Schriftliche Abiturprüfung Mathematik 2013

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Dorothea Sternberg
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1 (8) Stochasti Pflichtteil Aufgabe 8.1 In einem Behälter befinden sich 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurüclegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit, dass mindestens eine der beiden Kugeln rot ist. b) Wie viele rote Kugeln hätten sich in dem Behälter befinden müssen, damit die Wahrscheinlicheit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen, 0,84 betragen hätte? (5 VP) Aufgabe 8.2 In einem Behälter befinden sich 6 Kugeln mit den Nummern 1 bis 6. Es wird solange ohne Zurüclegen gezogen, bis eine gerade Nummer gezogen wird. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheit dafür, dass erst im dritten Zug eine gerade Nummer gezogen wird. b) Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass man höchstens dreimal zieht? Aufgabe 8.3 Bei einem Glücsspiel wird das abgebildete Glücsrad benutzt. Als Einsatz bezahlt man 3. Das Glücsrad wird einmal gedreht. Man erhält den Betrag ausbezahlt, dessen Setor über dem Pfeil zu stehen ommt. Bestimmen Sie den Erwartungswert für den Gewinn. Seite 4 von 30

2 Aufgabe 8.4 Ein Glücsrad hat die Setoren mit den Zahlen 1, 2 und 3 mit folgender Wahrscheinlicheitsverteilung: Setor Wahrscheinlicheit 0,2 0,3 0,5 Pflichtteil Das Glücsrad wird zu folgendem Glücsspiel verwendet: Der Spieler zahlt zunächst 1 Einsatz. Dann wird das Glücsrad dreimal gedreht. Sind die drei ermittelten Zahlen verschieden, beommt der Spieler seinen Einsatz zurüc. Kommt dreimal die 1, erhält der Spieler 100. Sonst erhält er nichts. Ist dieses Spiel fair? Aufgabe 8.5 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,6. a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X? Begründen Sie Ihre Entscheidung. b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise P(4 < X < 7) und P(X 5). 0,30 0,25 0,15 0,15 0,05 0, Abb. 1 Abb. 2 P(X=) P(X=) P(X=) 0,30 0,25 0,15 0, Abb. 3 Abb. 4 P(X=) 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 Seite 5 von 30

3 Pflichtteil Aufgabe 8.6 Ein Basetballspieler übt Freiwürfe. Erfahrungsgemäß trifft er bei 80% seiner Würfe. a) Mit welcher Wahrscheinlicheit trifft er mit den ersten beiden Würfen zweimal? b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, so dass gilt: P(A)= 10 0,2, P(B)= 50 0,8 0, Seite 6 von 30

4 Aufgabe Sto 1 Wahlteil Stochasti In einem Gefäß U 1 sind zwei blaue Kugeln, in einem weiteren Gefäß U 2 sind acht rote Kugeln. Lisa darf mit verbundenen Augen eines der beiden Gefäße wählen und daraus eine Kugel ziehen. Ist die Kugel rot, dann gewinnt Lisa einen Preis. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass Lisa einen Preis gewinnt? Lisa hat 50 weitere rote Kugeln zur Verfügung und darf nun bestimmen, wie viele zusätzliche rote Kugeln in U 1 gelegt werden. Allerdings werden dann genauso viele blaue Kugeln in U 2 gelegt. Lisa wählt fünf zusätzliche rote Kugeln. Hat sich dadurch ihre Gewinnwahrscheinlicheit vergrößert? Wie viele von den 50 zusätzlichen roten Kugeln hätte Lisa wählen müssen, um ihre Gewinnchancen zu maximieren? (7 VP) Aufgabe Sto 2 Eine Klasse will für einen guten Zwec beim Schulfest ein Glücsrad betreiben. Dieses besteht aus drei Setoren mit den folgenden Mittelpuntswineln: rot: 180, gelb: 90 und blau: 90. Bei einem Spiel dreht der Kunde das Glücsrad dreimal und bezahlt dafür einen Euro. Er erhält zwei Euro, wenn er dreimal dieselbe Farbe erreicht, er beommt seinen Einsatz zurüc, wenn genau zweimal dieselbe Farbe angezeigt wird, in allen anderen Fällen wird sein Einsatz einbehalten. Welchen Gewinn erzielt die Klasse mit diesem Glücsrad pro Spiel durchschnittlich? Die Klasse will im nächsten Jahr durch eine Veränderung der Setorengrößen die Wahrscheinlicheit der Fälle, in denen der Einsatz einbehalten wird, erhöhen. Dabei sollen die Spielregeln erhalten bleiben und der rote Setor soll weiterhin doppelt so groß sein wie der gelbe. Für welche Mittelpuntswinel der drei Setoren ist die Wahrscheinlicheit für den Einbehalt des Einsatzes am größten? (6 VP) Seite 13 von 30

5 Aufgabe Sto 3 Wahlteil Stochasti a) Eine Urne enthält drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Franz und Hilde ziehen abwechselnd ohne Zurüclegen eine Kugel, wobei Franz beginnt. Gewonnen hat, wer zuerst eine schwarze Kugel zieht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheiten der Ereignisse A: Franz gewinnt, B: Hilde gewinnt. (2 VP) b) In einer anderen Urne sind drei weiße und n schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurüclegen gezogen. Für welche Werte von n ist die Wahrscheinlicheit, genau eine schwarze Kugel zu ziehen, gleich 8 3? Aufgabe Sto 4 Ein Glücsrad hat die Setoren mit den Zahlen 1, 2 und 3 mit folgender Wahrscheinlicheitsverteilung: Setor Wahrscheinlicheit 0,2 0,3 0,5 a) Wie oft muss man das Glücsrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlicheit von mindestens 95% wenigstens einmal die Zahl 1 zu beommen? b) Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlicheit für die Zahl 1 größer als 0,2 ist. Daher wird die Hypothese H 0 : p 0, 2 durch 100 Versuche getestet. (2 VP) Wenn mehr als 28 Mal die 1 erscheint, wird die Hypothese abgelehnt. Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlicheit? Aufgabe Sto 5 Eine Firma stellt Solartaschenrechner her. Die Herstellungsosten eines Rechners betragen 15. Die Firma verauft ihn für 25 an den Händler. 14,5% aller produzierten Rechner sind defet. Jeder defete Rechner wird vom Händler entdect. Die Firma erstattet den Kaufpreis und nimmt den defeten Rechner zurüc. Bei der Rücnahme entstehen der Firma zusätzlich Kosten in Höhe von 5. a) Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn der Firma pro Rechner? (2 VP) Seite 14 von 30

6 Wahlteil Stochasti b) Durch eine Kontrolle ann die Firma 95% der defeten Rechner herausfinden, hält aber auch 1% der intaten Rechner für defet. Die beanstandeten Rechner werden dann nicht an den Händler verauft, sondern ohne weitere Kosten entsorgt. Wie viel darf die Kontrolle eines Rechners höchstens osten, damit sie sich für die Firma rentiert? Aufgabe Sto 6 Eine Firma, die Handys herstellt, behauptet, dass höchstens 4% der Geräte defet seien. Die Behauptung soll mit einer Stichprobe von 250 Stüc getestet werden. Man erhält 10 defete Handys. Kann man daraus mit einer Irrtumswahrscheinlicheit von höchstens 5% schließen, dass die Firmenangabe nicht zutrifft? Aufgabe Sto 7 Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips. Erfahrungsgemäß sind 95% der Chips einwandfrei. a) Mit welcher Wahrscheinlicheit sind von 30 Chips mehr als 26 einwandfrei, mindestens zwei defet? b) Der Computerhersteller überprüft die Hypothese, dass mindestens 95% der Chips einwandfrei sind, mit einer Stichprobe vom Umfang 100. Die Irrtumswahrscheinlicheit soll höchstens 10% betragen. Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich. (2 VP) Aufgabe Sto 8 Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips. a) Erfahrungsgemäß sind 80% der Chips einwandfrei. Mit welcher Wahrscheinlicheit sind von 30 Chips mehr als 20 einwandfrei? (2 VP) b) Wie groß dürfte die Defetwahrscheinlicheit eines Chips höchstens sein, damit von 10 Chips mit mindestens 90% Wahrscheinlicheit alle einwandfrei sind? Alternative: b*) Die Chips, die zu 80% einwandfrei sind, werden in Viererpacungen geliefert. Ab welcher Anzahl Viererpacungen muss mit mehr als 50% Wahrscheinlicheit damit gerechnet werden, dass in mindestens einer Pacung alle Chips defet sind? Seite 15 von 30

7 Aufgabe Sto 9 Wahlteil Stochasti Bei einem Test gibt es 10 Fragen mit jeweils 4 Antworten, von denen nur eine richtig ist. a) Ein Kandidat reuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlicheit hat er A: genau 3 richtige Antworten, B: mindestens 3 richtige Antworten, C: mehr als 3, aber weniger als 8 richtige Antworten? b) Es soll nun festgelegt werden, wie viele richtige Antworten zum Bestehen des Tests ausreichen sollen. Bei zufälligem Anreuzen der Antworten soll die Wahrscheinlicheit für ein Bestehen des Testes höchstens 5% betragen. Wie viele richtige Antworten müssen dazu mindestens verlangt werden? Seite 16 von 30

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P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1 Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl