12 Ungleichungen. Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "12 Ungleichungen. Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable."

Transkript

1 12 Ungleichungen Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable. Dann gilt: min c R E(X c)2 = Var X. Beweis: Für alle reellen Zahlen c R gilt: E(X c) 2 = E(X EX + EX c) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 = E(X EX) 2 + 2E((X EX)(EX c)) + (EX c) 2 = E(X EX) 2 + 2(EX c)e(x EX) +(EX c) 2 }{{} =0 = VarX + (EX c) 2 VarX Setzen wir c := EX erhalten wir Gleichheit. 469 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 12.1 Jensen-Ungleichung Satz 36 (Ungleichung von JENSEN) Sei X eine zufällige Variable mit EX < und g eine differenzierbare und konvexe Funktion. Dann gilt: Eg(X) g(ex). Beweis: Sei T(x) die Tangente an die Kurve der Funktion g im Punkt x 0, g(x) T(x) = g(x 0 ) + g (x 0 ) }{{} Anstieg der Kurve in x 0 (x x 0 ). 470 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 Wir setzen nun x := X und x 0 := EX und erhalten: Daraus folgt: g(x) g(ex) + g (EX) (X EX). Eg(X) E(g(EX) + g (EX) (X EX)) = g(ex) + g (EX) E(X EX) }{{} =0 = g(ex) Folg. 6 Es sei g differenzierbar und konkav. Weiterhin sei X eine zufällige Variable. Dann gilt: Eg(X) g(ex). 471 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 Beweis: Da die Funktion g nach Voraussetzung konkav ist, ist die Funktion ( g) konvex. Dann gilt nach Satz 36: E(( g)(x)) ( g)(ex). Daraus folgt: Eg(X) g(ex). Eg(X) g(ex). Bsp Es sei g(x) = x 2. Dann gilt nach Satz 36: EX 2 (EX) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 Daraus aber folgt (die schon bekannte Aussage): VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) Es sei g(x) = x. Dann gilt nach Satz 36: E X EX. 3. Es sei g(x) = ln x. Diese Funktion ist konkav. Also gilt nach Folgerung 6: E(lnX) ln(ex). 473 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 12.2 Markov- und Tschebyschev-Ungleichung Satz 37 (Ungleichung von MARKOV) eine Zufallsgröße. Dann gilt: Sei c > 0. X sei P( X > c) E X. c Beweis: Wir definieren eine Zufallsgröße Y : c, falls X(ω) > c Y (ω) :=, ω Ω. 0, falls X(ω) c 474 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 Wir können also schreiben: 0 c Y : P( X c) P( X > c) Offenbar gilt für alle ω Ω: 0 Y (ω) X(ω), beziehungsweise: 0 Y X. Daraus folgt: P( X Y 0) = 1. Nach Satz 11: E( X Y ) 0 E X EY. 475 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 Da die Zufallsgröße Y diskret ist, folgt aus der Definition des Erwartungswertes: EY = 0 P( X c) + c P( X > c) Wir stellen um und erhalten: = c P( X > c) E X P( X > c) E X c. Satz 38 (Ungleichung von TSCHEBYCHEV) Es sei ε > 0 und sei Y eine Zufallsgröße. Dann gilt: P( Y EY > ε) Var Y ε W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 Beweis: Wir verwenden die Ungleichung von MARKOV: P( X > c) E X c. Wir setzen folgendes in diese Ungleichung ein: X := (Y EY ) 2i 0, c := ε 2i (i N). Da ε > 0 gilt, ist die Voraussetzung der Ungleichung von MARKOV erfüllt. Wir erhalten also: P ( (Y EY ) 2i > ε 2i) = P( Y EY > ε) Wenn wir nun i := 1 setzen, so ergibt sich: E(Y EY )2i ε 2i. P( Y EY > ε) E(Y EY )2 ε 2 = Var Y ε W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 Bem.: Aus der Ungleichung von TSCHEBYCHEV folgt: P( Y EY ε) 1 Var Y ε 2. Bsp. 77 Es sei X N(µ,σ 2 ), also EX = µ, VarX = σ 2. Wir setzen ε := k σ (k N) und erhalten dann mit der Ungleichung von TSCHEBYCHEV: P( X µ k σ) 1 σ2 k 2 σ = k W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 k exakt Tschebychew-Ungleichung Φ(kσ) Φ( kσ) 1 1 k Bem. 18 Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt für beliebig verteilte Zufallsvariablen, die Erwartungswert und Varianz besitzen, insbesondere liegt die Zufallsvariable X mit Wahrscheinlichkeit 0.89 im 3σ-Intervall. 479 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 Bsp. 78 Die Zahl med = med(x) heißt Median der Zufallsvariablen X, falls P(X med) 1 2 und P(X med) 1 2 Sei P(X > 0) = 1. Aus der Markov-Ungleichung folgt: 1 2 P(X med) EX med, d.h. med 2 EX 480 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 12.3 Hoeffding-Ungleichung Satz 39 (Hoeffding-Ungleichung) Seien Y 1,...,Y n unabhängig und so dass EY i = 0 und a i Y i b i. Sei ɛ > 0. Dann gilt t > 0: P( n Y i ɛ) e tɛ n e t2 (b i a i ) 2 /8, i=1 i=1 Satz 40 (Hoeffding-Ungleichung für Bernoulli ZV) Seien X 1,...,X n Bi(1,p). Dann gilt ɛ > 0: wobei X n = 1 n n i=1 X i. P( X n p > ɛ) 2e 2nɛ2, 481 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 Bsp. 79 Seien X 1,...,X n Bi(1,p), d.h. Bernoulli: X i = 1 mit Wkt. p, X i = 0 sonst. n = 100,ɛ = 0.2. Tschebyschev: P( X n p ) > ɛ) varx n ɛ 2 = p(1 p) nɛ 2 1 4nɛ 2 = Hoeffding: P( X n p ) > ɛ) 2e = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 Bem.: Es geht sogar noch besser. ZGWS (s. Kapitel 13): P( X n p ) > ɛ) = P ( n i=1 X i np np(1 p) > nɛ ) np(1 p) ( 1 Φ ( nɛ )) ( nɛ ) + Φ np(1 p) np(1 p) = 2Φ ( nɛ ) np(1 p) 2Φ ( nɛ n 1 4 ) = 2Φ( 2ɛ n) = 2Φ( 4) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 Bsp. 80 Sei α > 0 und Hoeffding: ɛ n = 1 2n log( 2 ). α P( X n p ) > ɛ n ) 2e 2nɛ2 n = α. Sei C = (X n ɛ n,x n + ɛ n ). P(p / C) = P( X n p > ɛ n ) α P(p C) 1 α D.h. das zufällige Intervall C überdeckt den wahren Parameter p mit Wkt. 1 α. C heißt 1 α Konfidenzintervall. 484 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

18 Problem: Schätzung von Binomialwktn. Vorgabe: ɛ,α. Gesucht: notwendiger Stichprobenumfang um P( ˆp p > ɛ) < α zu sichern. Hoeffding: Es genügt: 2 e 2nɛ2 < α also n > ln α/2 2ɛ 2 = ln(2/α) 2ɛ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

19 ZGWS: P( ˆp p > ɛ) = P ( ˆp p np(1 p) > nɛ ) np(1 p) = 2Φ ( nɛ ) np(1 p) < α nɛ np(1 p) < Φ 1 ( α 2 ) Φ 1 ( α) n > 2 p(1 p) ɛ ( Φ 1 (1 α)) 2 2 n > 4ɛ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

20 Vergleich Hoeffding - ZGWS. Sei ɛ = ZGWS Hoeffding α 1 4ɛ 2 Φ 1 (1 α 2 ) 1 2ɛ 2 ln 2 α W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

21 Beweis: (Hoeffding-Ungleichung) Sei t > 0. Aus der Markov-Ungleichung folgt: P( n i=1 Y i ɛ) = P(t n i=1 Y i tɛ) = P(e t P n i=1 Y i e tɛ ) e tɛ E ( e t P n i=1 Y i ) = e tɛ n i=1 E(e ty i ). Da a i Y i b i läßt sich Y i als konvexe Kombination von a i und b i schreiben, wobei α = Y i a i b i a i. Y i = αb i + (1 α)a i, 488 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

22 NR.: Für konvexe Funktionen f(x), x (a, b) gilt: f(x) f(a) + f(b) f(a) (x a) = αf(b) + (1 α)f(a) b a (Die Kurve f liegt unterhalb der Sekante, α = x a b a.). Da die Exponentialfunktion konvex ist: e ty i αe tb i + (1 α)e ta i = Y i a i b i a i e tb i + b i Y i b i a i e ta i E(e ty i ) a i b i a i e tb i + b i b i a i e ta i = e g(u) 489 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

23 wegen EY i = 0. Dabei ist u = t(b i a i ) g(u) = γu + log(1 γ + γe u ) γ = a i b i a i g(0) = g (0) = 0, g (u) 1 u > 0. 4 Satz von Taylor: es ex. ein ξ (0,u): g(u) = g(0) + ug (0) + u2 2 g (ξ) = u2 2 g (ξ) u2 8 = t2 (b i a i ) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

24 Daraus folgt: E(e ty i ) e g(u) e t2 (b i a i ) 2 /8. Damit: P( n Y i ɛ) = e tɛ n E(e ty i ) e tɛ n e t2 (b i a i ) 2 /8 i=1 i=1 i=1 491 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

25 Beweis: (Hoeffding-Ungleichung für Bernoulli ZV) Sei Y i = 1(X n i p). Dann gilt EY i = 0 und a Y i b, wobei a = p/n und b = (1 p)/n. Also (b a) 2 = 1/n 2. Aus der Hoeffding-Ungleichung folgt: P(X n p > ɛ) = P( n i=1 Y i > ɛ) e tɛ e t2 /(8n), für jedes t > 0. Setze t = 4nɛ: P(X n p > ɛ) e 2nɛ2. Analog: P(X n p < ɛ) e 2nɛ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

26 Beides zusammen: P( X n p > ɛ) 2e 2nɛ2. Satz 41 (Chernov-Ungleichung) Seien X 1,...,X n Bi(1,p). Dann gilt δ (0, 1): P( X n p p P( X n p p > δ) e pn δ2 3 > δ) e pn δ2 2 wobei X n = 1 n n i=1 X i. Beweis: s. z.b. in Wikipedia 493 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

27 Satz 42 (Mill-Ungleichung) Sei Z N(0, 1). Dann gilt: P( Z > t) 2 π e t2 /2 t = 2φ(t) t 494 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Extremwertverteilungen

Extremwertverteilungen Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008 Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen 2.5.1 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße 2.5.2 Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer

Mehr

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term

Mehr

Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen

Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen 2013-11-13 Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen TEIL I Vorbereitungskurs F-Praktikum B (Physik), RWTH Aachen Thomas Hebbeker Literatur Eindimensionaler Fall: Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

Mehr

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 1 3.34 1.1 Angabe Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander

Mehr

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung

Mehr

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,

Mehr

Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse

Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse Yannik Behr Gliederung 1 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse Ein stochastischer Prozess ist ein Phänomen, dessen

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Gaußsche Prozesse - ein funktionalanalytischer Zugang

Gaußsche Prozesse - ein funktionalanalytischer Zugang Universität Ulm Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Gaußsche Prozesse - ein funktionalanalytischer Zugang Bachelorarbeit in Wirtschaftsmathematik vorgelegt von Clemens Kraus am 31. Mai

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8 1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 . Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8

Mehr

Z = 60! 29!31! 1,1 1017.

Z = 60! 29!31! 1,1 1017. Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik Dr. C.J. Luchsinger 2 Zufallsgrössen Literatur Kapitel 2 * Statistik in Cartoons: Kapitel 4 * Krengel: 3.1 und 3.2 in 3 und (Honours Program) 10 sowie 11.1, 11.2 und 11.3 in

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

4. Versicherungsangebot

4. Versicherungsangebot 4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil

Mehr

Ein möglicher Unterrichtsgang

Ein möglicher Unterrichtsgang Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige

Mehr

Credit Metrics. Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000), J.P.Morgan Inc.

Credit Metrics. Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000), J.P.Morgan Inc. Wurde bei J.P.Morgan entwickelt. Credit Metrics Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000), J.P.Morgan Inc. (1997)) Basiert auf ein Bonität-Einstufungssystem

Mehr

Genexpression. Expression eines einzelnen Gens. Expressionsmessung. Genexpressionsmessung. Transkription (Vorgang) Genexpression

Genexpression. Expression eines einzelnen Gens. Expressionsmessung. Genexpressionsmessung. Transkription (Vorgang) Genexpression Genexpressionsmessung Genexpression Transkription (Vorgang) Genexpression (quantitativ) Wieviele m-rna Moleküle eines bestimmten Gens sind in den Zellen? Genomische Datenanalyse 8. Kapitel Wie mißt man

Mehr

Statistiktraining im Qualitätsmanagement

Statistiktraining im Qualitätsmanagement Gerhard Linß Statistiktraining im Qualitätsmanagement ISBN-0: -446-75- ISBN-: 978--446-75-4 Leserobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter htt://www.hanser.de/978--446-75-4 sowie im Buchhandel

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist

Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist Frage Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist k a F (x) =1 k>0,x k x Finden Sie den Erwartungswert und den Median der Dichte für a>1. (Bei

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Einführung 2 Deskriptive Statistik

Mehr

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung 5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10 Kern- und Schulcurriculum Mathematik /10 Stand Schuljahr 2009/10 Fett und kursiv dargestellte Einheiten gehören zum Schulcurriculum In allen Übungseinheiten kommt die Leitidee Vernetzung zum Tragen - Hilfsmittel

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 38

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 38 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 38 Offene Fragen Warum ist ein ET bereit, für eine Feuerversicherung mit einer Versicherungshöhe von 1 Million und einer Jahreseintrittswahrscheinlichkeit

Mehr

Monty Hall-Problem. Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen. Lernziele. Diskrete Verteilungen

Monty Hall-Problem. Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen. Lernziele. Diskrete Verteilungen Monty Hall-Problem Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen US-amerikanische Fernseh-Show Let s make a deal, moderiert von Monty Hall: WBL 15/17, 04.05.2015 Alain Hauser

Mehr

Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen

Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II Aufgaben und Lösungen SS 2005 Aufgaben Aufgabe 41 Ein Betrieb stellt zwei Produkte P 1 und P 2 her, die die

Mehr

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +,  > 0.  2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = 38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Coupon Collector's-Problem (Sammelbilderproblem) Name: Walter Wolf Matrikelnr.: 533440 Dozent: Dr. W. Kössler

Coupon Collector's-Problem (Sammelbilderproblem) Name: Walter Wolf Matrikelnr.: 533440 Dozent: Dr. W. Kössler Coupon Collector's-Problem (Sammelbilderproblem) Name: Walter Wolf Matrikelnr.: 533440 Dozent: Dr. W. Kössler Problemstellung Als Sammelbilderproblem bezeichnet man die Frage, wie viele Produkte bzw. Bilder

Mehr

Klausur Analysis II (SS 2005)

Klausur Analysis II (SS 2005) Klausur Analysis II (SS 5) Prof. Dr. J. Franke Abschlußklausur vom. Juli 5 Name, Vorname: Matrikelnummer: Gruppe, Tutor: Pseudonym: ir wünschen Ihnen viel Erfolg! Mit 5 Punkten oder mehr von 5 ist die

Mehr

Solvency II und die Standardformel

Solvency II und die Standardformel Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematische Stochastik Solvency II und die Standardformel Festkolloquium 20 Jahre (neue) Versicherungsmathematik an der TU Dresden Sebastian Fuchs

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Quantitative Risk Management

Quantitative Risk Management Quantitative Risk Management Copulas und Abhängigkeit Johannes Paschetag Mathematisches Institut der Universität zu Köln Wintersemester 2009/10 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg i Inhaltsverzeichnis

Mehr

Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem

Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem Inauguraldissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Mathematisch Naturwissenschaftlichen

Mehr

Schätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N. Stichprobenmedian X N

Schätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N. Stichprobenmedian X N Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.1 Schätzer für Lage- und Skalenparameter und Verteilungsmodellwahl Lageparameter (l(x + a) = l(x) + a): Erwartungswert EX Median von X

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Eine Einführung in R: Statistische Tests

Eine Einführung in R: Statistische Tests Eine Einführung in R: Statistische Tests Bernd Klaus, Verena Zuber Institut für Medizinische Informatik, Statistik und Epidemiologie (IMISE), Universität Leipzig http://www.uni-leipzig.de/ zuber/teaching/ws12/r-kurs/

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Meteorologisches Institut der Universität Bonn Skript zur Vorlesung Einführung in die Statistik Wintersemester 2004/2005 Andreas Hense Thomas Burkhardt Petra Friederichs Version: 31. Oktober 2005 1 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Multivariate Statistik

Multivariate Statistik Hermann Singer Multivariate Statistik 1 Auflage 15 Oktober 2012 Seite: 12 KAPITEL 1 FALLSTUDIEN Abbildung 12: Logistische Regression: Geschätzte Wahrscheinlichkeit für schlechte und gute Kredite (rot/blau)

Mehr

Skalare Differentialgleichungen

Skalare Differentialgleichungen Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen

Mehr

Fragestellungen der Schließenden Statistik

Fragestellungen der Schließenden Statistik Fragestellungen der Schließenden Statistik Bisher: Teil I: Beschreibende Statistik Zusammenfassung von an GesamtheitM N {e,,e N } erhobenem Datensatz x,,x N durch Häufigkeitsverteilung und Kennzahlen für

Mehr

Versuch: Zufälliges Ziehen aus der Population

Versuch: Zufälliges Ziehen aus der Population Wahrscheinlichkeit Ein Test diagnostiziert Kranke zu 99% richtig Gesunde zu 90% richtig 5% der Bevölkerung ist krank? Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand krank ist, wenn der Test dies diagnostiziert?

Mehr

Beispiele zur UE Wirtschaftsstatistik 1 bei Nagel

Beispiele zur UE Wirtschaftsstatistik 1 bei Nagel Beispiele zur UE Wirtschaftsstatistik 1 bei Nagel 1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 1. Ein Würfel wird zweimal geworfen, der Stichprobenraum Ω ist Ihnen nicht neu. Versuchen Sie, den Stichprobenraum

Mehr

Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse

Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse Friedrich-Schiller-Universität Jena Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik Prof. Dr. P. Kischka Sommersemester

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013 Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 7. November 2013 6 L p -Räume Mit Hilfe der Masstheorie können wir nun die sog. L p -Räume einführen. Diese Räume sind wichtig in vielen

Mehr

DIPLOMVORPRÜFUNG GRUNDZÜGE DER STATISTIK, TEIL B WINTERSEMESTER 2006/07 28.02.2007

DIPLOMVORPRÜFUNG GRUNDZÜGE DER STATISTIK, TEIL B WINTERSEMESTER 2006/07 28.02.2007 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt DIPLOMVORPRÜFUNG GRUNDZÜGE DER STATISTIK, TEIL B WINTERSEMESTER 006/07 8.0.007 Lösung Prof. Dr. R Friedmann / Dr. R. Hauser Hinweise für die Klausurteilnehmer

Mehr

Klaus Pötzelberger Department of Statistics and Mathematics Wirtschaftsuniversität Wien

Klaus Pötzelberger Department of Statistics and Mathematics Wirtschaftsuniversität Wien Interdisziplinäres Vertiefungsfach Grundkurs I: Stochastische Grundlagen der Finanzmathematik Wahlfach Mathematical Methods: Wahrscheinlichkeitsrechnung Klaus Pötzelberger Department of Statistics and

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

Computational Finance

Computational Finance Computational Finance Kapitel 2.1: Einführung in die Simulation Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4

Mehr

ARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES DERIVATIVE FINANZINSTRUMENTE

ARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES DERIVATIVE FINANZINSTRUMENTE ARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES DERIVATIVE FINANZINSTRUMENTE im SS 215 Aufgabe 1 (Innerer Wert, Zeitwert, Basiskurs, Aufgeld) Am 13.4.2 kostete eine Kaufoption

Mehr

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. fru@hephy.oeaw.ac.at. VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090. Februar 2010. R. Frühwirth Statistik 1/536

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. fru@hephy.oeaw.ac.at. VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090. Februar 2010. R. Frühwirth Statistik 1/536 fru@hephy.oeaw.ac.at VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090 Februar 2010 1/536 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Kursthemen 12. Sitzung. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse

Kursthemen 12. Sitzung. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse Kursthemen 12. Sitzung Folie I - 12-1 Spezielle Verteilungen: Warteprozesse Spezielle Verteilungen: Warteprozesse A) Die Geometrische Verteilung (Folien 2 bis 7) A) Die Geometrische Verteilung (Folien

Mehr

Statistik Musterlösungen

Statistik Musterlösungen Statistik Musterlösungen Regina Tüchler & Achim Zeileis Institut für Statistik & Mathematik Wirtschaftsuniversität Wien 1 Grundbegriffe (1.23) Skript Reaktionen auf Videofilm. Aussagen M, E, P, S h(m)

Mehr

Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B

Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

Grundlagen der Monte-Carlo-Methode

Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Probieren geht über studieren Institut für experimentelle Kernphysik Karlsruher Institut für Technologie 16. November 2009 Übersicht Definitionen und Motivation 1 Definitionen und Motivation Typische Problemstellung

Mehr

Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit

Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit Andreas Berlin 14. Juli 2009 Bachelor-Seminar: Messen und Statistik Inhalt: 1 Aspekte einer Messung 2 Mess-System-Analyse 2.1 ANOVA-Methode 2.2 Maße

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

Planungsblatt Mathematik für die 4E

Planungsblatt Mathematik für die 4E Planungsblatt Mathematik für die 4E Woche 26 (von 09.03 bis 13.03) Hausaufgaben 1 Bis Mittwoch 11.03: Auf dem Planungsblatt stehen einige Aufgaben als Übung für die SA. Bereite diese Aufgaben vor! Vor

Mehr

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners 1 KAP 15. Spiele unter unvollständiger Information Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels seine Gegenspieler, deren Aktionen, deren Nutzen, seinen eigenen Nutzen etc. Oft kennt man

Mehr

Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K.

Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. Aufgabe I 1 Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge D f an. Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der x-achse. Bestimmen Sie die Intervalle,

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung

Mehr

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung B. Schuster/ L. Frerick 9. Februar 200 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5. Mengen und Zahlen................................ 5.. Mengen...................................

Mehr

Klausur Statistik Lösungshinweise

Klausur Statistik Lösungshinweise Klausur Statistik Lösungshinweise Prüfungsdatum: 1. Juli 2015 Prüfer: Etschberger, Heiden, Jansen Studiengang: IM und BW Aufgabe 1 14 Punkte Ein Freund von Ihnen hat über einen Teil seiner Daten, die er

Mehr

Gewinnchancen und Gewinnerwartung

Gewinnchancen und Gewinnerwartung Bachelorarbeit an der Ruhr-Universität Bochum Gewinnchancen und Gewinnerwartung Marius Alexander Wilker aus Marl Bochum, im April 008 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. R. Verfürth Inhaltsverzeichnis I.

Mehr

- Denken Sie daran, Ihre Laboraufgaben regelmäßig am besten jeweils nach Lösung einer Teilaufgabe zu speichern.

- Denken Sie daran, Ihre Laboraufgaben regelmäßig am besten jeweils nach Lösung einer Teilaufgabe zu speichern. Hinweise zur Klausur Schließende Statistik / Statistik 2 - Die Klausur besteht aus zwei Teilen. Die Aufgaben aus Teil 1 sind mit dem Statistiklabor am PC zu lösen, die Aufgaben aus Teil 2 sind klassisch

Mehr

Physik 4, Übung 8, Prof. Förster

Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls

Mehr

Unsupervised Kernel Regression

Unsupervised Kernel Regression 9. Mai 26 Inhalt Nichtlineare Dimensionsreduktion mittels UKR (Unüberwachte KernRegression, 25) Anknüpfungspunkte Datamining I: PCA + Hauptkurven Benötigte Zutaten Klassische Kernregression Kerndichteschätzung

Mehr