BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel III: Funktionen einer Veränderlichen

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1 Friedrich-Schiller-Universität Jen Institut für Physiklische Chemie BC 1.2 Mthemtik PD Dr. Thoms Bocklitz BC 1.2 Mthemtik Zusmmenfssung Kpitel III: Funktionen einer Veränderlichen 1 Konzept Funktionen 1. Unter einer Funktion einer Veränderlichen versteht mn eine Vorschrift, die jedem Element x einer Menge X in eindeutiger Weise ein Element y einer Menge Y zuordnet. (Abbildung zwischen Menge X und Y ). Menge X heißt Definitionsbereich, Menge Y Wertebereich. x ist die unbhängige Vrible, y = f(x) die bhängige Vrible. x knn dbei eine Zhl oder ein nderes Objekt sein (z.b. n-tupel, Vektoren,...) 2. Grundbegriffe: Monotonie: Eine Funktion y = f(x) heißt monoton steigend (fllend), wenn für jedes x 1 < x 2 stets gilt f(x 1 ) f(x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 ). Gilt sttt (bzw. ) ein echtes < (>) spricht mn von strenger Monotonie. Symmetrie: Bei Funktionen, die spiegelsymmetrisch um die Ordinte sind (gerde Funktionen), ist f( x) = f(x). Für Funktionen, die punktsymmetrisch zum Koordintenursprung sind (ungerde Funktionen), ist f( x) = f(x). Periodizität: Funktionen heißen periodisch mit der Periodenduer, wenn f(x+ ) = f(x). Umkehrfunktionen werden durch Spiegelung n der Winkelhlbierenden (y = f(x) = x) erhlten. Streng monoton steigende bzw. fllende Funktionen sind umkehrbr. 2 Elementre Funktionen 3. Die elementren Funktionen sind: Algebrische Funktionen rtionle bzw. Polynomfunktionen (f(x) = i ix i ), gebrochen rtionle (f(x) = i ix i j b jx j ) und Wurzelfunktionen (f(x) = n x) Trnszendente Funktionen, zu denen die trigonometrischen Funktionen (f(x) = sin x; f(x) = cos x; f(x) = tn x; f(x) = cot x), die Arcusfunktionen (zyklometrische Funktionen), Exponentilfunktionen (f(x) = x, > 0, 1) und Logrithmusfunktionen (f(x) = log x) gehören. 3 Folgen und Grenzwerte 4. Eine Abbildung N 0 R heißt eine Zhlenfolge in R. Die Zhlen x n (n N 0 ) sind Glieder der Zhlenfolge.

2 Friedrich-Schiller-Universität Jen Institut für Physiklische Chemie BC 1.2 Mthemtik PD Dr. Thoms Bocklitz Sei x der Abstnd der Punkte x und uf der Zhlengerde. Die Zhl ε > 0 gebe den Abstnd von Punkt n: x < ε. Eine Zhl R heißt Grenzwert einer Folge x(n), wenn es zu jeder beliebig kleinen Zhl ε > 0 einen (von ε bhängigen) Index n ε gibt, so dss gilt: x n < ε für lle n > n ε Besitzt eine Folge einen Grenzwert, heißt sie konvergent. Ist der Grenzwert der Folge (x n ), so sgen wir x n oder lim x n =. Uneigentlich konvergente Folge n mit Grenzwert : lim x n = Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergent n ist. 5. Eine Funktion f(x) besitzt n der Stelle x = ξ den Grenzwert, wenn sich zu jeder positiven Zhl ε > 0 stets eine positive Zhl δ(ε, ξ) finden lässt, so dss für jedes x = ξ us dem Intervll x ξ < δ die Ungleichung f(x) < ε erfüllt ist. Mn schreibt: lim f(x) = oder lim f(ξ + ε) =. Es gibt einen links- und rechtsseitigen x ξ ε 0 Grenzwert, die einnder gleichen, flls die Folge konvergent ist. 6. Eine Funktion f(x) heißt n der Stelle x = ξ stetig, wenn nch Whl einer beliebigen Zhl ε > 0 stets möglich ist, eine Zhl δ(ε, ξ) > 0 so zu bestimmen, dss für lle x us dem Intervll x ξ < δ die Ungleichung f(x) f(ξ) < ε stets erfüllt ist. Oder: lim f(x) = f(ξ) x ξ Der Grenzwert n der Stelle x = ξ existiert und entspricht dem Funktionswert n dieser Stelle. Ist die Funktion n der Stelle x = ξ definiert, besitzt ber keinen oder einen bweichenden Grenzwert, so ist dies eine Unstetigkeitsstelle. Ist die Funktion n der Stelle nicht definiert, spricht mn von einer Definitionslücke. 7. Regeln für ds Rechnen mit Grenzwerten: lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) (ußer ). x x x lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) (ußer 0 ). x x x lim (λ g(x)) = λ lim f(x) (λ 0; λ = konstnt). x x f(x) lim x = lim f(x) x g(x) lim x 4 Ableitung g(x) (ußer / ; 0/0; /0). 8. Eine Funktion y = f(x) heißt n der Stelle x = ξ differenzierbr, wenn der Grenzwert lim n der Stelle existiert. Mn schreibt für die Tngente n dem f(ξ+ε) f(ξ) ε 0 ε

3 Friedrich-Schiller-Universität Jen Institut für Physiklische Chemie BC 1.2 Mthemtik PD Dr. Thoms Bocklitz Punkt x = ξ den Differentilquotienten: 9. Ableitungsregeln y = f (ξ) = lim ε 0 f(ξ + ε) f(ξ) ε Summe: f(x) = u(x) + v(x): f (x) = u (x) + v (x) y = lim x 0 x = dy dx Produktregel: f(x) = u(x) v(x): f (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) Reziprokenregel: f(x) = 1/u(x): f (x) = u (x)/u 2 (x) Quotient: f(x) = u(x)/v(x): f (x) = u (x)v(x)+u(x)v (x) v 2 (x) Kettenregel: y = F (u(x)): y = dy du du dx Umkehrregel (Ableitung unbeknnt, ber Ableitung der Umkehrfunktion beknnt): y = 1 ( dx dy ) 10. Mittelwertstz der Differentilrechnung: Sei f(x) eine im bgeschlossenen Intervll [, b] stetige und im inneren des Intervlls überll differenzierbre Funktion. Dnn gibt es mindestens eine Stelle, im Inneren des Intervlls gelegene Stelle x = ξ mit der folgenden Eigenschft: f (ξ) = f(b) f() (Tngente in ξ prllel zur Seknte b zwischen und b.) 11. Regel von L Hopitl: Die Regel erlubt es in vielen Fällen, den Grenzwert von Funktionen selbst dnn noch zu bestimmen, wenn deren Funktionsterm beim Erreichen der betreffenden Grenze einen unbestimmten Ausdruck wie etw 0, 0 0,,, 00, 0, 1 liefert. Alle Anwendungen der Regel lssen sich f(x) dbei uf die Grundufgbe zurückführen, den Grenzwert lim zu bestimmen, x x0 g(x) wenn dessen Zähler- und Nennerterm lim f(x) und lim g(x) entweder beide null x x0 x x0 oder beide unendlich werden, der Quotient f(x 0) g(x 0 lso ein unbestimmter Ausdruck des ) Typs 0 oder ist. Die Regel von de l Hospitl besgt dnn, dss, flls der Grenzwert 0 f lim (x) f(x) existiert, dieser zugleich der Grenzwert lim ist, wobei f und g hier x x g (x) 0 x x g(x) 0 die ersten Ableitungen der Funktionen f und g sein sollen: f lim (x) = lim f(x). x x g (x) 0 x x g(x) 0 Liefert die Ausgngsfunktion einen nderen ls die oben gennnten unbestimmten Ausdrücke 0 bzw., lso zum Beispiel 0 oder, muss sie zuvor so umgeformt 0 werden, dss sie die oben gennnten Kriterien erfüllt.

4 Friedrich-Schiller-Universität Jen Institut für Physiklische Chemie BC 1.2 Mthemtik PD Dr. Thoms Bocklitz 5 Integrtion 12. Ds bestimmte Integrl repräsentiert den Flächeninhlt A zwischen eine Kurve f(x), der x Achse und den zwei Prllelen x = und x = b: A = f(x)dx. Ist die obere Grenze b vribel b = x, dnn ist der Wert des Integrls eine Funktion von x (unbestimmtes Integrl). Verschiedene unbestimmte Integrle derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine dditive Konstnte. Wir schreiben: x F (x) = f(x)dx oder F (x) = f(x)dx 13. Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung: F (x) = f(x). F (x) heißt dnn Stmmfunktion von f(x). 14. Ds uneigentliche Integrl f(x)dx wird berechnet, indem zunächst ein Wert b ls obere Grenze eingesetzt wird und nschließend der Grenzwert b gebildet wird: F (x) = 15. Allgemeine Integrtionsregeln: f(x)dx = lim b f(x)dx Die Bezeichnung der Integrtionsvriblen ist ohne Bedeutung. f(x)dx = b f(u)du = f(x )dx Additivität der Integrtionsgrenzen: f(x)dx + c f(x)dx = c f(x)dx mit b b c. Vertuschen der Integrtionsgrenzen führt zu einem Vorzeichenwechsel des Integrls: f(x)dx = f(x)dx. Dmit ber uch: f(x)dx = 0. b Die Integrtion is liner, d.h.: λf(x)dx = λ (f(x) + g(x))dx = f(x)dx f(x)dx + Integrtion über ein zu Null symmetrisches Intervll: f(x)dx = 0 f(x)dx + 0 f(x)dx = 0 g(x)dx [f( x) + f(x)]dx Integrtion einer gerden Funktion: f(x)dx = 0 Integrtion einer ungerden Funktion f(x)dx = 2 0 f(x)dx

5 Friedrich-Schiller-Universität Jen Institut für Physiklische Chemie BC 1.2 Mthemtik PD Dr. Thoms Bocklitz 16. Integrtion durch Substitution ( Integrtion der Kettenregel ): f(u(x))dx = f(u)du = F (u) + C 17. Prtielle Integrtion (Ursprung us der Produktregel der Differentition): u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx 18. Integrtion gebrochen rtionler Funktionen erfolgt über Prtilbruchzerlegung A in eine Summe von Funktionen des Typs und nschließender Integrtion der (x ξ) n Summnden (flls lle Lösungen der Nennerpolynome reell sind). 6 Funktionenreihen von Funktionen 19. Tylorpolynom und Lgrnges Restglied einer Funktion f in x 0, wobei ξ unbestimmt ist: f(x) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (n+1) (ξ) k! (n + 1)! (x x 0) (n+1). 20. Tylorreihe einer Funktion f in x 0, wobei die Konvergenz nchgewiesen werden muss: ( n ) f (k) (x 0 ) f(x) = lim (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) = (x x 0 ) k. n k! k! 21. Potenzreihe: Flls diese konvergent ist gilt ds erste Gleichheitszeichen. p : R R mit p(x) = x + + n x n +... = k x k 22. Rechenregeln für Potenzreihen: für x innerhlb des Konvergenzrdius R einer Potenzreihe gilt: Eine Konstnte drf us der Summe herusgezogen werden: c k x k = c k x k = c p(x).

6 Friedrich-Schiller-Universität Jen Institut für Physiklische Chemie BC 1.2 Mthemtik PD Dr. Thoms Bocklitz Eine Summe bzw. Differenz zweier Potenzreihen bildet mn, indem mn gliedweise ddiert bzw. subtrhiert: k x k ± b k x k = ( k ± b k ) x k. Ein Produkt zweier Potenzreihen bildet mn gliedweise ( n ) k x k b k x k = k b n k x n = n=0 c n x n. Der Klmmerusdruck repräsentiert ds Cuchy-Produkt und entspricht den Koeffizienten der neuen Potenzreihe c n. Den Summmtionsindex knn mn durch Verschiebung n=0 k x k = k=r j+r x j+r j=0 mit j = k r oder durch ds Summieren über Teile der Glieder (wenn die nderen Glieder Null sind) mnipulieren. Durch gliedweises Differenzieren der Potenzreihe erhält mn wieder und die Summenfunktion der bgeleiteten Potenzreihe ist die Ableitung f der Summenfunktion f der ursprünglichen Potenzreihe: f (x) = k k x k 1 = k=1 (k + 1) k+1 x k. Ds Integrieren einer Potenzreihe wird gliedweises durchgeführt und mn erhält wieder eine Potenzreihe, deren Summenfunktion die Stmmfunktion F der Summenfunktion f der ursprünglichen Potenzreihe ist: f(x) dx = 1 k + 1 kx k+1 + C.