf Q maximal #Q < Äquivalenzklassen besitzt. L ist die Vereinigung der Äquivalenzklassen die zu den Endzuständen gehören. (2) (3): Sei R die Relation aus (2). Ist xry, dann auch xzryz für z Σ, da R rechtsinvariant. Damit gilt xz L yz L, da jede Äquivalenzklasse von R entweder ganz oder garnicht zu L gehört. Also folgt xr L y, womit R L nicht mehr Äquivalenzklassen als R besitzt.

13 Automatenminimierung Satz von Nerode Beweis (3) () (der interessante Schritt). Da die Nerode-Relation endlichen Index hat, gibt es nur endlich viele Äquivalenzklassen. Wir konstruieren den Nerode-Automaten M RL = (Q,Σ,δ,q,F). Dabei setzen wir. Q = {[w] w Σ } 2. q = [λ] 3. F = {[w] w L} 4. δ([w], a) = [wa] Nun ist δ wohldefiniert. Denn ist [w] = [w ], so gilt wr w. Wegen der Rechtsinvarianz von R L also auch war L w a. Also ist auch [wa] = [w a und damit δ([w],a) = δ([w ],a).

14 Automatenminimierung Satz von Nerode Minimalität Theorem Der Nerode-Automat ist ein minimaler Akzeptor für L Beweis: Aus Schritt () (2) des vorherigen Beweises folgt die Existenz einer rechtsinvarianten Äquivalenzrelation mit ind(r) #Q. Aus Schritt (2) (3) folgt ind(r L ) ind(r). Nun hat M RL genau ind(r L ) #Q Zustände, also nicht mehr als jeder andere Automat der L akzeptiert.

15 Automatenminimierung Satz von Nerode Minimalität Theorem Es gilt ind( ) = ind(r L ). Der Äquivalenzklassenautomat ist also minimal. Beweis: Es bleibt nur zu zeigen dass ind( ) ind(r L ), also dass für alle x,y Σ xrly δ(q,x) δ(q,y) gilt. Damit xr L y z Σ : xz L yz L z Σ : δ(q,xz) F δ(q,yz) F z Σ : δ(δ(q,x),z) F δ(δ(q,y),z) F δ(q,x) δ(q,y)

16 Beispiele Potenzmengenkonstruktion Beispiel: Myhill-Büchi Automat Theorem (Myhill-Büchi) Zu jedem NFA M gibt es einen DFA M der die selbe Sprache L erkennt wie M Automat start a q b a, ba q q 2 ǫ Teilmengen a b {q,q 2 } {q,q 2 } {q } {q } {q,q 2 } {q 2 }

17 Beispiele Potenzmengenkonstruktion Beispiel: Myhill-Büchi Automat Theorem (Myhill-Büchi) Zu jedem NFA M gibt es einen DFA M der die selbe Sprache L erkennt wie M Automat start a q b a, ba q q 2 ǫ Teilmengen a b {q,q 2 } {q,q 2 } {q } {q } {q,q 2 } {q 2 } {q,q 2 } {q,q,q 2 } {q 2 }

18 Beispiele Potenzmengenkonstruktion Beispiel: Myhill-Büchi Automat Theorem (Myhill-Büchi) Zu jedem NFA M gibt es einen DFA M der die selbe Sprache L erkennt wie M Automat start a q b a, ba q q 2 ǫ Teilmengen a b {q,q 2 } {q,q 2 } {q } {q } {q,q 2 } {q 2 } {q,q 2 } {q,q,q 2 } {q 2 } {q 2 } {q,q 2 }

19 Beispiele Potenzmengenkonstruktion Beispiel: Myhill-Büchi Automat Theorem (Myhill-Büchi) Zu jedem NFA M gibt es einen DFA M der die selbe Sprache L erkennt wie M Automat start a q b a, ba q q 2 ǫ Teilmengen a b {q,q 2 } {q,q 2 } {q } {q } {q,q 2 } {q 2 } {q,q 2 } {q,q,q 2 } {q 2 } {q 2 } {q,q 2 } {q,q,q 2 } {q,q,q 2 } {q,q 2 }

20 Beispiele Potenzmengenkonstruktion Beispiel: Myhill-Büchi Automat Theorem (Myhill-Büchi) Zu jedem NFA M gibt es einen DFA M der die selbe Sprache L erkennt wie M Automat start a q b a, ba q q 2 ǫ Teilmengen a b {q,q 2 } {q,q 2 } {q } {q } {q,q 2 } {q 2 } {q,q 2 } {q,q,q 2 } {q 2 } {q 2 } {q,q 2 } {q,q,q 2 } {q,q,q 2 } {q,q 2 }

21 Beispiele Potenzmengenkonstruktion Beispiel: Myhill-Büchi Automat Theorem (Myhill-Büchi) Zu jedem NFA M gibt es einen DFA M der die selbe Sprache L erkennt wie M Automat start a q b a, ba q q 2 ǫ Teilmengen a b {q,q 2 } {q,q 2 } {q } {q } {q,q 2 } {q 2 } {q,q 2 } {q,q,q 2 } {q 2 } {q 2 } {q,q 2 } {q,q,q 2 } {q,q,q 2 } {q,q 2 }

22 Beispiele Potenzmengenkonstruktion Beispiel: Myhill-Büchi Automat a a, b b {q, q 2} {q } b a {q 2 } b a {q, q, q 2} a b {q, q 2} b a

23 Kombination von Automaten NFAs mit eindeutigem Endzustand Lemma Ist M = (Q,Σ,δ,q,F) ein endlicher Akzeptor mit Endzustandsmenge F, so gibt es einen nichtdeterministischen endlichen Akzeptor M = (Q,Σ,δ,q,{q s }) der nur einen einzigen Endzustand besitzt. Beweis: Setze Q = Q {q s } und δ (q,a) = δ(q,a) für alle a Σ und alle q Q. Setze zusätzlich δ (q,ǫ) = δ (q,ǫ) {q s } für alle q F. M erkennt die selbe Sprache wie M.

24 Kombination von Automaten Vereinigung von Sprachen Lemma Zu je zwei regulären Sprachen L,L 2 ist L L 2 auch regulär. Reguläre Sprachen sind also unter Vereinigung abgeschlossen. Beweisskizze: Erkennt M die Sprache L und M 2 die Sprache L 2, so können wir uns einen NFA M konstruieren der L L 2 erkennt. M M M ǫ M2 ǫ M2

25 Kombination von Automaten Konkatenation von Sprachen Lemma Zu je zwei regulären Sprachen L,L 2 ist L L 2 auch regulär. Reguläre Sprachen sind also unter Konkatenation abgeschlossen. Beweisskizze: Erkennt M die Sprache L und M 2 die Sprache L 2, so können wir uns einen NFA M konstruieren der L L 2 erkennt. M M M M2 ǫ M2

26 Kombination von Automaten Kleene scher Abschluss von Sprachen Lemma Zu einer regulären Sprachen L ist L auch regulär. Reguläre Sprachen sind also unter Sternbildung abgeschlossen. Beweisskizze: Erkennt M die Sprache L, so können wir uns einen NFA M konstruieren der L erkennt. M M M ǫ ǫ

27 Kombination von Automaten Reguläre Ausdrücke und reguläre Sprachen Lemma Eine Sprache ist regulär, wenn sie von einem regulären Ausdruck beschrieben wird Beweisskizze: Man beweist diese Aussage mittels struktureller Induktion. Ist R = ǫ ein regulärer Ausdruck, so erkennt folgender NFA die von R beschriebene Sprache. start q Ist R = a für a Σ ein regulärer Ausdruck, so erkennt folgender NFA die von R beschriebene Sprache. a start q q

28 Kombination von Automaten Reguläre Ausdrücke und reguläre Sprachen Ansonsten: Ist R = R + R 2 ein regulärer Ausdruck, dann kombiniere die Automaten für R und R 2, dann konstruiere für R den Automaten der L(R ) L(R 2 ) erkennt, durch Vewendung der Automaten für R und R 2, die per Induktionsannahme existieren. Analog: R = R R 2 und R = R.