Kostenfunktion - Der Cournotsche Punkt

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1 Kostenfunktion Seite 1 von 8 Wilfrie Rohm Kostenfunktion - Der Cournotsche Punkt Der Cournotsche Punkt C beschreibt ie gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination mit en Koorinaten C(p c ; x c ). Er sagt aus, bei welcher Menge x c (einer Prouktion) er maximale Gewinn erzielt wir un welcher Preis p c für as Proukt verlangt weren muss, amit sich iese Menge auch absetzen lässt. Dieser Cournotsche Punkt soll für eine bestimmte (gegebene) Kostenfunktion un eine linear angenommene Preisabsatzfunktion bestimmt weren (Die Aufgabenstellung wure em Buch "Mathematik im Betrieb" von Hollan/Hollan entnommen ) Gegeben ist eine Kostenfunktion K( x) := 8 x + 600x Die Preisabsatzfunktion soll aus folgenen Angaben bestimmt weren: Im letzten Jahr wuren 50 Proukte zu einem Preis von 100 verkauft. Bei einer Preiserhöhung um 50 wir nach einer Marktforschungsuntersuchung ein Rückgang es Absatzes um 45 Stück erwartet. Hier wir ie als linear angenommene Preisabsatzfunktion über ie symbolische Lösung eines Gleichungssytems bestimmt: Vorgabe k 100 = k = k 45 + := Suchen k, ( ) Also lautet ie Preisabsatzfunktion:p( x) := x Daraus ergibt sich: Umsatzfunktion U( x) := p( x) x Gewinnfunktion G( x) := U( x) K( x) G( x) 8 x 600 x x ( 10 x 1700) 4000 G( x) vereinfachen 1100 x x 4000 Die Ermittlung es Gewinnmaximums (in Abhängigkeit von er erzeugten Stückzahl x) erfolgt über ie Nullstelle er 1.Ableitung: Wilfrie Rohm 010

2 Kostenfunktion Seite von 8 x G( x) = 0 auflösen, x = x c := 5 Die Lösung kann aber auch irekt zugeornet weren (un ist amit unabhängig von speziell gewählten Werten). Das kann besipielsweise so erfolgen: X_C x G( x) := = 0 auflösen, x X_C = X_C ist ein Vektor, er ie beien mathematischen Lösungen enthält - für unsere Problemstellung ist aber nur er obere Wert mit Inex 0 brauchbar. Wir überzeugen uns aber mit er.ableitung, ass tatsächlich ein Maximum vorliegt x c := run( X_C 0 ) x c = 5 Verwenen er Runungsfunktion run(x) [engl: roun(x)] G ( x) := G( x) G x c x ( ) = Die zweite Ableitung zeigt, ass wirklich Maximimum vorliegt p( x c ) = 1180 G( 5) = G( 51) = 315 Hier wir nachgerechnet, ob ie Runung auch in ie "richtige" Richtung urchgeführt wure (was er Fall ist) Die Funktionen U(x), K(x) un G(x) weren nun tabellarisch un anschließen grafisch argestellt. Zu beachten ist, ass als "Laufvariable" statt x eine anere Variable eingeführt wir, amit es keinen (sonst möglichen) Konflikt mit späteren Berechnungen mit "x" geben soll. Begrünung: Durch ie Definition einer Bereichsvariablen wir ja ein Vektor efiniert! Hier habe ich als Variable "X" statt "x" gewählt (auch "xx" ist afür eine gängige Variante) X := X = U( X) = K( X) = G( X) = Wilfrie Rohm 010

3 Kostenfunktion Seite 3 von 8 Grafische Darstellungen 10 5 K( x) U( x) G( x) x Das Herauslesen einens speziellen Wertes aus em Diagramm kann beispielsweise mit em Menüpunkt "Koorinaten ablesen" aus em Kontextmenü er Grafik erfolgen: x b := 8 y b := 700 Beispiel für einen "bestimmten" Punkt. Bestimmung es Cournotschen Punktes x c = 5 p x c ( ) = 1180 Die Bestimmung es Cournot'schen Punktes kann aber auch grafisch erfolgen. Das soll hier für en Fall eines Angebotsmonopolisten, er en Preis für as Proukt steuern kann un für en eine efinierte Preisabsatzfunktion relevant ist, emonstriert weren. Dazu sin folgene Überlegungen zu beachten: Die Preisabsatzfunktion hat einen linearen Verlauf. Daher muss ie Umsatzfunktion (=p(x)*x) parabelförmig sein un ie Grenzumsatzfunktion U'(x) ie oppelte negative Steigung im Vergleich zur Preisabsatzfunktion haben. Die gewinnmaximale Menge x c ergibt sich aus em Schnittpunkt von U'(x) mit K'(x). Begrünung: Die Funktion G(x) = U(x)-K(x) ergibt abgeleitet: G'(x) = U'(x)-K'(x) Da zur Gewinnmaximierung gelten muss: G'(x)=0 muss auch gleichzeitig gelten: U'(x)=K'(x) Wenn man en zu x c gehörenen Punkt auf eer Preisabsatzfunktion einträgt, erhält man en Cournotschen Punkt C. X := Wilfrie Rohm 010

4 Kostenfunktion Seite 4 von 8 x c p( X) U( X) X X K( X) p( x c ) X Damit ist nun ie ursprüngliche Aufgabe gelöst. In weiterer Folge wollen wir aber hier noch er Frage nachgehen, wie ie Abhängkeit er obigen Funktionen un amit es Cournotschen Punktes von verschieenen Parametern emonstriert weren kann. Als Beispiel wir hier ie Abhängigkeit von er Steigung k er Preisabsatzfunktion p(x) betrachtet. Ziel ist es, ie Grunlagen für eine entsprechene Animation zu liefern Dazu müssen allerings von Anfang an ie verschieenen Funktionen in (zusätzlicher) Abhängigkeit von k efiniert weren. Daher weren ie wesentlichen Zeilen von oben kopiert un entsprechen veränert: k := k Diese "seltsame" Definition führt azu, ass k für folgene symbolische Berechnungen "überschrieben" wir. Der zuvor festgelegte Wert von k behält allerings für numerische Auswertungen un amit auch für ie grafischen Darstellungen seine Gültigkeit. Kostenfunktion K( x) := 8 x + 600x Die Kostenfunktion bleibt als einzige er obigen Funktionen unabhängig von k Nun lautet ie Preisabsatzfunktion: p( x, := k x Daraus ergibt sich: Umsatzfunktion Gewinnfunktion U( x, := p( x, x G( x, := U( x, K( x) G( x, x ( k x ) 600 x + 8 x G( x, vereinfachen 1100 x + k x + 8 x Hier erkennt man auch im Ergebnis ie Abhängigkeit er Gewinnfunktion vom Parameter k Wilfrie Rohm 010

5 Kostenfunktion Seite 5 von 8 Ermittlung es Gewinnmaximums wieer über ie 1.Ableitung x G( x, = 0 auflösen, x 3 k 3 3 k + 48 k k k + 48 k = x c := 5 Aus mir nicht klar ersichtlichen Grünen sin allerings gegenüber oben ie Vektorinizes vertauscht (nur in er Version Mathca 14!?!) Die Lösung kann auch wieer irekt zugeornet weren, etwa so: X_C( := x G( x, ( ) = 0 auflösen, x 3 k 3 3 k + 48 k k k + 48 k x c ( := run X_C( 1 x c ( = 5 Verwenen er Runungsfunktion G ( x) p x c (, k := G( x, G x c ( x ( ) = 1180 ( ) = Die zweite Ableitung zeigt, ass wirklich Maximimum vorliegt Grafische Darstellungen X := k := 10 Durch Veränerung es nebenstehen efinierten Parameters k erhält man ie Darstellung er Funktionen U(x, un G(x, - as Ergebnis kann entsprechen interpretiert weren K( x) U( x, G( x, x Wilfrie Rohm 010

6 Kostenfunktion Seite 6 von 8 Bestimmung es Cournotschen Punktes ( ) 1180 x c ( = 5 p x c (, k X := k := 10 = Es wir er oben efinierte Wert für k verwenet! x c ( p( X, X U( X, X K( X) ( ) p x c (, k X Nun kann auch wie eingangs angeführt eine entsprechene Animation er letzten Grafik in Abhängigkeit von k erfolgen. k := 0 + ( 1) FRAME FRAME kann beispielsweise von 0 bis 40 gehen. k = 0 x c ( p( X, U( X, X K( X) X ( ) p x c (, k X Wilfrie Rohm 010

7 Kostenfunktion Seite 7 von 8 Das fertige Vieo steht als zip-datei zur Verfügung. Zurück zur Beispielübersicht "Wirtschaftsmathematik" Wilfrie Rohm 010

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