Physikprotokoll: Massenträgheitsmoment. Issa Kenaan Torben Zech Martin Henning Abdurrahman Namdar

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1 Physikprotokoll: Massenträgheitsmoment Issa Kenaan Torben Zech Martin Henning Abdurrahman Namdar Juni

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbereitung zu Hause 3 2 Versuchsaufbau 4 3 Messungen mit 3 Ringen Bestimmung m, r a und r i für alle Ringe Berechnung von J s für alle Ringe (ohne Fehler) Messungen mit verschiedenen Ringkombinationen Ermittlung von A und B mit Hilfe von gnuplot Fehler für A und B aus fit.log Berechnung von D* J 0 mit Fehler Messungen mit einem Prisma Schwerpunkt des Prismas Berechnung von J s und dem Fehler f Js Dämpfung Ermittlung von v und T D Korrektur Anhang 10 2

3 1 Vorbereitung zu Hause Die Vorbereitung zu Hause für den Massenträgheitsmoment besteht darin, die Differentialgleichung J ϕ = D* ϕ (1) zu lösen. J steht für den Trägheitsmoment und D* steht für den Drehmoment. Da es sich um eine Schwingung handelt, bieten sich Sinus und Cosinus an, welche in den Ableitungen auch recht einfach zu handhaben sind. Ziel ist es, ϕ raus zu kürzen. ϕ(t) = ϕ 0 sin(ω t + ϑ 0 ) (2) ϕ(t) = ω ϕ 0 cos(ω t + ϑ 0 ) (3) ϕ(t) = ω 2 ϕ 0 sin(ω t + ϑ 0 ) (4) Die 2. Ableitung können wir in unsere DGL einsetzen, sodass sie für ϕ eingesetzt werden kann. Da der Term ϕ 0 sin(ω t + ϑ 0 ) in beiden Gleichungen vorhanden ist, kann er rausgekürzt werden. Als Gleichung kommt zum Schluss dann D* = ω 2 J (5) bzw. ω = D* J (6) heraus. Die Einheit ist s 1. 3

4 2 Versuchsaufbau Abbildung 1: Hier sieht man das Gerät, auf welches die drei Scheiben bzw. das Prisma später gelegt werden um aus den darausfolgenden Messungen den Massenträgheitsmoment zu ermitteln. 3 Messungen mit 3 Ringen 3.1 Bestimmung m, ra und ri für alle Ringe Ring 1 Ring 3 Ring 2 m[kg] ra [m] ri [m] Tabelle 1: m, ra und ri für alle Ringe 4

5 Abbildung 2: Links sieht man die Drehscheibe mit Ringen, rechts mit Prisma obendrauf, von welchem das Trägheitsmoment ermittelt werden soll. 3.2 Berechnung von Js für alle Ringe (ohne Fehler) Nach der Formel m (ri2 + ra2 ) (7) 2 berechnen wir unter Vernachlässigung der Fehler mit den Werten aus Tabelle 1 die folgenden Massenträgheitsmomente Js : Js = Js1 Js3 Js2 = kg m2 = = kg m kg m 2 (8) 2 (9) (10) (11) 5

6 3.3 Messungen mit verschiedenen Ringkombinationen Kombinationen Mess. 1 [s] Mess. 2 [s] T [s] T 2 [s 2 ] J zu 10 3 [kg m 2 ] R 1 + R R 1 + R R 2 + R R 1 + R 2 + R Tabelle 2: Messwerte für verschiedene Ringkombinationen 12 Traegheitsmomente in Abhaengigkeit von der Periode Ausgleichsgerade 10 8 T 2 [s] J zu [10-3 kgm 2 ] Abbildung 3: Perioden in Abhängigkeit des Trägheitsmomentes 3.4 Ermittlung von A und B mit Hilfe von gnuplot Nach der Eingabe der Wertepaare von T [s] und J zu wurden mit Hilfe von fit folgende Werte berechnet werden: s 2 A = kg m 2 (12) B = s 2 kg m 2 (13) 6

7 3.5 Fehler für A und B aus fit.log Fehler laut fit.log belaufen sich für A auf ± und für B auf ± Ein Ausdruck der fit.log befindet sich im Anhang und wurde aufgrund von Formatierungsproblemen nicht in LaTeX übernommen. Damit ergibt sich die Formel Durch Umformung folgt: T 2 = J zu (14) J T = 2π D* T 2 = (2π) 2 J0 + J zu (16) D* Dadurch entsteht der Zusammenhang für A und B (A ist die Steigung der Graden und B der Schnittpunkt mit der Y-Achse), die wie folgt ermittelt werden: (15) A = (2π)2 D* (17) B = A J 0 (18) 3.6 Berechnung von D* Folglich, dass man A und B hat, kann man D* ermitteln: D* = (2π)2 A f D* = = 109, 0278 (19) ( 4 π2 B 2 )2 f B (20) f D* = ± (21) 3.7 J 0 mit Fehler Für das Trägheitsmoment J 0 erhalten wir: J 0 = A B = 6, kg m 2 (22) f J0 = ( 1 B f A) 2 + ( A B 2 f B) 2 (23) f J0 = ± kg m 2 (24) 7

8 4 Messungen mit einem Prisma Gemessen wird T mit allen drei Ringen und dem Prisma, mit verschiedenen Abständen von dem Rand der Drehscheibe entfernt. Durchmesser D T isch = 30.07cm Höhe h P risma = 12.85cm Es ergibt sich folgende Parabel, geplottet mit gnuplot und fit: Die Formel für die Parabel lautet: c [cm] Mess. 1 [s] Mess. 2 [s] T [s] T 2 [s 2 ] Tabelle 3: Messwerte mit Prisma 1.76 Parabel-Fit ueber Messwerte Messwerte T[s] c[cm] Abbildung 4: fit über die Messwerte für das Prisma T (c) = c c (25) 8

9 4.1 Schwerpunkt des Prismas um den Nullpunkt zu ermitteln, leiten wir diese Formel ab und setzen T = 0. T (c) = c = 0 (26) daraus folgt, dass bei c min = ein Extremum liegt. Da die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv ist, ist es ein Tiefpunkt. Folglich liegt hier der Schwerpunkt des Prismas. Aus c min erhalten wir das entsprechende T (c min ) = 1, Berechnung von J s und dem Fehler f Js Aus folgt T min = 2π J 0 + J S D* J s = T 2 min 4π 2 D* J 0 (28) Durch Einsetzen der entsprechenden Werte T min = s Tmin 2 = s2 D* = J 0 = kg m 2 f J0 = ± kg m 2 (27) erhalten wir für J s : und für den Fehler f Js : J s = [kgm 2 ] (29) f Js = T 2 min 4 π 2 + ( f J0) 2 (30) f Js = ± (31) Frage: Warum ist der relative Fehler von J s so groß, obwohl die relativen Fehler von J 0 und D* viel kleiner sind? Der relative Fehler von J s ist mit immerhin 18 % so gross, weil in der Fehlerrechnung von J s T min quadratisch eingeht, wobei die Werte von D* und J 0 - und deren Fehler sich stark auf das um grössen kleinere J s auswirken. 9

10 5 Dämpfung 5.1 Ermittlung von v und T D Um die Dämpfung zu ermitteln haben wir, den großen Ring aufgelegt und den Ruhepunkt x r = 50cm abgelesen. Diesen wiederum um etwa 7 cm ausgelenkt und nachdem 10 Durchgänge bei der maximalen Auslenkung gestoppt und die entsprechende Restauslenkung x 10 = 45cm abgelesen. Für das Verhältnis v gilt: Für v erhalten wir 1,4 und aus der Theorie wissen wir: und daraus folgt: 5.2 Korrektur v = x r x 0 x r x 10 (32) T D T = T D T 1 + ln v n 2π (33) = 1, (34) Da wir nur 10 Durchgänge lang gemessen haben und T D T unserer Werte weglassen. 1 können wir eine Korrektur 6 Anhang Auf den folgenden Seiten befindet sich der Ausdruck der fit.log, nach denen wir A und B berechnet haben sowie ein Nachweis der Fehlerrechnung. 10