Das harmonische Mittel

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1 Das harmonische Mittel x H := 1 1 n n 1 x i Das harmonische Mittel entspricht dem Mittel durch Transformation t 1 t Beispiel: x 1,..., x n Geschwindigkeiten, mit denen konstante Wegstrecken l zurückgelegt werden Gesamt-Geschwindigkeit: l n l x l = x H x n Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 114 / 152

2 Allgemeine Transformation des Mittelwerts I Lineare Transformation: g(t) = a + bt y i = a + bx i ȳ = a + b x d.h. a + bx = a + b x g(x) = g( x) Allgemeine Transformation: Generell ist g(x) g( x) Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 115 / 152

3 Allgemeine Transformation des Mittelwerts II Für konvexe Funktionen g gilt: g ( 1 n g( x) g(x) ) n x i 1 n g(x i ) n (Jensen-Ungleichung) g konvex: g(λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y) λ [0, 1], x, y D g Beispiel: x 2 x 2 Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 116 / 152

4 Vergleich I Es gilt allgemein für positive x i x H x G x Beweis: a) Die Funktion g : t log(t) ist konkav, da g (t) = 1 t 2 < 0 log( x) log(x) ( ) x exp log(x) = exp ( 1 n n log(x i) ) = ( n exp (log(x i)) ) 1 n = x G Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 117 / 152

5 Vergleich II b) Die Funktion g 2 : t 1 exp(t) da g 2 (t) = 1 exp(t) 0 Daten log(x 1 ),..., log(x n ) g 2 ( 1 n n ) log(x i ) 1 n n n n x i n x i n n x i }{{} x G 1 n 1 n 1 x i }{{} x H ist konvex, n ( exp(log(xi )) 1) Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 118 / 152

6 Getrimmtes Mittel Um die Ausreißerempfindlichkeit von x abzuschwächen definiert man x α = 1 n 2r x (i) : geordnete x-werte r ist die größte ganze Zahl mit r nα n r i=r+1 x (i) Es wird also der Anteil α der extremsten Werte abgeschnitten. α-getrimmtes Mittel Winsorisiertes Mittel (gestutztes Mittel) Der Anteil α der extremsten Werte wird durch das entsprechende Quantil ersetzt. Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 119 / 152

7 Maße für die Streuung Spannweite Interquartilsabstand Standardabweichung und Varianz Variationskoeffizient Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 120 / 152

8 Die Spannweite (Range) Definition: q = x max x min Bereich in dem die Daten liegen Wichtig für Datenkontrolle Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 121 / 152

9 Der Quartilsabstand Definition: q = x 0.75 x 0.25 Größe des Bereichs in dem die mittlere Hälfte der Daten liegt Bei ordinal skalierten Daten Angabe von x 0.75 und x 0.25 Zentraler 50%-Bereich Robust gegen Ausreißer Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 122 / 152

10 Standardabweichung und Varianz Definition S 2 := 1 n 1 n (x i x) 2 Varianz S = S 2 Standardabweichung Verwende S 2 := 1 n n (x i x) 2 für Vollerhebung Division durch n 1 eigentlich nur bei Stichproben sinnvoll Mittlere Abweichung vom Mittelwert Intervallskala Voraussetzung Empfindlich gegen Ausreißer Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 123 / 152

11 Transformationsregel y i = a + bx i S y 2 = b 2 S 2 x S y = b S x (Analog für S x, S y ) Varianz und Standardabweichung stabil gegen lineare Transformationen. Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 124 / 152

12 Verschiebungssatz Für jedes c R gilt: n n (x i c) 2 = (x i x) 2 + n( x c) 2 c = 0 S 2 = 1 n n S 2 = x 2 x 2 x 2 i x 2 Beachte: Verschiebungssatz für numerische Berechnung mit Computer nicht geeignet. Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 125 / 152

13 Streuungszerlegung I Seien die Daten in r Schichten aufgeteilt: Schichtmittelwerte: x 1,..., x n1, x n1+1,..., x n1+n 2,..., x nr x 1 = 1 n 1 x i, x 2 = 1 n 1+n 2 n 1 n 2 i=n 1+1 x i, usw. Schichtvarianzen: S 1 2 = 1 n 1 (x i x 1 ) 2 2, S n 2 = 1 n 1+n 2 (x i x 2 ) 2, usw. 1 n 2 i=n 1+1 Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 126 / 152

14 Streuungszerlegung II Dann gilt: r x = 1 n S 2 = 1 n j=1 n j x j r 2 n j S j j=1 + 1 n r n j ( x j x) 2 j=1 Streuung Streuung Gesamtstreuung = innerhalb + zwischen der Schicht den Schichten Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 127 / 152

15 Variationskoeffizient Das Verhältnis von Standardabweichung und Mittelwert ist gegeben durch v = S x mit x > 0 Der Variationskoeffizient hat keine Einheit und ist skalenunabhängig. Er ist eine Maßzahl für die relative Schwankung um den Mittelwert. Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 128 / 152

16 Mittlere absolute Abweichung (MAD) Die mittlere absolute Abweichung ist definiert als MAD = 1 n n x i x MedAD := median( x i x med ) Wegen der Jensen-Ungleichung gilt: MAD S MAD/ MedAD : nicht so schöne theoretische Eigenschaften klarer interpretierbar als S weniger ausreißerempfindlich Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 129 / 152

17 Uni- und multimodale Verteilungen unimodal = eingipflig, multimodal = mehrgipflig Das Histogramm der Zinssätze zeigt eine bimodale Verteilung. Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 130 / 152

18 Symmetrie und Schiefe symmetrisch Rechte und linke Hälfte der Verteilung sind annähernd zueinander spiegelbildlich linkssteil Verteilung fällt nach links deutlich steiler und (rechtsschief) nach rechts langsamer ab rechtssteil Verteilung fällt nach rechts deutlich steiler und (linksschief) nach links langsamer ab Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 131 / 152

19 Eine linkssteile (a), symmetrische (b) und rechtssteile Verteilung (c) Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 132 / 152

20 Lageregeln Symmetrische und unimodale Verteilung: x x med x mod Linkssteile Verteilung: x > x med > x mod Rechtssteile Verteilung: x < x med < x mod Bei gruppierten Daten: Auch für Histogramme gültig Beachte: Form der Verteilung bleibt bei linearen Transformationen gleich. Änderung bei nichtlinearen Transformationen. Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 133 / 152

21 Maßzahlen für die Schiefe I Quantilskoeffizient: p = 0.25 Quartilskoeffizient g p = (x 1 p x med ) (x med x p ) x 1 p x p Werte des Quantilskoeffizienten: g p = 0 für symmetrische Verteilungen g p > 0 für linkssteile Verteilungen g p < 0 für rechtssteile Verteilungen Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 134 / 152

22 Maßzahlen für die Schiefe II Momentenkoeffizient der Schiefe g m = m 3 s 3 mit m 3 = 1 n n (x i x) 3 Werte des Momentenkoeffizienten g m = 0 für symmetrische Verteilungen g m > 0 für linkssteile Verteilungen g m < 0 für rechtssteile Verteilungen Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 135 / 152

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