Der Anfang: Parabelgleichungen: Scheitelgleichung und Normalform

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1 Der Anfang: Parabelgleichungen: cheitelgleichung und Normalform Parabeln zeichnen Mit Wertetafel oder mit dem Parabelprinzip (charakteristische Gleichung) Die Lösungen zu allen Aufgaben bilden einen eigenen Text: 80 Weitere Übungsbeispiele dazu stehen in 80 Datei Nr. 800 tand. Februar 0 Parabeln Teil INTERNETBIBLIOTHEK FÜR CHULMATHEMATIK

2 800 Parabeln Teil Vorwort Um die Texte nicht zu lange werden zu lassen habe ich das Thema Parabeln in einige Teilbereiche gegliedert. Dazu gibt es dann noch zusätzliche Texte mit Aufgabensammlungen. Inhaltsübersicht zu den Parabeltexten 800 Parabeln Normalparabeln und gestreckte Parabeln. Zeichnen dieser Parabeln, Aufstellen der cheitelgleichung. (Dieser Text) 80 Lösungen zu den Aufgaben aus Weitere Übungen zu Parabeln Berechnung des cheitels einer Parabel in Normalform. Quadratische Ergänzung und cheitelformel chnittpunkte mit der x-achse und der y-achse. Extremwertaufgaben. 80 Parabeln 3 Aufgaben: Parabeldiskussionen (ohne Ableitungen) 805 Parabeln Aufgaben: Weitere Parabeldiskussionen 806 Parabeln 5 Aufstellen von Parabelgleichungen wenn cheitel und Punkt gegeben sind, 3 Punkte gegeben sind, oder wenn Nullstellen und ein weiterer Punkt gegeben sind. 807 Parabeln 6 Abbildung (mit Abbildungsgleichungen) durch Verschiebungen, treckungen, piegelungen 808 Parabeln 7 chnitt von Parabeln mit Geraden oder Parabeln. Tangenten an Parabeln 809 Parabeln 8 Zusammenstellung aller Grundaufgaben zu Parabeln (kompakt) 8030 Lösungen zu den Aufgaben aus Extremwertaufgaben zu quadratischen Funktionen Als grundlegendes Hilfsmittel wird das Kurvenzeichenprogramm MatheGrafix verwendet, das man unter in der neuesten Version beziehen kann. Weil es bei diesem Thema um grundlegende mathematische Fähigkeiten und Methoden geht, wurde darauf verzichtet, Grafikrechner oder CA-Rechner mit einzubeziehen.

3 800 Parabeln Teil 3 Inhalt Normalparabeln.0 Übersicht. Die Normalparabel. Die Normalparabel y x - die Wertetafel-Methode 5 y x c 6.3 Normalparabel (nach oben geöffnet) mit beliebigem cheitel zeichnen 7. Gleichung einer Normalparabel mit bekanntem cheitel aufstellen 8 Die cheitelgleichung verstehen 9 Musterbeispiele 0.5 Nach unten geöffnete Normalparabeln.6 Trainingsaufgaben zu Normalparabeln Gestreckte Parabeln 9. Die Parabeln y kx als Grundlage 9. Gestreckte Parabeln mit dem cheitel x y Die cheitelgleichung verstehen 3.3 Noch zwei kleine Anwendungsaufgaben Liegt ein Punkt auf einer Parabel treckfaktor aus cheitel und einem Punkt berechnen. Parabelgleichungen zum chaubild aufstellen 5.5 Trainingsaufgaben zu gestreckten Parabeln 6 Zu diesem Text gehören zwei weitere Übungstexte: Alle Aufgaben dieses Textes und ihre Lösungen stehen im Text 80. Weitere Übungsaufgaben dazu enthält der Text 80.

4 800 Parabeln Teil.0 Übersicht Normalparabeln Die bekannteste Parabel hat die Gleichung y x. ie heißt Normalparabel. Verschiebt man diese Parabel im Koordinatensystem, ändert sich die Gleichung, nicht aber ihre Form, und damit auch nicht ein grundlegendes Parabel-Punkt-Verfahren, das wir gleich kennen lernen wollen. Alle Parabeln, die durch Verschiebung der Parabel y = x entstehen, heißen Normalparabel. Dieser Name charakterisiert also die gemeinsame Form dieser Kurven. Für die allgemeine Normalparabel gibt es zwei Gleichungsformen:. Die Normalform lautet: y x bx c. Die cheitelform lautet: y xx y Man verwendet oft auch Parabeln, die in Richtung der y-achse gestreckt worden sind. Dazu benötigt man einen treckfaktor k, der angibt, mit welcher Zahl die y-koordinaten der Punkte einer Normalparabel multipliziert worden sind. treckt man beispielsweise die Parabel y x, dann entsteht die Parabel y k x. Verschiebt man diese gestreckte Parabel im Koordinatensystem, ändert sich die Gleichung, nicht aber ihre Form, und damit auch nicht ein grundlegendes Parabel-Punkt-Verfahren. Für die allgemeine gestreckte Parabel gibt es zwei Gleichungen:. Die Normalform lautet: y ax bx c. Die cheitelform lautet: y k xx y Noch ein Wort zur Erstellung der Parabelschaubilder. Hier gibt zwei grundsätzlich verschiedene Methoden zur Berechnung noch Punkten.. Mit einer Wertetafel kann man zu verschiedenen x-werten die y-koordinaten berechnen.. Ausgehend vom Parabelscheitel, den man dazu kennen muss, wird das Parabelprinzip durchgeführt. Kurz angedeutet: Der x-abstand eines Punktes vom cheitel wird quadriert, daraus erhält man durch Quadrieren und Multiplizieren mit dem treckfaktor den y-abstand des neuen Punktes vom cheitel. Das gilt für jede Parabel. Die Formel dazu lautet: y k x und heißt oft charakteristische Gleichung. Dies alles wird in den folgenden Abschnitten besprochen.

5 800 Parabeln Teil 5. Die Normalparabel y x und die Wertetafel-Methode. Diese Parabel gehört zur Quadratfunktion f x x. Man berechnet eine Liste von Funktionswerten, die man dann als y-koordinaten von Parabelpunkten verwendet. Für die ganze Parabeltheorie ist es wesentlich, dass man eine Reihe von Quadratzahlen auswendig gelernt hat. Dann kann man schnell arbeiten. MERKE: 3 9 Und vor allem: 3 9 Die Wertetafel für die einfache Quadratfunktion x 0 3 fx y f x x lautet: Wer nur die ganzzahligen Werte verwendet, erhält in der Umgebung des Ursprungs meist eine zu spitze Kurve, siehe links unten. 3 5 Die folgenden Abbildungen zeigen, welche Punkte man für eine Parabel einzeichnen sollte. 3 5 peziell die Zwischenpunkte mit x-werten, und sind wichtig, damit man eine schöne Rundung in der Umgebung des cheitels bekommt LERNEN O0 0 Links: o sieht keine Parabel aus. Rechts: Viele Punkte am Parabelscheitel (z.b. U und W) ergeben eine schöne runde Kurve!

6 800 Parabeln Teil 6. Die Normalparabel y x c Beispiel: y x Diese Parabel entsteht aus 3 x y 0 y x durch Verschiebung um nach unten. Daher verschiebt man das Achsenkreuz samt Parabel im nach 0. unten. Dann erhält man den cheitel Von da aus zeichnet man (ins verschobene Koordinatensystem) die Parabel so ein, wie wenn sie die Gleichung y x hätte, man nimmt als neuen Ursprung. Man geht also von aus um zur eite und um nach oben. Dann um zur eite und um nach oben. Dann um 3 zur eite und um 3 9 nach oben. Dann um zur eite und um nach oben usw. Die trecke, um die man in x-richtung geht, bezeichnet man mit x, in y-richtung mit y. Ist x positiv, geht man nach rechts, ist x negativ, nach links. Daher stellt x nicht die Länge der trecke dar, sondern eigentlich Länge zusammen mit Richtung. Das Grundprinzip einer Normalparabel, auch wenn sie verschoben ist, lautet: Die Konstruktion der Parabelpunkte kann man damit so beschreiben: Man geht von aus um x zur eite und dann um y Dann um x zur eite und um y nach oben. Beispiel: Die Parabel y x entsteht aus y x durch Verschiebung um nach oben. Daher habe ich auch die x-achse um nach oben verschoben und somit mit 0 den neuen cheitel bekommen. 5 Von ihm aus geht man um x zur eite und um y nach oben, wie es in der Tabelle steht. nach oben. 0 y x