Vorbereitung Blatt 13: Gleichverteilung auf [0, 1]

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Jörg Krause
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1 Vorbereitung Blatt 3: Gleichverteilung auf [, ] Jörg Nikutta. Januar 3 Wir werden in Übung 3 eine für Sie noch ungewohnte Art der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwenden. Diese möchte ich vorab näher bringen: Die Gleichverteilung auf dem Intervall [, ]! Sie kennen bereits Wahrscheinlichkeiten wie z.b. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Würfel die eins gewürfelt wird? Antwort:. 6. Erste Überlegungen Nun geht es um Fragen, wie Angenommen jemand sagt Ihnen eine Zahl zwischen null und eins. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl ist?. Mit Wahrscheinlichkeit eins ist die Zahl zwischen null und eins (denn das wissen wir). Da genau in der Mitte zwischen null und eins liegt, ist die Wahrscheinlichkeit. Die Zahl ist also mit der gleichen Wahrscheinlichkeit kleiner/gleich wie größer. Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl? Wenn man das Intervall zwischen null und eins in gleichgroße Teile unterteilt, lautet die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das man im ersten Teil landet? Anwort: Da man mit der gleichen Wahrscheinlichkeit in jedem der Teile landet ist die Wahrscheinlichkeit im ersten Teil zu landen:. Dies ist auch die Wahrscheinlichkeit im. Teil (d.h. zwischen und ) zu landen, etc. Wie immer: Alles ohne Gewähr! und verwendet Gleichverteilung, d.h. (unsauber gesprochen) alle Zahlen sind gleich wahrscheinlich. Übrigens: JEDE Zahl ist zugelassen, auch z.b

2 Diese Überlegungen deuten die allgemeine Regel an: Man muß einfach überlegen, wie lang das betrachtete Teilintervall ist, d.h. Intervall Länge Wahrscheinlichkeit im Intervall zu sein [, ],,,, für a<b. [a, b] b-a b-a Die Wahrscheinlichkeit in einem beliebigen Teilintervall der Form [a, b] zu sein entspricht also gerade der Länge des Intervalls, d.h. b a. Alternativ kann man die Frage stellen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Zahl kleiner/gleich b zu haben? Das ist gleichbedeutend zu: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Teilintervall [,b] zu sein? Antwort: b. D.h. die Wahrscheinlichkeit kleiner/gleich b zu sein ist gerade b. Um dieses Verfahren zu verallgemeinern, verwendet man nicht die Länge der Intervalls, sondern die Fläche unter der Funktion 3 f (x) x Dichte f (x) Die Fläche unterhalb dieser Funktion, gegeben das Teilintervall [a,b], wird berechnet 3 Diese Funktion heißt übrigens DICHTE. bl3.tex. Januar 3

3 über das Integral a a f (x) dx () dx x b a b a und entspricht damit der Länge. In der Rechnung sieht man, dass die Integralgrenzen a und b in die Funktion x eingesetzt werden. Da diese Funktion die Stammfunktion zu f (x) ist, wird sie mit F (x) bezeichnet x Verteilungsfunktion F (x) x. Wenn die Wahrscheinlichkeit gesucht wird mit der eine Zahl b ist, ist die Antwort F (b) b.. Erwartungswert Wie groß ist der Erwartungswert bei einem Würfelwurf? D.h. angenommen Sie dürfen ein Mal würfeln und bekommen die Augenzahl in Euro ausgezahlt. Wieviel Geld erwarten Sie zu bekommen? Sie müssen jeden Fall (d.h. jede Augenzahl) mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit multiplizieren/gewichten. Also ( ) Diese Funktion heißt VERTEILUNGSFUNKTION. bl3.tex 3. Januar 3

4 Allgemein gilt, wenn die Werte x,...,x n angenommen werden können und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p,...,p n sind, ist der Erwartungswert p x + p x p n x n nx p i x i. () i Kommen wir zurück auf unsere Zahl zwischen null und eins. Wie groß ist der Erwartungswert wenn eine Zahl zwischen a und b per Gleichverteilung genannt wird? Das Vorgehen ist wie gerade: alle Fälle durchgehen und die Auszahlung mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren. Leider gibt es unendlich viele Fälle, aber das Integral () deutet an, dass die Variable x alle Zahlen zwischen und durchläuft. Der Erwartungswert ist dann gegeben durch 5 E [X] Z Z Z x xf (x) dx (3) xdx. Bitte beachten Sie, dass Formel () im Prinzip das Gleiche ist wie Formel (3). Einzige Änderung: Die Summe wurde durch ein Integral ersetzt. Zu beachten bei Formel (3) ist noch, dass das gesamte Intervall angegeben werden muß, d.h. es muß gelten 6 Z xdx f (x) dx Z dx. Wenn man hier nur ein Teilintervall betrachten würde (was falsch ist), wäre es ungefähr so, als wenn man bei einem Würfelwurf nach der erwarteten Augenzahl 5 x steht für die Auszahlung und f für die Wahrscheinlichkeit. Wobei genaugenommen eine Wahrscheinlichkeit nur über R f (x) gegeben ist. 6 Im Unterschied zu (3) wird hier nur die Wahrscheinlichkeit berechnet, d.h. es ist kein x unterdem Integral. bl3.tex. Januar 3

5 fragen würde, aber nur Würfe mit Augenzahl zählen würde 7. Man muß bei dem Erwartungswert also alle möglichen Zustände zulassen, d.h. in diesem Fall alle Zahlen zwischen und. Möchte man den Erwartungswert betrachten, wenn noch eine Funktion g dazwischen geschaltet ist, d.h. E [g (X)] geht man entsprechend vor, d.h. E [g (X)] wenn G die Stammfunktion von g ist. Z Z g (x) f (x) dx g (x)dx G () G (), Interessant (für die Übung) ist der Fall, dass g folgendes Aussehen hat x für x b g (x). für x>b Der Erwartungswert ist dann E [g (X)] Z b. g (x) dx xdx () In Gleichung () bildet man also den Erwartungswert nur über den Bereich [,b], was an der Definition von g liegt. 7 Das kann man natürlich machen, aber dann ist die Wahrscheinlichkeit eine andere: Da nur Würfelseiten betrachtet werden, wäre die Wahrscheinlichkeit für eine von diesen Seiten. bl3.tex 5. Januar 3

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