Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Vorlesungsprogramm für den (K. Steffen, Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf, WS 2006/07) 2.4 Rentenrechnung bei Zinsesverzinsung Wir betrachten nun die Zinsesverzinsung eines Kapitals bei Ein- und/oder Auszahlungen. Die Gesamtlaufzeit von t Jahren ist dabei eingeteilt in n Zinsperioden der Längen s 1, s 2,..., s n (mit s 1 + s s n = t), in denen mit Zinsfüßen p 1, p 2,..., p n einfach verzinst wird. In der j-ten Zinsperiode werden außerdem Zahlungen R 1j, R 2j, R 3j,... getätigt, deren Zeitpunkte r 1j, r 2j, r 3j,... Jahre vor dem Ende der Zinsperiode liegen. (Die Verwendung von zwei Indizes i und j ist unvermeidlich, wenn wir einerseits die Zinsperioden nummerieren wollen und andererseits innerhalb jeder Zinsperiode die einzelnen Zahlungen.) Die (einfache) Aufzinsung aller Zahlungen in der j-ten Zinsperiode ergibt dann die Summe der Produkte (1 + 1 p jr ij )(±R ij ), wobei i = 1... m j die Nummern dieser Zahlungen durchläuft und das Vorzeichen + vor der i-ten Zahlung R ij zu wählen ist, wenn diese den Kontostand erhöht, bzw. das Vorzeichen andernfalls. Anschließend muss noch bis zum Ende der Gesamtlaufzeit aufgezinst, also mit dem Faktor q j+1 q j+2... q n multipliziert werden, um den zinsesverzinsten Beitrag der Ein- und Auszahlungen von der j-ten Zinsperiode zum Endkapital zu erhalten; q k = 1+ 1 p ks k ist dabei der Aufzinsungsfaktor für die k-te Zinsperiode. Schließlich müssen wir die Aufzinsung des Anfangskapitals addieren (man könnte dies auch als eine erste Einzahlung in der ersten Zinsperiode behandeln) und erhalten für den Kapitalendstand dann folgenden Ausdruck: K t = ( n ) q k K 0 + k=1 n [( n j=1 k=j+1 ) m j ( q k i=1 1 + p jr ij ) ] (±R ij ). Diese imposante Formel ist aber zu nichts nutze. Sie ist nichts anderes als ein mathematischer Code für das oben beschriebene Aufzinsungsverfahren mit Zinsverzinsung bei diversen Ein- und Auszahlungen in den einzelnen Zinsperioden, und die Komplexität der Formel zeigt nur an, wie kompliziert eben dieser Vorgang ist. Wir betrachten ab jetzt nur noch eine spezielle Situation, nämlich gleichlange Zinsperioden mit gleichem Zinsfuß und gleichbleibende Zahlungen in gleichlangen Zeitabständen. Diskussion der Rentenrechnung bei Zinsesverzinsung: 1) Situation: Die Gesamtlaufzeit t Jahre (auch der Rentenzeitraum genannt) ist eingeteilt in n Zinsperioden gleicher Länge s = t/n, zu deren Ende Zinsen für die jeweilige Periode zum konstanten Zinsfuß p% p.a. dem Kapital (Guthaben oder Schuld) zugeschlagen werden. Ebenso erfolgt die Zahlung der Raten (auch: Renten), d.h. der Ein- oder Auszahlungen, stets in gleicher Höhe R und in gleichen Zeitabständen. Zur Vereinfachung nehmen wir weiter an, dass Ratenperioden und Zinsperioden zusammenfallen. (Andere Fälle kann man auf diese spezielle Situation zurückführen, s.u.) Dann ist nur noch zu unterscheiden, ob vorschüssige Ratenzahlung vorliegt, d.h. Zahlung zum Beginn jeder Zinsperiode, oder nachschüssige Ratenzahlung, d.h. zum Ende der Zinsperioden. Bei nachschüssiger Zahlung ist der Beitrag der j-ten Rate zum Endkapital gleich ±R q n j, da 93

2 94 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler sie für n j Zinsperioden aufgezinst wird; q = 1 + p s ist dabei der Aufzinsungsfaktor für eine Zinsperiode (wofür wir früher q s mit der Periodendauer s als Subskript geschrieben haben; zur Vereinfachung der Notation unterdrücken wir das Subskript jetzt aber). Das Endkapital erhält man nun, indem man die zinsesverzinsten Beiträge aller Ratenzahlungen aufsummiert und zum aufgezinsten Anfangskapital K 0 q n addiert, also n K t = K 0 q n ± R q n j bei nachschüssiger Ratenzahlung und j=1 n K t = K 0 q n ± R q q n j bei vorschüssiger Ratenzahlung, j=1 letzteres weil jede Rate hier für eine Zinsperiode mehr aufgezinst wird. 2) Die in den letzten Formeln auftretende Summe lässt sich mit der geometrischen Summenformel aus 1.1 berechnen, und das Resultat ist die Rentenformel bei Zinsesverzinsung mit Perioden-Aufzinsungsfaktor q : vorschüssige Ratenzahlung: K t = K 0 q n ± R q qn 1 q 1 nachschüssige Ratenzahlung: K t = K 0 q n ± R qn 1 q 1 Dabei ist wie üblich K 0 das Anfangskapital und K t das Kapital am Ende des Rentenzeitraums (nach Zuschlagen aller Ratenzahlungen und aller Zinsen und Zinseszinsen). Die Laufzeit t (Jahre) ist eingeteilt in n Zinsperioden der Dauer s = t/n (Jahre), an deren Beginn (vorschüssige Ratenzahlung) bzw. Ende (nachschüssige Ratenzahlung) jeweils eine Rate der Höhe R gezahlt wird. Das in den Formeln zu wählende Vorzeichen von R ist wie immer als + zu wählen, wenn die Ratenzahlung eine Erhöhung des Kontostands bewirkt, und als andernfalls. Bei Wahl des Vorzeichens darf die Formel nur angewendet werden, solange der Kapitalstand nicht negativ ist; denn bei Übergang von einem Guthaben zu einer Schuld (oder umgekehrt) ändert sich in aller Regel der Zinsfuß. In jeder Zinsperiode wird einfache Verzinsung zu demselben Zinsfuß p% angenommen, und q = 1 + p s ist der Perioden-anteilige Aufzinsungsfaktor zu diesem Zinsfuß. (Wenn die Zins- und Ratenperioden 1 Jahr dauern, so ist q = p ; wenn nicht, so muss man natürlich den Perioden-anteiligen Aufzinsungsfaktor q s = ps in den obigen Rentenformeln nehmen, auch wenn wir dort der einfachen Notation halber nur q geschrieben haben!) Übrigens, die vorschüssige Rentenformel oben entsteht aus der nachschüssigen, indem man dort einfach R durch R q ersetzt. Das ist auch unmittelbar einsichtig, weil die vorschüssig gezahlten Raten R jeweils für eine Zinsperiode mehr aufgezinst werden, was denselben Effekt hat wie nachschüssig gezahlte Raten der Höhe R q. Man braucht sich daher nur die nachschüssige Rentenformel zu merken. Die Faktoren q qn 1 q 1 bzw. qn 1, die nach Multiplikation mit ±R den Anteil der gelei- q 1 steten Raten und der darauf entfallenen (Zinses-)Zinsen am Endkapital angeben, heißen vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwertfaktor für den Rentenzeitraum, der aus n Zins- und Ratenperioden mit (Perioden-anteiligem!) Aufzinsungsfaktor q besteht. Mit dieser Terminologie kann man die obigen Rentenformeln bei Zinsverzinsung im Fall des Anfangskapitals K 0 = 0 so formulieren: Der Ertrag einer zinsverzinsten Rente am Ende des Rentenzeitraums ergibt sich durch Multiplikation der regelmäßig geleisteten Rate mit dem Rentenendwertfaktor.

3 Kap. 2, Abschnitt ) Wie im Falle der Rentenformel bei einfacher Verzinsung lässt sich auch die jetzige Rentenformel mit Zinsverzinsung auf vier verschiedene Arten von Rentenvorgängen anwenden: Guthabenaufbau durch ratenweises Ansparen (Vorzeichen +, meist vorschüssige Ratenzahlung); die Rentenformel heißt dann auch Sparkassenformel ; Guthabenabbau durch Auszahlung einer Rente aus einem Guthaben (mit Vorzeichen ); hier liegt ein Rentenvorgang im engeren Sinne vor; Schuldenaufbau durch ratenweise Auszahlung aus einem Darlehenskonto (Vorzeichen + ); Schuldenabbau durch Annuitätentilgung (Vorzeichen, meist nachschüssig). Wir wiederholen, was Annuitätentilgung bedeutet: Im Unterschied zu einem Ratendarlehen, bei dem die Tilgungsraten gleich bleiben und die Schuldzinsen separat abgerechnet werden, hat man bei einem Annuitätendarlehen Raten gleich bleibender Höhe, die sog. Annuitäten, für Tilgung und Zinsen zu zahlen. Dabei werden von der Rate zunächst die angefallenen Schuldzinsen beglichen und der übersteigende Betrag wird dann zur Tilgung verwendet, so dass die Tilgungszahlungen von Periode zu Periode zunehmen und die Belastung des Schuldners konstant bleibt. Man kann diesen Vorgang auch so verstehen, dass die am Periodenende angefallenen Schuldzinsen der Schuld erhöhend zugeschlagen werden und dann die gesamte Annuität von der Schuld abgezogen wird. Im Unterschied zum Ratendarlehen, bei dem einfache Verzinsung vorliegt, handelt sich also bei einem Annuitätendarlehen um einen Rentenvorgang, bei dem die Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden, und deshalb ist hierfür die Rentenformel bei Zinsverzinsung zuständig (natürlich mit dem Vorzeichen, weil die Ratenzahlungen ja den Schuldenstand mindern, und meist mit nachschüssiger Ratenzahlung, weil die erste Rate normalerweise nicht gleich bei Auszahlung des Darlehens fällig ist). Auch bei den anderen oben aufgeführten Vorgängen muss man vor Anwendung einer Rentenformel natürlich immer zuerst überlegen, ob einfache Verzinsung oder Zinsverzinsung gegeben ist. 4) Bisher haben wir stets angenommen, dass Zinsperioden und Ratenperioden zusammenfallen. Das ist in der Praxis natürlich nicht immer der Fall; man kann z.b. monatliche oder jährliche Ratenzahlungen haben, aber Quartale als Zinsperioden. Betrachten wir zunächst unterzinsperiodische Ratenzahlung: Dabei ist jede Zinsperiode in m Ratenperioden der Dauer r eingeteilt, so dass s = m r die Dauer der Zinsperiode ist (alle Zeitangaben in Jahren!) Häufig erfolgt jährlicher Zinszuschlag (s = 1), und man hat Monate (r = 1, m = 12) oder Quartale (r = 1, m = 4) als Ratenperioden; aber 12 4 auch Quartale (s = 1 1 ) als Zinsperioden und Monate (r =, m = 3) als Ratenperioden treten auf. In solchen Fällen berechnet man einfach die Zinsperioden-konforme 4 12 nachschüssige Ersatzrate R ner, deren einmalige Zahlung zum Ende der Ratenperiode denselben Effekt hat wie die mehrfache Zahlung der Rate R in der Zinsperiode, und rechnet dann mit dieser Ersatzrate in der nachschüssigen Rentenformel mit Zins- und Ratenperioden gleicher Länge s. Die Ersatzrate bestimmt sich mit der Rentenformel bei einfacher Verzinsung aus 2.3 (weil innerhalb einer Zinsperiode ja kein Zinszuschlag erfolgt) zu ( R ner = R m + m ( R ner = R m + m 1 2 p s ) ) p s bei vorschüssiger Ratenzahlung, bei nachschüssiger Ratenzahlung.

4 96 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (Für die Ersatzrate haben wir hier angenommen, dass sie nachschüssig gezahlt wird. Man kann natürlich auch mit der Zinsperioden-konformen vorschüssigen Ersatzrate R ver = (1+ p s ) 1 R ner in der vorschüssigen Rentenformel arbeiten. Es wäre aber ein grober Fehler, z.b. die vorschüssige Ersatzrate zu berechnen und diese dann dann in der nachschüssigen Rentenformel zu verwenden!) Manchmal ergeben die Ratenperioden zusammen keine ganze Anzahl von Zinsperioden. Soweit einzelne Ratenperioden zu Beginn oder zum Ende des Rentenzeitraums nicht zu ganzen Zinsperioden zusammengefasst werden können, ist dafür die Rentenformel bei einfacher Verzinsung anzuwenden, um den Kapitalstand am Beginn der ersten vollen Zinsperiode oder am Ende der nicht mehr voll erfassten Zinsperiode zu ermitteln. Der Fall überzinsperiodischer Ratenzahlungen, bei der jede Ratenperiode in m Zinsperioden der Dauer s mit einfacher Verzinsung zum Zinsfuß p% p.a. eingeteilt ist (also die Ratenzahlungen in Abständen r = m s erfolgen, etwa r = 1 und m = 4 bei jährlicher Ratenzahlung und quartalsweiser Zinsausschüttung), hat für die Praxis geringere Bedeutung. Dieser Fall ist einfach dadurch zu erledigen, dass man die Ratenperioden als Zinsperioden der Dauer r ansieht und in der Rentenformel den Aufzinsungsfaktor q für Zinsverzinsung zum Zinsfuß p% über m Perioden einfacher Verzinsung der Länge s verwendet, also ( q = 1 + p s ) m = 1 + p r. Dabei heißt p % der Ratenperioden-konforme Jahreszinsfuß zu p% ; der konforme Zinsfuß p % bewirkt dieselbe Aufzinsung in einer Ratenperiode der Dauer r wie m-fache Aufzinsung zum Zinsfuß p% in Perioden der Dauer s = r/m. Die Anwendungen der Rentenformel erfolgen immer in der Weise, dass aus dem Kontext die Werte aller auftretenden Variablen K t, K 0, R, q, n entnommen werden können bis auf einen unbekannten Wert, der gesucht ist und durch Auflösung der Rentenformel nach der entsprechenden Variablen gefunden werden kann. Natürlich muss man auch überlegen, welche Rentenformel anzuwenden ist und mit welcher Vorzeichenwahl; auch das ergibt sich aus dem Kontext. Die Auflösung der Rentenformel nach K t, K 0 oder R geht mit den Grundrechenarten, die nach n mit Logarithmenrechnung oder auch mit Probieren (einen Wert für n schätzen und dann stufenweise erhöhen oder erniedrigen, bis es passt ). Die Auflösung nach dem Aufzinsungsfaktor q und damit nach dem Zinsfuß p% ist aber nicht durch eine explizite Formel möglich. Auch hier hilft ein Probierverfahren: Man schätzt einen Wert für p% bzw. q und erhöht oder erniedrigt diesen dann schrittweise erst um 1, 10 dann um 1,..., bis man einen Wert für q hat, für den die Rentenformel bis auf einen akzeptabel kleinen Fehler stimmt. BEISPIELE (Anwendungen der Rentenformel bei Zinsesverzinsung): 1) (Guthabenaufbau) Zu Monatsbeginn werden jeweils e auf ein Konto gezahlt, das zu 6% verzinst wird mit am Quartalsende zugeschlagenen Zinsen. Was ist der Kapitalstand nach 30 Monaten bei erster Einzahlung (a) am bzw. (b) am ? Lösung: Zunächst ist die nachschüssige Quartals-konforme Ersatzrate zu berechnen, R ner = R (m + m+1 p s ), hier mit den Werten s = 1, m = 3, R = und p = 6, also 2 4 R ner = ( ) = 303 e. 2 4

5 Kap. 2, Abschnitt (a) Man geht mit R ner statt R und mit K 0 = 0, n = 10 (Quartale), p = 6, s = 1, 4 also q = 1 + p s = 1.015, in die nachschüssige Rentenformel (weil wir die nachschüssige Ersatzrate genommen haben dass die Raten R vorschüssig gezahlt werden, ist nun irrelevant!) mit + und erhält K 30/12 = = ( e ). (b) Hier muss man zunächst zwei Ratenzahlungen bis zum Quartalsende einfach verzinsen, K 2/12 = ( ) = ( e ), anschließend 9 Quartale mit diesem Anfangskapital und der Rentenformel wie in (a), das gibt K 29/12 = = ( e ), schließlich noch ein Monat einfache Verzinsung dieses Kapitals zuzüglich der letzten Rate K 30/12 = (K 29/12 + ) = ( e ). Dass der Endbetrag bei (b) geringfügig höher ausfällt, mag verwundern. Das liegt daran, dass die Verzinsung der Zinsen hier schon nach 2 Monaten beginnt, der Zinseszinseffekt also früher einsetzt. Bei erster Ratenzahlung am ergibt sich nach 30 Monaten sogar ein Endstand von e. 2) (Rentenberechnung) Aus einem mit 8% p.a. verzinsten Guthaben von e soll eine nachschüssige jährliche Rente ausgezahlt werden. (a) Was ist die größtmögliche Rate R, für die das Kapital nie aufgebraucht wird, die also als ewige Rente gezahlt werden kann? (b) Wie lange kann jährlich das Doppelte 2R gezahlt werden? (c) Was ist der Kapitalstand nach derselben Zeit, wenn jährlich nur 1 2 R abgeht? (d) Zum Inflationsausgleich soll die Rente jährlich um 3% erhöht werden. Bei welcher größtmöglichen Rate R 1 geht das ewig? Lösung: (a) Offenbar muss die Rate R gerade gleich dem jährlichen Zinsgewinn sein, also R = p K 0 = = ( e ). (Man kann sich anhand der Rentenformel K n = K 0 q n R qn 1 davon überzeugen, dass q 1 diese Argumentation richtig ist: Die Formel lässt sich nämlich umschreiben in der Form [ K n = qn q 1 (q 1)K 0 R + 1 ] q n R, und wegen q > 1 wird der letzte Summand mit wachsendem n beliebig klein; daher ist K n p nur dann für alle n positiv, wenn (q 1)K 0 R ist, d.h. K 0 R, da ja hier q=1+ p.) (b) Sicher kann 6 Jahre gezahlt werden, da ja 6 2R = = noch kleiner als ist. Weiter kommen wir nun mit dem Probierverfahren für die Laufzeitberechnung, d.h. wir berechnen einfach für n = 7, 8,... den Kapitalendstand K n = n n 1, bis die Rente nicht mehr gezahlt werden kann. Wir finden K = , K 8 = , K 9 = , d.h. K 8 reicht mit Jahreszins noch für eine Ratenzahlung von e zum Ende des 9 ten Jahres, und im folgenden 10 ten Jahr kann nur noch eine Restrate von = ( e ) ausgezahlt werden.

6 98 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (c) Nun ist gemäß Rentenformel mit n = 9, Rate 1 R = und Vorzeichen : 2 K 9 = = ( e ). (d) Hier ist die Rentenformel nicht anwendbar, da die Renten nicht konstant bleiben, sondern R n+1 = (1 + 3 )R n =... = (1 + 3 )n R 1 gilt für die am Ende des (n+1)-ten Jahres ausgezahlte Rate. Für die Kapitalstände hat man dann entsprechend K n+1 = K n 1.08 R n+1. Die größtmögliche Rate R 1 ergibt sich aus der Bedingung, dass K 1 um 3% größer als K 0 sein muss, damit auch die Rente um diesen Prozentsatz erhöht werden kann, ohne das Verhältnis von Rentenhöhe zum Kapitalstand zu ändern. Die Bedingung lautet hier konkret K 1 = K R 1 = K und liefert R 1 = K 0 ( ) = ( e ). In der Tat haben wir dann K 2 = K R 2 = K R = K K = K und so fortfahrend K n+1 = K n 1.03 für alle n. (Wer das nicht schlüssig genug findet, muss sich eine allgemeine Formel für K n überlegen: Man findet mit der geometrischen Summenformel K n = K n R 1 (1.08 n n n n 1 ) = K n R n 1.03 n Das kann man schreiben K n = 1.08n 0.05 [ ( ) K R nr1 ], 1.08 und wie bei (a) erkennt man, dass R K 0 sein muss, damit K n für alle n positiv bleibt. Würde man übrigens die Raten um mehr als 8% jährlich erhöhen, so könnte mit einem Jahreszinsfuß von 8% bei keiner noch so kleinen Anfangsrente und keinem noch so großen Anfangskapital ewig gezahlt werden.) 3) Ein Annuitätendarlehen wird in 8 Raten von je e zu Quartalsbeginn ausgezahlt. Auf die noch nicht ausgezahlten Teile werden 2% Bereitstellungszinsen erhoben, die aufgelaufene Schuld ist mit 7% zu verzinsen, wobei das Darlehenskonto am Ende eines jeden Quartals mit den angefallenen Zinsen belastet wird. Ab Beginn des zweiten Jahres nach der ersten Auszahlung wird die Schuld mit Annuitäten von e pro Quartal abgezahlt. (a) Wie hoch ist die Schuld inklusive Zinsen nach 2 Jahren? (b) Nach wievielen Quartalen ist sie zurückgezahlt? Was ist die Gesamtzahlung? (c) Welcher Betrag wäre bei vorzeitiger Ablösung nach 40 Quartalen zu zahlen, wenn die Marktzinsen inzwischen auf 6% für Einlagen gestiegen sind? Lösung: (a) Ohne Bereitstellungszinsen ist die Schuld gemäß Rentenformel (vorschüssig, mit + ) nach 2 Jahren ( ) ( ) = ( e ). 4 Die Bereitstellungszinsen für das i-te Quartal betragen 2 (8 i) , weil in diesem 4 Quartal noch (8 i) e bereit stehen, und die am Quartalsende belasteten Quartalszinsen sind mit 7% für 8 i Quartale aufzuzinsen, was ( )8 i 2 (8 i) ergibt. Diese Beträge sind nun für i = zu berechnen und aufzusummieren. Das Ergebnis ist e für die (zinsesverzinsten) Bereitstellungszinsen und damit insgesamt e für die in 2 Jahren aufgelaufene Schuld.

7 Kap. 2, Abschnitt (Statt die 8 Summanden bei der Berechnung der zinsesverzinsten Bereitstellungszinsen einzeln auszurechnen und zu addieren, kann man auch eine allgemeine Summenformel für die dabei auftretende Summe herleiten, nämlich m j q j = q mqm+1 (m + 1)q m + 1, (1 q) 2 j=1 wenn q 1; aber darauf wollen wir nicht weiter eingehen. Man könnte übrigens auf den Gedanken kommen, dass es äquivalent ist, in der zweijährigen Auszahlungsphase das gesamte Darlehen mit 2% zu verzinsen und die ausgezahlten Beträge dafür nur mit 5%. Diese alternative Berechnung wäre jedoch nur bei einfacher Verzinsung äquivalent, bei Zinsesverzinsung würde sie in doppelter Hinsicht zu niedrige Zinsen liefern: Erstens würden die die Bereitstellungszinsen nur mit 2% weiterverzinst werden statt mit 7%; zweitens würden die ausgezahlten Darlehensbeträge nur mit 5% und noch einmal mit 2% verzinst, was aber einen geringeren Zinseszinseffekt bewirkt als die Verzinsung mit 7% ; denn für j 2 ist der Zinsfaktor 1.07 j 1 für j Zinsperioden zum Zinsfuß 7% größer als die Summe der entsprechenden Zinsfaktoren 1.05 j 1 und 1.02 j 1 zu 5% und 2%.) (b) Die Rentenformel (hier mit und vorschüssig, da die Annuität zu Quartalsbeginn gezahlt wird) gibt für die Restschuld nach n Quartalen ab Rückzahlungsbeginn: K n/4 = n n Eine Überschlagsrechnung zeigt, dass mehr als 40 Quartale lang abzuzahlen ist. Probiere daher n = 50, erhalte K 50/4 = ; probiere danach n = 53 (da n = 54 sicher zu groß wäre), erhalte K 53/4 = Da diese Restschuld kleiner als die Annuität ist, endet die Abzahlung mit einer Restannuität von e am Beginn des 54-ten Quartals ab Zahlung der ersten Annuität. Die Summe aller geleisteten Zahlungen ist damit = ( e ). (c) Dies gehört in die schon in 2.3 erwähnte Kursrechnung. Die noch fälligen Annuitäten sind auf den Beginn des 41-ten Quartals abzuzinsen zum Marktzinsfuß für Einlagen, der hier mit 6% angenommen wird. Da quartalsweise verzinst wird, berechnen wir zunächst den Quartals bezogenen Aufzinsungsfaktor q zu q = ; er ergibt sich aus (q ) 4 = q zu q = Die Abzinsung der für das 41-te bis 53-te Quartal noch fälligen 13 vollen Annuitäten ergibt 12 i=0 (q ) i = (1/q ) /q = q (q ) 12 q = ( e ), die Abzinsung der Restannuität nochmals (q ) = ( e ), der Ablösebetrag ist also e (zuzüglich der Gebühren für die vorzeitige Ablösung). Es ist auch denkbar, dass die Abzinsung der Quartalsannuitäten bis zum zum vorangehenden Jahreswechsel jeweils mit einfacher Verzinsung zu 6% vorgenommen wird. Als Ablösebetrag ergibt sich, wenn die erste Annuität zu einem Jahresbeginn fällig war, dann e. Dieser Betrag ist geringfügig kleiner, weil die Verzinsung für 1,2 bzw. 3 Quartale mit dem Laufzeit-anteiligen einfachen Zinsfuß 16%, 26% bzw. 3 6% etwas höhere Zinsen bringt und beim Abzinsen daher eine etwas höhere Zinsersparnis als die jeweilige Zinsverzinsung mit dem quartalskonformen Zinsfuß, d.h. mit Aufzinsungsfaktoren q, (q ) 2 bzw. (q ) 3. (Nur bei der Abzinsung für 4 Quartale besteht kein Unterschied.) Allerdings wird sich der Darlehensgeber mit dieser Berechnungsweise kaum einverstanden erklären..

8 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 4) Für eine Hypothek in Höhe von e (Auszahlung) für 10 Jahre gibt es zwei Angebote von Annuitätendarlehen: (a) % Auszahlung, 7.5% Zinsen, 2% anfängliche Tilgung (Jahres-bezogen), Annuitäten zum Quartalsende zahlbar, Zinsen zum Quartalsende fällig; (b) 98% Auszahlung (also 2% Disagio), 7.25% Zinsen, 2% anfängliche Tilgung, Annuitäten und Zinsen fällig am Jahresende. Gesucht ist die Restschuld nach 10 Jahren und die Gesamtzahlung für diesen Zeitraum. (c) Was ändert sich, wenn die bei (a) unterjährlich geleisteten Tilgungsbeiträge (wie oft in der Vergangenheit) erst zum Jahresende wertgestellt werden? Lösung: (a) Die Jahresannuität ist 7.5% + 2% der Schuldsumme, also ist die Quartalsannuität A 1/4 = = ( e ). Die Rentenformel (nachschüssig mit ) 4 mit K 0 = , R = A 1/4, n = 40 (Quartale) p = 7.5 und Zinsperiodendauer s = 1, 4 also Perioden-Aufzinsungsfaktor q = 1 + = , liefert p 4 K 10 = q q40 1 q 1 = ( e ) als Restschuld nach 10 Jahren. Die Summe aller geleisteten Annuitäten ist 40 A 1/4 = ( e ). (b) Zunächst ist die Nominalschuld K 0 zu berechnen, die bei 2% Damnum zu K 0 = Auszahlung führt. Aus K 0 = (1 2 )K 0 ergibt sich K 0 = 1 K = ( e ). Die Jahresannuität A 1 beträgt jetzt 7.25% + 2% der Nominalschuld K 0, das ergibt A 1 = ( e ). Die Restschuld nach 10 Jahren gemäß Rentenformel ist hier K 10 = die gesamte Annuitätenzahlung 10 A 1 = ( e ). = ( e ), (c) Nun werden im n-ten Jahr von den vier Quartalsannuitäten insgesamt die Zinsen p 4 K n 1 = K 4 n 1 p auf die zu Jahresbeginn bestehende Restschuld K n 1 einbehalten, der übersteigende Betrag wird aber erst zum Jahresende wertgestellt. Die Restschuld K n wird also so berechnet, als würden alle Annuitäten erst am Jahresende geleistet und die Schuld K n 1 für das Jahr einfach zu p% verzinst. Die Rentenformel mit K 0 = , R = 4 A 1/4, n = 10, und q = gibt daher K 10 = = ( e ). Dies übersteigt bei gleicher Gesamtzahlung die Restschuld aus (a) um e, einen Betrag, den der Schuldner wegen der unkorrekten Wertstellung zusätzlich bezahlen muss. Die entscheidende Frage zu den Hypothekenangeboten in Beispiel 4) oben ist natürlich: Welches der Angebote (a) und (b) ist günstiger? Auf den ersten Blick scheint (a) vorteilhafter zu sein, da die Restschuld um e niedriger ist als in (b), während die gesamte Annuitätenleistung nur um e höher ist als in (b). (In jedem Fall ist (c) ungünstiger als (a) und (b). ) Der erste Blick täuscht aber, weil nicht berücksichtigt wird, dass die Annuitätenzahlungen in (a) früher anfallen (am Quartalsende) als in (b) (am Jahresende). Würde der Schuldner sich für (b) entscheiden und zu jedem Quartalsende die bei (a) fällige Annuität bis zum Jahresende anlegen, so schnitte er schon bei einem Zinsfuß

9 Kap. 2, Abschnitt von 5% für Einlagen besser ab als bei Angebot (a). Dies kann man mit der schon mehrfach erwähnten Kursrechnung genauer analysieren, es würde aber hier zu weit führen. In jedem Fall sieht man, dass die Entscheidung für das Angebot mit der geringeren Gesamtzahlung (Restschuld plus Summe aller Annuitäten) nicht unbedingt ökonomisch richtig ist. Das haben wir ja auch schon bei der Diskussion von Ratendarlehen in 2.3 gesehen. Eine andere Möglichkeit, verschiedene Hypothekenkonditionen vergleichbar zu machen, besteht in der Angabe eines Effektivzinses. Wir besprechen dies genauer in der folgenden DISKUSSION des Effektivzinses für Annuitätendarlehen: 1) Wie bereits mehrfach erläutert, ist ein Effektivzinssatz für ein zu beurteilendes Verzinsungsverfahren grundsätzlich derjenige Zinsfuß, der in einem als Standardverfahren angesehenen Vergleichsverfahren dasselbe Ergebnis liefert, wie das Verfahren, für das ein Effektivzinssatz ausgewiesen werden soll. Als Standardverfahren für ein Annuitätendarlehen nehmen wir die Abzahlung der ohne Disagio und ohne Gebühren ausgezahlten Schuld samt Schuldzinsen durch gleichbleibende jährliche Annuitäten, die äquivalent sind zu den (evtl. unterjährlich zu leistenden) Annuitäten in dem zu beurteilenden Darlehensvertrag. Als Ergebnis nehmen wir den Schuldenstand nach einer gegebenen Anzahl von Jahren. Damit ist der Effektivzins für Annuitätendarlehen definiert und berechenbar. 2) Die Konditionen für eine Annuitätenschuld sind festgelegt durch die Nominalschuld S nom, den nominellen Zinssatz p%, das Disagio d% (Abgeld, Damnum), das Agio a% (Tilgungsaufgeld), die anfängliche Tilgung b%, die Laufzeit n (Jahre), und die Anzahl der Ratenperioden pro Jahr m (meist m = 1, 4 oder 12). Die Bedeutung des Disagio ist, dass von der Nominalschuld nur ( d)% ausgezahlt werden, man spricht daher auch von einem Darlehen mit ( d)% Auszahlung. Der Schuldner kann also nur über den Betrag S = (1 d )S nom verfügen. Die anfängliche Tilgung legt zusammen mit dem Nominalzinsfuß die Jahresannuität A 1 = p+b S nom fest, und bei m Ratenperioden pro Jahr ist dann A 1/m = p+b S m nom die periodenanteilige Annuität. Statt der anfänglichen Tilgung b% wird oft auch direkt die Annuität A 1 bzw. A 1/m angegeben. Das Agio ist eine Gebühr, die am Ende der i-ten Ratenperiode in Höhe von a% der wertgestellten Tilgungszahlung T i erhoben wird. Dies bedeutet (1+ a )T i = A 1/m Z i, wo Z i = p S i 1 die am Ende der i-ten Periode fälligen Zinsen auf die zu Anfang dieser Periode bestehende Restschuld 1 S i 1 sind (mit S 0 = S nom ). Es ist dann also T i = A 1+a/ 1/m p/ S 1+a/ i 1, und dies läuft darauf hinaus, dass die Bank nur die Agio-bereinigte Annuität Ã1/m 1 := A 1+a/ 1/m verbucht (obwohl der Schuldner die größere Annuität A 1/m zahlt) und die Schuld mit dem p Agio-bereinigten Zinsfuß p % = % verzinst (statt mit dem größeren Nominalzinsfuß p% ; der Effekt dieser Minderung des Schuldzinssatzes ist aber natürlich kleiner als 1+a/ der kostensteigernde Effekt der Agio-Bereinigung der Annuität; wird kein Agio erhoben, so ist im folgenden einfach Ã1/m = A 1/m, p = p und q = q = 1 + p m ). Nun kann man die Rentenformel (nachschüssig, Vorzeichen ) anwenden mit K 0 = S 0 = S nom, mit der Agio-bereinigten Annuität R = Ã1/m als Rate, mit dem Perioden- Aufzinsungsfaktor q = 1 + ep zum Agio-bereinigten Zinsfuß, und mit der Anzahl von m m n Ratenperioden, was einer Laufzeit von n Jahren entspricht. Die Formel gibt für die Restschuld nach n Jahren das Ergebnis S n = S nom q m n Ã1/m q m n 1 q 1.

10 102 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 3) Auf der anderen Seite betrachten wir jetzt das Standardverfahren mit einer Schuld S, die gleich der Auszahlung im obigen Verfahren ist, und mit einem noch unbekannten Zinsfuß p % und zugehörigem Jahres-bezogenen Aufzinsungsfaktor q = 1 + p. Die zu A 1/m äquivalente Jahresannuität A 1 im Verfahren 2) ergibt sich durch Aufzinsen zu p% für m 1, m 2,..., 1 und 0 Perioden, also A 1 = A 1/m (q m 1 +q m 2 q +...+q+1) = A m 1 1/m q 1 mit q := 1 + p. Mit dieser Annuität m A 1 als Rate, mit Anfangsschuldenstand S und mit dem Aufzinsungsfaktor q ergibt die Rentenformel nun als Restschuld nach n Jahren S n = S q n A 1 qn 1 q 1 (A 1 = A 1/m q m 1 q 1 ). 4) Gleichsetzen der Restschuld S n bei dem Standardverfahren 3) und der Restschuld S n bei dem Annuitätendarlehen 2) liefert nun die gesuchte Gleichung für den unbekannten Zinsfuß p bzw. den zugehörigen Aufzinsungsfaktor q = p. Sie lautet: Effektivzinsgleichung bei Annuitätendarlehen: Sq n A q n 1 1 q 1 = S nom q m n q m n 1 Ã1/m q 1 In dieser Gleichung sind alle Größen aus den Konditionen des Annuitätendarlehens bekannt außer q = p. Nach Division mit S hat sie die Form q n α qn 1 q 1 = β mit explizit bekannten Zahlen α und β. Die Lösung q heißt der effektive Aufzinsungsfaktor und der zugehörige Zinsfuß p der Effektivzinssatz des Annuitätendarlehens zu den Konditionen in 2); wir bezeichnen diese Lösung daher auch mit q eff bzw. p eff. Drücken wir alle bekannten Größen durch die Parameter des Annuitätendarlehens 2) aus, so lautet die Effektivzinsgleichung explizit: ( ) 1 d q n p+b [ (1+ ) ] p m 1 q n 1 p m q 1 = ( 1+ p (+a) m ) [ m n p+b (1+ ) ] p m n 1 p. (+a) m 5) Die Effektivzinsgleichung kann man im Allgemeinen nicht nach der gesuchten Größe q auflösen. Es ist aber klar, dass es genau eine Lösung q > 1 gibt; denn wenn man den Faktor q % erhöht, so erhöht sich natürlich auch die Restschuld Sn im Standardverfahren (beliebig viel, wenn q groß genug gewählt wird), so dass es genau einen Wert von q gibt, für den Sn gleich der Restschuld S n im zu bewertenden Annuitätendarlehen 2) ist. Ein Probierverfahren zur Bestimmung des Effektivzinssatzes geht so: Man beginnt mit einem vernünftigen Schätzwert für p und q = p und erhöht bzw. erniedrigt diesen Schätzwert, wenn dafür die linke Seite Sn der Effektivzinsgleichung kleiner bzw. größer ist als die (bereits berechnete) rechte Seite S n. Zweckmäßigerweise nimmt man die Erhöhung bzw. Erniedrigung im Probierverfahren immer an der letzten noch unsicheren Dezimalstelle bei p vor, bis sie bestimmt ist. Damit erhält man letztlich p bis auf eine gewünschte Zahl von Dezimalstellen genau. (Natürlich gibt es systematische mathematische Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Gleichungen, die wie hier die Effektivzinsgleichung nicht durch eine explizite Formel nach der Unbekannten auflösbar sind. Aber das Probierverfahren funktioniert gar nicht schlecht und lässt sich auch leicht programmieren, also sparen wir uns hier weitere Theorie.)

11 Kap. 2, Abschnitt BEISPIEL (zum Effektivzinssatz bei Annuitätendarlehen): Wir betrachten nochmals die Hypotheken aus Nr. 4) der letzten Beispielserie. (a) Hier haben wir p = 7.5, b = 2, d = 0, a = 0, m = 4, q = q = , n = 10, und die Effektivzinsgleichung lautet q q10 1 q 1 = ( q = p ). Da der Effektivzinssatz sicher größer als der Nominalzinsfuß ist, also p > 7.5, wird man hier zuerst die Werte 7.6, 7.7, probieren. Man findet, dass 7.8 schon deutlich zu groß ist, und probiert dann z.b. 7.72, was sich auch noch als zu groß erweist; also probiert man den Wert für p und erhöht dann schrittweise die dritte Dezimalstelle nach dem Dezimalpunkt. So fortfahrend findet man für die Lösung auf 4 Dezimalen genau p eff % = %. (b) Nun ist p = 7.25, b = 2, d = 2, a = 0, m = 1, q = q = , n = 10, und die Effektivzinsgleichung lautet q q10 1 q 1 = ( q = p ). Das Probierverfahren (beginnend mit 7.3, 7.4, ) liefert hier p eff % = %. (c) Hier sind p, b, d, a, n, q = q wie in (a), jedoch ist auf der linken Seite der Effektivzinsgleichung m = 4 zu nehmen (da 4 Zahlungen des Schuldners pro Jahr in eine äquivalente Jahresannuität umzurechnen sind), auf der rechten Seite aber m = 1 (weil die Bank nur einmal jährlich Tilgungsraten gutschreibt). Das gibt nun als Effektivzinsgleichung q q10 1 q 1 = ( q = p ), und mit dem Probierverfahren findet man p eff % = %. Gegen die hier verwendete Definition des Effektivzinssatzes lässt sich aus ökonomischer Sicht Manches einwenden. Z.B. ist die Umrechnung der Quartalsannuitäten in eine äquivalente Jahresannuität durch Aufzinsen mit dem Nominalzinssatz fragwürdig, und der Effektivzinssatz übezeichnet den Zinsnachteil, der durch unterjährliche Annuitätenzahlungen bewirkt wird. Man müsste eigentlich mit dem marktüblichen Habenzisfuß aufzinsen, aber das würde den Effektivzinssatz von diesem Marktzinsfuß abhängig machen, was unerwünscht ist. Andere Definitionen des Effektivzinssatzes als die obige sind jedenfalls denkbar, und tatsächlich kommt es, wie schon in 2.3 gesagt, auf die genaue (z.b. vom Gesetzgeber bestimmte) Definition gar nicht sehr an, solang nur alle Darlehensanbieter den ausgewiesenen Effektivzinssatz mit derselben Formel berechnen, so dass Vergleichbarkeit gewährleistet ist.

12 104 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dabei sollte sich der Darlehensnehmer stets fragen, ob der Effektivzinssatz tatsächlich den für ihn relevanten Aspekt beim Vergleich verschiedener Darlehensangebote beschreibt. Der niedrigere Effektivzins in (b) deutet z.b. darauf hin, dass diese Hypothek unter gewissem Aspekt günstiger ist als (a); aber wir haben früher gesehen, dass das Angebot (a) bei geringfügig höherer Annuitätengesamtleistung eine viel niedrigere Restschuld nach 10 Jahren gibt als (b)! Offenbar sind die Modalitäten bei (a) und (b) zu verschieden, um eine Entscheidung allein mit dem Effektivzins zu begründen. Der Effektivzinssatz beschreibt eben nur einen Aspekt, unter dem man Darlehenskonditionen vergleichen kann, und dieser Aspekt ist, genau genommen, die zur Definition verwendete Effektivzinsgleichung bzw. der zu ihrer Herleitung verwendete Vergleich mit dem Standardverfahren. Eine ökonomisch begründete Entscheidung wird auch durch andere, mit dem Effektivzins gar nicht erfasste, ökonomische Faktoren beeinflußt, z.b. durch die steuerliche Berücksichtigung von gezahlten Zinsen, Disagio und Gebühren. Wir wiederholen dazu zum Schluss dieses Kapitels, das in die Finanzmathematik eingeführt hat, den bereits betonten Grundsatz: Der Effektivzinssatz für Angebote von Darlehen / Kapitalanlagen ermöglicht wie jede finanzmathematisch berechnete Bewertungszahl für ökonomische Vorgänge nur die Beurteilung unter einem einzigen Gesichtspunkt und ist daher nicht als alleinige Grundlage einer Entscheidung zwischen alternativen Möglichkeiten geeignet. Das gilt in noch stärkerem Maße für die Renditeprozentsätze und Effektivzinssätze, die mit den finanzmathematischen Verfahren der Kurs- und Investitonsrechnung für Rentenpapiere, Anleihen oder Geldanlagen berechnet werden, wobei alle Zahlungen auf einen gemeinsamen Bezugszeitpunkt auf- bzw. abgezinst werden und daher nicht nur nominelle Zinsfüße, sondern auch die marktüblichen Zinsfüße für Einlagen bzw. Kredite eingehen. Solche Finanzvorgänge können noch viel komplexer sein als die oben diskutierten Annuitätendarlehen, und entsprechend schwieriger und unsicherer ist ihre ökonomische Bewertung. In jedem Falle gilt: Basis einer ökonomischen Entscheidung muss neben einer kritischen Würdigung von vorliegenden Bewertungszahlen, wie z.b Effektivzinssatz, Zuzahlung oder Rendite, eine Gesamtbeurteilung sein, die alle relevanten allgemeinen Faktoren und die spezifischen ökonomischen Gegebenheiten des Einzelfalls berücksichtigt.

13 Kapitel 3: Lineare Algebra Funktionen, mit denen Wirtschaftsvorgänge modelliert werden, hängen im Allgemeinen von von vielen Variablen oder Parametern ab. Ökonomische Zusammenhänge bzw. Restriktionen bzw. Zielvorstellungen werden daher meistens beschrieben durch Gleichungen bzw. Ungleichungen bzw. Optimierungsaufgaben für Funktionen f(x 1,..., x n ) von mehreren reellen Veränderlichen x 1,..., x n. In der Linearen Algebra befassen wir uns nur mit den (abgesehen von Konstanten) einfachsten Funktionen von mehreren Veränderlichen, den sog. linearen Funktionen. Diese haben die Form l(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n mit gegebenen reellen Zahlen a 1, a 2,..., a n, den Koeffizienten der linearen Funktion. Genauer nennt man Funktionen dieser Form homogen lineare Funktion, wobei die Homogenität die Eigenschaft bezeichnet, dass man einen gemeinsamen Faktor r R aller Argumente x j herausziehen kann, l(rx 1, rx 2,..., rx n ) = r l(x 1, x 2,..., x n ). Auch Funktionen der allgemeineren Form f(x 1,..., x n ) = a 1 x a n x n + b, die sich von einer homogen linearen Funktion nur durch eine Konstante b R unterscheiden, werden als lineare Funktionen bezeichnet oder als affin lineare Funktion, wenn man hervorheben will, dass die allgemeinere Form mit einer nicht unbedingt verschwindenden Konstanten b R zugelassen ist. Es wird oft gesagt, lineare Funktionen seien solche, in denen alle Variablen nur in der ersten Potenz auftreten, aber das ist nicht korrekt: Auch bei der Funktion f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 treten die Variablen x 1 und x 2 nur in der ersten Potenz auf (keine Quadrate der x j etc.), aber sie ist nicht in der Form a 1 x 1 + a 2 x 2 + b darstellbar mit reellen Konstanten a 1, a 2, b, also eine nichtlineare Funktion! Produkte der Variablen dürfen eben auch nicht auftreten und ebensowenig nichtlineare Funktionen wie e x j, ln x j, sin x j, x x k j,.... Lineare Funktionen sind also sehr speziell zu speziell für die mathematische Beschreibung vieler ökonomischer Zusammenhänge, die eben häufig nichtlinear sind, d.h. nicht durch lineare Funktionen mathematisch zu beschreiben. Dennoch ist Lineare Algebra wichtig: Erstens gibt es eben doch viele konkrete ökonomische Problemstellungen, die mit linearen Funktionen mathematisch modelliert und mit Linearer Algebra gelöst werden können. Zweitens ist die Lineare Algebra eine unverzichtbare Vorstufe für die Analysis von differenzierbaren Funktionen von mehreren Veränderlichen. Dort approximiert man nämlich allgemeine nichtlineare Funktionen durch lineare, um mit Hilfe von Kenntnissen aus der linearen Situation Aussagen über die nichtlinearen Probleme zu erhalten. Das geht natürlich nur, wenn man schon über Kenntnisse aus der Linearen Algebra verfügt. 105

14 106 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 3.1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen DEFINITIONEN und TERMINOLOGIE (Lineare Gleichungssysteme): 1) Eine lineare Gleichung für n reelle Unbekannte x 1, x 2,..., x n ist eine Gleichung der Form l(x 1, x 2,..., x n ) = b mit einer homogen linearen Funktion l, lautet also ausgeschrieben n a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b oder a j x j = b, wobei die sog. Koeffizienten a 1, a 2,..., a n der linearen Gleichung gegebene reelle Zahlen sind und ebenso die rechte Seite b der Gleichung eine gegebene reelle Zahl ist. Im Fall b = 0 spricht man von einer homogenen linearen Gleichung, im Fall b 0 nennt man die Gleichung inhomogen; die rechte Seite b wird daher auch die Inhomogenität der linearen Gleichung genannt. Gesucht sind hier die Werte der Unbekannten x 1, x 2,..., x n R, für welche die Gleichung erfüllt ist. Eine Lösung der Gleichung ist also eine n-gliedrige Folge von reellen Zahlen x 1, x 2,..., x n, wofür man (x 1, x 2,..., x n ) schreibt und Lösungs--n--tupel sagt, und die Lösungsmenge der linearen Gleichung ist die Menge all ihrer Lösungs-n-tupel, wozu man auch allgemeine Lösung sagt. 2) Allgemein nennt man eine n-gliedrige Folge (x 1,..., x n ) von Elementen x 1,..., x n aus einer Grundmenge ein n--tupel (bzw. ein Paar, Tripel, Quadrupel,..., wenn n = 2, 3, 4,...) und die x j seine Komponenten, Glieder oder Einträge. Die Komponenten des n-tupels müssen dabei nicht unbedingt paarweise verschieden sein, sondern Übereinstimmungen zwischen Gliedern sind erlaubt. Ein n-tupel ist dadurch bestimmt, dass man für jede seiner n Positionen (man stellt sich Plätze vor, die von 1 bis n nummeriert sind) festlegt, welcher Eintrag auf dieser Position vorgenommen wird. Dabei kommt es nicht nur auf die eingetragenen Elemente an, sondern auch auf die Positionen, an denen sie stehen. Zwei Tupel sind also dann und nur dann gleich, wenn sie erstens dieselbe Anzahl n von Gliedern haben und zweitens dieselben Einträge an denselben Positionen, (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) x j = y j für alle j {1,..., n}, und sie sind verschieden, wenn sie an mindestens einer Position verschiedene Glieder haben, (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) x j y j für mindestens ein j {1,..., n}. Also ist das Paar (1, 2) verschieden vom Paar (2, 1), obwohl beide 2-tupel die Einträge 1 und 2 haben (aber an verschiedenen Positionen!), und (1, 2) (1, 2, 2) gilt schon deswegen, weil diese beiden Tupel nicht dieselbe Zahl von Gliedern haben. Die Menge aller n-tupel (x 1,..., x n ) von reellen Zahlen heißt der n--dimensionale reelle Zahlenraum und wird notiert j=1 R n := {(x 1,..., x n ) : x j R für j = 1... n}. Dieser Raum R n ist die Grundmenge, in der wir die Lösungen einer linearen Gleichung für n reelle Unbekannte (oder eines linearen Gleichungssystems für n Unbekannte, s.u.) suchen; die Lösungsmenge ist eine Teilmenge von R n. 3) Wenn man es mit mehreren Unbekannten zu tun hat, so meist auch mit mehreren Gleichungen. Man muss dann nicht nur die Unbekannten, sondern auch die Gleichungen nummerieren. Dies bedeutet bei mehreren linearen Gleichungen unvermeidlicherweise, dass wir es mit doppelt nummerierten Koeffizienten a ij R zu tun bekommen: Das erste Subskript i gibt die Nummer der Gleichung an, das zweite Subskript j die

15 Kap. 3, Abschnitt Position des Koeffizienten in dieser Gleichung, also die Nummer der Unbekannten x j, vor der er steht. Konkret ist also a 35 der Koeffizient vor x 5 in der dritten linearen Gleichung. (Wenn Verwechselungsgefahr mit einer zweiziffrigen Nummer 35 als Index besteht, so schreibt man besser a 3,5.) Entsprechend sind auch die rechten Seiten der einzelnen Gleichungen zu nummerieren; b i ist also die Inhomogenität der i-ten Gleichung. Ist mehr als eine Gleichung gegeben, so spricht man von einem Gleichungssystem, ansonsten ist die Terminologie wie bei einer Gleichung. Wenn wir im Folgenden Gleichungssysteme betrachten, so ist der Fall einer einzigen Gleichung aber immer eingeschlossen (obwohl er kein echtes System darstellt). Ein lineares Gleichungssystem, genauer gesagt ein System von m linearen Gleichungen für n reelle Unbekannte, hat also die Gestalt (LGS) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m oder n a ij x j = b i j=1 für i = 1... m. Die Formelbezeichnung (LGS) für dieses Lineare Gleichungs-System haben wir vergeben, weil wir darauf oft Bezug nehmen werden. Hier ist m die Anzahl der Gleichungen und n die Anzahl der Unbekannten x j. Die reellen Zahlen a ij heißen die Koeffizienten des linearen Gleichungssystems und die Zahlen b i seine rechten Seiten. Das lineare Gleichungssystem heißt homogen, wenn alle rechten Seiten Null sind, b 1 = 0, b 2 = 0,..., b m = 0 ; andernfalls ist es inhomogen. Das m-tupel (b 1,..., b m ) R m der rechten Seiten der m Gleichungen heißt die Inomogenität des Gleichungssystems oder auch seine rechte Seite. Ein n-tupel (x 1, x 2,..., x n ) R n von reellen Zahlen heißt eine Lösung des Gleichungssystems (LGS), wenn bei Einsetzen der Werte von x 1, x 2,..., x n für die Unbekannten in (LGS) alle m Gleichungen simultan erfüllt sind, und die Menge dieser Lösungs-n-tupel bildet die Lösungsmenge L R n des linearen Gleichungssystems, auch seine allgemeine Lösung genannt. Die Lösungsmenge kann, wie wir sehen werden, leer sein, d.h. es gibt gar keine Lösung, weil Gleichungen des Systems im Widerspruch zueinander stehen oder weil schon eine einzelne Gleichung unerfüllbar ist. Gibt es keine Lösung, so heißt das Gleichungssystem inkonsistent. Ist es konsistent, so gibt es entweder genau eine Lösung oder gleich unendlich viele dies ist eine Erkenntnis der Linearen Algebra. 4) Lineare Gleichungssysteme sind, wie gesagt, die einfachsten Gleichungssysteme für mehrere Unbekannte. Die scheinbare Kompliziertheit eines Gleichungssystems wie (LGS) rührt nicht von einer inneren Komplexität her, sondern nur von der Tatsache, dass wir, wenn wir eine beliebige Zahl m von linearen Gleichungen für eine beliebige Zahl n von Unbekannten betrachten wollen, gezwungen sind, die Unbekannten zu nummerieren und die Koeffizienten a ij der Gleichungen sogar mit zwei Nummern zu indizieren. Hierbei ist wichtig: Der erste Koeffizientenindex gibt die Nummer der Gleichung an, also der Zeile im Gleichungssystem, der zweite die Nummer der Spalte, also der Unbekannten, vor der er als Faktor steht. Diese Konvention über die Nummerierung behalten wir immer bei! (In der Literatur gibt es gelegentlich auch andere Konventionen.)

16 108 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dabei werden die Zeilen natürlich von oben nach unten gezählt und die Spalten von links nach rechts. Die Buchstabensymbole für die laufenden Nummern sind ohne Belang. Statt unserer Wahl i für die Zeilennummern und j für die Spaltennummern kann man genau so gut k und l wählen oder irgendwelche anderen Buchstabensymbole; schließlich ist n l=1 a klx l = b k für k = 1... m genau dasselbe Gleichungssystem wie n j=1 a ijx j = b i für i = 1... m, weil beide Systeme zu gleichen Zeilen- und Spaltennummern dieselben Koeffizienten und rechten Seiten haben. Bei übersichtlichen konkreten linearen Gleichungssystemen werden die Koeffizienten einfach als reelle Zahlen 2, 1, 3.75, 11 4, e, log 5,... ohne angefügte Nummern aufgeschrieben. Die Zuordnung der Nummern ergibt sich dann aus der Position im Gleichungssystem, an der ein Koeffizient steht. Die Nummerierung ist aber unvermeidlich, wenn man eine allgemeine Theorie linearer Gleichungssysteme entwickeln will. Und die Anwendung und Beibehaltung eines konsistenten Nummerierungssystems ist dabei unerlässlich; denn wenn man schon Zeilen- und Spaltennummern verwechselt, so wird man bei der Ausführung und Anwendung einer solchen Theorie nicht weit kommen! 5) Bei einer kleinen Zahl von Unbekannten unterscheidet man diese oft durch Wahl verschiedener Buchstabensymbole. Zum Beispiel schreibt man x, y oder u, v bei zwei Unbekannten, x, y, z oder u, v, w bei drei, w, x, y, z bei vier und u, v, w, x, y bei fünf Unbekannten, statt diese in der Form x 1,..., x n (oder y 1,..., y n oder u 1,..., u n etc.) zu nummerieren mit der jeweiligen Anzahl n der Unbekannten. So ist 2x y = 0 y + 3z = 1 ein lineares System von zwei linearen Gleichungen für drei Unbekannte x, y, z. Bei linearen Gleichungssystemen in einem ökonomischen Kontext verwendet man für die Unbekannten, die Koeffizienten und die rechten Seiten natürlich die Buchstabensymbole, die zur Bezeichnung der entsprechenden ökonomischen Größen üblich sind. Dabei kann es durchaus vorkommen, dass die Koeffizienten mit x ij oder die rechten Seiten mit x i notiert werden und die Unbekannten a j. Für die Theorie ist es nützlich, die Notation zu fixieren und durchgängig beizubehalten; für die Anwendungen aber ist es natürlich besser, sich an die von der Anwenderseite vorgegebene Notation zu halten, so dass aus der Bezeichnung der Variablen gleich auch ihre ökonomische Bedeutung hervorgeht. Bevor man an die mathematische Diskussion eines vorgelegten linearen Gleichungssystems herangehen kann, ist jedenfalls Folgendes zu gewährleisten: Es muss klar sein, was die Unbekannten sind und wieviele Unbekannte man hat, wieviele Gleichungen es gibt und was die Koeffizienten und die rechten Seiten dieser Gleichungen sind! Noch einige Bemerkungen zur Koeffizientennotation: Koeffizienten mit Wert 1 oder 1 werden üblicherweise nicht aufgeschrieben; man schreibt also... + x j... statt x j... bzw.... x j... statt... + ( 1)x j.... Ist dagegen ein Koeffizient Null, so wird der entsprechende Summand auf der linken Seite der linearen Gleichung ganz weggelassen. Bei Unbekannten, die in einer linearen Gleichung nicht explizit auftreten, ist der zugehörige Koeffizient 0 ; bei Unbekannten, die in einer linearen Gleichung ohne Koeffizienten auftreten, ist der Koeffizient 1 (bzw. 1, wenn statt + das Vorzeichen vorausgeht).

17 Kap. 3, Abschnitt Ein Subtraktionsterm... ax j... in einer linearen Gleichung ist natürlich zu lesen als...+ ( a)x j...; der Koeffizient vor x j in dieser Gleichung ist also a. Die drei Koeffizienten in der oberen der beiden linearen Gleichungen des oben schon aufgeschriebenen Systems 2x y = 0 y + 3z = 1 sind somit (in der Reihenfolge von links nach rechts) 2, 1, 0 und die Koeffizienten der zweiten linearen Gleichung sind 0, 1, 3. (Es wäre ein krasser Fehler, als Koeffizienten von y in der ersten oder zweiten Gleichung die Zahl 0 anzugeben, weil ja vor y kein Koeffizient vorhanden ist!) Spitzfindige können nun einwenden, dass dieses Gleichungssystem auch eines für vier Unbekannte w, x, y, z sein könnte, wobei der Koeffizient vor der Unbekannten w in jeder Gleichung Null ist. Das ist formal richtig; jedoch treten bei sinnvollen konkreten Problemstellungen Gleichungssysteme nicht auf, in denen alle Koeffizienten zu einer Unbekannten Null sind. Im Übrigen ergibt sich aus dem Kontext, was die Unbekannten sind. FRAGEN: Die grundlegenden Fragen, deren Beantwortung man von einer guten Theorie über Gleichungssysteme (einer bestimmten Form, z.b. linear) verlangen wird, sind: Existenz: Gibt es (mindestens) eine Lösung? Eindeutigkeit: Gibt es (wenn überhaupt) genau eine Lösung, oder mehrere? Beschreibung der allgemeinen Lösung: Läßt sich die Lösungsgesamtheit, wenn es mehrere Lösungen gibt, einfach beschreiben? Berechnung: Wie kann man die Lösungen konkret berechnen bzw. die Nichtexistenz von Lösungen rechnerisch feststellen? Mit Lösung ist hier natürlich, wenn es sich um ein Gleichungssystem für n Unbekannte handelt, stets ein Lösungs-n-tupel (x 1,..., x n ) gemeint. Wir werden sehen, dass für lineare Gleichungssysteme alle vier Fragen in sehr befriedigender Weise beantwortet werden können. Für homogene lineare Gleichungssysteme bemerken wir vorab, dass die Existenzfrage immer positiv zu beantworten ist; denn wenn alle rechten seiten Null sind, so kann man einfach alle Unbekannten Null setzen und hat dann offenbar eine Lösung. Diese heißt die Null--Lösung oder, weil sie uninteressant ist, die triviale Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems. Für allgemeine (nichtlineare) Gleichungssysteme ist die Lage dagegen sehr viel schlechter: Zu den ersten drei Fragen gibt es, selbst wenn man die Struktur der zugelassenen Gleichungen stark einschränkt, kaum befriedigende Antworten, und diese erfordern unter Umständen extrem hohen mathematischen Aufwand. (Wenn man z.b. Systeme quadratischer Gleichungen oder algebraischer Gleichungen betrachtet, d.h. die linke Seite jeder Gleichung ist eine Linearkombination von Potenzprodukten der Unbekannten mit nichtnegativen ganzen Exponenten, so ist die sog. Algebraische Geometrie zuständig; das ist eine sehr anspruchsvolle und umfangreiche mathematische Theorie, die weit über das hinausgeht, was man in einem Mathematikstudium mit anschließendem Promotionsstudium lernen kann.) Und die Berechnung der Lösungen von allgemeinen (nichtlinearen) Gleichungssystemen ist meist nur näherungsweise möglich mit Verfahren der numerischen Mathematik, die oft auf einer Approximation mit einem linearen Gleichungssystem und auf den effektiven Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme beruhen.

18 110 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Bevor wir uns der allgemeinen Theorie linearer Gleichungssysteme zuwenden, betrachten wir, um einen ersten Eindruck davon zu bekommen, was man erwarten kann, einige BEISPIELE (lineare Gleichungssysteme mit kleinem m oder n): 1) m = 1, n = 1 : Hier haben wir es mit einer linearen Gleichung für eine reelle Unbekannte x zu tun, ax = b. Die einzige Lösung ist x = b wenn der Koeffizient a 0 ist. Das ist der Normalfall. a Wenn wir aber ganz genau sind, so müssen wir auch noch den (zugegebenermaßen nicht sehr sinnvollen) Ausnahmefall a = 0 betrachten: Dann sind entweder alle x R Lösungen, nämlich wenn auch die rechte Seite b = 0 ist, oder es gibt gar keine Lösung, nämlich wenn b 0. Mehr gibt es hier nicht zu sagen. 2) m > 1, n = 1 : Hier handelt es sich um mehrere lineare Gleichungen für eine reelle Unbekannte x, a 1 x = b 1. a m x = b m. Das ist natürlich keine sehr sinnvolle Aufgabenstellung: Die erste Gleichung legt ja die Unbekannte x schon fest (wenn a 1 0 ist), und wir können nicht erwarten, dass die Lösung x = b 1 /a 1 der ersten Gleichung auch noch eine der anderen Gleichungen a i x = b i löst. Genauer gesagt ist letzteres genau dann der Fall, wenn b i = (a i /a 1 )b 1 ist, d.h. wenn man die i-te Gleichung aus der ersten erhält, indem man jede Seite mit dem Faktor a i /a 1 multipliziert. Normalerweise wird das nicht der Fall sein; wenn man z.b. die Koeffizienten a i und / oder die rechten Seiten b i zufällig wählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich Null. Im Normalfall, d.h. wenn nicht alle Gleichungen Vielfache einundderselben Gleichung sind, gibt es also für dieses Gleichungssystem keine Lösung. Der Ausnahmefall liegt vor, wenn alle m Gleichungen Vielfache derselben Gleichung sind. Ist mindestens ein Koeffizient a i nicht Null, so kann man, nötigenfalls nach Vertauschung der ersten mit der i-ten Gleichung, a 1 0 annehmen. Dann ist x = b 1 /a 1 die eindeutige Lösung des Gleichungssystems. Sind aber alle a i gleich Null, so gibt es entweder keine Lösung, nämlich wenn nicht alle b i Null sind, oder alle x R sind Lösungen, nämlich wenn auch alle b i Null sind. 3) m = 1, n > 1 : Dies ist der Fall einer linearen Gleichung für mehrere Unbekannte, a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Die Lösung ist einfach: Ist ein Koeffizient a j 0 das ist hier der Normalfall, so kann man die Unbekannten x k mit Nummern k j beliebig als reelle Zahlen r k (sog. Parameter) vorgeben und dann x j eindeutig aus der Gleichung bestimmen, so dass x 1 = r 1,..., x j 1 = r j 1, x j = 1 a j (b a 1 r 1... a j 1 r j 1 a j+1 r j... a n r n 1 ), x j+1 = r j,..., x n = r n 1 ein Lösungs-n-tupel ist. Im Normalfall gibt es also eine unendliche Schar von Lösungen, nämlich für jede Wahl der Parameter r 1,..., r n 1 genau eine.

19 Kap. 3, Abschnitt Da man n 1 Parameter in der Lösung frei wählen kann, ist die Lösungsmenge in einem gewissen Sinne (n 1)-dimensional (ein (n 1)-dimensionaler affiner Unterraum von R n in der Fachsprache, d.h. eine Gerade für n 1 = 1, eine Ebene für n 1 = 2 usw.). Im Ausnahmefall, in dem alle Koeffizienten a j Null sind, gibt es entweder gar keine Lösung, nämlich wenn die rechte Seite b 0 ist, oder alle n-tupel (x 1,..., x n ) R n sind Lösungen, nämlich wenn b = 0 ist. 4) m = 2, n = 2 : Dies ist der einfachste Fall eines echten linearen Gleichungssystems, nämlich eines Systems von zwei Gleichungen für zwei Unbekannte. Nennen wir die Unbekannten x, y, die Koeffizienten a, b, c, d und die rechten Seiten r, s, so lautet es { ax + by = r (1) cx + dy = s. Um eine Unbekannte zu eliminieren, multiplizieren wir die obere Gleichung von (1) mit d (d.h. beide Seiten werden mit d multipliziert) und die untere Gleichung mit b : = (2) { dax + dby = dr bcx + bdy = bs, und wenn wir hier die untere von der oberen Gleichung subtrahieren (d.h. die linke untere von der linken oberen Seite und die rechte untere von der rechten oberen Seite), so ergibt sich folgende lineare Gleichung, in der nur noch die Unbekannte x vorkommt: = (3) (ad bc)x = dr bs. Wenn nun ad bc 0 ist, so können wir aus der linearen Gleichung (3) die erste Unbekannte eindeutig berechnen zu x = dr bs. Setzen wir diesen Wert für x in die obere oder ad bc untere Gleichung des ursprünglichen Systems (1) ein, so ergibt sich (weil b 0 oder d 0 ist, wenn ad bc 0) eine eindeutig lösbare lineare Gleichung für die zweite Unbekannte mit dem Ergebnis y = as cr. ad bc Die Logik bei dieser Herleitung war folgende: Wenn das System (1) erfüllt ist, so auch das System (2) und die Gleichung (3), also müssen dann x und y die angegebenen Werte haben. Damit ist zwar noch nicht gesagt, dass diese Werte von x und y wirkliche eine Lösung des ursprünglichen Systems (1) liefern, aber durch Einsetzen in die Gleichungen von (1) überzeugt man sich davon, dass dies tatsächlich der Fall ist. Wir haben also folgendes Ergebnis: { ax + by = r Ist die sog. Determinante ad bc des linearen Gleichungssystems (1) cx + dy = s von Null verschieden (das ist der Normalfall ), so besitzt das Gleichungssystem die eindeutige Lösung x = dr bs ad bc und y = as cr ad bc. Die Zahl ad bc heißt die Determinante des Gleichungssystems mit den Koeffizienten a, b, c, d, weil sie bestimmt (determiniert), ob der Fall einer eindeutigen Lösung vorliegt oder nicht. Ist nämlich ad bc = 0, so kann man überlegen, dass das Gleichungssystem entweder gar keine oder unendlich viele Lösungen hat.

20 112 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Das geht wie folgt: Sind alle vier Koeffizienten a, b, c, d gleich Null, so hat (1) offenbar gar keine Lösung, wenn r 0 oder s 0 ist, und (1) hat alle Paare (x, y) R 2 als Lösung, wenn r = s = 0. Ist aber ad bc = 0 und einer der Koeffizienten 0, etwa a 0, so entsteht die linke Seite der unteren Gleichung aus der der oberen durch Multiplikation mit c, weil ja d = c b ist. Daher gelten beide Gleichungen simultan, genau wenn die erste a a gilt und wenn auch s = c r ist. Das System hat also in diesem Fall entweder gar keine a Lösung, nämlich wenn s c r, oder es ist äquivalent zu einer einzigen linearen Gleichung a ax+by = r, welche unendlich viele Lösungen y R beliebig, x = 1 (r by), besitzt. Völlig a analog schließt man, wenn b 0 oder c 0 oder d 0 ist, dass dann entweder keine Lösung von (1) existiert, oder dass es unendlich viele Lösungen (x, y) gibt, bei denen man x oder y beliebig als reellen Parameter wählen kann. Wir fassen diese Diskussion zusammen: { ax + by = r Ist aber die Determinante ad bc des linearen Gleichungssystems (1) cx + dy = s gleich Null (das ist der Ausnahmefall ), so besitzt das Gleichungssystem entweder: keine Lösung, wenn nämlich mindestens ein Koeffizient 0 ist, aber keine der beiden Gleichungen Vielfaches der anderen ist, oder wenn alle Koeffizienten = 0 sind, aber nicht beide rechten Seiten r, s; oder: eine einparametrige Lösungsmenge, wenn nämlich mindestens ein Koeffizient 0 ist und eine der beiden Gleichungen Vielfaches der anderen (man kann dann in der Lösung (x, y) den Wert von x oder von y beliebig vorgeben und die jeweils andere Unbekannte eindeutig berechnen); oder: alle (x, y) R 2 als Lösungen, wenn nämlich alle Koeffizienten und auch beide rechte Seiten = 0 sind. Die Systeme von zwei linearen Gleichungen für zwei Unbekannte haben wir deswegen so ausführlich unter Beachtung aller möglichen auftretenden Fälle besprochen, weil das Ergebnis schon in gewisser Weise typisch für die allgemeine Situation von m linearen Gleichungen für n Unbekannte ist. Ganz allgemein bestehen nämlich, wie wir sehen werden, die Alternativen: Es gibt entweder genau eine Lösung, oder gar keine Lösung, oder eine Schar von unendlich vielen Lösungen, wobei einige der Unbekannten als beliebige Parameter wählbar sind und die anderen dann durch die Gleichungen des Systems eindeutig festgelegt sind. Und im Fall m = n, also bei ebenso vielen Gleichungen wie Unbekannten, ist die Existenz genau einer Lösung der Normalfall, der sich, wenn er nicht von vorneherein vorliegt, nach beliebig kleinen zufälligen Änderungen der Koeffizienten einstellt. Um beliebig große lineare Gleichungssysteme übersichtlich behandeln zu können, ist eine abkürzende Schreibweise nötig, in der nur noch die relevanten Parameter des Gleichungssystems, also die Koeffizienten und die rechten Seiten, notiert werden. Da die Koeffizienten als Zahlenschema in rechteckiger Anordnung erscheinen, wie es auch sonst in der Mathematik und in der Ökonomie in vielfältigen Zusammenhängen auftritt, hat man für solche rechteckig angeordneten Zahlensysteme eine eigene Begriffsbildung eingeführt; man nennt sie Matrizen. Die einschlägige Terminologie hierzu beschreiben wir als Nächstes: