Lösungen zur 7. Übung

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1 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Vladislav Nenchev M.Sc. Arne Passon Dipl.-Ing. Thomas Seel Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik Lösungen zur 7. Übung Aufgabe 7.1 Die Lösung dieser Aufgabe erfolgt für jede Kombination aus Strecke und Regler in sechs Schritten, siehe dazu das Zusatzmaterial,,Reglerentwurf im Bodediagramm. Anhand der hier genannten Punkte können Sie Ihren Reglerentwurf mit dieser Musterlösung vergleichen: Für die Verläufe der Frequenzgänge von G undk: Knickfrequenzen ω i Anstiege des Amplitudengangs ( 20 db db, 40,...) dec dec Phase an den Knickfrequenzen ( 45, 135,...) Grenzwerte von Amplitude und Phase für ω 0 und ω Für die Verläufe der Frequenzgänge der offenen Kette Amplitude/Phase ist Summe von Amplitude/Phase von G und K Für die Werte der Reglerparameter bei den Zeitkonstanten der exakte Wert bei der Reglerverstärkung der ungefähre Wert (±2dB) (A) nur PI-Regler und PID-Regler sind geeignet, da die Strecke keinen I-Anteil enthält. PI-Regler: 1.) Normierte Faktorisierung:K(s) = k 1+ s PI ( z) mitz = 1 T I s T I 2.) langsamster (stabiler) Streckenpol bei 0.1, damit folgtz = 0.1 T I = 10 3.) entfällt 4.) In Abb. 1 ist der Frequenzgang der Strecke G(s), des Reglers K(s) und der resultierenden offenen KetteG(s)K(s) fürk PI = 1 dargestellt. 5.) siehe Abb. 1 6.) Einstellen der größten zulässigen Durchtrittsfrequenz in Abb. 1 ergibt eine Verstärkung 1 von k PI = 20.4dB 10 1 Es sei explizit darauf hingewiesen, dass es Fälle gibt (z.b. bei nicht monotonem Phasengang), in denen die größte zulässige Durchtrittsfrequenz/Verstärkung nicht das Minimum der in Schritt 5 ermittelten Werte ist. Daher sind bei/nach der Wahl der Reglerverstärkung stets alle Regelkreisanforderungen zu überprüfen. 1

2 Abbildung 1: Bodediagramm der Strecke (A), des PI-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK. PID-Regler: 1.) Normierte Faktorisierung:K(s) = k PID T I ( )( ) 1+ s ( z 1 1+ s ) ( z 2 ) 1 (1+ s ) s ( p) wobeit I = z 1 z 2 z 1 z 2, T D = 1 z 1 z 2 undt = 1 p. 2.) langsamste (stabile) Streckenpole bei 0.1 und 1, damit folgtz 1 = 0.1, z 2 = 1 T I = 11, T D = ) wähleω η als Knickfrequenz des Realisierungspols, alsot = 1 ω η = ) In Abb. 2 ist der Frequenzgang der Strecke G(s), des Reglers K(s) und der resultierenden offenen KetteG(s)K(s) fürk PID = 1 dargestellt. 5.) siehe Abb. 2 6.) Einstellen der größten zulässigen Durchtrittsfrequenz in Abb. 2 ergibt eine Verstärkung vonk PID = 26.4dB 21. 2

3 Abbildung 2: Bodediagramm der Strecke (A), des PID-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK. Vergleich der simulierten Sprungantworten bezüglich Regelgüte: der Regelkreis mit PID-Regler ist gegenüber dem PI-Regler schneller (Anstiegszeiten ca. 1 s zu ca. 2.2 s) und hat überdies ein geringeres Überschwingen (10% zu 30%) Abbildung 3: Simulation der Sprungantworten des geschlossenen Regelkreises mit PI-Regler und PID- Regler. 3

4 (B) P-Regler und PD-Regler sind geeignet, da die Strecke schon einen I-Anteil aufweist. 2 P-Regler: 1.) Normierte Faktorisierung:K(s) = k PI 2.) entfällt 3.) entfällt 4.) In Abb. 4 ist der Frequenzgang der Strecke G(s), des Reglers K(s) und der resultierenden offenen KetteG(s)K(s) fürk P = 1 dargestellt. 5.) siehe Abb. 4 6.) Einstellen der größten zulässigen Durchtrittsfrequenz in Abb. 4 ergibt eine Verstärkung vonk P = 19.8dB 0.1 Abbildung 4: Bodediagramm der Strecke (B), des P-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK. PD-Regler: ( ) 1+ s ( z) 1.) Normierte Faktorisierung:K(s) = k PD (1+ s ) ( p) wobeit D = 1 undt = 1. z p 2.) langsamster (stabiler) Streckenpol bei p 1 = 1, damit folgtz = 1 T D = 1 3.) wähleω η als Knickfrequenz des Realisierungspols, alsot = ) In Abb. 5 ist der Frequenzgang der Strecke G(s), des Reglers K(s) und der resultierenden offenen KetteG(s)K(s) fürk PD = 1 dargestellt. 2 Auf den Entwurf eines PI/PID-Reglers wird hier verzichtet, da der zweite I-Anteil im Allgemeinen nicht zur Verbesserung der Regelgüte führt. Dass es aus praktischen Gründen sinnvoll sein kann, dennoch einen Regler mit (kleinem) I-Anteil einzusetzen, wird im zweiten Versuch des vierten Praktikums deutlich werden. 4

5 5.) siehe Abb. 5 6.) Einstellen der größten zulässigen Durchtrittsfrequenz in Abb. 5 ergibt eine Verstärkung vonk PD = 0.4dB 1. Abbildung 5: Bodediagramm der Strecke (B), des PD-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK. Vergleich der simulierten Sprungantworten bezüglich Regelgüte: der Regelkreis mit PD-Regler ist bei gleichem Überschwingen ( 20%) deutlich schneller als der Regelkreis mit P-Regler (Anstiegszeiten 0.2s und 2.2s) Abbildung 6: Simulation der Sprungantworten des geschlossenen Regelkreises mit P-Regler und PD- Regler für die eingestellten Verstärkungen k P = 0.1 und k PD =

6 (C) nur PI-Regler und PID-Regler sind geeignet, da die Strecke keinen I-Anteil enthält. PI-Regler: 1.) Normierte Faktorisierung:K(s) = k PI 1+ s z mitz = 1 T I s T I 2.) langsamster (stabiler) Streckenpol beip 1 = 0.5, damit folgtz = 0.5 T I = 2 3.) entfällt 4.) In Abb. 7 ist der Frequenzgang der Strecke G(s), des Reglers K(s) und der resultierenden offenen KetteG(s)K(s) fürk PI = 1 dargestellt. 5.) siehe Abb. 7 6.) Einstellen der größten zulässigen Durchtrittsfrequenz in Abb. 7 ergibt eine Verstärkung vonk PI = 19.8dB 9.8 Abbildung 7: Bodediagramm der Strecke (C), des PI-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK. PID-Regler: 1.) Normierte Faktorisierung:K(s) = k PID T I ( )( ) 1+ s ( z 1 1+ s ) ( z 2 ) 1 (1+ s ) s ( p) wobeit I = z 1 z 2 z 1 z 2, T D = 1 z 1 z 2 undt = 1 p. 2.) langsamste (stabile) Streckenpole bei p 1 = 0.5, p 2 = 5 damit folgtz 1 = 0.5, z 2 = 5 T I = 2.2, T D = ) wähleω η als Knickfrequenz des Realisierungspols, alsot = ) In Abb. 8 ist der Frequenzgang der Strecke G(s), des Reglers K(s) und der resultierenden offenen KetteG(s)K(s) fürk PID = 1 dargestellt. 6

7 5.) siehe Abb. 8 6.) Einstellen der größten zulässigen Durchtrittsfrequenz in Abb. 7 ergibt eine Verstärkung vonk PID = 16.2dB 6.5. Abbildung 8: Bodediagramm der Strecke (C), des PID-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK. Vergleich der simulierten Sprungantworten bezüglich Regelgüte: Ein Vergleich der Anstiegszeiten ist nicht sinnvoll, da der Regelkreis mit PID- Regler kein Überschwingen aufweist. Die Ausregelzeiten (= Zeit bis zum Erreichen eines 5%-Toleranzbandes) sind mit 1 s und 1.2 s in der gleichen Größenordnung. (D) PID-Regler ist geeignet, da ein I-Anteil in der offenen Kette benötigt wird und die langsamsten (stabilen) Pole der Strecke konjugiert komplex sind. PID-Regler: 1.) Normierte Faktorisierung:K(s) = k PID T I ( )( ) 1+ s ( z 1 1+ s ) ( z 2 ) 1 (1+ s ) s ( p) wobeit I = z 1 z 2 z 1 z 2, T D = 1 z 1 z 2 undt = 1 p. 2.) langsamste (stabile) Streckenpole bei p 1 = 1+2i, p 2 = 1 2i damit folgtz 1 = 1+2i, z 2 1 2i = T I = 0.4, T D = ) wähleω η als Knickfrequenz des Realisierungspols, alsot = ) In Abb. 2 ist der Frequenzgang der Strecke G(s), des Reglers K(s) und der resultierenden offenen KetteG(s)K(s) fürk PID = 1 dargestellt. 5.) siehe Abb. 10 7

8 Abbildung 9: Simulation der Sprungantworten des geschlossenen Regelkreises mit PI-Regler und PID- Regler. Abbildung 10: Bodediagramm der Strecke (D), des PID-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK 8

9 6.) Einstellen der größten zulässigen Durchtrittsfrequenz in Abb. 10 ergibt eine Verstärkung vonk PID = 31.9dB Vergleich der simulierten Sprungantworten bezüglich Regelgüte: Die Angabe einer Anstiegszeit ist nicht sinnvoll, da der entworfene Regelkreis kein Überschwingen aufweist. Die Ausregelzeit (= Zeit bis zum Erreichen eines 5%-Toleranzbandes) beträgt 0.3 s. Abbildung 11: Simulation der Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises mit PID-Regler. 9

10 Aufgabe 7.2 Die dargestellten Wurzelortskurven (WOK) wurden mit Scilab erzeugt. Die von Hand skizzierten WOK können im Detail anders aussehen, solange sie den Konstruktionsregeln genügen. Bei den Teilaufgaben e) - g) kann man infolge dessen zu anderen Stabilitätsaussagen kommen. a) Der RK ist für alle k R +,k > 0 asymptotisch stabil. b) Der RK ist für alle k R + asymptotisch stabil. 10

11 c) Der RK ist für alle k R +,k > 0 asymptotisch stabil. d) Der RK ist für kleine k R + asymptotisch stabil. e) Der RK ist für kein k R + asymptotisch stabil. f) Der RK ist für kein k R + asymptotisch stabil. g) Der RK ist für kein k R + asymptotisch stabil. h) Der RK ist für kein k R + asymptotisch stabil. 11

12 Aufgabe 7.3 a) Die Wurzelortskurve der Strecke G(s) mit einem P-Regler K(s) = k P ist in Abb. 12 gezeigt. In der Abbildung ist zu sehen, dass der Regelkreis für kein k P asymptotisch stabil ist. Diese Aussage ist allerdings nur aus der numerisch mit Scilab erzeugten Wurzelortskurve ablesbar. Ohne diese numerische Berechnung ist eine Aussage diesbezüglich nicht möglich, da nicht klar ist, an welcher Stelle sich die Pole zwischen 1 und 1 teilen (dies geschieht im Allgemeinen nicht in der Mitte). b) Der ideale PID Regler der Form ( K(s) = k PID 1+ 1 ) T I s +T Ds hat zwei Nullstellenz 1, z 2 und eine Polstellep = 0 mitt I = z 1 z 2 1 undt D = z 1 z 2 z 1 z 2 (vgl. Aufg.7.1). Damit ergibt sich ein Polüberschuss von n m = 2 und es laufen somit zwei Asymptoten gegen Unendlich. Damit dies auch dafür sorgt, dass der Regelkreis für große Verstärkungen asymptotisch stabil wird, muss gelten z 1,2 < 0 und s = z 1 z 2 2 Eine geeignete Wahl ist z.b. z 1 = z 2 = 1, womit sicht I = 2 und T D = 0.5 ergibt. Die resultierende Wurzelortskurve ist in Abb.13 zu sehen. c) Der reale PID Regler der Form ( ) T T I s Ds K(s) = k PID 1+Ts hat zusätzlich zu den in Aufgabenteil b) gegebenen Pol- und Nullstellen einen Pol bei p = 1/T. Damit ergibt sich ein Polüberschuss von n m = 3 und damit enden zwei Asymptoten in der rechten Hälfte der komplexen Ebene, auch wenn der Polschwerpunkt s in die linke Halbebene gelegt wird. In Abbildung 14 und 15 ist allerdings gezeigt, dass ein realer PID-Regler mit z 1 = z 2 = 1 und T = 0.01 für kleine Verstärkungen k PID zu einem ähnlichen Verhalten führt wie der ideale PID-Regler. In diesem Fall ist T hinreichend klein gewählt, so dass der Polschwerpunkt genügend weit links liegt. Der Regelkreis wird erst für sehr großek PID instabil. < 0 12

13 Abbildung 12: Wurzelortskurve der Strecke G(s) mit einem einfachen P-Regler K(s) = k P in Abhängigkeit des Parameters k P Abbildung 13: Wurzelortskurve des geschlossenen Regelkreises mit idealem PID-Regler in Abhängigkeit des Parameters k PID Abbildung 14: Wurzelortskurve des geschlossenen Regelkreises mit realem PID-Regler in Abhängigkeit des Parameters k PID Abbildung 15: Detail aus Abb.14 d) Um herauszufinden für welchesk PID der Regelkreis die gewünschten Pole aufweist kann man die Wurzelortskurve zum Beispiel in Scilab für verschiedene kmax zeichnen. Die Endpunkte der Kurvenäste geben die Pole des geschlossenen Kreises für die jeweils gewählte Verstärkung k max an. 13

14 Aufgabe 7.4 a) Der offene Kreis hat einen Polüberschuss von n m = 2. Somit laufen 2 Asymptoten parallel zur imaginären Achse. Damit der Regelkreis stabil werden kann, muss der Polschwerpunkt links der imaginären Achse liegen. Es ergibt sich also die Bedingung: s = 2 a < 0 und somit a > 2. In der Wurzelortskurve in Abb. 16 sieht man, dass k 2 genügend groß sein muss, damit der Regelkreis stabil ist. b) Der offene Kreis besitzt keinen Polüberschuss. Somit wandert jeder Pol des offenen Kreises in eine Nullstelle. Wählt man also die Nullstelle links der imaginären Achse (a > 0), so läuft immer der Pol bei 1 in diese neu gewählte Nullstelle und der Pol im Ursprung läuft direkt in die Nullstelle bei 1. Es existiert somit kein k, für welches der Regelkreis asymptotisch stabil ist (siehe Abb. 17). Diese Wahl ist somit nicht zulässig. Legt man die Nullstelle auf die positive reelle Achse (a < 0), so ist der Abschnitt der reellen Achse zwischen beiden Polen Teil der Wurzelortskurve und es existiert ein kleines k, für das der Regelkreis stabil ist (siehe Abb. 18). c) Analog zu Aufgabenteil a) ergibt sich die Bedingung für den Polschwerpunkt zu s = 1+0 a+1 < 0 und somita > 2. In der Wurzelortskurve in Abb. 19 sieht man, dass k 2 genügend groß sein muss, damit der Regelkreis asymptotisch stabil ist. Abbildung 16: WOK von G(s)K(s) = 1 k(s 2)(s+4) in Abhängigkeit des Parameters k Abbildung 17: WOK von G(s)K(s) = k (s 1)(s+5) (s+1)s in Abhängigkeit des Parameters k 14

15 Abbildung 18: WOK von G(s)K(s) = k (s 1)(s 5) (s+1)s in Abhängigkeit des Parameters k Abbildung 19: WOK von G(s)K(s) = s+1 ks(s 1)(s+4) in Abhängigkeit des Parameters k Aufgabe 7.5 Analog zu Kapitel im Skript ist für die Konstruktion der Wurzelortskurve in Abhängigkeit verschiedener Parameter die folgende charakteristische Gleichung gesucht: 0 = k p(s)+ q(s). (1) Die Polynome p(s) und q(s) ergeben sich für die verschiedenen Verstärkungen wie folgt: a) k = k P : p(s) = p G (s)(1+ts)s q(s) = p G (s)(k I (1+Ts)+k D s 2 )+q G (s)(1+ts)s b) k = k I : p(s) = p G (s)(1+ts) q(s) = p G (s)(k P (1+Ts)s+k D s 2 )+q G (s)(1+ts)s c) k = k D : p(s) = p G (s)s 2 q(s) = p G (s)(k P (1+Ts)s+k I (1+Ts))+q G (s)(1+ts)s 15

16 Aufgabe 7.6 a) Die Wurzelortskurven für verschiedene Werte von T I sind in Abb gezeigt. Der Regelkreis weist in allen Fällen Überschwingen auf und wird für große Verstärkungen instabil. Da in Abb. 23 der Polschwerpunkt am weitesten links liegt, kann in diesem Fall die Verstärkung am stärksten erhöht werden ohne Instabilität zu riskieren. Weiterhin wird die Geschwindigkeit aller Regelkreise für kleine Verstärkungen von der langsamen Polstelle dominiert, die im Ursprung anfängt. Es ist daher zu erwarten, dass für kleine Verstärkungen die Sprungantworten aller Regelkreise eine ähnliche Anstiegszeit haben. Abbildung 20: WOK für T I = 0.5 Abbildung 21: WOK für T I = 1 Abbildung 22: WOK für T I = 1.5 Abbildung 23: WOK für T I = 3 b) Der Reglerentwurf im Bodediagramm wurde analog zu Aufgabe 7.1 durchgeführt. Anders als sonst wurde die IntegratorzeitkonstanteT I nicht dazu benutzt eine Polstellep i = 1 zu kürzen. Dadurch wird dieser Freiheitsgrad im Reglerentwurf nicht unnötig verschenkt. Es ergeben sich die in Abb gezeigten entworfenen offenen Ketten. Man sieht, dass sich für alle Regelkreise sehr ähnliche Durchtrittsfrequenzen des offenen Kreises ergeben, 16

17 wobei diese allerdings für T I = 3 am weitesten rechts liegt und damit der dazugehörige Regelkreis vermutlich am schnellsten ist. Außerdem wird die Beobachtung bezüglich der Instabilität der Regelkreise für große Verstärkungen bestätigt. Abbildung 24: Bodereglerentwurf für T I = 0.5 Abbildung 25: Bodereglerentwurf für T I = 1 Abbildung 26: Bodereglerentwurf für T I =

18 Abbildung 27: Bodereglerentwurf für T I = 3 c) In Abb. 28 sind die Sprungantworten der entworfenen Regelkreise gezeigt. Alle Regelkreise sind bei unterschiedlich starkem Überschwingen ungefähr gleich schnell. Somit führt die Integratorzeitkonstante von T I = 3 zur besten Regelgüte. Obwohl aus dem Bodereglerentwurf geschlussfolgert wurde, dass der Regelkreis mit T I = 3 schneller ist als alle anderen, kann dies in der Sprungantwort nicht beobachtet werden. Dies kann zum Einen daran liegen, dass die Geradenapproximation nur eine Näherung darstellt und somit die Durchtrittsfrequenzen für die gewählten Verstärkungen leicht anders liegen. Die Durchtrittsfrequenz des offenen Kreises ist immer nur ein grober Anhaltspunkt für die Geschwindigkeit des geschlossenen Kreises! Des Weiteren kann man in der Sprungantwort erkennen, dass alle Regelkreise ein Überschwingen aufweisen. Weiterhin weisen die Regelkreise trotz gleicher Phasenreserve unterschiedlich starkes Überschwingen auf. Auch hier sei darauf hingewiesen, dass die Phasenreserve nur mittels Geradenapproximation eingestellt wurde. Die ermittelten Verstärkungen können also von den tatsächlichen Verstärkungen, die für das Einstellen einer solchen Phasenreserve nötig sind, abweichen. Die Phasenreserve ist nur ein (grober) Anhaltspunkt für die Größe des Überschwingens und man kann daraus keine absoluten Werte für das Überschwingen abgelesen. Zusammenfassung: Die Durchtrittsfrequenz und Phasenreserve lassen nur näherungsweise auf Geschwindigkeit und Überschwingen des geschlossenen Regelkreises schließen. Quantitative Aussagen sollten daher bei jedem Entwurf anhand geeigneter Simulationen (vgl. Praktikum 4) überprüft werden. Ein guter Reglerentwurf ist ein iterativer Prozess. Abbildung 28: Simulierte Sprungantworten des geschl. Kreises für verschiedene Reglerparameter. 18

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